2017年广东省汕头市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年广东省汕头市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满 60 分） 1已知集合 A=x| 0， B=0， 1， 2， 3，则 A B=（ ） A 1， 2 B 0， 1， 2 C 1 D 1， 2， 3 2已知 =2 i，则在复平面内，复数 z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3一袋中装有大小相同，编号分别为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8 的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取 2 次，则取得两个球的编号之和不小于 15 的概率为（ ） A B C D 4命题 “2 0 恒成立 ”是假命题，则实数 a 的取值范围是（ ） A 0 a 3 B a 0 或 a 3 C a 0 或 a 3 D a 0 或 a 3 5函数 y= 的图象大致是（ ） A B C D 6已知 a （ ， ）， ，则 + ） =（ ） A B 7 C D 7 7已知向量 、 满足： | |=2， | |=1，（ ） =0，那么向量 、 的夹角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 8已知双曲线的方程为 =1（ a 0， b 0），过左焦点 斜率为 的直线交双曲线的右支于点 P，且 y 轴平分线段 双曲线的离心率为（ ） A B +1 C D 2+ 9函数 f（ x） =周期是 T，将 f（ x）的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g（ x），则 g（ x）具有性质（ ） A最大值为 1，图象关于直线 x= 对称 B在（ 0， ）上单调递增，为奇函数 C在（ ， ）上单点递增，为偶函数 D周期为 ，图象关于点（ ， 0）对称 10在四面体 ， D=D=1，且平面 平面M 为 点，则线段 长为（ ） A B C D 11过抛物线 C： y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A、 B 两点，若抛物线C 在点 B 处的切线斜率为 1，则线段 |（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 12在 ， a， b， c 分别为内角 A， B， C 所对的边，且满足 b=c， = ，若点 O 是 一点， （ 0 ）， ， ，则平面四边形 积的最大值是（ ） A B C 3 D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13如图所示的程序框图，输出的 S= 14如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为 15设非负实数 x， y 满足： ，（ 2， 1）是目标函数 z=y（ a 0）取最大值的最优解，则 a 的取值范围是 16若直角坐标系内 A， B 两点满足：（ 1）点 A， B 都在 f（ x）的图象上； （ 2）点 A， B 关于原点对称，则称点对（ A， B）是函数 f（ x）的一个 “姊妹点对 ”，点对（ A， B）与（ B， A）可看作一个 “姊妹点对 ”，已知函 数 f（ x） = ，则 f（ x）的 “姊妹点对 ”有 个 三、解答题（本大题共 5 小题，共 60 分） 17（ 12 分）已知数列 前 n 项和为 ， = （ 1）求数列 通项公式； （ 2）已知 bn=数列 的前 n 项和 18（ 12 分）如图，在三棱柱 ， 平面 四边形菱形， 0 （ 1）求证： （ 2）若 棱锥 A 体积为 ，求 面积 19 （ 12 分）二手车经销商小王对其所经营的 A 型号二手汽车的使用年数 x 与销售价格 y（单位：万元 /辆）进行整理，得到如下数据： 使用年数 x 2 3 4 5 6 7 售价 y 20 12 8 z=面是 z 关于 x 的折线图： （ 1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合 z 与 x 的关系，请用相关数加以说明； （ 2）求 y 关于 x 的回归方程并预测某辆 A 型号二手车当使用年数为 9 年时售价约为多少？（ 、 小数点后保留两位有效数字） （ 3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于 7118 元，请根据（ 2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？ 参考公式：回归方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = = ， = ，r= 参考数据： = = =139 ， = = 20（ 12 分）已知 O 为坐标原点，圆 M：（ x+1） 2+6，定点 F（ 1， 0），点 N 是圆 M 上一动 点，线段 垂直平分线交圆 M 的半径 点 Q，点 （ 1）求曲线 E 的方程； （ 2）已知点 P 是曲线 E 上但不在坐标轴上的任意一点，曲线 E 与 y 轴的交点分别为 线 别与 x 轴相交于 C、 D 两点，请问线段长之积|否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由； （ 3）在（ 2）的条件下，若点 C 坐标为（ 1， 0），过点 C 的直线 l 与 E 相交于 A、 B 两点，求 积的最大值 21（ 12 