2010年北京各区一模数学试题复数、算法、集合、简易逻辑、推理与证明、平面几何

平面几何 1. （崇文理题 3） 已知 是 的切线，切点为 ， ， 是 的直径， 交 于点 ，PAOA2PCOAPCOAB ，则 的半径为 （ ）30B O P C B A A B C D12323 【解析】 C； 于是圆的半径为 30,2,tan0PA 2. （东城理题 3） 如图，已知 是 的一条弦，点 为 上一点， ， 交 于 ，若ABOBPCOC ， ，则 的长是（ ）4P2PC A B C D3 22 O P C B A 【解析】 B； 延长 交于圆上一点，得到一条 圆的弦，易知 点为该弦的中点，有PP 28CA 3. （丰台理题 9） 在平行四边形 中，点 是边 的中点， 与 交于点 ，若 的面积是BDEABDEACFAE1 ，则 的面积是 2cmF2cm 【解析】 4； HGFED CBA 取 的中点 ，连结 交 于 ，则CA 且 ，BDG 12CDG 四 边形 为平行四边形 AFH 4DCAEFS 4. （海淀理题 10） 如图， 为 的直径，且 ， 为 的中点 ，过 作 的弦 ，且ABO8ABPOAPOACD ，则弦 的长度 为 :3:4CPDC 【解析】 7； 由 得 由已知和相交弦定理得8AB2,6PB ，解得 :3:4CD34CD 于是 7 5. （石景山理题 10） 已知曲线 的参数方程为 ，则曲线 的普通方程是 Ccos,2inxy()为 参 数 C ；点 在曲线 上，点 在平面区域 上，则 的最小值是 A(,)M201xy AM 【解析】 ， ；22()1xy3 是圆 ；不等式组的可行域如图阴影所示， 点为 、 为C A(0,1) 时， 最短，长度是 0,2|AM32 C A 2 -2 y xO 6. （西城理题 12） 如图， 切 于点 ，割线 经过圆心 ，弦 于点 已知 的半径为PCOAPABOCDABEOA 3， ， 则 2E A D PEO C B 3 【解析】 ；94,5 ；连结 ，知 ，于是 ，22(6)14PCABPCOCP5O 2395OEP B C O E P D A 7. （宣武理题 11） 若 是 上三点， 切 于点 ， ，则 的大小,ABC PCO 10,40ABCPAOB 为 【解析】 ；60 如图，弦切角 ，于是 ，从40B830C 而 26OA P O C B A 8. （朝阳理题 12） 如图，圆 是 的外接圆，过点 的切线交 的延长线于点 ，OABCCABD ，则 的长为 ； 的长为 27,3CDDC O D C B A 【解析】 374,2 4CDBABD 又由 知 于是 CABCDA 即 3437227 9. （西城理题 12） 如图， 切 于点 ，割线 经过圆心 ，弦 于点 已知 的半径为PCOAPABOCDABEOA 3， ， 则 2E A D PEO C B 【解析】 ；94,5 ；连结 ，知 ，于是 ，22(6)14PCABPCOCP5O 2395OEP B C O E P D A 坐标系与参数方程 1. （海淀理题 4） 在平面直角坐标系 中，点 的直角坐标为 若以原点 为极点， 轴正半轴xOyP1,3Ox 为极轴建立极坐标系，则点 的极坐标可以是（ ） A B C D1,32,32,42,3 【解析】 C； P y O x1-3 易知 ， 2213kZ 2. （朝阳理题 9） 已知圆的极坐标方程为 ，则圆心的直角坐标是 ；半径长为 cos 【解析】 ；1,0 由 ，有 ，即圆的直角坐标方程为 于是圆22xy21xy 5 心坐标为 ，半径为 11,0 3. （崇文理题 11） 将参数方程 （ 为参数）化成普通 方程为 2cos,inxy 【解析】 ；14 由 知 cs,inxy214xy 4. （石景山理题 11） 如图，已知 是圆 的切线直线 交圆 于 、 两点， ， ，PEOPBOAB4PA12B 则 的长为_， 的大小为_43AE P O E B A 【解析】 ， ；830 ，则 ；由 ，可知 ，24(12)64PAB8PE22PAE90PA 即 ，由 ，得 93tanAB30 5. （西城理题 11） 将极坐标方程 化成直角坐标方程为 2cos 【解析】 ；20xy 2xy 6. （东城理题 12） 圆的极坐标方程为 ，将其化成直角坐标方程为 ，圆心的直sincos 角坐标为 【解析】 ， ；2215()()4xy1, 2sincosxyx 7. （东城理题 12） 圆的极坐标方程为 ，将其化成直角坐标方程为 ，圆心的直i 角坐标为 【解析】 ， ；2215()()4xy1, 2sincosxyx 8. （宣武理题 12） 若直线 与曲线 （ 为参数， ）有两个公共点 ，:30lxycos:2inaCy0a,AB 且 ，则实数 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，|2ABa 轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线 