2017年宁夏中卫市高考数学一模试卷（文科）含答案

2017 年宁夏中卫市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分） 1设全集 U= 1， 2， 3， 4， 0，集合 A= 1， 2， 0， B= 3， 4，0，则（ B=（ ） A 0 B 3， 4 C 1， 2 D 2在复平面内，复数 z= 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3函数 f（ x） =（ 3 ln|x|的大致图象为（ ） A B C D 4圆 x2+x 6y+1=0 关于直线 =0（ a 0， b 0）对称，则 的最小值是（ ） A 2 B C 4 D 5设数列 各项为正数的等比数列， 其前 n 项和，已知 6，=8，则 ） A 40 B 20 C 31 D 43 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 7将函数 y= x R）的图象向左平移 m（ m 0）个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是（ ） A B C D 8已知正六边形 接于圆 O，连接 在往圆 O 内投掷 2000粒小米，则可以估计落在阴影区域内的小米的粒数大致是（ ）（参考数据： = = A 550 B 600 C 650 D 700 9如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”，执行该程序框图，若输入 a， b 分别为 9， 15，则输出的 a=（ ） A 1 B 2 C 3 D 15 10已知定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ 2 x），且 f（ 1） =2，则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f A 1 B 0 C 2 D 2 11已知直线 l 过点 A（ 1， 0）且与 B： x2+2x=0 相切于点 D，以坐标轴为对称轴的双曲线 E 过点 D，一条渐进线平行于 l，则 E 的方程为（ ） A =1 B =1 C D =1 12已知函数 f（ x） = ，对任意的 2， + ）总存在 （ ， 2，使得 f（ =f（ 则实数 m 的取值范围是（ ） A 2， 4） B（ ， 4 C 3， 4） D（ 0， 4） 二 、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知向量 与 的夹角是 ，且 | |=2， | |=3，若（ 2 + ） ，则实数 = 14若 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的最小值为 15在 ，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，若 面积为 16已知数列 前 n 项和为 n，则使得 +50 0 的最小正整数 n 的值为 三、解答题（本大题公共 5 小题，满 分 60 分） 17在 ，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，且 A， B， C 成等差数列， （ 1）若 a=1， b= ，求 （ 2）若 a， b， c 成等差数列，试判断 形状 18如图，在四棱锥 P ， 平面 面 菱形， 0， ， O 为 交点， E 为棱 一点 （ ）证明：平面 平面 （ ）若 平面 三棱锥 P 体积 19 2016 年双十一活动结束后，某地区研究人员为了研究该地区在双十一活 动中消费超过 3000 元的人群的年龄状况，随机在当地消费超过 3000 元的群众中抽取了 500 人作调查，所得频率分布直方图如图所示： 记年龄在 55， 65）， 65， 75）， 75， 85对应的小矩形的面积分别是 （ ）以频率作为概率，若该地区双十一消费超过 3000 元的有 30000 人，试估计该地区在双十一活动中消费超过 3000 元且年龄在 45， 65）的人数； （ ）若按照分层抽样，从年龄在 15， 25）， 65， 75）的人群中共抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人作深入调查 ，求至少有 1 人的年龄在 15， 25）内的概率 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的右焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，已知 | |且 面积为 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）直线 y=2 上是否存在点 M，便得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点 