分）已知函数 f（ x） = x2+a R （ 1）讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）当 a=4 时，记函数 g（ x） =f（ x） + 方程 g（ x）=0 的两个根， 等差中项， g（ x）为函数 g（ x）的导函数，求证：g（ 0 四、选修题 22（ 10 分）已知曲线 C 的极坐标方程是 =6极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是（ t 为参数） （ 1）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程（普通方程）； （ 2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、 B 两点，且 |2 ，求直线的倾斜角 的值 五、选修题 23（ 10 分）已知函数 f（ x） =|x|+|x 2| （ 1）求关于 x 的不等式 f（ x） 3 的解集； （ 2）如果关于 x 的不等式 f（ x） a 的解集不是空集，求实数 a 的取值范围 2017 年广东省汕头市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满 60 分） 1已知集合 A=x| 0， B=0， 1， 2， 3，则 A B=（ ） A 1， 2 B 0， 1， 2 C 1 D 1， 2， 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中不等式的解集 确定出 A，找出 A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中不等式变形得： x（ x 2） 0 且 x 0， 解得： 0 x 2，即 A=（ 0， 2， B=0， 1， 2， 3， A B=1， 2， 故选： A 【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2已知 =2 i，则在复平面内，复数 z 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用已知条件求出复数 z，得到对应点的坐标即可判断选项 【解答】 解： =2 i， =（ 1 i）（ 2 i） =1 3i z=1+3i 复数 z 对应点（ 1， 3）在第一象限 故选： A 【点评】 本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，是基础题 3一袋中装有大小相同，编号分别为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8 的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取 2 次，则取得两个球的编号之和不小于 15 的概率为（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 先求出基本事件总数 n=8 8=64，再求出取得两个球的编号之和不小于15 包含的基本事件个数，由此 能求出取得两个球的编号之和不小于 15 的概率 【解答】 解：一袋中装有大小相同，编号分别为 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8 的八个球， 从中有放回地每次取一个球，共取 2 次， 基本事件总数 n=8 8=64， 取得两个球的编号之和不小于 15 包含的基本事件有： （ 7， 8），（ 8， 7），（ 8， 8），共 3 个， 取得两个球的编号之和不小于 15 的概率为 p= 故选： C 【点评】 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用 4命题 “2 0 恒成立 ”是假命题，则实数 a 的取值范围是 （ ） A 0 a 3 B a 0 或 a 3 C a 0 或 a 3 D a 0 或 a 3 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 命题 “2 0 恒成立 ”是假命题，即存在 x R，使 “2 0，分类讨论即可 【解答】 解：命题 “2 0 恒成立 ”是假命题，即存在 x R，使 “2 0， 当 a=0 时，不符合题意； 当 a 0 时，符合题意； 当 a 0 时， =412a 0a 3， 综上：实数 a 的取值范围是： a 0 或 a 3 故选： B 【点评】 本题考查了命题的真假的 应用，转化是关键，属于基础题 5函数 y= 的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 对数函数的图象与性质 【分析】 先由奇偶性来确定是 A、 B 还是 C、 D 选项中的一个，再通过对数函数，当 x=1 时，函数值为 0，可进一步确定选项 【解答】 解： f（ x） = f（ x）是奇函数， 所以排除 A， B 当 x=1 时， f（ x） =0 排除 C 故选 D 【点评】 本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键 6已知 a （ ， ）， ，则 + ） =（ ） A B 7 C D 7 【考点】 两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式可求 而利用两角和的正切函数公式即可计算得解 【解答】 解： a （ ， ）， ， = ，可得： ， + ） = = = 故选： C 【点评】 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题 