2017年广西南宁市高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年广西南宁市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=x|（ x 2）（ x+6） 0， B=x| 3 x 4，则 A B 等于（ ） A（ 3， 2） B（ 3， 2） C（ 2， 4） D（ 2， 4） 2复数 z= 的虚部为（ ） A B 1 C D 3某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取 40 个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分 8 组，分别为 80，82）， 82， 84）， 84， 86）， 86， 88）， 88， 90）， 90， 92）， 92， 94），94， 96，则样本的中位数在（ ） A第 3 组 B第 4 组 C第 5 组 D第 6 组 4已知函数 f（ x） =x ）（ 0）的最小正周期为 ，则函数 f（ x）的图象（ ） A可由函数 g（ x） =图象向左平移 个单位而得 B可由函数 g（ x） =图象向右平移 个单位而得 C可由函数 g（ x） =图象向左平移 个单位而得 D可由函数 g（ x） =图象向右平移 个单位而得 5已知 数列 足： = ，且 ，则 于（ ） A B 23 C 12 D 11 6已知角 的终边过点（ 2 1， a），若 则实数a 等于（ ） A B C D 7执行如图的程序框图，若输入 k 的值为 3，则输出 S 的值为（ ） A 10 B 15 C 18 D 21 8已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F，点 M（ 2 ）是抛物线 C 上一点，圆 M 与 y 轴相切且与线段 交于点 A，若 =2，则 p 等于（ ） A 1 B 2 C 2 D 4 9已知非零向量 、 满足 | |=| +2 |，且 与 的夹角的余弦值为 ，则等于（ ） A B C D 2 10如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 12 B 15 C 18 D 21 11已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左焦点为 F（ c， 0）， M、 上， O 是坐标原点，若四边形 平行四边形，且四边形 双曲线 C 的离心率为（ ） A B 2 C 2 D 2 12已知函 数 f（ x） = 6x 3，设 p， q表示 p， q 二者中较大的一个函数 g（ x） = ） x 2， x+3） 若 m 2，且 m， 2）， （ 0， + ），使得 f（ =g（ 立，则 m 的最小值为（ ） A 5 B 4 C 2 D 3 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13如果实数 x， y 满足约束条件 ，则 z=3x+2y 的最大值为 14在区间 1， 5上任取一个实数 b，则曲线 f（ x） =2x2+点（ 1， f（ 1）处切 线的倾斜角为钝角的概率为 15我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？ ”意思是： “现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？ ”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为 M，现将该金杖截成长度相等的 10 段，记第 i 段的重量为 i=1， 2， ，10），且 48M，则 i= 16在正方体 ， ，点 E 在棱 ，点 F 在棱 平面 平面 ，则三棱锥 接球的表面积为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17（ 12 分）在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 （ 1）求 的值； （ 2）若角 C 为锐角， c= ， ，求 面积 18（ 12 分）某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业， 同时每天派老师轮流值班在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下 2 2 列联表： 非优良 优良 总计 未设立自习室 25 15 40 设立自习室 10 30 40 总计 35 45 80 （ 1）能否在在犯错误的概率不超过 前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效； （ 2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取 5 个成绩，再从这 5 个成绩中随机抽取 2 个，求这 2 个成绩来自同一次月考的概率 下面的临界值 表供参考： P（ 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 19（ 12 分）如图，在四棱锥 A ， 底面 60， （ 1）若 F 是 中点，求证： 