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2012 年江苏省常州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分， ） 1 （2 分） （2012 常州） 3 的相反数是（ ） A 3 B C D 3 2 （2 分） （2009 台州）下列运算正确的是（ ） A 3a+2a=a5 B a2a3=a6 C （a+b） （ab） =a2b2 D （a+b） 2=a2+b2 3 （2 分） （2012 常州）如图所示，由三个相同的小正方体组成的立体图形的主视图是（ ） A B C D 4 （2 分） （2012 常州）为了参加市中学生篮球运动后，某校篮球队准备购买 10 双运动鞋，经统计 10 双运动鞋的 号码（cm）如表所示： 尺码 25 25.5 26 26.5 27 购买量（双） 2 4 2 1 1 则这 10 双运动鞋尺码的众数和中位数分别是（ ） A 25.5cm 26cm B 26cm 25.5cm C 26cm 26cm D 25.5cm 25.5cm 5 （2 分） （2012 常州）已知两圆半径分别为 7、3，圆心距为 4，则这两圆的位置关系为（ ） A 外离 B 内切 C 相交 D 内含 6 （2 分） （2012 常州）已知等腰三角形三边中有两边的长分别为 4、9，则这个等腰三角形的周长为（ ） A 13 B 17 C 22 D 17 或 22 7 （2 分） （2012 常州）已知二次函数 y=a（x 2） 2+c（a0） ，当自变量 x 分别取 、3、0 时，对应的函数值分 别：y 1，y 2，y 3， ，则 y1，y 2，y 3 的大小关系正确的是（ ） A y3y 2y 1 B y1y 2y 3 C y2y 1y 3 D y3y 1y 2 8 （2 分） （2012 常州）已知 a、b、c 、d 都是正实数，且 ，给出下列四个不等式： ； ； ； 其中不等式正确的是（ ） A B C D 二、填空题（第 9 小题 4 分，其余 8 小题每小题 2 分，共 20 分，不需写出解答过程） 9 （2 分） （2012 常州）计算：| 2|= _ ， （2） 1= _ ， （2） 2= _ ， = _ 10 （2 分） （2012 常州）已知点 P（3，1） ，则点 P 关于 y 轴的对称点的坐标是 _ ，点 P 关于原点 O 的对称点的坐标是 _ 11 （2 分） （2012 常州）若a=60，则a 的余角为 _ ，cosa 的值为 _ 12 （2 分） （2012 常州）已知扇形的半径为 3cm，圆心角为 120，则此扇形的弧长为 _ cm，扇形的 面积是 _ cm 2 （结果保留 ） 13 （2 分） （2012 常州）已知函数 y= ，则自变量 x 的取值范围是 _ ；若分式 的值为 0， 则 x= _ 14 （2 分） （2012 常州）已知关于 x 的方程 2x2mx6=0 的一个根 2，则 m= _ ，另一个根为 _ 15 （2 分） （2012 常州）已知 x=y+4，则代数式 x22xy+y225 的值为 _ 16 （2 分） （2012 常州）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（3，0） ，P 是以点 P 为圆心，2 为半径的圆，若 一次函数 y=kx+b 的图象过点 A（1，0）且与P 相切，则 k+b 的值为 _ 17 （4 分） （2012 常州）如图，已知反比例函数 y= （k 10） ，y= （k 20） 点 A 在 y 轴的正半轴上，过点 A 作直线 BCx 轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点 B 和 C，连接 OC、OB若BOC 的面积为 ， AC：AB=2：3，则 k1= _ ，k 2= _ 菁优网 