2010年第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教案-《分步原理与分类原理》(河北赵寿锋)

1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 教学设计 河北省沧州市第一中学（061000） 赵寿锋 一、本节课教学内容的本质、地位、作用分析 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人类在大量的实践经验的基础上 归纳出的基本规律，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其 基本思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识。 返璞归真的看两个原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘 法运算的推广。从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一 个复杂问题分解为若干“类别” ，然后分类解决，各个击破；运用分步乘法计数 原理是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤” ，先对每个步骤进行细致 分析，再整合为一个完整的过程。这样做的目的是为了分解问题、简化问题。 可见，理解和掌握两个计数原理，是学好本章内容的关键。 二、教学目标分析 1、知识目标： 使学生熟练掌握两个原理的内容、区别，能够灵活的应用两个原理解决常 见的计数问题。 2、能力目标： 在教学过程中，凸显两个原理发现的原始过程，使学生深刻理解由特殊到 一般的归纳推理思维，在应用原理解决问题时，体会一般到特殊的演绎推理思 维，从而培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力以及解决实际问题时主动应 用数学知识的能力。 3、德育渗透目标： 通过探索与发现的过程，使学生亲历数学研究的成功和快乐，感悟数学朴 实无华的内在美，学会提出问题、分析问题、解决问题、推广结论进而完善结 论的数学应用意识，激发学生勇于探索、敢于创新的精神，优化学生的思维品 质。 三、教学过程 【引入】展示世界杯图片：2010 南非世界杯是今年全球的一大体育盛事。32 支 球队齐聚南非，观众席上，人山人海，彩旗飘飘；绿茵场上，群雄逐鹿，球技 高超，真是一场难得的视觉盛宴啊！通过小组赛、十六强赛，八强赛、四强赛、 季军赛、决赛，最终决出冠亚季军，大家知道总共进行了多少场比赛吗? 生齐答：64 场。 正确！这个场数我们能否通过一一列举出所有的场次，逐个数出呢？ 学生 1：我觉得应该可以，但是方法数较大，操作起来繁琐。 没 错 。 其 实 ， 在 生 活 中 ， 我 们 还 会 遇 到 很 多 类 似 的 方 法 数 的 计 算 问 题 ， 这 种 问 题 我 们 称 之 为 计 数 问 题 。 (板 书 )一 、 计 数 问 题 ： 计 算 完 成 一 件 事 的 方 法 数 的 问 题 。 我 们 将 通 过 本 章 的 研 究 学 习 解 决 不 通 过 逐 个 数 来 确 定 这 种 方 法 数 的 技 巧 方 法 。 【 新 课 】 今 天 我 们 先 来 研 究 解 决 计 数 问 题 的 两 种 最 基 本 、 最 重 要 的 方 法 ： 字 幕 ： 1.1 分 类 加 法 计 数 原 理 与 分 步 乘 法 计 数 原 理 首 先 ， 我 们 大 家 一 起 来 研 究 问 题 1.（ 镜 头 指 向 幻 灯 片 ） 【问题 1】2010 南非世界杯开赛前，中央电视台某位记者通过网络测试了解到 观众最感兴趣欧洲球队和美洲球队如下： 欧洲球队 美洲球队 德国 巴西 英格兰 阿根廷 西班牙 乌拉圭 意大利 法国 他决定从这些球队中选择一个跟踪采访，试问：他有几种选择方式？ 谁能解决这个问题？ ，你来试试！ 学生 2：8 种。 很好，请问:这名记者要完成一件什么事？ 学生 2：从这些球队中选择一个跟踪采访。 他怎么完成这件事？ 学生 2：从欧洲球队或美洲球队中选一个。 怎么计算方法数？ 学生 2：把两类球队数相加即可，5+3=8。 分析的不错，请坐！ 其实，提出问题比解决问题更难能可贵，我们大家思考一下，能否举一些生活 中类似的例子吗？ 【问题 2】你能举一些生活中类似的例子吗？你能试着解决吗？20 秒 学生 3：暑假马上到了，我想去看清华园，从沧州到北京有两种交通工具供选择： 长途汽车、旅客列车，已知当天长途汽车有 5 班，旅客列车有 3 班。问共有多 少种不同的选择？ 相当不错！你能解决吗？ 学生 3：能，5+3=8. 这个问题中，我们需要完成一件什么事？ 学生 3：从沧州到北京。 怎么完成这件事？ 