平面 （ 2） M、 N 是棱 两个三等分点，求证： 平面 20（ 12 分）已知 c， 0）、 c、 0）分别是椭圆 G： + =1（ 0 b a 3）的左、右焦点，点 P（ 2， ）是椭圆 G 上一点，且 | |a （ 1）求椭圆 G 的方程； （ 2）设直线 l 与椭圆 G 相交于 A、 B 两点，若 ，其中 O 为坐标原点，判断 O 到直线 l 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =x ， m R，且 m 0 （ 1）讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）若 m= 1，求证：函数 F（ x） =x 有且只有一个零点 请考生在第 22、 23 题中任选一题作 答，如果多做，按所做的第一题计分 .选修4标系与参数方程 22（ 10 分）已知曲线 C 的极坐标方程为 =4极点为原点，极轴为 直线 l 的参数方程为 （ t 为参数） （ 1）求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程； （ 2）设曲线 C 与直线 l 相交于 P， Q 两点，以 一条边作曲线 C 的内接矩形，求该矩形的面积 选修 4等式选讲 23设实数 x， y 满足 x+ =1 （ 1）若 |7 y| 2x+3，求 x 的取值范围； （ 2）若 x 0， y 0，求证： 2017 年广西南宁市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 A=x|（ x 2）（ x+6） 0， B=x| 3 x 4，则 A B 等于（ ） A（ 3， 2） B（ 3， 2） C（ 2， 4） D（ 2， 4） 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出关于 A 的解集，从而求出 A 与 B 的交集 【解答】 解： A=x|（ x 2）（ x+6） 0=x|x 6 或 x 2， B=x| 3 x 4， A B=x|2 x 4， 故选： C 【点评】 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键 2复数 z= 的虚部为（ ） A B 1 C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： z= = ， 复数 z= 的虚部为 故选： A 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题 3某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取 40 个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分 8 组 ，分别为 80，82）， 82， 84）， 84， 86）， 86， 88）， 88， 90）， 90， 92）， 92， 94），94， 96，则样本的中位数在（ ） A第 3 组 B第 4 组 C第 5 组 D第 6 组 【考点】 频率分布直方图 【分析】 根据频率分布直方图求出前 4 组的频数为 22，且第四组的频数 8，即可得到答案 【解答】 解：由图可得，前第四组的频率为（ 2= 则其频数为 40 2，且第四组的频数为 40 2=8， 故中位数落 在第 4 组， 故选： B 【点评】 本题是对频率、频数灵活运用的综合考查频率、频数的关系：频率 =频数 数据总和，以及中位数的定义，属于基础题 4已知函数 f（ x） =x ）（ 0）的最小正周期为 ，则函数 f（ x）的图象（ ） A可由函数 g（ x） =图象向左平移 个单位而得 B可由函数 g（ x） =图象向右平移 个单位而得 C可由函数 g（ x） =图象向左平移 个单位而得 D可由函数 g（ x） =图象向右平移 个单位而得 【考点】 余弦函数的图象 【分 析】 根据函数 f（ x）的最小正周期为 ，求出解析式，在利用三角函数的平移变换考查也选项即可 【解答】 解：函数 f（ x） =x ）（ 0）的最小正周期为 ， 即 T= ， =2， 则 f（ x） =2x ）的图象可有函数 g（ x） =图象向右平移 个单位而得 故选： D 【点评】 本题考查了三角函数的解析式的求法和三角函数的平移变换的运用属于基础题 5已知数列 足： = ，且 ，则 于（ ） A B 23 C 12 D 11 【考点】 等比数列的通项 公式 【分析】 数列 足： = ，可得 +1=2（ ），利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】 解： 数列 足： = ， +1=2（ ），即数列 是等比数列，公比为 2 则 =22（ ） =12，解得 1 故选： D 【点评】 本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 6已知角 的终边过点（ 2 1， a），若 则实数a 等于（ ） A B C D 【考点】 任意角的三角函数的定义 【分析】 利用二倍角公式化简，再利用正弦函数的定义，建立方程，即可得出结论 【解答】 解： 2 1= ， 2 ， 角 的终边过点（ 2 1， a）， = ， a= ， 故选 B 【点评】 