7已知向量 、 满足： | |=2， | |=1，（ ） =0，那么向量 、 的夹角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 【考点】 数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算 【分析】 设向量 、 的夹角为 ，由数量积的定义代入已知可得关于 方程，解之可得 【解答】 解：设向量 、 的夹角为 ， 0， 则由题意可得（ ） = =2 1 12=0， 解之可得 ，故 =60 故选 C 【点评】 本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量的夹角，属中档题 8已知双曲线的方程为 =1（ a 0， b 0），过左焦点 斜率为 的直线交双曲线的右支于点 P，且 y 轴平分线段 双曲线的离心率为（ ） A B +1 C D 2+ 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 先求过焦点 c， 0）的直线 l 的方程，进而可得 P 的坐标，代入双曲线方程，结合几何量之间的关系，即可求出双曲线的离心率 【解答】 解：由题意，过焦点 c， 0）的直线 l 的方程为： y= （ x+c）， 直线 l 交双曲线右支于点 P，且 y 轴平分线段 直 l 交 y 轴于点 Q（ 0， c） 设点 P 的坐标为（ x， y），则 x+c=2c， y= c， P 点坐标（ c， c）， 代入双曲线方程得： =1 又 c2=a2+ c= a， e= = 故选： A 【点评】 本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，确定 P 的坐标是关键 9函数 f（ x） =周期是 T，将 f（ x）的图象向右平移 个单位长度后得到函数 g（ x），则 g（ x）具有性质（ ） A最大值为 1，图象关于直线 x= 对称 B在（ 0， ）上单调递增，为奇函数 C在（ ， ）上单点递增， 为偶函数 D周期为 ，图象关于点（ ， 0）对称 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用诱导公式，函数 y=x+）的图象变换规律求得 g（ x）的解析式，再根据正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，得出结论 【解答】 解：函数 f（ x） =周期是 T= =，将 f（ x）的图象向右平移= 个单位长度后得到函数 g（ x） =x ） =图象， 可得 g（ x）的最大值为 1，当 x= 时， g（ x） =0，不是最值，故它的图象不关于直线 x= 对称，故排除 A g（ x） 在（ 0， ）上单调递增，且 g（ x）为奇函数，故 B 正确 在（ ， ）上， 2x （ ， ）， 有单调性，故 g（ x）没有单调性，故 C 错误 令 x= ，求得 g（ x） =，不是最值，故 g（ x）的图象不关于点（ ，0）对称，故 D 错误， 故选： B 【点评】 本题主要考查函数 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于基础题 10在四面体 ， D=D=1，且平面 平面M 为 点，则线段 长为（ ） A B C D 【考点】 平面与平面垂直的判定 【分析】 如图所示，取 中点 O，连接 用等腰三角形的性质可得 平面 平面 得 平面 立空间直角坐标系又 得 ，取 点 N，连结 平面 【解答】 解：如图所示，取 中点 O，连接 D=D=1， 又平面 平面 平面 又 取 点 N，连结 平面 故选： C， 【点评】 本题考查了空间线面位置关系、向量夹角公式、等腰三角形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题 11过抛物线 C： y 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A、 B 两点，若抛物线C 在点 B 处的切线斜率为 1，则线段 |（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用抛物线 C 在点 B 处的切线斜率为 1，求出 B 的坐标，可得直线 用抛物线的定义，即可求出 | 【解答】 解： y， y=x， 抛物线 C 在点 B 处的切线斜率为 1， B（ 1， ）， y 的焦点 F（ 0， ），准线方程为 y= ， 直线 l 的方程为 y= ， |1 故选： A 【点评】 本题考查抛物线的简单性质，考查导数知识，正确运用抛物线的定义是关键 12在 ， a， b， c 分别为内角 A， B， C 所对的边，且满足 b=c， = ，若点 O 是 一点， （ 0 ）， ， ，则平面 四边形 积的最大值是（ ） A B C 3 D 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 由 = ，化为 b=c，可得 等边三角形，设该三角形的边长为 a，则 1 2用余弦定理、两角和差的正弦公式及其单调性即可得出 【解答】 解：由 = ，化为 A+B） = A， C （ 0， ） C=A，又 b=c， 等边三角形， 设该三角形的边长为 a，则： 2+22 2 2 则 1 2（ 12+22 2 2 =2 ） + ， 当 = 时， 得最大值 故选： B 【点评】 本题考查了两角和差的正弦公式及其单调性、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13如图所示的程序框图，输出的 S= 88 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能 