的极坐标方程为 x C 【解析】 ；,4cos20 曲线 ： ，点 到 的距离为 ，因此C()xyl2|1(3)a ； 2|aAB ，即 222(cos)(in)(4cos20 9. （丰台理题 12） 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （参数 ） ，圆 的参数方程xOyl1xyttRC 为 （参数 ） ，则圆心到直线 的距离是 cos1inxy0,2l 【解析】 ；2 直线方程为 ，圆的方程 为 于是 圆 心 到直线1yx21xy1,0 的距离为 0x2 复数 1. （海淀理题 1） 在复平面内，复数 （ 是虚数单位）对应的点位于（ ）iz A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解析】 C； ，该复数对应的点位于第三象限1ii1iz 2. （丰台理题 1） 如果 为纯虚数，则实数 等于（ ）i1aza A B C D 或01 【解析】 D； 设 ， 则izx0 或 1iai0xa0ax1ax 3. （石景山理题 1） 复数 等于（ ）21i A B C D2i1i1i 【解析】 C； 2(1)()iii 7 4. （东城理题 1） 是虚数单位，若 ，则 的值是 （ ）i 2ii(,)abRab A B C D12212 【解析】 C； ，于是 i(2i)13i13ab 5. （朝阳理题 1） 复数 等于 （ ）2i A B C D 1i21 【解析】 D； 计算容易有 1i 6. （海淀文题 1） 在复平面内，复数 （ 是虚数单位）对应的点位于（ ）ii A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解析】 A； ，对应的点为 位于第一象限i1i1, 7. （丰台文题 1） 复数 化简的结果等于（ ）i1z A B C D2i2i 【解析】 A； i1zii1 8. （石景山文题 1） 复数 等于（ ）21i A B C D2i1i1i 【解析】 C； 2(1)()iii 9. （东城文题 1） 计算复数 的结果为（ ）i A B C Dii11 【解析】 A； 21i()i 10. （朝阳文题 1） 复数 等于 （ ） 2(1)i A2 B-2 C D2i2i 【解析】 C； 21ii 11. （宣武理题 3） 若复数 满足 ，则 对应的点位于（ ）z2i1z A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解析】 B； i()iz 12. （宣武文题 4） 设 是虚数单位，则复数 所对应的点落在（ ）i (1i)2z A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【解析】 B； 2iz 13. （西城文题 9） 是虚数单位， i1i 【解析】 ；2 ii1i2 14. （西城理题 9） 若 ，其中 ， 为虚数单位，则 (2i)iab,abRiab 【解析】 3； 1,2 15. （崇文理题 9） 如果复数 （其中 是虚数单位）是实数，则实数 _ 2iimi m 【解析】 ；1 于是有 223ii1mi3101 16. （崇文文题 10） 如果复数 （其中 是虚数单位）是实数，则实数 _2i1imi m 【解析】 -1； 于是有 223ii1mi3101 算法 9 1. （丰台文题 3） 在右面的程序框图中，若 ，则输出 的值是（ ）5xi x 109i = i + 1 NY入i 入 x = 3x -2i = 0 入x入 A2 B3 C4 D5 【解析】 C； ，对应 的 51709324i 2. （石景山理题 4） 一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位： ）为（ ）2cm A B C D80600 【解析】 A； 几何体如图，是正四棱锥，底边长 ，侧面底边上的高为 ，因此侧面积为85 185402 3. （西城理题 5） 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A B C D132213813138 入入yx y = z x = y z100? k=k+1 x=2x+1 k=0 入入x 入入 【解析】 B； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，6x0k13xk27xk5x3k1x4k ，跳出循环，输出 14 6. （石景山文题 6） 已知程序框图如图所示，则该程序框图的 功能是（ ） A求数列 的前 10 项和1n()nN B求数列 的前 10 项和2 C求数列 的前 11 项和1n()n D求数列 的前 11 项和2N 开 始 0S 2n 1k 0 输 出 S 结 束 1Sn 2 k 是否 【解析】 B 注意 和 的步长分别是 和 nk21 7. （西城文题 