本题考查正弦函数的定义，考查二倍角公式，属于中档题 7执行如图的程序框图，若输入 k 的值为 3，则输出 S 的值为（ ） A 10 B 15 C 18 D 21 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 n， S 的值，当 n=5， S=15时，不满足条件 S 5，退出循环，输出 S 的值为 15，即可得解 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 k=3， n=1， S=1 满足条件 S 行循环体， n=2， S=3 满足条件 S 行循环体， n=3， S=6 满足条件 S 行循环体， n=4， S=10 满足条件 S 行循环体， n=5， S=15 此时，不满足条件 S 5，退出循环，输出 S 的值为 15 故选： B 【点评】 本题主要考查了循环结构的程序框图， 正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题 8已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F，点 M（ 2 ）是抛物线 C 上一点，圆 M 与 y 轴相切且与线段 交于点 A，若 =2，则 p 等于（ ） A 1 B 2 C 2 D 4 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设 M 到准线的距离为 |则 |利用 =2，得 x0=p，即可得出结论 【解答】 解：设 M 到准线的距离为 |则 | =2， x0=p， 2， p 0， p=2 故选 B 【点评 】 本题考查抛物线定义的运用，考查学生的计算能力，比较基础 9已知非零向量 、 满足 | |=| +2 |，且 与 的夹角的余弦值为 ，则等于（ ） A B C D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由向量的平方即为模的平方可得 = 2，再由向量的夹角公式：， = ，化简即可得到所求值 【解答】 解：非零向量 、 满足 | |=| +2 |， 即有（ ） 2=（ +2 ） 2， 即为 2+ 2 2 = 2+4 +4 2， 化为 = 2， 由 与 的夹角的余弦值为 ， 可得 ， = = = ， 化简可得 =2 故选： D 【点评】 本题考查向量的数量积的夹角公式，以及向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题 10如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 12 B 15 C 18 D 21 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为 4， 3， 3 的长方体，切去一半得到的，进而得到答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为 4， 3， 3的长方体， 切去一半得到的，其直观图如下所示： 其体积为： 4 3 3=18， 故选： C 【点评】 本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档 11已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左焦点为 F（ c， 0）， M、 上， O 是坐标原点，若四边形 平行四边形，且四边形 双曲线 C 的离心率为（ ） A B 2 C 2 D 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 M（ 0，由四边形 平行四 边形，四边形 ，丨 = b，代入双曲线方程，由离心率公式，即可求得双曲线 C 的离心率 【解答】 解：双曲线 C： =1（ a 0， b 0）焦点在 x 轴上， 设 M（ 0，由四边形 平行四边形， ， 四边形 面积为 丨 c= 丨 = b， M（ ， b）， 代入双曲线可得： =1，整理得： ， 由 e= ， 2，由 e 1，解得： e=2 ， 故选 D 【点评】 本题考查双曲线的标准方程，考 查双曲线的离心率公式，考查计算能力，属于中档题 12已知函数 f（ x） = 6x 3，设 p， q表示 p， q 二者中较大的一个函数 g（ x） = ） x 2， x+3） 若 m 2，且 m， 2）， （ 0， + ），使得 f（ =g（ 立，则 m 的最小值为（ ） A 5 B 4 C 2 D 3 【考点】 函数的图象 【分析】 求出 g（ x），作函数 y=f（ x）的图象，如图所示， f（ x） =2 时，方程两根分别为 5 和 1，即可得出结论 【解答】 解：由题意 ， g（ x） = ， g（ x） g（ 1） =2， f（ x） =（ x 3） 2+6 6， 作函数 y=f（ x）的图象，如图所示， f（ x） =2 时，方程两根分别为 5 和 1，则 m 的最小值为 5 故选 A 【点评】 本题主要考查了函数的等价转化思想，数形结合的数学思想，以及函数求值域的方法，属中等题 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13如果实数 x， y 满足约束条件 ，则 z=3x+2y 的最大值为 7 