2010届北京市海淀区高三数学查漏补缺试题

2010 届北京市海淀区高三数学查漏补缺试题 三角函数 1在 ABC中， 、 B、 C所对的边长分别是 a、 b、 c.满足 bAcCaos2. （1）求 的大小； （2）求 BAsin的最大值 . 2已知 21cossin)(xxf . （1）求 )(xf的对称轴方程； （2）将函数 f的图象按向量 a平移后得到函数 g的图象，若 )(xgy的图象关于点 )0,2(对称，求 a的最小值. 数列 1设数列 na的前 项和为 nS，且满足 2+3=,211nnS1,3. （）求证：数列 1+为等比数列； （）求通项公式 na； （）设 2nb,求证： .2nb. 2无穷数列 na满足： 121nn（ 0为常数）. （1）若 ,1且数列 n为等比数列，求 ； （2 ）已知 ,1a3，若 805ma，求 ； （3）若存在正整数 N，使得当 时，有 na1，求证：存在正整数 M，使得当 n时，有 .0na 立体几何 1在直平行六面体 1AC中， BD是菱形， 60AB， CDO， 1AB. （1）求证： /O平面 1； （2）求证：平面 1平面 1AC； （3）求直线 与平面 所成角的大小. O D 1 C1 B1A1 D C BA 2如图，二面角 PCBA为直二面角，PCB =90, ACB=90，PMBC， 直线 AM 与直 线 PC 所成的角为 60，又 AC=1,BC=2，PM =1. （）求证：ACBM; （）求二面角 M-AB-C 的正切值； （III ）求点 P 到平面 ABM 的距离. 概率 1理：某自助银行共有 4 台 ATM 机，在某一时刻 A、B、C、D 四台 ATM 机被占用的概率分别为 31、 2、 、 5，设某一 时刻这家自助银行被占用的 ATM 机的台数为 （）如果某客户只能使用 A 或 B 型号的 ATM 机，求该客户需要等待的概率； （）求至多有三台 ATM 机被占用的概率； （）求 的分布列和数学期望. 2文：某自助银行共有 4 台 ATM 机，在某一时刻 A、B、C、D 四台 ATM 机被占用的概率分别为 31、 2、 、 5. （）如果某客户只能使用 A 或 B 型号的 ATM 机，求该客户需要等待的概率； （）求至多有三台 ATM 机被占用的概率； （）求恰有两台 ATM 机被占用的概率. 3小明一家三口都会下棋.在假期里的每一天，父母都交替与小明下三盘棋，已知小明胜父亲的概率是 12，胜母亲的概率是 23. （1）如果小明与父亲先下，求小明恰胜一盘的概率； （2）父母与小明约定，只要他在三盘中能至少连胜两盘，就给他奖品，那么小明为了获胜希望更大，他应该先与父亲下， 还是先与母亲下？请用计算说明理由. 解析几何 1已知动点 P 到直线 34x的距离是到定点（ 0,3）的距离的 32倍. （）求动点 P 的轨迹方程； （）如果直线 :(1)lykx0与 P 点的轨迹有两个交点 A、 B，求弦 AB 的垂直平分线在 y 轴上的截距 0y的取值范 围. 2已知点 ,AB分别是直线 yx和 的动点（ ,AB在 y轴的同侧） ，且 OAB的面积为 98，点 P满足 2AB. （1）试求点 P的轨迹 C的方程； （2）已知 F2,0，过 O作直线 l交轨迹 C于两点 ,MN，若 23F，试求 MFN的面积. （3）理：已知 ，矩形 FNE的两个顶点 均在曲线 C上，试求矩形 E 面积的最小值. 函数、导数 1设 1() (R)fxa，曲线 y = f(x)在点（2，f(2) ）处的切线方程为 y = x+3. （1）求 f(x)的解析式； （2）若 x2,3时，f(x) bx 恒成立，求实数 b 的取值范围. 2 （理）已知函数 3()fxa（ 0x， R） （1）求函数 )(xf的单调区间； （2）求函数 在 1,8上的最大值和最小值 2 （文）设函数 2()1(0)fxtxttR， （）求 ()fx的最小值 ()ht； （）若 ()2htm对 (02)t， 恒成立，求实数 m的取值范围 不等式 1已知函数 ()yfx和 ()g的图象关于 y 轴对称，且 2()4fx （I）求函数 的解析式； （）解不等式 |1|g； 2已知不等式 12x的解集为 A，不等式 02)(2ax的解集为 B. （1）求集合 A及 B； （2）若 B，求实数 的取值范围. 数学参考答案 三角函数 1解：（1）由正弦定理及 bAcCaos2得， BCAincosicsin2. 在 B中， ， ，即 si)i(. BCABCAA sincosincosincoscsin2 0oCA 又 ， ，si .c .2 . （2）由（1）得 C， 2BA，即 A.BAcosinsin)4( ， 0，3 . 