湖南省十三校联考2017年高考数学一模试卷（文）含答案解析

2017 年湖南省衡阳十三校重点中学联考高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 U=A B=1， 2， 3， 4， 5， A （ =1， 2，则集合 B=（ ） A 2， 4， 5 B 3， 4， 5 C 4， 5 D（ 2， 4） 2复数 z=（ 1 i） 2+ （ i 为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3设 p： 2x 1， q： x（ x+1） 0， 则 p 是 q 成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4设 x R，向量 =（ x， 1）， =（ 4， 2），且 ，则 | |=（ ） A B 5 C D 5实数 x， y 满足不等式组 ，则 2x y 的最大值为（ ） A B 1 C 2 D 4 6九章算术 商功中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为 “堑堵 ”，已知某“堑堵 ”的三视图如图所示，则该 “堑堵 ”的侧面积为（ ） A 4 B 6+4 C 4+4 D 2 7如图给出的是计算 1+ + + + 的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ） A i 1009 B i 1009 C i 1010 D i 1010 8函数 f（ x） =x|在 2， 2上的图象大致为（ ） A B C D 9某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该民企 2016 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（参考数据： ） A 2017 年 B 2018 年 C 2019 年 D 2020 年 10在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a=4 ， b=5， ，则向量 在 方向上的投影为（ ） A B C D 11将函数 f（ x） =图象向左平移 个单位，再向上平移 2 个单位，得到 g（ x）的图象若 g（ g（ =9，且 2， 2，则 |最大值为（ ） A B 2 C 3 D 4 12抛物线 p 0）的焦点与双曲线 的右焦点的连线在第一象限内与 于点 M，若 点 M 处的切线平行于 一条渐近线，则 p=（ ） A B C D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 13在 1， 1上随机地取一个数 k，则事件 “直线 y=圆（ x 5） 2+ 相交 ”发生的概率为 14某校高三文科班 150 名男生在 “学生体质健康 50 米跑 ”单项测试中，成绩全部介于 6 秒与 11 秒之间现将测试结果分成五组：第一组 6， 7；第二组（ 7，8， ，第五组（ 10， 11如 图是按上述分组方法得到的频率分布直方图按国家标准，高三男生 50 米跑成绩小于或等于 7 秒认定为优秀，若已知第四组共48 人，则该校文科班男生在这次测试中成绩优秀的人数是 15已知四面体 P 四个顶点都在球 O 的球面上，若 平面 B ， B=2，则球 O 的表面积为 16若函数 f（ x） =区间 ， 上的最小值大于零，则 a 的取值范围是 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（ 12 分）在数列 ，已知 ， ， =3 2 （ ）证明数列 等比数列，并求数列 通项公式； （ ）设 bn=）， 前 n 项和为 证 2 18（ 12 分）如图，在正方形 ，点 E， F 分别是 中点，将 别沿 起，使 A， C 两点重合于 P设 于点 O，过点 P 作 足为 H （ ）求证： 底面 （ ）若四棱锥 P 体积为 12，求正方形 边长 19（ 12 分）空气质量指数（ 称 定量描述空气质量状况的无量纲指数，参与空气质量评价的主要污染物为 六项空气质量按照 小分为六级：一级 0 50 为优；二级 51 100 为良好；三级 101 150 为轻度污染；四级 151 200 为中度污染；五级 201 300 为重度污染；六级 300 为严重污染 某人根据环境监测总站公布的数据记录了某地某月连续 10 天 茎叶图如图所示： （ ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（ 100）的天数；（按这个月总共 30 天计算） （ ）若从样本中的空气质量不佳（ 100）的这些天中，随机地抽取三天深入分析各种污染指标，求这三天的空气质量等级互不相同的概率 20（ 12 分）如图，在平面直角坐标系 ，已知圆 E： y t） 2=t 0， r 0）经过椭圆 C： 的左右焦点 椭圆 C 在第一象限的交点为 A，且 E， A 三点共线 （ ）求圆 E 的方程； （ ）设与直线 行的直线 l 交椭圆 C 于 M， N 两点，求 面积的最大值 21（ 12 分）已知函 数 f（ x） =a|x 1| （ ）当 a=0 时，求 f（ x）的单调区间与极值； （ ）若 f（ x）有两个零点，求实数 a 的取值范围 四、选考题：请考生在第（ 22） -（ 23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 22（ 10 分）在直角坐标系 ，曲线 ，曲线 y 1） 2=1，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （ ）求曲线 极坐标方程； （ ）若射线 l： =（ 0）分别交 A， B 两点，求 的最大值 23已知函数 f（ x） =|x 1|+a|x+2| （ ）当 a=1 时，求不等式 f（ x） 5 的解集； （ ）当 a 1 时，若 f（ x）的图象与 x 轴围成的三角形面积等于 6，求 a 的值 2017 年湖南省衡阳十三校重点中学联考高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 U=A B=1， 2， 3， 4， 5， A （ =1， 2，则集合 B=（ ） A 2， 4， 5 B 3， 4， 5 C 4， 5 D（ 2， 4） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 选由已知得 1， 2 都是 A 中元素，且 1， 2 都不是 B 中元素，由此能求出 B 【解答】 解： 全集 U=A B=1， 2， 3， 4， 5， A （ =1， 2， 1， 2 都是 A 中元素，且 1， 2 都不是 B 中元素， B=3， 4， 5 故选： B 【点评】 本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用 2复数 z=（ 1 i） 2+ （ i 为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第 三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、几何意义即可得出 【解答】 解：复数 z=（ 1 i） 2+ = 2i+ = 2i+1 i=1 3i 在复平面内对应的点（ 1， 3）在第四象限 故选： D 【点评】 本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3设 p： 2x 1， q： x（ x+1） 0，则 p 是 q 成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 利用函数的单调性与不等式的解法化简 p， q，即可判断出结论 【解答】 解： p： 2x 1，解得 x 0 q： x（ x+1） 0，解得 1 x 0 则 p 是 q 成立的必要不充分条件 故选： B 【点评】 本题考查了函数的单调性与不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4设 x R，向量 =（ x， 1）， =（ 4， 2），且 ，则 | |=（ ） A B 5 C D 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 由向量平行，先求出 ，再由平面向量运算法则求出 ，由此能 求出| | 【解答】 解： x R，向量 =（ x， 1）， =（ 4， 2），且 ， = ，解得 x= 2， =（ 2， 1）， =（ 2， 1）， | |= 故选： A 【点评】 本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量运算法则的合理运用 5实数 x， y 满足不等式组 ，则 2x y 的最大值为（ ） A B 1 C 2 D 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 k 的几何意义，进行平移，结合图象得到 k=2x y 的最大值 【解答】 解： 作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 令 k=2x y 得 y=2x k， 平移直线 y=2x k， 由图象可知当直线 y=2x k 经过点 A 时，直线 y=2x k 的截距最小，由，可得 A（ 3， 2） 此时 k 最大将 A（ 3， 2）的坐标代入目标函数 2 3 2=4， 即 2x y 的最大值为 4 故选： D 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法，利用 k 的几何意义是解决本题的关键 6九章算术 商功中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为 “堑堵 ”，已知某“堑堵 ”的三视图如 图所示，则该 “堑堵 ”的侧面积为（ ） A 4 B 6+4 C 4+4 D 2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱侧面积公式，可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱， 底面周长为： 2+2 =2+2 ， 故棱柱的侧面积 S=2 （ 2+2 ） =4+4 ， 故选： C 【点评】 本题考查的知识点是棱柱的侧面积，简单几何体的三视图，难度基础 7如图给出的是计算 1+ + + + 的值的一 个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ） A i 1009 B i 1009 C i 1010 D i 1010 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出 S 的值 【解答】 解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： 第一次循环： S=0+1， i=1， 第二次循环： S=1+ ， i=2， 第三次循环： S=1+ + ， i=3， 依此类推，第 1009 次循环： S=1+ + + + ， i=1010，此时不满足条件，退出循环 其中判断框内应填 入的条件是： i 1009， 故选： A 【点评】 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有： 分支的条件 循环的条件 变量的赋值 变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误 8函数 f（ x） =x|在 2， 2上的图象大致为（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究函数的极值；函数的图象 【分析】 求出函数 f（ x） =（ 0， 2上 导函数，求出极值点的个数，以及 f（ 2）的值，即可判断函数的图象 【解答】 解：函数 f（ x） =x|在 2， 2是偶函数， 则： f（ x） =（ 0， 2可得 f（ x） =2x 2x ，可得方程只有一个解，如图： 可知 f（ x） =（ 0， 2由一个极值点，排除 A， C， f（ 2） =4 3，排除 D 故选： B 【点评】 本题考查函数的图象的判断，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力 9某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入 若该民企 2016 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（参考数据： ） A 2017 年 B 2018 年 C 2019 年 D 2020 年 【考点】 对数的运算性质 【分析】 设该民企全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是第 n 年，则130 （ 1+12%） n 2016 200，进而得出 【解答】 解：设该民企全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年 份是第 n 年，则 130 （ 1+12%） n 2016 200， 则 n 2016+ = 取 n=2020 故选： D 【点评】 本题考查了对数的运算性质、对数函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 10在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a=4 ， b=5， ，则向量 在 方向上的投影为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据 得出 A 为钝角， ，利用正弦定理求出 B，再利 用余弦定理求出 c，根据向量投影的定义写出运算结果即可 【解答】 解： ， a=4 ， b=5， ， A 为钝角，且 ， = = = ， 由题知 A B，故 B= ； a2=b2+2 （ 4 ） 2=52+25c（ ）， 解得 c=1 或 c= 7（舍去）， 向量 在 方向上的投影为： | |1 = 故选： B 【点评】 本题考查了平面向量的数量积与正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目 11将函数 f（ x） =图象向左平移 个单位，再向上平移 2 个单位，得到 g（ x）的图象若 g（ g（ =9，且 2， 2，则 |最大值为（ ） A B 2 C 3 D 4 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【分析】 利用函数 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的特征，得出结论 【解答】 解：将函数 f（ x） =图象向左平移 个单位，再向上平移 2 个单位，得到 g（ x） =x+ ） +2=2x+ ） +2 的图象， 若 g（ g（ =9，则 g（ =g（ =3 2， 2， 2x+ ， ， 2= +2= +2k， n Z 故当 2= ， 2= 时， |得最大值为 3， 故选： C 【点评】 本题主要考查函数 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的特征，属于中档题 12抛物线 p 0）的焦点与双曲线 的右焦点的连线在第一象限内与 于点 M，若 点 M 处的切线平行于 一条渐近线，则 p=（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出 x 取直线与抛物线交点 M 的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与 p 的关系，把 M 点的坐标代入直线方程即可求得 p 的值 【解答】 解：由抛物线 p 0），可得焦点坐标为 F（ 0， ） 由双曲线 得 a= ， b=1， c=2 所以双曲线的右焦点为（ 2， 0） 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线 所在直线方程为 y 2p=0 设该直线交抛物线于 M（ ），则 C 在点 M 处的切线的斜率为 由题意可知 = ，得 p，代入 M 点得 M（ p， p） 把 M 点代入 得： p p+4 p 2p=0 解得 p= 故选： D 【点评】 本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分 13在 1， 1上随机地取一个数 k，则事件 “直线 y=圆（ x 5） 2+ 相交 ”发生的概率为 【考点】 几何概型 【分析】 