2010年深圳市高三年级第一次调研模拟数学考试(含答案)

2010 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准 说明： 1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标 准制订相应的评分细则 2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程 度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再 给分 3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D A D D C 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（913 题） 9 27 10 8 11 6 12 13 67 2)0,( （二）选做题（14、15 题，考生只能从中选做一题） 14 15 2710 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知函数 （其中 为正常数， ）的最小正周期为 )3sin()si(2)( xxf Rx （1）求 的值； （2）在 中，若 ，且 ，求 ABC21)(BfAfAC 解：（1） 2)3(cos)6sin3sin()6si(2)( xxxxf 4 分)coi 32i( 而 的最小正周期为 ， 为正常数，)(xf ，2 解之，得 6 分1 （2）由（1）得 )32sin()xf 若 是三角形的内角，则 ，xx0 3523 令 ，得 ，1)(f 21)sin( 或 ，6x6x 解之，得 或 417 由已知， 是 的内角， 且 ，BA,CBA21)(ff ， ， 10 分26 又由正弦定理，得 12 分21sin4iCAB 说明：本题主要考查三角变换、诱导公式、三角函数的周期性、特殊角的三角函数值、正弦定理等基础知识，以及运 算求解能力 17 （本小题满分 12 分） 如图 5，已知直角梯形 所在的平面垂直于平面 ， ， ，ACDEABC90AD60EAC ABCE （1）在直线 上是否存在一点 ，使得 平面 ？请证明你的结论；P/E （2）求平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值B 解：（1）线段 的中点就是满足条件的点 1 分 证明如下： 取 的中点 连结 ，则ABFDPEF、 、 ， ， 2 分CP/A21 取 的中点 ，连结 ，MC、 且 ，E60 是正三角形， E 四边形 为矩形，CD 又 ，3 分A21AC/ 且 ，FPE/ 四边形 是平行四边形4 分 ，D/ 而 平面 ， 平面 ，ABEABABCDEPMF 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 平面 6 分/DPEAB （2） （解法 1）过 作 的平行线 ，过 作 的垂线交 于 ，连结 ，ClllGD ，/ ，l 是平面 与平面 所成二面角的棱8 分lEBA 平面 平面 ， ，CCD 平面 ，D 又 平面 ， 平面 ，llG ，G 是所求二面角的平面角10 分C 设 ，则 ， ，aAEB2aCD32 ，D7 12 分cosG （解法 2） ，平面 平面 ，90EABC 以点 为原点，直线 为 轴，直线 为 轴，建立空间直角坐标系 ，则 轴在平面 内ABxyxyzAEACD （如图） 设 ，由已知，得 ， ， aECB2)0,2(a)3,(aE)3,20(aD ， ， 8 分)3,(,D 设平面 的法向量为 ，D),(zyxn 则 且 ，n .0,EB .,32ayazx 解之得 .0, 取 ，得平面 的一个法向量为2zEBD . 10 分),3(n 又平面 的一个法向量为 AC)1,0(n 12 分722)3,cos 22 说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻 ABCDEPMFG ABCDEPMFyxz 辑推理能力 18 （本小题满分 14 分） 已知 是二次函数， 是它的导函数，且对任意的 ，)(xf )(xf Rx2)1()ff 恒成立 （1）求 的解析表达式；)(xf （2）设 ，曲线 ： 在点 处的切线为 ， 与坐标轴围成的三角形面积为 求0tC)(xfy)(,tfPl )(tS 的最小值)(tS 解：（1）设 （其中 ） ，则 ， 2 分cbxaxf2)( 0abaxf2)( cxf )1(2 由已知，得 ，2)b ，解之，得 ， ， ， bca20a01c 5 分1)(xf （2）由（1）得， ，切线 的斜率 ，),(2tPltfk2)( 切线 的方程为 ，即 7 分l )(txy1xy 从而 与 轴的交点为 ， 与 轴的交点为 ，x0,(2tAl ),0(2tB （其中 ） 9 分ttS4)1()2 11 分2)13( tt 当 时， ， 是减函数；30t0)St 当 时， ， 是增函数 13 分(t( 14 分934)(minSt 说明：本题主要考查二次函数的概念、导数的应用等知识，以及运算求解能力 19 （本小题满分 14 分） 某投资公司在 2010 年年初准备将 1000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，也可能亏损 ，且30%15 这两种情况发生的概率分别为 和 ；792 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 ，可能亏损 ，也可能不赔不赚，50%30 且这三种情况发生的概率分别为 、 和 351 （1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资） ，问大约在 哪一年的年底总资产（利润本金）可以翻一番？ （参考数据： ， ）lg20.31lg0.471 解：（1）若按“项目一”投资，设获利 万元，则 的分布列为11305P792 （万元）. 2 分17230(15)9E 若按“项目二”投资，设获利 万元，则 的分布列为：225030P15 （万元）. 4 分23150()25E 又 ， 5 分217(0)3099D ，6 分222 11)3()4055 所以 ， ，12E12D 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资 8 分 （2）假设 年后总资产可以翻一番，依题意： ，即 ，10 分n 201()n1.2n 两边取对数得： lg2.33.853047 所以大约 4 年后，即在 2013 年底总资产可以翻一番 13 分 答：建议该投资公司选择项目一投资；大约在 2013 年底，总资产可以翻一番14 分 说明：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差、对数的运算等知识，以及运用这些知识解决实际问题的能力 20 （本小题满分 14 分） 已知 、 分别是直线 和 上的两个动点，线段 的长为 ，ABxy3xy3AB32 是 的中点P （1）求动点 的轨迹 的方程；PC （2）过点 作直线 （与 轴不垂直）与轨迹 交于 两点，与 轴交于点 若 ，)0,1(QlxCMN、 yRMQ ，证明： 为定值RN 解：（1）设 ， ， ),(yxP),(1yA),(2yB 是线段 的中点， 2 分B12.xy 分别是直线 和 上的点，A、 3x3x 和 113yx22y 4 分12 ,.3 又 ， 5 分AB 12)()(121yx ，24yx 动点 的轨迹 的方程为 6 分PC29y （2）依题意，直线 的斜率存在，故可设直线 的方程为 7 分l l(1)ykx 设 、 、 ，),(3yxM),(4xN),0(5R 则 两点坐标满足方程组、 .19,2yxk 消去 并整理，得 ， 9 分y2(1)80k ， 10 分4398x234kx ， MQR),(),1),0(),( 353 yxy 即 与 轴不垂直， ，.)1(353yy13xl 1 ，同理 12 分x4 31x334()2x 将代入上式可得 14 分49 说明：本题主要考查直线与椭圆的的有关知识、求轨迹方程的方法，以及运算求解和推理论证能力 21 （本小题满分 14 分） 在单调递增数列 中， ， ，且 成等差数列， 成等比数列，na12a121,nna212,nna 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ,321n （1）分别计算 和 的值；351,a462, （2）求数列 的通项公式（将 用 表示） ；nn （3）设数列 的前 项和为 ，证明： ， S24n*N 解：解：（1）由已知，得 ， ， ， . 2 分3a5649a68 （2） （证法 1） ， ， ，；23251342 ， ， ，. 2a464a 猜想 , ， ， 4 分21()n 22(1)n*nN 以下用数学归纳法证明之 当 时， ， ，猜想成立；21a21a 假设 时，猜想成立，即 , ，(,*)nkN21()ka22(1)ka 那么 , 22(1)2121 ()()()kkkaa . 22212(1)2 2()(1)()kkk k 时，猜想也成立n 由，根据数学归纳法原理，对任意的 ，猜想成立 6 分*nN 当 为奇数时， ；8)3(12 1na 当 为偶数时， n)(2nn 即数列 的通项公式为 9 分na为 偶 数为 奇 数nna,8)2(,31 （注：通项公式也可以写成 ）16)(71n （证法 2）令 ， ，则12nab*N1212212123 kkkkkn aa 4 42121 nkkkk baa ， nnbb)(1 1)(1 nnb 从而 （常数） ， ，又 ，21n *N21 故 是首项为 ，公差为 的等差数列， ，b 21)(nbn 解之，得 ，即 ， 6 分nna12* 3215573112 nn aa ，)(4n 从而 （余同法 1）8 分2)1(2 )(212 ann （注：本小题解法中，也可以令 ，或令 ，余下解法与法 2 类似）nab1nab （3） （法 1）由（2） ，得 为 偶 数为 奇 数n,)2(8,31 显然， ； 10 分1431aS 当 为偶数时，n 2222 )(1)(81648 nn )2(18641 n 21816428 n ； 12 分21n 当 为奇数（ ）时，n3 )3(182)(41 nnaSn 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 .24)3(2)1(824)3(1242 nnnnn 综上所述， ， 14 分S*N （解法 2）由（2） ，得 为 偶 数为 奇 数nna,)2(8,31 以下用数学归纳法证明 ， 4S*N 当 时， ；1n2131a 当 时， 时，不等式成立11 分2 2431aS ,1n 假设 时，不等式成立，即 ，)(kn 2k 那么，当 为奇数时， 211 )3(84kaSkk ；2)3(83)1(423)(4 kk)1(4k 当 为偶数时， )4(8411 kaS