当 A时， Bsin取得最大值 2. 2解：（1） 1co21)(xxfcossinx)4sin( 由 242k得 ,8Zk. )(xf的对称轴方程为 x. （2）由题意可设 (,0)ma则 )42sin(mxg 又因为 )(xg的图象关于点 ),2(对称，则有 0)i(， 即 552,48Zkk.,8a 所以当 1k时， min.8a 数列 1证明：（） 2+3=1nnS,)(+1nS . 又 , 1+nS是首项为 3，公比为 的等比数列且 *31,NnS. （） =时， 2=1Sa, 时， )()(1nnn)3(1n 1. 故 1*2,Nnna. （） 12 13,1(3)()3nn nnb )13()(1. 12221 nnn 132n. 2解：（） 21na，1().na 由 n为等比数列，知 与 无关，故 0. 当 0时，数列 na是以为首项，以 2为公比的等比数列. （）当 3时， 3)1(n. 取 n为， , ，累乘得:)53(741na （ 2）.1,4(35)21. nna ， 当 2时， nn a11)(. 而 80,56,04aa， 5m （）当 时， 12n， 说明 na与1异号，此时不存在正整数 N， 使得当 N时，有 na1. 当 0时，必存在正整数 0（取大于 2493的正整数即可） ， 使得当 0nN时，有 12n， z y x O 1 O D1 C1 B1A1 D C BA 即存在正整数 0N，使得当 0n时，有 1na； 因为存在正整数 ，使得当 N时，恒有 n1成立， 取 1为 0与 的较大者，则必存在正整数 M，使得当 时， 0na. 存在正整数 M，使得当 n时，有 .0na 立体几何 1证明：（1）连接 1AC交 1BD于 O，连结 1A. 在平行四边形 中， 1/COA， 1O， 四边形 1为平行四边形. 1/COA . 平面 1BD， 1O平面 1ABD，1/ 平面 . （2）在直平行六面体 1C中， 平面 1C，11ABD . 四边形 为菱形，11C .A ， 1A平面 1CA， 1平面 1AC，1BD 平面 . 平面 1， 平面 A平面 1CA. （3）过 作 HO交 于 . 平面 1BD平面 1，平面 1BD平面 1AC1O，C 平面 A.H 为 在平面 1上的射影. 是 与平面 BD所成的角. 设 2AB，在菱形 AC中， 60，3C . 在 Rt 1O中， 17.AH ， O 1 O D1 C1 B1A1 D C BA H O 1 O D1 C1 B1A1 D C BA 4217CH.sinA .27arcsiCH . （3）解法二： 连 1A交 1BD于 O，分别以 B, C, 1O所在直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设 2，在菱形 A中， 60D，3C , . 则 A（0， ，0） ， C（0， 3，0） ，1B （1，0，2） ， 1O（0，0，2）. （0， 3，2） ， 1AB（1， ，2）. 设平面 1AD的法向量 n（ x， y， z） ， 则 10.OB ，n32.yzx，0 .令 ，则 32.n （0， 3， ）. 设 AC与平面 1BD所成的角为 .627sin34 .27arcsi . 2解：（）平面 PCBM平面 A，A ， 平面 , 平面 平面 = 平面 . 又 平面 , ACB. （）取 的中点 N，则 1C连接 AN、 M 平面 PM平面 A， 平面 平面 B， P 平面 /=， ， B P M C N A H z y x B P M C N A /,MNPC，从而 MN平面 ABC 作 HAB于 ，连结 H， 则由三垂线定理知 从而 为二面角 的平面角 直线 与直线 所成的角为 60， 60N 在 AC中，由勾股定理得 2AN 在 RtM中， 36cotM 在 tBNH中， 15sinACBB 在 RtM中， 630ta5NH 故二面角 ABC的大小为 30tanrc （）如图以 为原点建立空间直角坐标系 Cxyz 设 0(,)Pz(，由题意可知 (0,2)B， (1,0)A， 0(,1)1,AM ， (,)CPz 由直线 与直线 所成的角为 60，得cos60 即 22001zz，解得 03 6(,)3AM， (1,2)AB 设平面 的一个法向量为 1,xyzn，则 由 1 60, 0,3.2.xyABn ， 取 6z，得 1(4,). 