M 的坐标，若不存在，说明理由 21已知函数 （ 1）当 a=0 时，求函数 f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）令 g（ x） =f（ x）（ 1），求函数 g（ x）的极值； （ 3）若 a= 2，正实数 足 f（ +f（ +，证明： 选修 4标系与参数方程 22在直角坐标系 ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 （ ）写出曲线 C 的极坐标方程； （ ）设点 M 的极坐标为（ ， ），过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 A， |选修 4等式选择 23设 f（ x） =|x 1|+|x+1|，（ x R） （ ）解不等式 f（ x） 4； （ ）若存在非零实数 b 使不等式 f（ x） 成立，求负数 x 的最大值 2017 年宁夏中卫市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分） 1设全集 U= 1， 2， 3， 4， 0，集合 A= 1， 2， 0， B= 3， 4，0，则（ B=（ ） A 0 B 3， 4 C 1， 2 D 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 先计算集合 计算（ B 【解答】 解： A= 1， 2， 0， B= 3， 4， 0， 3， 4， （ B= 3， 4 故答案选 B 2在复平面内，复数 z= 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的除法的运算法则化简求解即可 【解答】 解：复数 z= = = ， 复数的对应点为：（ ）在第四象限 故选： D 3函数 f（ x） =（ 3 ln|x|的大致图象为（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值，判断即 可 【解答】 解：函数 f（ x） =（ 3 ln|x|是偶函数，排除 A， D 选项， （ 3 ln|x|=0，当 x 0 时，解得 x=1，或 x= ，是函数 f（ x） =（ 3 ln|x|在 x 0 时的两个零点， 当 x= 时， f（ ） =（ 3（ ） 2） |= 0， 可得选项 B 不正确， 故选： C 4圆 x2+x 6y+1=0 关于直线 =0（ a 0， b 0）对称，则 的最小值是（ ） A 2 B C 4 D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 求出圆的圆心代入直 线方程，然后利用基本不等式求解最值即可 【解答】 解： 圆 x2+x 6y+1=0（ x+1） 2+（ y 3） 2=9， 圆 x2+x 6y+1=0 关于直线 =0（ a 0， b 0）对称， 该直线经过圆心（ 1， 3）， 把圆心（ 1， 3）代入直线 =0（ a 0， b 0），得： a 3b+3=0 a+3b=3， a 0， b 0 + = （ + ）（ a+3b） = （ 10+ + ） ， 当且仅当 = 时取得最小值， 故选： D 5设数列 各项为正数的等比数列， 其前 n 项和，已知 6， =8，则 ） A 40 B 20 C 31 D 43 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 利用等比数列的通项公式及其性质即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q 0， 6， =8， =16， ，解得 q=2， 则 =31 故选： C 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体由上下两部分 组成，上面是一个球的 ，下面是一个半圆柱 【解答】 解：由三视图可知：该几何体由上下两部分组成，上面是一个球的 ，下面是一个半圆柱 该几何体的体积 V= + = 故选： B 7将函数 y= x R）的图象向左平移 m（ m 0）个单位长度后，所得到的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值是（ ） A B C D 【考点】 两角和与差的正弦函数；函数 y=x+）的图象变换 【分析】 函数解析式提取 2 变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用 平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于 y 轴对称，即可求出 m 的最小值 【解答】 解： y= （ =2x+ ）， 图象向左平移 m（ m 0）个单位长度得到 y=2 x+m） + =2x+m+ ）， 所得的图象关于 y 轴对称， m+ =（ k Z）， 则 m 的最小值为 故选 