学生 3：坐汽车或火车都可以完成。 怎么计算？ 学生 3：把两类方法数相加即可。 嗯，分析透彻，还有同学能举吗？ 学生 4：咱们班共有男生 30 名，女生 20 名，从班上选出 1 名同学当班长，有多 少不同的选法？ 也不错，你能类似分析吗？ 学生 4：我需要完成一件事是：从班上选出 1 名同学当班长，只要从男生或女生 中选出一人即可，所以，30+20=50. 刚刚我们研究的这些问题虽然简单，但体现出数学中的一个原理，抛开其 实际意义，我们能否寻求共性，抽象出一个命题呢？大家可以讨论一下。 谁能试着分析一下 【问题 3】这些例子有哪些共性？你能试着归纳出一个一般的命题吗？ 学生 5：这些例子都是计数问题，即需要完成一件事，计算其方法数，都有两类 方案可以选择，都用加法运算。 很好!你的抽象概括能力很强。 你能把它叙述为一个命题吗？ 学生 5：做一件事有两类不同的方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=n+ m 种不同的方法。 相当不错，你的语言表达能力也很强。 好极了，我们把刚才那位同学叙述的内容整理一下，得到 分类加法计数原理：完成一件事有两类不同的方案，在第 1 类方案中有 n1 种不 同的方法，在第 2 类方案中有 n2 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=n1+ n2 种不同的方法。 （ 板 书 ） 二 、 分 类 N=n1+ n2 原理是指在大量的观察、实践的基础上，归纳总结出的具有普遍意义的基 本规律，一般无须证明。 我们看到:在这个原理中，大家要注意：“完成一件事 ”， “分类” ， “加法”几个 关键词。这个原理浅显易懂，关键能够灵活应用。以后在用这个原理解决问题 时，大家要能够用原理表达，要清楚完成一件什么事？怎么完成？分哪几类？ 接着看下一个问题。 【问题 1 的变式】2010 南非世界杯是今年体育界的一大盛事。开赛前，中央电 视台某位记者通过网络测试了解到观众最感兴趣欧洲球队、美洲球队和亚洲球 队如下： 欧洲球队 美洲球队 亚洲球队 德国 巴西 韩国 英格兰 阿根廷 日本 西班牙 乌拉圭 意大利 法国 他决定从这些球队中选择一个跟踪采访，试问：他有几种选择方式？ 这个问题你能解决吗？ 学生 8：能，5+3+2=10. 不错，这个问题对你有什么启发呢? 学生 8：我觉得原理中的方案的种类不一定是两类，可以是三类。 你能试着把原理推广到三类吗？ 【问题 4】你能进一步推广到有 3 类方案的情况吗？m 类方案呢？ 学生 8：当然能，完成一件事有三类不同的方案，在第 1 类方案中有 n1 种不同的 方法，在第 2 类方案中有 n2 种不同的方法，在第 3 类方案中有 n3 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=n1+ n2+ n3 种不同的方法。 推广 1 完成一件事有三类不同的方案，在第 1 类方案中有 n1 种不同的方法， 在第 2 类方案中有 n2 种不同的方法，在第 3 类方案中有 n3 种不同的方法，那么 完成这件事共有 N=n1+ n2+ n3 种不同的方法。 我们当然还能进一步推广到 4 类、5 类、甚至 m 类。 学生 ，你试试！ 推广 2 完成一件事有 m 类不同的方案，在第 1 类方案中有 n1 种不同的方法， 在第 2 类方案中有 n2 种不同的方法，在第 m 类方案中有 nm 种不同的方 法，那么完成这件事共有 N=n1+ n2+nm 种不同的方法。 让我们继续我们的世界杯之旅。 【问题 5】世界杯开赛前，新浪网和搜狐网在网上分别进行了“本届世界杯你 最支持的球队”的评选活动，位于前五位的结果如下： 新浪网 搜狐网 德国 巴西 巴西 阿根廷 西班牙 乌拉圭 意大利 西班牙 法国 荷兰 试问：如果你从这两个网站的评选结果中挑选一支你最支持的球队，有多少种 选法？ 谁能试着分析一下你的思路。 学生 9：因为我要完成的事是挑选一支最支持的球队，所以我从新浪网和搜狐网 中选，但是巴西、西班牙两个网的结果都有，所以有 种选择。825 很好，我们能否直接用分类加法计数原理解答呢？ 学生 9：不能！去掉重复的队即可。 【问题 6】由此你能试着总结应用分类加法计数原理需要注意的问题吗？ 学生 9：分类需要注意“不能重复” 。 总结的很好，当然我们在分类时除了不能重复之外，还不能遗漏，即“不 重不漏” ，这也是分类讨论的数学思想的关键点。再来研究下一个问题。 【问题 7】2010 年南非世界杯小组赛中， A 小组成员有：南非、墨西哥、法国、 乌拉圭，在小组赛前，你能计算前两名的可能情况有多少种吗？ 学生 10：12 种。 谈谈你的想法。 学生 10：如果第一名是南非，第二名可以是墨西哥或法国或乌拉圭，共三种方 法；当然第一名还可能是墨西哥或法国或乌拉圭，所以方法数为 4 3=12. 