6） 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A B C D132213813138 入入 yx y = z x = y z 82i = i+1 x = 3x-2 i = 0入 x 入 【解析】 ；2,4 ， ，382xx32810x ，104 要使得刚好进行 次运算后输出的 ，则有 24x 13. （朝阳理题 13） 右边程序框图的程序执行后输出的结果是 n=n+2 S=0 n=1 S=S+n n50 入 入 入入S 入入 入入 【解析】 625； 将经过 次运行后的 值列表如下i,nSi 1 2 3 4 5 m 25n 3 5 7 9 11 2151S 1 4 9 16 25 625 于是 6 14. （海淀文题 13） 已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_ 入入 ai = i+1 入 入a = 1- 1ai 20 a = 2 , j = 1入 【解析】 ；2 a = -1 , j = 3a = 12 , j = 2 a = 2 , j = 1 17 ，对应的 20mod3i12a 集合简易逻辑推理与证明 1. （崇文文题 1） 已 知全集 ，集合 ， ，则集合 （ UR|12Ax2|680BxUAB ） A B |14x |3 C D23 14x 【解析】 D； 容易解得 或者 ， 3Ax026 于是 UB2 2. （西城理题 1） 设集合 ， ，则下列结论正确的是（ ）|Px2|0Qx A B C DRPQP 【解析】 C； ， (1,)(,)(1,) 3. （宣武理题 1） 设集合 ，则下列关系中正确的是（ ）20.3|3,2Pxm A B C DmPmPmP 【解析】 D； ， ，故 ，因此|0x 0.32 4. （崇文理题 1） 已知全集 ，集合 ， ，则集合 （ UR|1Ax2|680BxUAB ） A B|14x |14 C D 23 3x 【解析】 D； 容易解得 或者 ， 3Ax0x26 于是 UB2 5. （西城文题 1） 设集合 ， ，下列结论正确的是（ ）|Px|(1)0Qx A B C DPRPQP 【解析】 C； ， (1,)(,)(,) 6. （宣武文题 1） 设集合 ，则下列关系中正确的是（ ）|4,sin0Axm A B C DAmAmA 【解析】 D； 正确的表示法， ， ， 7. （东城理题 2） 设全集 ， ， ，则 等于（ ）3,IxxZ1,2A,12B()IAB A B C D110, 【解析】 D； ， ，故 2,0,2I 0,I(),I 8. （石景山文题 2） 已知命题 ， ，那么命题 为（ ）:pxR p A B, ,2xR C D 【解析】 B； 全称命题的否定是存在性命题，将 改为 ，然后否定 结论 9. （东城文题 2） 设集合 ， ，则韦恩图中阴影部分表示的集合（ ）1,4,6A,35B A B C D21,463,57,8 BAU 【解析】 B； 阴影部分表示 3,5UA 10. （丰台理题 2） 设集合 ， ，则集合 是（ 1|(),0,xMy2|log,0,1NyxMN ） A B C D(,0),(,)(0,1 【解析】 C； ， ，因此 ,1,0N,1M 11. （石景山理题 2） 已知命题 ， ，那么命题 为（ ）:pxR p A B, ,2xR C D 【解析】 B； 全称命题的否定是存在性命题，将 改为 ，然后否定 结论 12. （朝阳文题 2） 命题 ，都有 ，则 （ ）:0pxsin1x 19 A ，使得 B ，使得:0pxsin1x:0pxsin1x C ，使得 D ，使得 【解析】 A； 由命题的否定容易做出判断 13. （海淀文题 7） 给出下列四个命题： 若集合 、 满足 ，则 ；ABAB 给定命题 ，若“ ”为真，则“ ”为真；,pqpq 设 ，若 ， 则 ；,abmRab2mb 若直线 与直线 垂直，则 1:0lxy:10lxy1a 其中正确命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【解析】 B； 命题 和 正确 14. （丰台文题 7） 若集合 ， ，则 中元素的个数是（ 0,12P10(,),2xyQxyPQ ） A3 B5 C7 D9 【解析】 B； ，,|12,xyxyP 由 得 的取值只可能是 和 0P01 ，含有 个元素,1,2,Q5 15. （崇文文题 8） 如果对于任 意实数 ， 表示不超过 的最大整数 例如 ， xx3.270.6 那么“ ”是“ ”的 ( )xy1y A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】 A； 由 1,1xy 于是有 则 1xy- xy 不妨设 ，于是 但是3,243421,0. 16. （东城文题 9） 已知命题 ，则 为 3:(1,),log0pxxp 【解析】 ；0 全称命题的否定为存