是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 S=0， k=1， 执行循环体， k=2， S=2 不满足条件 k 5，执行循环体， k=3， S=7 不满足条件 k 5，执行循环体， k=4， S=18 不满足条件 k 5，执行循环体， k=5， S=41 不满足条件 k 5，执行循环体， k=6， S=88 满足条件 k 5，输出 S 的值为 88 故答案为： 88 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答 14如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为 64+4 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体为长方体挖去一个半球，把三视图中的数据代入公式计算即可 【解答】 解：由三视图可知该几何体为长方体挖去一个半球得到的，长方体的棱长分别为 4， 4， 2，半球的半径为 2 S=4 4+4 2 4+4 4 22+ =64+4 故答案为 64+4 【点评】 本题考查了空间几何体的三视图和面积计算，属于基础题 15设非负实数 x， y 满足： ，（ 2， 1）是目标函数 z=y（ a 0）取最大值的最优解，则 a 的取值范围是 6， + ） 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用（ 2， 1）是目标函数 z=y 取最大值的最优解，得到直线 z=y（ a 0）斜率的变化，从而求出 a 的取值范围 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z=y 得 y= z，即直线的截距最大， z 也最大 平移直线 y= z，则直线的截距最大时， z 也最大， 当 a 0 时，直线 y= z，在 A 处的截距最大，此时满足条 件 即 a 6， 故答案为： 6， + ） 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法 16若直角坐标系内 A， B 两点满足：（ 1）点 A， B 都在 f（ x）的图象上； （ 2）点 A， B 关于原点对称，则称点对（ A， B）是函数 f（ x）的一个 “姊妹点对 ”，点对（ A， B）与（ B， A）可看作一个 “姊妹点对 ”，已知函数 f（ x） = ，则 f（ x）的 “姊妹点对 ”有 2 个 【考点】 函数的值 【分析】 设 P（ x， y） （ x 0），则点 P 关于原点的对称点为 P（ x， y），从而 2ex+x=0，令 （ x） =2ex+x，利用导数性质推导出函数 （ x）在区间（ 2， 1），（ 1， 0）分别各有一个零点由此能求出 f（ x）的 “姊妹点对 ”的个数 【解答】 解：设 P（ x， y） （ x 0），则点 P 关于原点的对称点为 P（ x，y）， 于是 =（ x），化为 2ex+x=0， 令 （ x） =2ex+x，下面证明方程 （ x） =0 有两解 由 x 0，解得 2 x 0，而 0（ x 0）， 只要考虑 x 2， 0即可 求导 （ x） =2x+2， 令 g（ x） =2x+2，则 g（ x） =2 0， （ x）在区间 2， 0上单调递增， 而 （ 2） =2e 2 4+2 0， （ 1） =2e 1 0， （ x）在区间（ 2， 0）上只存在一个极值点 而 （ 2） =2e 2 0， （ 1） =2e 1 1 0， （ 0） =2 0， 函数 （ x）在区间（ 2， 1），（ 1， 0）分别各有一个零点 也就是说 f（ x）的 “姊妹点对 ”有 2 个 故答案为： 2 【点评】 本题考查函数的 “姊妹点对 ”的个数的求法，是中档题， 解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用 三、解答题（本大题共 5 小题，共 60 分） 17（ 12 分）（ 2017汕头一模）已知数列 前 n 项和为 ， = （ 1）求数列 通项公式； （ 2）已知 bn=数列 的前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ 1）由题意和 n 1 化简已知的式子，由等比数列的定义判断出数列 等比数列，并求出公比和首项，由等比数列的通项公式求出 （ 2）由（ 1）和对数的运算性质化简 入 化简后，利用裂项相消法求出前 n 项和 【解答】 解：（ 1） =， 当 n 2 时， n 1+2， 两式相减得， n 1= =2 所以 （ n 2）， ， 1+2=4，满足 ， 数列 以 2 为公比、首项的等比数列， 则 2n 1=2n； （ 2）由（ 1）得， bn=n， = = ， 1 ） +（ ） +（ ） + +（ ） =1 = 【点评】 本题考查等比数列的定义、通项公 式，数列的前 n 项和与通项之间关系，以及裂项相消法求数列的和，考查化简、变形能力 18（ 12 分）（ 2017汕头一模）如图，在三棱柱 ， 平面四边形 菱形， 0 （ 1）求证： （ 2）若 棱锥 A 体积为 ，求 面积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）连结 导出 而 平面 此能求出 （ 2）由 平面 三棱锥 A 体积为 ，求出菱形 边长，由此能求出 面积 【解答】 证明：（ 1）连结 平面 面 四边形 菱形， ， 平面 面 解：（ 2）由 平面 设菱形 边长为 a， 0， = =3 ， a， 侧面 面 在 ， = ， 三棱锥 A 体积为 ， ， 解得 a=2， ， BC=a=2， 面积 S = 【点评】 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 19（ 12 分）（ 2017汕头一模）二手车经销商小王对其所经营的 A 型号二手汽车的使用年数 x 与销售价格 y（单位：万元 /辆）进行整理，得到如下数据： 使用年数 x 2 3 4 5 6 7 售价 y 20 12 8 z=面是 z 关于 x 的折线图： （ 1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合 z 与 x 的关系，请用相关数加以说明； （ 2）求 y 关于 x 的回归方程并预测某辆 A 型号二手车当使用年数为 9 年时售价约为多少？