2017年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷含答案解析

2017 年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1设复数 z=1 i（ i 是虚数单位），则 +z 等于（ ） A 2 B 2 C 2i D 2i 2已知 R，则 “ ”是 “=2， k Z”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3已知 a 为实数，设函数 f（ x） = ，则 f（ 2a+2）的值为（ ） A 2a B a C 2 D a 或 2 4已知实数 x， y 满足 ，若 ax+y 的最大值为 10，则实数 a=（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 5设 等差数列 前 n 项和，若 = ，则 =（ ） A B C D 6已知抛物线 x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线交于 A、 B 两点，若 |5，则 点的横坐标为（ ） A B 2 C D 1 7函数 f（ x） =（ ） x 大致图象是（ ） A B C D 8已知平面向量 、 满足 | |=| |=1， = ，若向量 满足 | + | 1，则 | |的最大值为（ ） A 1 B C D 2 9已知函数 f（ x） =33x+）， x 0， ，则 y=f（ x）的图象与直线 y=2 的交点个数最多有（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 10如图，点 椭圆 左右焦点，椭圆 双曲线 渐近线交于点P， 圆 双曲线 离心率分别为 （ ） A B C D 二、填空题（共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，满分 36 分） 11已知集合 A=x| 1 x 2， B=x|4x 0，则 A B= ， A （ 12某几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的表面积是 积是 13已知随机变量 的分布列如下： 0 1 2 P b 则 E（ ）的最小值为 ，此时 b= 14已知 f（ x） =x 2， g（ x） =2x 5，则不等式 |f（ x） |+|g（ x） | 2 的解集为 ； |f（ 2x） |+|g（ x） |的最小值为 15动点 P 从正方体 顶点 A 出 发，沿着棱运动到顶点 再到 A，若运动中恰好经过 6 条不同的棱，称该路线为 “最佳路线 ”，则 “最佳路线 ”的条数为 （用数字作答） 16已知 a 0， b 0，且满足 3a+b=a2+ 2a+b 的最小值为 17如图，已知三棱锥 A 所有棱长均相等，点 E 满足 =3 ，点 P 在棱运动，设 平面 成角为 ，则 最大值为 三、解答题（共 5 小题，满分 74 分） 18在锐角 ， a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边，若 A 满足 22A+ ） = （ ）求 A 的值； （ ）若 c=3， 面积为 3 ，求 a 的值 19如图，棱柱 ，底面 平行四边形，侧棱 底面， ， （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 A C 的平面角的余弦值 20已知函数 f（ x） =x b， a， b 为实数 （ ）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y=2x+3，求 a， b 的值； （ ）若 |f（ x） | 对 x 2， 3恒成立，求 a 的取值范围 21如图，设斜率为 k（ k 0）的直线 l 与椭圆 C： + =1 交于 A、 B 两点，且 （ ）求直线 l 在 y 轴上的截距（用 k 表示）； （ ）求 积取最大值时直线 l 的方程 22已知数列 足： ， an=12+1（ n 2 且 n N） （ ）求 证明： 2 3 ； （ ）设数列 前 n 项和为 列 的前 n 项和为 明： = 2017 年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1设复数 z=1 i（ i 是虚数单位），则 +z 等于（ ） A 2 B 2 C 2i D 2i 【考点】 复数代数形式的加减运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出 【解答】 解： +z= +1 i= +1 