2010-2012 菁优网 三、解答题（本题共 2 各小题，共 18 分，解答应写出演算步骤） 18 （8 分） （2012 常州）化简： （1） （ ） 0+2sin30 （2） 19 （10 分） （2012 常州）解方程组和不等式组： （1） （2） 四、解答题（本大题共 2 小题，共 15 分，解答应写出文字说明或演算步骤） 20 （7 分） （2012 常州）为了迎接党的十八大的召开，某校组织了以“ 党在我心中”为主题的征文比赛，每位学生 只能参加一次比赛，比赛成绩只分 A、B、C、D 四个阶段随机抽取该校部分学生的征文比赛成绩进行统计分析， 并绘制了如下的统计图表： 根据表中的信息，解决下列问题： 成绩等级 A B C D 人数 60 x y 10 占抽查学生总数的百分比 30% 50% 15% m （1）本次抽查的学生共有 _ 名； （2）表中 x、y 和 m 所表示的数分别为： X= _ ，y= _ ，m= _ ； （3）请补全条形统计图 21 （8 分） （2012 常州）在一个不透明的口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球 2 只，红球 1 只，黑 球 1 只，它们除了颜色之外没有其它区别，从袋中随机地摸出 1 只球，记录下颜色后放回搅匀，再摸出第二只球 并记录颜色，求两次都摸出白球的概率 五、解答题（本大题共 2 小题，共 12 分，解答应写出证明过程） 22 （7 分） （2012 常州）如图，在四边形 ABCD 中，AD BC，对角线 AC 的中点为 O，过点 O 作 AC 的垂线分别 与 AD、BC 相交于点 E、F，连接 AF求证：AE=AF 23 （5 分） （2012 常州）如图，在 ABC 中，AB=AC ，AD 平分BAC求证： DBC=DCB 六、画图与应用（本大题共 2 小题，共 13 分） 24 （6 分） （2012 常州）在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 和DEF 的顶点坐标分别为 A（1，0） 、 B（3，0） 、C （2，1） 、D（4 ，3） 、E（6，5） 、F（4，7） 按下列要求画图：以 O 为位似中心，将 ABC 向 y 轴左侧按比例尺 2：1 放大得ABC 的位似图形A 1B1C1，并解 决下列问题： （1）顶点 A1 的坐标为 _ ，B 1 的坐标为 _ ，C 1 的坐标为 _ ； （2）请你利用旋转、平移两种变换，使A 1B1C1 通过变换后得到A 2B2C2，且A 2B2C2 恰与DEF 拼接成一个平 行四边形（非正方形） ，写出符合要求的变换过程 25 （7 分） （2012 常州）某商场购进一批 L 型服装（数量足够多） ，进价为 40 元/件，以 60 元/件销售，每天销售 20 件，根据市场调研，若每件降价 1 元，则每天销售数量比原来多 3 件现商场决定对 L 型服装开展降价促销活 动，每件降价 x 元（x 为正整数） 在促销期间，商场要想每天获得最大销售毛利润，每件应降价多少元？每天最 大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差） 七、解答题（本大题共 3 小题，共 26 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26 （7 分） （2012 常州）平面上有两条直线 AB、CD 相交于点 O，且 BOD=150（如图） ，现按如下要求规定此 平面上点的“距离坐标” ： （1）点 O 的“距离坐标” 为（0，0） ； （2）在直线 CD 上，且到直线 AB 的距离为 p（p0）的点的“距离坐标” 为（p，0） ；在直线 AB 上，且到直线 CD 的距离为 q（q0）的点的“距离坐标”为（0，q） ； （3）到直线 AB、CD 的距离分别为 p，q（p0，q0）的点的“距离坐标” 