分析很精彩。我们可以用图来展示这位同学的思想，这种图示你能形象的给它 命个名吗？ 学生 10：嗯，我觉得它形状象树，叫做“树形图” ，可以吗？ 很好，这种图示我们在解决计数问题时十分常用，我们通常就称之为“树形图” 。 学生 11：我觉得还可以这样考虑：我们要完成一件事是排出第一、第二名，那 么我先选第一名，有 4 种方法，再选第二名有 3 种方法，所以共有 4 3=12. 这位同学的分析也很好。 我们也能举出生活中一些类似的例子。大家可以讨论一下。 【问题 8】你能举一些生活中类似的例子吗？ 学生 3：老师，我想改编一下刚才的例子，暑假来了，我要从沧州到北京旅游， 若想中途参观南开大学，已知从沧州到天津有 3 种乘车方式，从天津到北京有 2 种乘车方式，试问：要从沧州到北京共有多少种不同的方法？ 你能解答吗？ 学生 3： 种。6 这个问题中，要完成一件什么事？ 学生 3：从沧州到北京。 不太确切。 学生 3：从沧州先到天津，再到北京。 你能指出所有的路线吗？ 学生 3：1A、1B、2A、2B、3A、3B。 1 是否是完成这件事的一种方法？ 学生 3：不是。 为什么？ 学生 3：1 不能完成这件事。 学生 4：老师，我也能改编我的例子， 咱们班共有男生 20 名，女生 10 名，从班上 选出 1 名男生和一名女生担任节目主持人，有多少不同的选法？ 你能类似的分析一下吗？ 学生 4：我要我要完成从班上选出 1 名男生和一名女生的任务，先选男生，再选 女生，共有 种方法。20 还有同学能从别的情景下举例并解决吗？ 学生 12： 我有 5 件上衣，4 条裤子，选出一件上衣和一条 裤子进行搭配，有 种选法？5420 学生 13： 食堂有米饭、馒头、花卷 3 种主食，有 6 种炒菜，要选择一种主食和一 种炒菜，有 种不同的选法？6318 大家举的例子漂亮极了！我相信大家一定能够寻求共性，仿照分类加法计数原 理抽象出一个一般命题？ 【问题 9】这些例子有哪些共性？你能仿照分类加法计数原理试着归纳出一个 一般的命题吗？ 学生 14：这些问题都需要完成一件事，计算其方法数，都有两个步骤，用乘法 计算。 很好，你能把它叙述为一个命题吗？ 学生 14：可以，完成一件事有两个步骤，做第 1 步有 n1 种不同的方法，做第 2 步有 n2 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=n1 n2 种不同的方法。 （ 板 书 ） 二 、 分 步 N=n1 n2 我们看到:在这个原理中，我们要注意：“完成一件事 ”， “分步” ， “乘法”几个 关键词。步与步之间要相互独立，分步要做到“步骤完整” ，从刚才的讨论可以 看出，只有每一步都完成了，这件事才宣告完成。这个原理依然浅显易懂，关 键能够灵活应用。以后在用这个原理解决问题时，要用原理表达，完成一件什 么事？怎么完成？分哪几步？ 【问题 10】你能进一步推广到有 3 个步骤的情况吗？m 个步骤呢？ 学生 15：完成一件事有三个步骤，做第 1 步有 n1 种不同的方法，做第 2 步有 n2 种不同的方法，做第 3 步有 n3 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=n1 n2 n3 种不同的方法。 推广 2 完成一件事有 m 个步骤，做第 1 步有 n1 种不同的方法，做第 2 步有 n2 种不同的方法，做第 m 步有 nm 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=n1 n2 nm 种不同的方法。 好，我们共同来解决一个例题。 【例 1】书架的第一层有 4 本不同的计算机书，第二层有 3 本不同的文艺书， 第三层有 2 本不同的体育书。 （1）从书架中任取 1 本书，有 9 种不同的取法； （2）从书架的第 1，2，3 层各取一本书，有 24 种不同的取法； （3）从书架中任取 2 本不同学科的书，有 26 种不同的取法。 这个问题综合应用了两个原理，体现了“类中有步” 、 “步中有类”思想。 学生 16：（1）要完成从书架中取出 1 本书这件事，我分三类，即取出计算机 书或文艺书或体育书，由分类加法计数原理，有 4+3+2=9 种不同的取法 (2) 要完成从书架中第 1，2，3 层各取一本书的这件事，我分三步： 先取一本计算机书，再取一本文艺书，最后取一本体育书，由分步乘法计数原 理，有 种不同的取法432 学生 17：要完成从书架中任取 2 本不同学科的书这件事，先分三类：一本计算 机书和一本文艺书，一本文艺书和一本体育书，一本体育书和一本计算机书， 第一类又分为两步，先取一本计算机书，再取一本文艺书，这样共有 种不同的取法4326 学生 18：我觉得还可以分两类，即按照两本书中是否有体育书分类，每类再分 步，即有 种不同的取法32 学生讨论填充表格。 总结归纳两个原理的