i=1+i+1 i=2 故选： A 2已知 R，则 “ ”是 “=2， k Z”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 ，解得 =2， k Z，即可判断出结论 【解答】 解： ，解得 =2， k Z， “ ”是 “=2， k Z”的必要但充分条件 故选： B 3已知 a 为实数，设函数 f（ x） = ，则 f（ 2a+2）的值为（ ） A 2a B a C 2 D a 或 2 【考点】 函数的值 【分析】 根据函数的解析式求出函数值即可 【解答】 解： 函数 f（ x） = ， f（ 2a+2） =2a+2 2） =a， 故选： B 4已知实数 x， y 满足 ，若 ax+y 的最大值为 10，则实数 a=（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，判断最优解的位置，将点的坐标代入求出 【解答】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： 由 ，解得 A（ 3， 4）， 令 z=ax+y，因为 z 的最大值为 10， 所以直线在 y 轴上的截距的最大值为 10，即直线过（ 0， 10）， 所以 z=ax+y 与可行域有交点， 当 a 0 时， 直线经过 A 时 z 取得最大值 即 ax+y=10，将 A（ 3， 4）代入得： 3a+4=10，解得： a=2， 当 a 0 时， 直线经过 A 时 z 取得最大值 即 ax+y=10，将 A（ 3， 4）代入得： 3a+4=10，解得： a=2，与 a 0 矛盾， 综上： a=2 5设 等差数列 前 n 项和，若 = ，则 =（ ） A B C D 【考点】 等差数列的性质 【分析】 利用 = ，可得 d=可求出 【解答】 解：设公差为 d，则 = ， d= = = ， 故选 A 6已知抛物线 x 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线交于 A、 B 两点，若 |5，则 点的横坐标为（ ） A B 2 C D 1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 先根据抛物线方程求出 p 的值，再由抛物线的性质可得到答案 【解答】 解： 抛物线 x， P=2， 设经过点 F 的直线与抛物线相交于 A、 B 两点， 其横坐标分别为 用抛物线定义， 点横坐标为 （ x1+= （ | P） = （ 5 2） = 故选： C 7函数 f（ x） =（ ） x 大致图象是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 利用排除法，即可得出结论 【解答】 解： 由题意， x=0， f（ 0） =1，排除 B， x= 2， f（ 2） =0，排除 A， x ， f（ x） + ，排除 C， 故选 D 8已知平面向量 、 满足 | |=| |=1， = ，若向量 满足 | + | 1，则 | |的最大值为（ ） A 1 B C D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 通过向量的数量积的定义，设出向量的坐标，利用向量的坐标运算和向量的模的公式及几何意义，结合圆的方程即可得出最大值为圆的直径 【解答】 解：由平面向量 、 满足 | |=| |=1， = ， 可得 | | |， =11， = ， 由 0 ， ，可得 ， = ， 设 =（ 1， 0）， =（ ， ）， =（ x， y）， 则 | + | 1，即有 |（ +x， y ） | 1， 即为（ x+ ） 2+（ y ） 2 1， 故 | + | 1 的几何意义是在以（ ， ）为圆心，半径等于 1 的圆上 和圆内部分， | |的几何意义是表示向量 的终点与原点的距离，而原点在圆上， 则最大值为圆的直径，即为 2 故选： D 9已知函数 f（ x） =33x+）， x 0， ，则 y=f（ x）的图象与直线 y=2 的交点个数最多有（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 【考点】 三角函数的最值 【分析】 令 f（ x） =2，得 3x+） = ，根据 x 0， ，求出 3x+ 的取值范围，根据正弦函数的图象与性质，可得出函数 y=f（ x）的图象与直线 y=2 的交点最多有 4 个 【解答】 解：令 f（ x） =33x+） =2， 得 3x+） = （ 1， 1）， 又 x 0， ， 3x 0， 3， 3x+ ， 3+； 根据正弦函数的图象与性质，可得 该 方程在正弦函数一个半周期上最多有 4 个解， 