利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的 k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求 【解答】 解：圆（ x 5） 2+ 的圆心为（ 5， 0），半径为 3 圆心到直线 y=距离为 ， 要使直线 y=圆（ x 5） 2+ 相交，则 3，解得 k 在区间 1， 1上随机取一个数 k，使直线 y=圆（ x 5） 2+ 相交相交的概率为 = 故答案为： 【点评】 本题主要考查了几何概型的概率，以及直 线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题 14某校高三文科班 150 名男生在 “学生体质健康 50 米跑 ”单项测试中，成绩全部介于 6 秒与 11 秒之间现将测试结果分成五组：第一组 6， 7；第二组（ 7，8， ，第五组（ 10， 11如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图按国家标准，高三男生 50 米跑成绩小于或等于 7 秒认定为优秀，若已知第四组共48 人，则该校文科班男生在这次测试中成绩优秀的人数是 9 【考点】 频率分布直方图 【分析】 求出第四组的频率，再计算这次测试中 成绩小于或等于 7 秒的频率和频数即可 【解答】 解：由频率分布直方图得，第四组的频率为 = 在这次测试中成绩小于或等于 7 秒（优秀）的频率是 1 以优秀人数是 150 人 故答案为： 9 【点评】 本题主要考查了频率分布直方图和频率、频数的计算问题，是基础题 15已知四面体 P 四个顶点都在球 O 的球面上，若 平面 B ， B=2，则球 O 的表面积为 16 【考点】 球的体积和表面积 【分 析】 由题意将四面体 P 在对应的长方体中，根据长方体与外接球的直径之间关系，可求出球的半径，代入球的表面积公式求出答案 【解答】 解：由题意知， 平面 且 ， ， B=2， 如图所示构造长方体： 则长方体的外接球和四面体的外接球是相同的， 即长方体的体对角线等于球的直径 2R， 所以 2R= =4，则 R=2， 则球 O 的表面积 S=4 4=16， 故答案为： 16 【点评】 本题考查空间几何体的外接球问题，利用四面体构造长方体是解题的关键，利用长方体 的体对角线等于球的直径是本题的突破点 16若函数 f（ x） =区间 ， 上的最小值大于零，则 a 的取值范围是 （ ， 1） （ 2， + ） 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 将函数化简只有一个函数名，转化为二次函数问题，利用三角函数的有界限，求解即可 【解答】 解：函数 f（ x） =简可得： f（ x） =1 2 x ， 上， ， 1， 令 t，（ ） 函数 f（ x）转化为 g（ t） = 2t2+，（ ）上的最小值大于零 其对称轴 t= ， 当 时， g（ ）最小为 由题意： ，可得： a 1， a 4 当 时， g（ 1）最小为 1 a 由题意： 1 a 0，可得： 1 a a 1 当 ，其最小为 或 1 a 即 2 a 4，与 a 1 或 1 a 2 a 4， 综上可得 a 的取值范围是（ ， 1） （ 2， + ） 【点评】 本题考查了三角函数与二次函数的结合，利用二次函数的性质，讨论在其范围内的最值问题属于难题 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （ 12 分）（ 2017衡阳一模）在数列 ，已知 ， ， =3 2 （ ）证明数列 等比数列，并求数列 通项公式； （ ）设 bn=）， 前 n 项和为 证 2 【考点】 数列与不等式的综合；等比数列的性质 【分析】 （ ）由 =3 2： =2（ 结合 ， ，即 ，可得： 首项为 2，公比为 2 的等比数列，进而利用叠加法可得 数列 通项公式； （ ）设 bn=） =n，则 ，利用裂项相消法，可得 =2 2 【解答】 证明：（ ）由 =3 2： =2（ 又 ， ，即 ， 所以， 首项为 2，公比为 2 的等比数列 2n 1=2n， an= +（ + +（ 1） =1+2+22+ +2n 1= =2n 1； （ 7 分） （ ） bn=） =n， （ 8 分） ， （ 9 分） ， 所以 =2 2 （ 14 分） 【点评】 本题考查数列的概念及简单表示法，考查等比关系的确定及等比数列的求和，考查转化与分析推理能力，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017衡阳一模）如图，在正方形 ，点 E， F 分别是 C 的中点，将 别沿 起，使 A， C 两点重合于 P设 于点 O，过点 P 作 足为 H （ ）求证： 底面 （ ）若四棱锥 P 体积为 12，求正方形 边长 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）推导出 平面 而平面 面 此能证明 底面 （ ）设正方形 边长为 x，推导出 而 ，由四棱锥 P 体积为 12，求出正方形 边长为 6 【解答】 证明：（ ）由正方形 ， 0， 点 E， F 分别是 中点将 别沿 起，使 A， C 两点重合于 P ， 面 平面 又 面 ， 平面 又 面 平面 平面 平面 平面 D，过点 P 作 足为 H， 底面 解：（ ）设正方形 边长为 x， 则 PD=x， F= ， ， F= ， ， 0， = = x， = x， ， = = ， 四棱锥 P 体积为 12， = = =12， 解得 x=6 正方形 边长为 6 【点评】 