B 8已知正六边形 接于圆 O，连接 在往圆 O 内投掷 2000粒小米，则可以估计落在阴影区域内的小米的粒数大致是（ ）（参考数据： = = A 550 B 600 C 650 D 700 【考点】 模拟方法估计概率 【分析】 以面积为测度，建立方程，即可得出结论 【解答】 解：由题意，落在阴影区域内的小米的粒数大致是 x，则 = ， x 550， 故选 A 9如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的 “更相减损术 ”，执行该程序框图，若输入 a， b 分别为 9， 15，则输出的 a=（ ） A 1 B 2 C 3 D 15 【考点】 程序框图 【分析】 由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当 前的 a， b 的值，即可得到结论 【解答】 解：由 a=9， b=15，不满足 a b， 则 b 变为 15 9=6， 由 b a，则 a 变为 9 6=3， 不满足 a b， 则 b 变为 6 3=3， 由 a=b=3， 则输出的 a=3 故选： C 10已知定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ 2 x），且 f（ 1） =2，则 f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f A 1 B 0 C 2 D 2 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 本题通过赋值法对 f（ 2 x） =f（ x）中的 x 进行赋值为 2+x，可得 f（ x）=f（ 2+x），可得 到函数 f（ x）的周期为 4，根据奇函数的性质得到 f（ 0） =0，再通过赋值法得到 f（ 1）， f（ 2）， f（ 3）， f（ 4）的值，即可求解 【解答】 解： f（ 2 x） =f（ x）， f2（ 2+x） =f（ 2+x），即 f（ x） =f（ 2+x），即 f（ x） =f（ 2+x）， f（ x+4） =f（ 4+x），故函数 f（ x）的周期为 4 定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（ 2 x） f（ x） =0，且 f（ 1） =2， f（ 0） =0， f（ 1） = f（ 1） = 2， f（ 2） =f（ 0） =0， f（ 3） =f（ 1） =2， f（ 4） =f（ 0） =0， f（ 1） +f（ 2） +f（ 3） +f+f（ 2） +f（ 3） +f（ 4） +f+f（ 1） =0+（ 2） = 2， 故选： C 11已知直线 l 过点 A（ 1， 0）且与 B： x2+2x=0 相切于点 D，以坐标轴为对称轴的双曲线 E 过点 D，一条渐进线平行于 l，则 E 的方程为（ ） A =1 B =1 C D =1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设直线 l： y=k（ x+1），求得圆的圆心和半径，运用正弦和圆相切的条件：d=r，求得斜率 k，联立直线和圆方程解得交点，求 出渐近线方程，设出双曲线方程，代入 D 的坐标，解方程即可得到所求方程 【解答】 解：可设直线 l： y=k（ x+1）， B： x2+2x=0 的圆心为（ 1， 0），半径为 1， 由相切的条件可得， d= =1， 解得 k= ， 直线 l 的方程为 y= （ x+1）， 联立 x2+2x=0，解得 x= ， y= ， 即 D（ ， ）， 由题意可得渐近线方程为 y= x， 设双曲线的方程为 x2=m（ m 0）， 代入 D 的坐标，可得 m= = 则双曲线的方程为 =1 故选： D 12已知函数 f（ x） = ，对任意的 2， + ）总存在 （ ， 2，使得 f（ =f（ 则实数 m 的取值范围是（ ） A 2， 4） B（ ， 4 C 3， 4） D（ 0， 4） 【考点】 分段函数的应用 【分析】 分类讨论，利用 x 2 时函数的值域是 x 2 的子集，即可得出结论 【解答】 解：由题意， m 0， x 2， f（ x） 0， x 2， f（ x） 22 m，满足题意， m 0， x 2， f（ x） 22 m， x 2， f（ x） = ， 对任意的 2， + ）总存在 （ ， 2，使得 f（ =f（ 22 m ， m 4， 0 m 4， 综上所述， m 4 故选 B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知向量 与 的夹角是 ，且 | |=2， | |=3，若（ 2 + ） ，则实数 = 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量的数量积的运算和向量垂直的条件即可求出 【解答】 解：向量 与 的夹角是 ，且 | |=2， | |=3，（ 2 + ） ， 