即函数 y=f（ x）的图象与直线 y=2 的交点最多有 4 个 故选： C 10如图，点 椭圆 左右焦点，椭圆 双曲线 渐近线交于点P， 圆 双曲线 离心率分别为 （ ） A B C D 【考点】 圆锥曲线的综合 【分析】 设椭圆及双曲线方程，由曲线共焦点，则 得双曲线的渐近线方程，代入椭圆方程，求得 P 点坐标，由直角 三角形的性质，即可求得丨 =c，利用勾股定理及椭圆及双曲线的性质即可求得答案 【解答】 解：设椭圆的方程为： ，双曲线的方程为： ， P（ x，y）， 由题意可知： 双曲线的渐近线方程： y= x， 将渐近线方程代入椭圆方程：解得： ， ， 由 丨 = 丨 =c， x2+y2= 代入整理得： 两边同除以 椭圆及双曲线的离心率公式可知： ， ， 整理得： ， 故选 D 二、填空题（共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，满分 36 分） 11已知集合 A=x| 1 x 2， B=x|4x 0，则 A B= x| 1 x 4 ，A （ = x| 1 x 0 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 先求出集合 A， B，再求出 此能求出 A B 和 A （ 【解答】 解： 集合 A=x| 1 x 2， B=x|4x 0=x|0 x 4， x|x 0 或 x 4， A B=x| 1 x 4， A （ =x| 1 x 0 故答案为： x| 1 x 4， x| 1 x 0 12某几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的表面积是 76 积是 40 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图得该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由梯形的面积公式、柱体的体积公式求出该几何体的体积，由四棱柱的各个面的长度求出几何体的表面积 【解答】 解：根据几何体的三视图得：该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱， 其底面是正视图中的直角梯形，上底为 1底为 4为 4 由侧视图知四棱柱的高为 4 所以该几何体的体积 V= =40（ 由正视图可知直角梯形斜腰是 5， 则该几何体的表面积 S 表面积 =2 +（ 1+4+4+5） 4=76（ 故答案为： 76， 40 13已知随机变量 的分布列如下： 0 1 2 P b 则 E（ ）的最小值为 ，此时 b= 【考点】 离散型随机变量的期望与方差 【分析】 由题意可得： b+=1，即 b+= ， b 0， 1， a 1， 1 E（ ） =0+（ ） =a+1= + ，利用二次函数的单调性即可得出 【解答】 解：由题意可得： b+=1，即 b+= ， b 0， 1， a 1，1 E（ ） =0+（ ） =a+1= + ，当且仅当 a= 时取等号，此时 b= 故答案为： ， 14已知 f（ x） =x 2， g（ x） =2x 5，则不等式 |f（ x） |+|g（ x） | 2 的解集为 ， 3 ； |f（ 2x） |+|g（ x） |的最小值为 1 【考点】 绝对值不等式的 解法 【分析】 通过讨论 x 的范围，求出不等式 |f（ x） |+|g（ x） | 2 的解集即可；根据绝对值的性质求出 |f（ 2x） |+|g（ x） |的最小值即可 【解答】 解： f（ x） =x 2， g（ x） =2x 5， |f（ x） |+|g（ x） | 2， 即 |x 2|+|2x 5| 2， x 时， x 2+2x 5 2，解得： x 3， 2 x 时， x 2+5 2x 2，解得： x 1， x 2 时， 2 x+5 2x 2，解得： x ， 综上，不等式的解集是 ， 3； |f（ 2x） |+|g（ x） |=|2x 4|+|2x 5| |2x 4 2x+5|=1， 故 |f（ 2x） |+|g（ x） |的最小值是 1， 故答案为： ， 3， 1 15动点 P 从正方体 顶点 A 出发，沿着棱运动到顶点 再到 A，若运动中恰好经过 6 条不同的棱，称该路线为 “最佳路线 ”，则 “最佳路线 ”的条数为 18 （用数字作答） 【考点】 排列、组合的实际应用；棱柱的结构特征 【分析】 根据分步计数和分类计数原理即可求出答案 【解答】 解：从 A 点出发有 3 种方法，（ B， D），假如选择了 有 2 种选法（ 从 发，若选择了（ 则只有一种方法到A，若选择了 C，则有 2 种方法到 A， 故 “最佳路线 ”的条数为 1+2） =18 种， 故答案为： 18 16已知 a 