2010年高三一轮复习讲座九立体几何

2010 年高三一轮复习讲座九 -立体几何 二、复习要求 空间几何图形的证明及计算。 三、学习指导 1、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结。如下图： 条件 结论 线线平行 线面平行 面面平行 垂直关系 线线平行 如果 ab，bc，那 么 ac 如果 a，a ，=b ，那么 ab 如果 ， =a，=b， 那么 ab 如果 a，b， 那么 ab 线面平行 如果 ab，a ，b ，那么 a 如果 ，a ，那么 面面平行 如果 a ，b ，c ， d ，ac，b d，ab=P， 那么 如果 a ，b ,ab=P,a ,b，那 么 如果 ， ，那么 如果 a，a， 那么 条件 结论 线线垂直 线面垂直 面面垂直 平行关系 线线垂直 二垂线定理及逆 定理 如果 a，b ，那么 ab 如果三个平面两 两垂直，那么它 们交线两两垂直 如果 ab，ac，那 么 bc 线面垂直 如果 ab，ac，b ，c ， bc=P，那么 a 如果 ， =b，a ,ab ，那么 a 如果 a，ba， 那么 b 面面垂直 定义（二面角等 于 900） 如果 a，a ，那么 2、空间元素位置关系的度量 （1）角：异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。 异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。 直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。 二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱 的垂面法及面积射影 法。 （2）距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。 异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。 线面距离，面面距离常化归为点面距离。 3、两个重要计算公式 （1）cos=cos 1cos 2 其中 1为斜线 PA 与平面 所成角，即为PAO， 2为 PA 射影 AO 与 内直线 AB 所成的角， 为PAB。 显然， 1， 2 （2）异面直线上两点间距离公式 设异面直线 a，b 所成角为 则 EF2=m2+n2+d22mncos 4、棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面 垂直的性质解题， 在正棱锥中，要熟记由高 PO，斜高 PM，侧棱 PA，底面外接圆半径 OA，底面内切圆半径 OM，底面正多边形 半边长 OM，构成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。 5、球是由曲面围成的旋转体。研究球，主要抓球心和半径。 6、立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等） ，因此， 既要熟记基本图形 中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形。 四、典型例题 例 1、在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H 分别为棱 BC、CC 1、C 1D1、AA 1的中点，O 为 AC 与 BD 的交点（如图） ，求证： （1）EG平面 BB1D1D；（2）平面 BDF平面 B1D1H；（3）A 1O平面 BDF；（4）平面 BDF平面 AA1C。 解析： （1）欲证 EG平面 BB1D1D，须在平面 BB1D1D 内找一条与 EG 平行的直线，构造辅 助平面 BEGO及辅 助直线 BO，显然 BO即是。 （2）按线线 平行 线面平行 面面平行的思路，在平面 B1D1H 内寻找 B1D1和 OH 两条关键的相 交直线，转化为 证明：B 1D1平面 BDF，OH 平面 BDF。 （3）为证 A1O平面 BDF，由三垂线定理，易得 BDA 1O，再寻 A1O 垂直于平面 BDF 内的另一条直线。 猜想 A1OOF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A 1O2+OF2=A1F2 A1OOF。 （4） CC 1平面 AC CC 1BD 又 BDAC BD平面 AA1C 又 BD 平面 BDF 平面 BDF平面 AA1C 例 2、在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 为 DD1中点，O 为底面 ABCD 的中心，P 为棱 A1B1上任意一点，则直线 OP 与直线 AM 所 成的角是 A、 B、 C、 D、6432 解析： 取 P 点的特殊点 A1，连 OA1，在底面上过 O 作 OEAD 于 E，连 A1E OE平面 ADD1A1，AMA 1E 根据三垂线定理，得：AMOA 1 选 D 评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路 例 3、如图，三棱锥 DABC 中，平面 ABD、平面 ABC 均 为等腰直角三角形，ABC= BAD=90 0，其腰 BC=a，且二面角 DABC=600。 （1）求异面直线 DA 与 BC 所成的角； （2）求异面直线 BD 与 AC 所成的角； （3）求 D 到 BC 的距离； （4）求异面直线 BD 与 AC 的距离。 解析： （1）在平面 ABC 内作 AEBC，从而得DAE=60 0 DA 与 BC 成 600角 （2）过 B 作 BFAC，交 EA 延长线于 F，则DBF 为 BD 与 AC 所成的角 由DAF 易得 AF=a，DA=a，DAF=120 0 DF 2=a2+a2-2a2( )=3a21 DF= a3 DBF 中，BF=AC= a cosDBF= 41 异面直线 BD 与 AC 成角 arccos 41 （3） BA平面 ADE 平面 DAE平面 ABC 故取 AE 中点 M，则有 DM平面 ABC；取 BC 中点 N，由 MNBC，根据三垂线定理，DNBC DN 是 D 到 BC 的距离 在DMN 中，DM= a，MN=a23 DN= a7 （4） BF 平面 BDF，AC 平面 BDF，ACBF AC平面 BDF 又 BD 平面 BDF AC 与 BD 的距离即 AC 到平面 BDF 的距离 ，BDFBDFASh31VADFBFV A 2ADF 2Ba43a21M21S a415Fsin 由 ，即异面直线 BD 与 AC 的距离为5hBF a5 评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法。 