本题考查线面垂直的证明，考查正方形边长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养 19（ 12 分）（ 2017衡阳一模）空气质量指数（ 称 定量描述空气质量状况的无量纲指数，参与空气质量评价的主要污染物为六项 空气质量按照 小分为六级：一级 0 50 为优；二级 51 100 为良好；三级 101 150 为轻度污染；四级 151200 为中度污染；五级 201 300 为重度污染；六级 300 为严重污染 某人根据环境监测总站公布的数据记录了某地某月连续 10 天 茎叶图如图所示： （ ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（ 100）的天数；（按这个月总共 30 天计算） （ ）若从样本中的空气质量不佳（ 100）的这些天中，随机地抽取三天深入分析各种污染指标，求这三天的空气质量等级互不相同的概率 【考点 】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ ）由茎叶图可得样本中空气质量优良的天数，可得概率，用总天数乘以概率可得； （ ）该样本中轻度污染共 3 天，中度污染为 1 天，重度污染为 1 天，求出基本事件的个数，由概率公式可得的 【解答】 解：（ ）由茎叶图可发现样本中空气质量优的天数为 1， 空气质量为良的天数为 4，故空气质量优良的概率为 = ， 故利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数为 30 =15； （ ）该样本中轻度污染共 3 天，中度污染为 1 天，重度污染为 1 天，则从中随机抽取 3 天的所有 可能结果为 =10 个，其中空气质量等级恰好不同有 3 个， 该两天的空气质量等级恰好不同的概率 P= 【点评】 本题考查计算基本事件数及发生的概率，涉及茎叶图的知识，属基础题 20（ 12 分）（ 2017衡阳一模）如图，在平面直角坐标系 ，已知圆 E： y t） 2=t 0， r 0）经过椭圆 C： 的左右焦点 椭圆 C 在第一象限的交点为 A，且 E， A 三点共线 （ ）求圆 E 的方程； （ ）设与直线 行的直线 l 交椭圆 C 于 M， N 两点，求 面积的最大值 【考点】 直线与 椭圆的位置关系 【分析】 （ ）由三角形的中位线定理，求得丨 ，再由椭圆的定义，丨 =2a丨 ，根据勾股定理即可求得 t 的值，由 半径，即可求得r 的值，求得圆 E 的方程； （ ）设直线 l 的方程为 y= +m，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式和基本不等式的性质，即可求得 面积的最大值 【解答】 解：（ ）椭圆 C： ，长轴长 2a=4，短轴长 2b=2 ，焦距2c=2 因为 E， A 三点共线，则 圆 E 的直径， 圆 E 上， 则 以 三角 位线 ， 由 E（ 0， t），则丨 =2t， 则丨 =2a丨 =4 2t， 由勾股定理可知：丨 2=丨 2+ 2，即（ 4 2t） 2=（ 2 ） 2+（ 2t）2， 解得： t= ， 半径 r= = ， 圆 E 的方程 y ） 2= ； （ ）由（ ）知，点 A 的坐标为（ ， 1），所以直线 斜率为 ， 6分 故设直线 l 的方程为 y= +m， 联立 ，得 2=0， 7 分 设 M（ N（ 所以 x1+ m， x1x2=2， =24 0，所以 2 m 2， 8 分 又丨 = 丨 ， = = ， 9 分 因为点 A 到直线 l 的距离 d= ， 10 分 所以 S 丨 d= ， = = ， 当且仅当 4 m2= m= 时等号成立， 面积的最大值 此时直线 l 的方程为 y= x 12 分 【点评】 本题考查椭圆定义的应用，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式及基本不等式的性质，考查计算能力，属于中档题 21（ 12 分）（ 2017衡阳一模）已知函数 f（ x） =a|x 1| （ ）当 a=0 时，求 f（ x）的单调区间与极值； （ ）若 f（ x）有两个零点，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ ）由 f（ x） = f（ x） =1+x 0，由此能求出函数 f（ x）的单调区间和极小值、最小值； （ ）由已知可得： f（ 1） =0，故 1 为函数的一个零点；对 a 进行分类讨论，求出不同情况下，满足条件的 a 值，综合讨论结果，可得答案 【解答】 解：（ ） a=0 时， f（ x） = f（ x） =1+x 0， f（ x） 0 解得 x ， f（ x） 0 解得 0 x ， 函数 f（ x）的减区间为（ 0， ），增区间为（ ， + ）， f（ x）在 x= 取得极小值 （ ）由已知可得： f（ 1） =0，故 1 为函数的一个零点； 若 a=0，则函数仅有一个零点，不满足条件； 若 a 0，则 当 x 1 时， f（ x） =a， f（ x） =+a 0 恒成立，此时函数为增函数，不存在零点， 当 0 x 1 时， f（ x） =ax+a， f（ x） = a，若此时函数存在零点，则 a=0 有解， 即 a= 1 有解，即 0 a 1； 若 a 0，则 当 0 x 1 时， f（ x） =ax+a， f（ x） = a 0 恒成立，此时函数为增函数，不存在零点， x 1 时， f（ x） =a， f（ x） =+a，若此时函数存在零点，则 +a=0有解， 即 a=（ ） 1 有解，即 a 1； 综上可得： 0 a 1，或 a 1 【点评】 本题考查利用导数求函数的单调区间和实数的取值范围的方法，解题时要认真审题，仔细解答，