为（p，q） 菁优网 2010-2012 菁优网 设 M 为此平面上的点，其“ 距离坐标 ”为（m ，n） ，根据上述对点的 “距离坐标”的规定，解决下列问题： （1）画出图形（保留画图痕迹）： 满足 m=1，且 n=0 的点 M 的集合； 满足 m=n 的点 M 的集合； （2）若点 M 在过点 O 且与直线 CD 垂直的直线 l 上，求 m 与 n 所满足的关系式 （说明：图中 OI 长为一个单位 长） 27 （9 分） （2012 常州）已知，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=2，点 M 为边 BC 的中点，点 P 为边 CD 上的动点 （点 P 异于 C，D 两点） 连接 PM，过点 P 作 PM 的垂线与射线 DA 相交于点 E（如图） ，设 CP=x，DE=y （1）写出 y 与 x 之间的关系式 _ ； （2）若点 E 与点 A 重合，则 x 的值为 _ ； （3）是否存在点 P，使得点 D 关于直线 PE 的对称点 D落在边 AB 上？若存在，求 x 的值；若不存在，请说明理 由 28 （10 分） （2012 常州）在平面直角坐标系 xOy 中，已知动点 P 在正比例函数 y=x 的图象上，点 P 的横坐标为 m（m0） ，以点 P 为圆心， m 为半径的圆交 x 轴于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，交 y 轴于 C、D 两点 （点 D 在点 C 的上方） 点 E 为平行四边形 DOPE 的顶点（如图） （1）写出点 B、E 的坐标（用含 m 的代数式表示） ； （2）连接 DB、BE，设BDE 的外接圆交 y 轴于点 Q（点 Q 异于点 D） ，连接 EQ、BQ ，试问线段 BQ 与线段 EQ 的长是否相等？为什么？ （3）连接 BC，求 DBCDBE 的度数 2012 年江苏省常州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分， ） 1 （2 分） （2012 常州） 3 的相反数是（ ） A 3 B C D 3 考点： 相反数。710466 分析： 根据只有符号 不同的两个数 互为相反数解 答 解答： 解：3 的相反 数是 3 故选 D 点评： 本题考查了相 反数的定义， 是基础题，熟 记概念是解题 的关键 2 （2 分） （2009 台州）下列运算正确的是（ ） A 3a+2a=a5 B a2a3=a6 C （a+b） （ab） =a2b2 D （a+b） 2=a2+b2 考点： 平方差公式； 合并同类项； 同底数幂的乘 法；完全平方 公式。710466 分析： A 为合并同类 项，B 为同底 数幂的乘法， C 为平方差公 式，D 为完全 平方公式 解答： 解：A、应为 3a+2a=5a，故 本选项错误； B、应为 a2a 3=a5，故 菁优网 2010-2012 菁优网 本选项错误； C、 （a+b） （ab）=a 2b2， 正确； D、应为 （a+b） 2=a2+2ab+b2， 故本选项错 误 故选 C 点评： 本题主要考查 合并同类项， 同底数幂的乘 法，平方差公 式，完全平方 公式，熟练掌 握运算法则和 性质是解题的 关键 3 （2 分） （2012 常州）如图所示，由三个相同的小正方体组成的立体图形的主视图是（ ） A B C D 考点： 简单组合体的 三视图。710466 分析： 根据主视图是 从正面看得到 的视图解答 解答： 解：从正面看， 从左向右共有 2 列，第一列是 1 个正方形，第 二列是 2 个正 方形，且下 齐 故选 B 点评： 本题考查了三 视图，主视图 是从正面看得 到的视图，要 注意分清所看 到的正方形的 排列的列数与 每一列的正方 形的排列情 况 4 （2 分） （2012 常州）为了参加市中学生篮球运动后，某校篮球队准备购买 10 双运动鞋，经统计 10 双运动鞋的 号码（cm）如表所示： 尺码 25 25.5 26 26.5 27 购买量（双） 2 4 2 1 1 则这 10 双运动鞋尺码的众数和中位数分别是（ ） A 25.5cm 26cm B 26cm 25.5cm C 26cm 26cm D 25.5cm 25.5cm 考点： 众数；中位数。 