0， b 0，且满足 3a+b=a2+ 2a+b 的最小值为 3+2 【考点】 基本不等式 【分析】 由 a 0， b 0，且满足 3a+b=a2+得 b= 0，解得 1 a 3则2a+b=2a+ =a 1+ +3，利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解：由 a 0， b 0，且满足 3a+b=a2+ b= 0，解得 1 a 3 则 2a+b=2a+ =a 1+ +3 2 +3=2 +3，当且仅当 a=1+ ，b=1 时取等号 故答案为： 3+2 17如图，已知三棱锥 A 所有棱长均相等，点 E 满足 =3 ，点 P 在棱运动，设 平面 成角为 ，则 最大值为 【考点】 直线与平面所成的角 【分析】 设棱长为 4a， PC=x（ 0 x 4a），则 求出 P 到平面 可求出结论 【解答】 解：设棱长为 4a， PC=x（ 0 x 4a），则 设 P 到平面 距离为 h，则 = ， h= x， = ， x=2a 时， 最大值为 故答案为 三、解答题（共 5 小题，满分 74 分） 18在锐角 ， a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边，若 A 满足 22A+ ） = （ ）求 A 的值； （ ）若 c=3， 面积为 3 ，求 a 的值 【考点】 余弦定理 【分析】 （ ）由三角恒等变换化简 22A+ ） = ， 结合 A 的取值范围，即可求出 A 的值； （ ）根据 面积公式求出 b 的值，再利用余弦定理求出 a 的值 【解答】 解：（ ） ， 22A+ ） = ， 2 +2A+ ） = ， 即 1+ ， ， ， 即 2A ） = ； 又 锐角三角形， 0 A ， 2A ， 2A = ， 解得 A= ； （ ） c=3，且 面积为 S =3 ， 解得 b=4； 由余弦定理得 a2=b2+22+32 2 4 3 =13， 解得 a= 19如图，棱柱 ，底面 平行四边形，侧棱 底面， ， （ ）求证： 平面 （ ）求二面角 A C 的平面角的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）推导出 此能证明 平面 （ ）过点 C 作 P，连接 平面 而 二面角 A C 的平面角，由此能求出二面角 A C 的平面角的余弦值 【解答】 证明：（ ） 在底面 ， ， ， ， 侧棱 底面 又 ， 面 平面 解：（ ）过点 C 作 P，连接 由（ ）可知， 平面 二面角 A C 的平面角， ， B=1， = = ， ， 二面角 A C 的平面角的余弦值为 20已知函数 f（ x） =x b， a， b 为实数 （ ）若曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y=2x+3，求 a， b 的值； （ ）若 |f（ x） | 对 x 2， 3恒成立，求 a 的取值范围 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ I）根据导数的几何意义可得 f（ 1） =2， f（ 1） =5，列方程组解出 a，b 即可； （ 离参数得出 x a x+ ，分别求出左侧函数的最大 值和右侧函数的最小值即可得出 a 的范围 【解答】 解：（ I） f（ x） =1 ， 曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程为 y=2x+3， f（ 1） =2， f（ 1） =5， ，解得 a= 1， b=4 （ |f（ x） | 对 x 2， 3恒成立，即 |1 | 对 x 2， 3恒成立， |x a| 对 x 2， 3恒成立， x a x+ 对 x 2， 3恒成立， 设 g（ x） =x ， h（ x） =x+ ， x 2， 3， 则 g（ x） =1+ 0， h（ x） =1 0， g（ x） 在 2， 3上是增函数， h（ x）在 2， 3上是增函数， x） =g（ 3） =2， x） =h（ 2） = a 的取值范围是 2， 21如图，设斜率为 k（ k 0）的直线 l 与椭圆 C： + =1 交于 A、 B 两点，且 （ ）求直线 l 在 y 轴上的截距（用 k 表示）； （ ）求 积取最大值时直线 l 的方程 【考点】 直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ ）设 l： y=kx+t， A（ B（ 由 （ 1+k2）x1+，联立 ，得 （ kx+t） 2=9，即（ 1+39=0，由此利用韦达定理、根的判别式，结合已知条件能求出直线 l 在 y 轴上的截距 （ ）设 面积为 S， O 到直线