例 4、如图，在 600的二面角 CD 中，AC ，BD ，且 ACD=450，tgBDC=2，CD=a，AC= x，BD= x，当 x 25 为何值时，A、B 的距离最小？并求此距离。 解析： 作 AECD 于 E，BFCD 于 F，则 EF 为异面直线 AE、BF 的公垂段，AE 与 BF 成 600角，可求得 |AB|= ，当 x= 时，|AB|有最小值 。22ax477aa721 评注：转化为求异面直线上两点间距离的最小值。 例 5、如图，斜三棱柱 ABCABC中，底面是边长为 a 的正三角形，侧棱长为 b，侧棱 AA与底面相邻两边 AB、AC 都成 450角，求此三棱柱的侧面积和体积。 解析： 在侧面 AB内作 BDAA于 D 连结 CD AC=AB，AD=AD，DAB=DAC=45 0 DABDAC CDA=BDA=90 0，BD=CD BDAA，CDAA DBC 是斜三棱柱的直截面 在 RtADB 中，BD=ABsin45 0= a2 DBC 的周长=BD+CD+BC=( +1)a，DBC 的面积= 4a 2 S 侧 =b(BD+DC+BC)=( +1)ab2 V= AA=DBC4ba 评注：求斜棱柱的侧面积有两种方法，一是判断各侧面的形状，求各侧面的面积之和，二是求直截面的周长与侧棱的乘积， 求体积时同样可以利用直截面，即 V=直截面面积侧棱长。 例 6、在三棱锥 PABC 中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积 VP-ABC。 解析： 取 PC 和 AB 的中点 M 和 N AMBABCPABCP SP31VV 在AMB 中，AM 2=BM2=172-82=259 AM=BM=15cm，MN 2=152-92=246 S AMB = ABMN= 1812=108(cm2)11 V P-ABC= 16108=576(cm3)3 评注：把一个几何体分割成若干个三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法，这样分割的结果，一方面便于求体积，另一 方面便于利用体积的相关性质，如等底等高的锥体的体积相等，等底的两个锥体的体积的比等于相应高的比，等等。 同步练习 （一）选择题 1、 1 2，a，b 与 1， 2都垂直，则 a，b 的关系是 A、平行 B、相交 C、异面 D、平行、相交、异面都有可能 2、异面直线 a，b，ab，c 与 a 成 300，则 c 与 b 成角范围是 A、60 0，90 0 B、30 0，90 0 C、60 0，120 0 D、30 0，120 0 3、正方体 AC1中，E、F 分别是 AB、BB 1的中点，则 A1E 与 C1F 所成的角的余弦值是 A、 B、 C、 D、225252 4、在正ABC 中，ADBC 于 D，沿 AD 折成二面角 BADC 后，BC= AB，这时二面角 BADC 大小为 A、60 0 B、90 0 C、45 0 D、120 0 5、一个山坡面与水平面成 600的二面角，坡脚的水平线（即二面角的棱）为 AB，甲沿山坡自 P 朝垂直于 AB 的方向走 30m，同时乙沿水平面自 Q 朝垂直于 AB 的方向走 30m，P、Q 都是 AB 上的点，若 PQ=10m，这时甲、乙 2 个人之间的距离为 A、 B、 C、 D、m7201m30190 6、E、F 分别是正方形 ABCD 的边 AB 和 CD 的中点，EF 交 BD 于 O，以 EF 为棱将正方形折成直二面角如图，则BOD= A、135 0 B、120 0 C、150 0 D、90 0 7、三棱锥 VABC 中，VA=BC，VB=AC，VC=AB，侧面与底面 ABC 所成的二面角分别为 ，（都是 锐角） ，则 cos+cos+cos 等于 A、1 B、2 C、 D、2123 8、正 n 棱锥侧棱与底面所成的角为 ，侧面与底面所成的角为 ，tantan 等 于 A、 B、 C、 D、sincosnsincos 9、一个简单多面体的各面都是三角形，且有 6 个顶点，则这个简单多面体的面数是 A、4 B、6 C、8 D、10 10、三棱锥 PABC 中，3 条侧棱两两垂直，PA=a，PB=b，PC=c，ABC 的面积为 S，则 P 到平面 ABC 的距离为 A、 B、 C、 D、SabcS2abcS3abcS6abc 11、三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V，P、Q 分别为 AA1、CC 1上的点，且满足 AP=C1Q，则四棱锥 BAPQC 的体积是 A、 B、 C、 D、V2134V32 12、多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EFAB，EF= ，EF 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为23 A、 B、5 C、6 D、29 215 （二）填空题 13、已知异面直线 a 与 b 所成的角是 500，空间有一定点 P，则过点 P 与 a，b 所成的角都是 300的直线有_条。 14、线段 AB 的端点到平面 的距离分别为 6cm 和 2cm，AB 在 上的射影 AB的长为 3cm，则线段 AB 的长为 _。 15、正 n 棱锥相邻两个侧面所成二面角的取值范围是_。 16、如果一个简单多面体的每个面都是奇数的多边形，那么它的面数是_。 （三）解答题 17、如图，在斜边为 AB 的直角三角形 ABC 中，过 A 作 AP平面 ABC，AEPB 于 E，AFPC 于 F，CGAB 于 G，CDPB 于 D。 （1）求证AEF=CDG；（2）求AEF 面积的最大值。 18、等边三角形 ABC 的边长为 a，沿平行 BC 的线段 PQ 折起，使平面 APQ平面 PBCQ，设点 A 到直 线 PQ 的距离为 x，AB 的长为 d （1）x 为何值时，d 2取得最小值，最小值是多少？ （2）若BAC=，求 cos 的最小值。 19、如图，ABCD 是矩形，其 4 个顶点在平面 的同一侧，且它们在平面 内的射影分别为 A，B ，C，D，直线 AB 与 CD不重合， （1）求证：ABC D是平行四边形； （2）在怎样的条件下，A