710466 分析： 根据众数是出 现次数最多的 数，中位数是 中间位置的数 或中间两数的 平均数计算即 可 解答： 解：25.5 出现 了 3 次，最多， 故众数为 25.5cm； 中位数为 （25.5+25.5） 2=25.5cm； 故选 D 点评： 本题考查了众 数及中位数的 定义，属于基 础的统计题， 相对比较简 单 5 （2 分） （2012 常州）已知两圆半径分别为 7、3，圆心距为 4，则这两圆的位置关系为（ ） A 外离 B 内切 C 相交 D 内含 考点： 圆与圆的位置 关系。710466 分析： 由两圆半径分 别为 7、3，圆 心距为 4，根据 两圆位置关系 与圆心距 d，两 圆半径 R，r 的 菁优网 2010-2012 菁优网 数量关系间的 联系即可得出 两圆位置关 系 解答： 解： 两圆半径 分别为 7、3， 两圆半径差为： 73=4， 圆心距为 4， 这两圆的位置 关系为：内 切 故选 B 点评： 此题考查了圆 与圆的位置关 系此题比较 简单，注意掌 握两圆位置关 系与圆心距 d， 两圆半径 R，r 的数量关系间 的联系是解此 题的关键 6 （2 分） （2012 常州）已知等腰三角形三边中有两边的长分别为 4、9，则这个等腰三角形的周长为（ ） A 13 B 17 C 22 D 17 或 22 考点： 等腰三角形的 性质；三角形 三边关系。710466 专题： 分类讨论。 分析： 由于等腰三角 形的底和腰长 不能确定，故 应分两种情况 进行讨论 解答： 解：当 4 为底 时，其它两边 都为 9， 9、 9、 4 可以 构成三角形， 三角形的周长 为 22； 当 4 为腰时， 其它两边为 9 和 4， 4+4=89， 不能构成三角 形，故舍去 故选 C 点评： 本题考查了等 腰三角形的性 质和三角形的 三边关系，已 知没有明确腰 和底边的题目 一定要想到两 种情况，分类 进行讨论，还 应验证各种情 况是否能构成 三角形进行解 答，这点非常 重要，也是解 题的关键 7 （2 分） （2012 常州）已知二次函数 y=a（x 2） 2+c（a0） ，当自变量 x 分别取 、3、0 时，对应的函数值分 别：y 1，y 2，y 3， ，则 y1，y 2，y 3 的大小关系正确的是（ ） A y3y 2y 1 B y1y 2y 3 C y2y 1y 3 D y3y 1y 2 考点： 二次函数图象 上点的坐标特 征。710466 分析： 根据抛物线的 性质，开口向 上的抛物线， 其上的点离对 称轴越远，对 应的函数值就 越大，x 取 0 时 所对应的点离 对称轴最远，x 取 时所对应 的点离对称轴 最近，即可得 到答案 解答： 解： 二次函数 y=a（x 2） 2+c（a0） ， 该抛物线的开 口向上，且对 称轴是 x=2 菁优网 2010-2012 菁优网 抛物线上的点 离对称轴越远， 对应的函数值 就越大， x 取 0 时所对 应的点离对称 轴最远，x 取 时所对应的 点离对称轴最 近， y3 y2y 1 故选 B 点评： 本题考查了二 次函数图象上 点的坐标特 征解题时， 需熟悉抛物线 的有关性质： 抛物线的开口 向上，则抛物 线上的点离对 称轴越远，对 应的函数值就 越大 8 （2 分） （2012 常州）已知 a、b、c 、d 都是正实数，且 ，给出下列四个不等式： ； ； ； 其中不等式正确的是（ ） A B C D 考点： 不等式的性质。 710466 专题： 计算题。 