则（ 2 + ） =2 + =2 2 3 9=0， 解得 = ， 故答案为： 14若 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+2y 的最小值为 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数以及可行域，判断最值点的位置，然后求解最小值即可 【解答】 解：因为线性约束条件所决定的可行域为非封闭区域且目标函数为线性的， 最值一定在边界点处取得 分别将点 代入目标函数， 求得： ，所以最小值为 2 故答案为： 2 15在 ，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，若 面积为 【考点】 正弦定理；三角函数的化简求值 【分析】 由正弦定理化简已知的式子，结合条件和三角形的面积公式列出方程化简后，得到三边 a、 b、 c 的关系，由余弦定理求出 值 【解答】 解： 由正弦定理得， 面积为 ，则 c=2a， 代入 得， 由余弦定理得， = = ， 故答案为： 16已知数列 前 n 项和为 n，则使得 +50 0 的最小正整数 n 的 值为 5 【考点】 数列的求和 【分析】 由已知利用错位相减法求得数列 前 n，代入 +50 0，求解不等式得答案 【解答】 解：由 n，得 =2n+1， n2n， 则 ， ， 两式作差得： = ， ， 则由 +50 0，得（ n 1） 2n+1+2 n2n+1+50 0， 即 2n+1 52， n+1 5，则 n 4 最小正整数 n 的值为 5 故答案为： 5 三、解答题（本大题公共 5 小题，满分 60 分） 17在 ，角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，且 A， B， C 成等差数列， （ 1）若 a=1， b= ，求 （ 2）若 a， b， c 成等差数列，试判断 形状 【考点】 等差数列的性质 【分析】 （ 1）由三角形内角和定理结合 A， B， C 成等差数列求得 B，再由正弦定理求出 A，则 C 可求，答案可求； （ 2）由 a， b， c 成等差数列，可得 a， b， c 的关系式，再结合余弦定理可得 a=c，则可判断 形状 【解答】 解：（ 1）由 A+B+C=， 2B=A+C，得 B= 由 ，得 ，得 ， 又 0 A B， A= ，则 C= ； （ 2）证明：由 2b=a+c，得 4b2=ac+ 又 b2=a2+ 得 44ac=ac+ 得 3（ a c） 2=0， a=c， A=C，又 A+C= ， A=C=B= ， 等边三角形 18如图，在四棱锥 P ， 平面 面 菱形， 0， ， O 为 交点， E 为棱 一点 （ ）证明：平面 平面 （ ）若 平面 三棱锥 P 体 积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）由已知得 此能证明平面 平面 （ ） 由 已 知 得 取 点 H ， 连 结 由 此 利 用，能求出三棱锥 P 体积 【解答】 （ ）证明： 平面 面 四边形 菱形， 又 ， 平面 而 面 平面 平面 （ ）解： 平面 面 平面 E， O 是 点， E 是 点 取 点 H，连结 四边形 菱形， 0， ， 平面 = = 19 2016 年双十一活动结束后，某地区研究人员为了研究该地区在双十一活动中消费超过 3000 元的人群的年龄状况，随机在当地消费超过 3000 元的群众中抽取了 500 人作调查，所得频率分布直方图如图所示： 记年龄在 55， 65）， 65， 75）， 75， 85对应的小矩形的面积分别是 （ ）以频率作为概率，若该地区双十一消费超过 3000 元的有 30000 人，试估计该地区在双十一活动中消费超过 3000 元且年龄在 45， 65）的人数； （ ）若按照分层抽样，从年龄在 15， 25）， 65， 75）的人群中共抽取 7 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人作深入调查，求至少有 1 人的年龄在 15， 25）内的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ ）由频率分布直方图的性质得（ 10+2+，且 而得到该地区在双十一活动中消费超过 3000元且年龄在 45， 65）的频率，由此该地区在双十一活动中消费超过 3000 元且年龄在 45， 65）的人数 （ ）年龄在 15， 25）， 65， 75）的频率 年龄在 15， 25）， 65，75）的人群中共抽取 7 人，年龄在 15， 25）的人群中抽取 2 人， 65， 75）的人群抽取 5 人，再从这 7 人中随机抽取 2 人作深入调查，基本事件总数 n= =21，至少有 1 人的年龄在 15， 25）内的对立事件是抽取的 2 人的年龄都在 65， 75）内，由此能求出至少有 1 人的年龄在 15， 25）内的概率 【解答】 解：（ ） 记年龄在 55， 