（ 、 小数点后保留两位有效数字） （ 3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不 得低于 7118 元，请根据（ 2）求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？ 参考公式：回归方程 = x+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： = = ， = ，r= 参考数据： = = =139 ， = = 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ 1）由题意计算 、 ，求出相关系数 r，判断 z 与 x 的线性相关程度； （ 2）利用最小二乘估计公式计算 、 ， 写出 z 与 x 的线性回归方程， 求出 y 关于 x 的回归方程，计算 x=9 时 的值即可； （ 3）利用线性回归方程求出 x 的取值范围，即可得出预测结果 【解答】 解：（ 1）由题意，计算 = （ 2+3+4+5+6+7） = = （ 3+=2， 且 = = r= = = （或 ） z 与 x 的相关系数大约为 明 z 与 x 的线性相关程度很高； （ 2）利用最小二乘估计公式计算 = = = = =2+ z 与 x 的线性回归方程是 = 又 z= y 关于 x 的回归方程是 =e 令 x=9，解得 =e 9+ 即预测某辆 A 型号二手车当使用年数为 9 年时售价约 元； （ 3）当 ， e e 解得 x 11， 因此预测在收购该型号二手车 时车辆的使用年数不得超过 11 年 【点评】 本题考查了线性回归方程与线性相关系数的求法与应用问题，计算量大，计算时要细心 20（ 12 分）（ 2017汕头一模）已知 O 为坐标原点，圆 M：（ x+1） 2+6，定点 F（ 1， 0），点 N 是圆 M 上一动点，线段 垂直平分线交圆 M 的半径点 Q，点 Q 的轨迹为 E （ 1）求曲线 E 的方程； （ 2）已知点 P 是曲线 E 上但不在坐标轴上的任意一点，曲线 E 与 y 轴的交点分别为 线 别与 x 轴相交于 C、 D 两点，请问线段长之积|否为定值 ？如果是请求出定值，如果不是请说明理由； （ 3）在（ 2）的条件下，若点 C 坐标为（ 1， 0），过点 C 的直线 l 与 E 相交于 A、 B 两点，求 积的最大值 【考点】 直线和圆的方程的应用 【分析】 （ 1）通过连结 用中垂线的性质及椭圆的定义即得结论； （ 2）证明：设 P（ 可得 3（ 3 直线 方程为：y= 令 y=0，得 ， | |=4（定值）； （ 3）当点 C 的坐标为（ 1， 0）时，点 D（ 4， 0）， |3， 设直线 l 的方程为 ： x=1， A（ B（ 联立 得（ 3） 69=0 解得： | ， 积 s= | = = ； 【解答】 （ 1）解：连结 Q， Q=N= 圆的定义即得点 Q 的轨迹为以点 M、 F 为焦点，长轴为 4 的椭圆 2a=4，即 a=2，又 焦点为（ 1， 0），即 c=1， b2= 1=3， 故点 Q 的轨迹 C 的方程为： （ 2）证明：设 P（ 直线 方程为： y= 令 y=0，得 ， | | 点 P 是曲线 E 上但不在坐标轴上的任意一点， 即 3（ 3 =4， |否为定值 4 （ 3）当点 C 的坐标为（ 1， 0）时，点 D（ 4， 0）， |3， 设直线 l 的方程为： x=1， A（ B（ 联立 得（ 3） 69=0 解得： | ， 积 s= | = = ； ，根据 在 1， + ）递增 可得 3 m=0，即直线 x= 1 时， 积的最大为 【点评】 本题考查了轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，主要考查运算能力，属于难题 21（ 12 分）（ 2017汕头一模）已知函数 f（ x） = x2+a R （ 1）讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）当 a=4 时，记函数 g（ x） =f（ x） + 方程 g（ x）=0 的两个根， 等差中项， g（ x）为函数 g（ x）的导函数，求证：g（ 0 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可； （ 2）求出函数 g（ x）的导数，问题转化为 = ，令 t= ，即 t （ 0， 1），问题转化为证 =2 ，令 h（ t） = 2，（ 0 t 1），根据函数的单调性证明即可 【解答】 解：（ 1）函数 f（ x）的定义域是（ 0， + ）， 又 f（ x） = 2x= ， a 0 时，在（ 0， + ）上 f（ x）是减函数， a 0 时， f（ x） =0，得： 或 （舍）， 在（ 0， ）上， f（ x） 0， f（ x）是增函数， 在（ ， + ）上， f（ x） 0， f（ x）是减函数； 证明：（ 2） g（ x） =4x2+ g（ x） = 2x+k， 又 x1+ ， 两式相减得： 4（ （ x1+ +k（ =0， k=（ x1+ ， 由 g（ 0 2x0+k 0 0 = ，