取平面 C的一个法向量为 2(0,1)n 则 12cos,n12639 由图知二面角 MABC为锐二面角，故二面角 MABC的大小为 39arcos1 （）因为 P/,N，所以 PN是 平 行 四 边 形 ， 所以 /PNBM，因为 P平面 AMB， 所以 平面 . 所以 P 点到平面 ABM 的距离等于 N 点到平面 ABM 的距离,116V33218MABNABNS ， 又 96ABS，由等积可知，13V8MABNh ，解得 2613h， P 点到平面 ABM 的距离为 . 方法二、 6(1,0)3A， 所以 P 点到平面 ABM 的距离 126|3PAdn. 概率 1解：（）设“如果某客户只能使用 A 或 B 型号的 ATM 机， 则该客户需要等待” 为事件 M 1()326PM 答：如果某客户只能使用 A 或 B 型号的 ATM 机，该客户需要等待的概率为 61. （）设“至多有三台 ATM 机被占用” 为事件 N129()3530N 答：至多有三台 ATM 机被占用的概率为 . （） 的可能取值为 0，1，2，3，4.5)0(P , 321321913255560=+= ,1()521323530 ， 60152352151)( P ,30234 , 0 1 2 3 4p60916013523431210)( E . 2解：（）设“如果某客户只能使用 A 或 B 型号的 ATM 机，则该客户需要等待” 为事件 M. 1()326PM. 答：如果某客户只能使用 A 或 B 型号的 ATM 机，该客户需要等待的概率为 61. （）设“至多有三台 ATM 机被占用” 为事件 N.129()3530N . 答：至多有三台 ATM 机被占用的概率为 . （）设“恰有两台 ATM 机被占用” 为事件 S.13131213()2525550 PS 答：恰有两台 ATM 机被占用的概率为 31. 3解：(1) 记“小明在第 i 盘胜父亲”为事件 Ai,2， “小明在第 i 盘胜母亲”为事件 Bi1,23， 则 12iPA， 3iB. 所以小明恰胜一盘的概率为 123123123PBA 3 答：小明恰胜一盘的概率为 3. （2）若与父亲先下，则小明获胜的概率为 12123PAB1213 ； 若与母亲先下，则小明获胜的概率为 12123429 . 149, 小明应先与父亲下. 解析几何 1解：（）设动点 ),(yxP，由题意知 2)3(234yxx.142yx . 即动点 P 的轨迹方程是 142yx. （）联立方程组 2(1),.4ykx 得： 048)41( 222 kxkxk . 从而 22122604.kx， 弦 AB 的中点坐标为： )41,41( 22kk 弦 AB 的线段垂直平分线方程为 )41(4122 kxky. 所以垂直平分线在 y 轴上的截距为： 2041 3ky ， 0. 故弦 AB 的线段垂直平分线在 y 轴上的截距的取值范围为 43,(),43. 2解：（1）设 1,Ax， 2,Bx， ,Py，则 由 P可得 12,()3xy 因为 OAB的面积为 98， 所以 1219182xx2.() 得： 229xy. 所以，点 P的轨迹 C的方程为 xy. （2）显然 2,0F为 的右焦点，设其左焦点为 2,0F. 连接 MN，由双曲线的对称性可知四边形 MN为平行四边形， 故 3 .设 1r， 2r. 则由双曲线定义得： 12r，即 24. 在 F中，由余弦定理得： 3cos2121rr= 82F. 两式作差得： 421r. 所以， MN的面积 sin21 rSMF. （3） （理） 当直线 x轴时， :yx， 所以，直线 的方程为 32，此时，矩形 FNE面积为 14. 设直线 :MNykxm，代入 1xy，消去 y 得： 22110kxm. 设 12,MxyN，则 1221222,40mkxk 由 0F得： 231km. 矩形 NE面积 2121221134kSMexxx 若 21k，显然 2S， 若 2k，则令 23tk， 故 2 2914449tSt . 综上所述，可知当直线 MNx轴时，矩形 FNE面积最小为 . 函数、导数 1解：（1）由条件得 f(2)=5，则（2，5）在 )(xf上， 有 52a即 . 1)(xf （2）x2,3时，f(x )bx 恒成立等价于 )1(2)(xxfb恒成立， 令 )1()(h x2,3，所以 5,613)(h63b 2解：（1） 413fxa ， 故 1232xf 若 0a，则 0f，因此 f在 0,上是增函数 若 ，则由 x得 4a， 因此 f的单调递增区间是 ,，单调递减区间是 0,4a （2）若 4a，则 0fx（ 1,8） ， 因此 fx在 1,8上