65）， 65， 75）， 75， 85对应的小矩形的面积分别是 （ 10+2+， 且 解得 该地区在双十一活动中消费超过 3000 元且年龄在 45， 65）的频率为 0+ 该地区在双十一活动中消费超过 3000 元且 年龄在 45， 65）的人数为： 0000=15000 人 （ ）从年龄在 15， 25）， 65， 75）的频率分别为 10= 从年龄在 15， 25）， 65， 75）的人群中共抽取 7 人， 年龄在 15， 25）的人群中抽取： 7 =2 人， 65， 75）的人群抽取： 7 =5 人， 再从这 7 人中随机抽取 2 人作深入调查，基本事件总数 n= =21， 至少有 1 人的年龄在 15， 25）内的对立事件是抽取的 2 人的年龄都在 65， 75）内， 至少有 1 人的年龄在 15， 25）内的概率 p=1 =1 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的右焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，已知 | |且 面积为 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）直线 y=2 上是否存在点 M，便得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直？若存在，求点 M 的坐标，若不存在，说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）通过椭圆 + =1（ a b 0）的右焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，已知 | |且 面积为 ，建立关于 a， b， c 的方程，解出 a， b，即求出椭圆的标准方程 （ 2）对于存 在性问题，要先假设存在，先设切线 y=k（ x m） +2，与椭圆联立，利用 =0，得出关于斜率 k 的方程，利用两根之积公式 1，求出 Q 点坐标 【解答】 解：（ 1） 椭圆 + =1（ a b 0）的右焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，已知 | |且 面积为 ， = c， = ， a=2， b= ， 椭圆方程为 =1 （ 2）假设直线 y=2 上存在点 Q 满足题意， 设 Q（ m， 2），当 m= 2 时，从 Q 点所引的两条切线不垂直 当 m 2 时，设过点 Q 向椭圆所引的切线的斜率为 k，则 l 的方程 为 y=k（ xm） +2， 代入椭圆方程，消去 y，整理得：（ 1+24k（ 2） x+2（ 2） 2 4=0， =162） 2 4（ 1+22（ 2） 2 4=0， （ 4） 4=0， * 设两条切线的斜率分别为 则 方程（ 4） 4=0 的两个根， = 1， 解得 m= ，点 Q 坐标为（ ， 2），或（ ， 2） 直线 y=2 上两点（ ， 2），（ ， 2）满足题意 21已知函数 （ 1）当 a=0 时 ，求函数 f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）令 g（ x） =f（ x）（ 1），求函数 g（ x）的极值； （ 3）若 a= 2，正实数 足 f（ +f（ +，证明： 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）求出 f（ x）的解析式，求出切点坐标，从而求出切线方程即可； （ 2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性； （ 3）结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论 【解答】 解：（ 1）当 a=0 时， f（ x） =x，则 f（ 1） =1，所以切点 为（ 1， 1）， 又 f（ x） = +1，则切线斜率 k=f（ 1） =2， 故切线方程为： y 1=2（ x 1），即 2x y 1=0； （ 2） g（ x） =f（ x）（ 1） = 1 a） x+1， 所以 g（ x） = 1 a） = ， 当 a 0 时，因为 x 0，所以 g（ x） 0 所以 g（ x）在（ 0， + ）上是递增函数，无极值； 当 a 0 时， g（ x） = ， 令 g（ x） =0，得 x= ， 所以当 x （ 0， ）时， g（ x） 0；当 x （ ， + ）时， g（ x） 0， 因此函数 g（ x）在 x （ 0， ）是增函数，在（ ， + ）是减函数， 当 a 0 时，函数 g（ x）的递增区间是（ 0， ），递减区间是（ ， + ）， x= 时， g（ x）有极大值 g（ ） = 综上，当 a 0 时，函数 g（ x）无极值； 当 a 0 时，函数 g（ x）有极大值 极小值； （ 3）由 0， 0，即 x1+0 令 t=由 0， 0 得， （ t