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ 1， 2）， 化目标函数 z=3x+2y 为 y= ，由图可知，当直线 y= 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 7 故答案为： 7 【点评】 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 14在区间 1， 5上任取一个实数 b，则曲线 f（ x） =2x2+点（ 1， f（ 1）处切线的倾斜角为钝角的概率为 【考点】 几何概型 【分析】 利用曲线 f（ x） =2x2+点（ 1， f（ 1）处切线的倾斜角为钝角，求出 b 的范围，以长度为测度，即可求出所求概率 【解答】 解： f（ x） =2x2+ f（ x） =34x+b， f（ 1） =b 1 0， b 1 由几何概型，可得所求概率为 = 故答案为 【点评】 本题考查概率的计算，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题 15我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？ ”意思是： “现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？ ”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为 M，现将该金杖截成长度相等的 10 段，记第 i 段的重量为 i=1， 2， ，10），且 48M，则 i= 6 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为 设公差为 d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出 d 值，由等差数列的前 n 项和公式求出该金杖的总重量 M，代入已知的式子化简求出 i 的 值 【解答】 解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列， 记为 设公差为 d， 则 ，解得 ， d= ， 所以该金杖的总重量 M= =15， 因为 48M，所以 48 +（ i 1） =25， 即 39+6i=75，解得 i=6， 故答案为： 6 【点评】 本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式的实际应用，以及方程思想，考查化简、计算能力 16在正方体 ， ，点 E 在棱 ，点 F 在棱 平面 平面 ，则三棱锥 接球的表面积为 19 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 根据平面 平面 到 E=1，再求出三棱锥 题得以解决 【解答】 解：当 E=1 时，可得 又 ， 平面 平面 三棱锥 接球的直径为 = ， 其表面积为（ ） 2=19， 故答案为： 19 【点评】 本题主要考查了正方体和三棱锥的几何体的性质以及球的表面积公式，属于基础题 三、解答题（共 5 小 题，满分 60 分） 17（ 12 分）（ 2017南宁一模）在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a，b， c，且 （ 1）求 的值； （ 2）若角 C 为锐角， c= ， ，求 面积 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）由 用余弦定理可得 =3简即可得出 （ 2）由角 C 为锐角， ，可得 利用余弦定理可得=a2+2，与 a=2b 联立解得 b， a，即可得出 【解答】 解：（ 1） =3为： a=2b，因此 =2 （ 2） 角 C 为锐角， ， = =a2+2，化为： 323，又 a=2b， 联立解得 ， S = =2 【点评】 本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017南宁一模）某中学是走读中学，为了让学生更有效率利用下午放学后的时间，学校在本学期第一次 月考后设立了多间自习室，以便让学生在自习室自主学习、完成作业，同时每天派老师轮流值班在本学期第二次月考后，高一某班数学老师统计了两次考试该班数学成绩优良人数和非优良人数，得到如下 2 2 列联表： 非优良 优良 总计 未设立自习室 25 15 40 设立自习室 10 30 40 总计 35 45 80 （ 1）能否在在犯错误的概率不超过 前提下认为设立自习室对提高学生成绩有效； （ 2）从该班第一次月考的数学优良成绩中和第二次月考的数学非优良成绩中，按分层抽样随机抽取 5 个成绩，再从这 5 个成绩中 随机抽取 2 个，求这 2 个成绩来自同一次月考的概率 下面的临界值表供参考： P（ 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 【考点】 独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）由 2 2 列联表，计算 照临界值表得出结论； （ 2）根据分层抽样比例求出所抽取的 5 个成绩， 利用列举法计算基本事件 数、计算对应的概率值 【解答】 解：（ 1）由 2 2 