分析： 由 ，a、b、c 、d 都是正实数， 根据不等式不 等式的性质不 等式都乘以 bd 得到 adbc， 然后两边都加 上 ac 得到 ac+adac+bc， 即 a（c+d） c（a+b） ，然 后两边都除以 （c+d） （a+b） 得到 ，得 到正确， 不正确；同理 可得到 ，则正 确，不正 确 解答： 解： ， a、b 、c、d 都是正 实数， adbc， ac+adac+bc ，即 a（c+d） c（a+b） ， ， 所以正确， 不正确； ， a、b 、c、d 都是正 实数， adbc， bd+adbd+bc ，即 d（a+b） b（d+c） ， ， 所以正确， 不正确 故选 A 点评： 本题考查了不 等式的性质： 不等式两边都 加上或减去同 一个数，不等 号的方向不改 变；等式两边 都乘以或除以 同一个正数， 菁优网 2010-2012 菁优网 不等号的方向 不改变；等式 两边都乘以或 除以同一个负 数，不等号的 方向改变 二、填空题（第 9 小题 4 分，其余 8 小题每小题 2 分，共 20 分，不需写出解答过程） 9 （2 分） （2012 常州）计算：| 2|= 2 ， （2） 1= ， （2） 2= 4 ， = 3 考点： 负整数指数幂； 绝对值；立方 根；零指数幂。 710466 分析： 利用绝对值的 定义，负指数 次幂，以及平 方的定义，立 方根的定义即 可求解 解答： 解： ：2|=2， （2） 1= ， （2） 2=4， =3 故答案是：2， ，4，3 点评： 本题主要考查 了平方的定义， 立方根的定义， 负指数幂的运 算负整数指 数为正整数指 数的倒数 10 （2 分） （2012 常州）已知点 P（3，1） ，则点 P 关于 y 轴的对称点的坐标是 （3，1） ，点 P 关于原点 O 的对称点的坐标是 （3，1 ） 考点： 关于原点对称 的点的坐标； 关于 x 轴、y 轴 对称的点的坐 标。710466 专题： 计算题。 分析： 根据关于 y 轴 对称的点的坐 标特点得到点 P（3，1）关于 y 轴的对称点的 坐标为（3，1） ； 根据关于原点 对称的点的坐 标特点得到点 P 关于原点 O 的对称点的坐 标为（3，1） 解答： 解： 点 P 的坐 标为（3，1） ， 点 P 关于 y 轴 的对称点的坐 标是（3，1） ， 点 P 关于原点 O 的对称点的 坐标为 （3，1 ） 故答案为 （3，1） ， （3，1 ） ） 点评： 本题考查了关 于原点对称的 点的坐标特点： 点 P（a，b）关 于原点的对称 点的坐标为 （a ， b） 也 考查了关于 y 轴的对称点的 坐标特点 11 （2 分） （2012 常州）若a=60，则a 的余角为 30 ，cosa 的值为 考点： 特殊角的三角 函数值；余角 菁优网 2010-2012 菁优网 和补角。710466 专题： 计算题。 分析： 根据互为余角 的两角之和为 90，可得出 a 的余角，再由 cos60= ，填 空即可 解答： 解：a 的余角 =9060=30， cos60= 故答案为：30、 点评： 此题考查了特 殊角的三角函 数值及余角的 知识，属于基 础题，掌握互 为余角的两角 之和为 90，熟 记一些特殊角 的三角函数值 是关键 12 （2 分） （2012 常州）已知扇形的半径为 3cm，圆心角为 120，则此扇形的弧长为 2 cm，扇形的面积是 3 cm 2 （结果保留 ） 考点： 扇形面积的计 算；弧长的计 算。710466 专题： 计算题。 分析： 分别根据弧长 公式和扇形的 面积公式进行 计算即可 解答： 解：由题意得， 扇形的半径为 3cm，圆心角为 120， 故此扇形的弧 长为： =2 ，扇形的面积= =3 故答案为： 2，3 点评： 此题考查了扇 形的面积计算 及弧长的计算， 属于基础题， 解答本题的关 键是熟练掌握 弧长及扇形的 面积计算公式， 难度一般 13 （2 分） （2012 常州）已知函数 y= ，则自变量 x 的取值范围是 x2 ；若分式 的值为 0，则 x= 3 考点： 函数自变量的 取值范围；分 式的值为零的 条件。