列联表，计算 观测值为 k= = 对照临界值表，得出能在犯错误的概率不超过 前提下， 认为设立自习室对提高学生成绩有效； （ 2）根据分层抽样原理， 从第一次月考数学优良成绩中抽取 5=3 个，记为 A、 B、 C； 从第二次月考数学优良成绩中抽取 5=2 个，记为 d、 e； 则从这 5 个成绩中抽取 2 个，基本事件是 10 个， 其中抽取的 2 个成绩均来自同一次月考的基本事件有 4 个， 故所求的概率为 P= = 【点评】 本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题 19（ 12 分）（ 2017南宁一模）如图，在四棱锥 A ， 底面 D 60， （ 1）若 F 是 中点，求证： 平面 （ 2） M、 N 是棱 两个三等分点，求证： 平面 【考点】 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 中点 G，连接 明平面 平面 可证明： 平面 （ 2） M、 N 是棱 两个三等分点，证明 可证明：平面 【解答】 证明：（ 1）取 中点 G，连接 F 是 中点， E， E， G 到直线 距离相等，则 ， 平面 平面 平面 平面 （ 2） 60， M、 N 是棱 两 个三等分点， E， N， 0， 正三角形，即 0， 0， ， 0， 0， 平面 ， 平面 【点评】 本题考查面面平行、线面平行的判定，考查线面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 20（ 12 分）（ 2017南宁一模）已知 c， 0）、 c、 0）分别 是椭圆 G：+ =1（ 0 b a 3）的左、右焦点，点 P（ 2， ）是椭圆 G 上一点，且| |a （ 1）求椭圆 G 的方程； （ 2）设直线 l 与椭圆 G 相交于 A、 B 两点，若 ，其中 O 为坐标原点，判断 O 到直线 l 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）根据椭圆的定义，求得丨 = a=3|根据点到直线的距离公式，即可求得 c 的值，则求得 a 的值， b2=，即可求得椭圆方程； （ 2）当直线 l x 轴，将直线 x=m 代入椭圆方 程，求得 A 和 B 点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得 m 的值，求得 O 到直线 l 的距离；当直线 斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得 O 到直线 l 的距离为定值 【解答】 解：（ 1）由椭圆的定义可知： |2a由 | |a 丨 = a=3| 则 =3 ，化简得： 5c+6=0， 由 c a 3， c=2， 则丨 =3 = a，则 a=2 ， b2=， 椭圆的标准方程为： ； （ 2）由题意可知，直线 l 不过原点，设 A（ B（ 当直线 l x 轴，直线 l 的方程 x=m，（ m 0），且 2 m 2 ， 则 x1=m， ， x2=m， ， 由 ， ，即 4 ） =0， 解得： m= ， 故直线 l 的方程为 x= ， 原点 O 到直线 l 的距离 d= ， 当直线 斜率存在时，设直线 方程为 y=kx+n， 则 ，消去 y 整理得：（ 1+28=0， x1+ ， ， 则 n）（ n） =x1+， 由 ， ，故 + =0， 整理得： 388=0，即 3， 则原点 O 到直线 l 的距离 d= ， ） 2= = ， 将 代入 ，则 = ， d= ， 综上可知：点 O 到直线 l 的距离为定值 【点评】 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题 21（ 12 分）（ 2017南宁一模）已知函数 f（ x） =x ， m R，且 m 0 （ 1）讨论函数 f（ x）的单调性； （ 2）若 m= 1，求证：函数 F（ x） =x 有且只有一个零点 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理 【分析】 （ 1）求出原函数的导函数，然后分 m 0 和 m 0 两种情况讨论原函数的单调性； （ 2）把 m= 1 代入函数解析式，求出导函数 F（ x） = ，设 h（ x） =1+用导数可得 h（ x） =1+（ 0， + ）上为增函数，结合 h（ 1）=0，可得 F（ 1） =0 且 F（ x）有唯一的零 点 1从而得到 0 x 1 时， F（ x） 0， x 1 时， F（ x） 0可得 F（ x）在（ 0， 1）上为减函数，在（ 1， + ）上为增函数，结合 F（ x）的最小值为 F（ 1） =0 可知函数 F（ x） =x 有且只有一个零点 【解答】 （ 1）解： f（ x） =1 = ， x 0， 当 m 0 时， f（ x） 0，则 f（ x）在（ 0， + ）上单调递增； 当 m 0 时，由 f（ x） 0，解得 x ，由 f（ x） 0，得 0 x f（ x）在区间（ 0， ）上单调递减，在（ ， + ）上单调递增； （ 2）证明：由已知， F（ x） =x ，则 F（ x） = ， 设 h（ x） =1+ h（ x） =2x+ 0（ x 0）， 故 h（ x） =1+（ 0， + ）上为增函数， 又由于 h（ 1） =0，因此 F（ 1） =0