710466 分析： 根据二次根式 的性质和分式 的意义，被开 方数大于等于 0，以及分式的 值等于 0 的条 件是：分子 =0，而分母 0，即可求 解 解答： 解：（1）根据 题意得： x20， 解得：x2； （2）根据题意 得：x3=0 ， 解得：x=3 故答案是： x2；3 点评： 本题考查了分 式有意义的条 件以及分式的 值是 0 的条件， 菁优网 2010-2012 菁优网 正确理解条件 是关键 14 （2 分） （2012 常州）已知关于 x 的方程 2x2mx6=0 的一个根 2，则 m= 1 ，另一个根为 考点： 一元二次方程 的解。710466 分析： 根据一元二次 方程的解的定 义，将 x=2 代 入已知方程， 列出关于 m 的 新方程，通过 解该方程即可 求得 m 的值； 然后由根与系 数的关系即可 求得原方程的 另一根 解答： 解：设方程的 另一根为 x2 关于 x 的方程 2x2mx6=0 的 一个根 2， x=2 满足该方 程， 2222m6=0， 解得，m=1； 由韦达定理知， 2x2=3， 解得，x 2= ； 故答案是：1； 点评： 本题主要考查 了方程的解的 定义一元二 次方程的根就 是一元二次方 程的解，就是 能够使方程左 右两边相等的 未知数的 值即用这个 数代替未知数 所得式子仍然 成立 15 （2 分） （2012 常州）已知 x=y+4，则代数式 x22xy+y225 的值为 9 考点： 完全平方公式。 710466 分析： 根据已知条件 “x=y+4”可知 “xy=4”；然后 将所求的代数 式转化为含有 xy 的形式，将 xy 的值代入求 值即可 解答： 解： x=y+4， xy=4， x22xy+y225= （xy） 225=1625=9， 故答案是：9 点评： 本题主要考查 完全平方公式， 熟记公式结构 是解题的关 键完全平方 公式：（ab） 2=a22ab+b2 16 （2 分） （2012 常州）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（3，0） ，P 是以点 P 为圆心，2 为半径的圆，若 一次函数 y=kx+b 的图象过点 A（1，0）且与P 相切，则 k+b 的值为 考点： 切线的性质； 待定系数法求 一次函数解析 式。710466 菁优网 2010-2012 菁优网 专题： 计算题；数形 结合。 分析： 根据题意画出 相应的图形， 如图所示当直 线 AB 与圆 P 相切，切点为 B 点且 B 在第 一象限时，连 接 PB，由 AB 为圆 P 的切线， 利用切线的性 质得到 AB 垂 直于 BP，可得 出三角形 ABP 为直角三角形， 由 A 和 P 的坐 标求出 OA 与 OP 的长，用 OA+OP 求出 AP 的长，可得 出 BP 等于 AP 的一半，根据 直角三角形中 一直角边等于 斜边的一半， 可得出此直角 边所对的角为 30，得到 BAP 为 30， 在直角三角形 AOC 中，由 C 的坐标求出 OC 的长，利用锐 角三角函数定 义表示出 tan30， 将 OA 的值并 利用特殊角的 三角函数值化 简，求出 OC 的长，确定出 C 的坐标，设 直线 AC 的解 析式为 y=kx+b，将 A 和 C 的坐标代 入得到关于 k 与 b 的二元一 次方程组，求 出方程组的解 得到 k 与 b 的 值，进而求出 k+b 的值；当直 线 AB 与圆 P 相切，B 为切 点，且 B 在第 二象限时，同 理求出 k+b 的 值，综上，得 到满足题意 k+b 的值 解答： 解：根据题意 画出相应的图 形，如图所示： 当直线 AB 与 圆 P 相切，设 切点为 B 点， 且切点 B 在第 一象限时， 连接 PB，由 AB 为圆 P 的切 线，得到 BPAB， 又 A（ 1，0） ， P（3，0） ， OA=1，OP=3 ，又 BP=2， 则 AP=OA+OP=1+ 3=4， 在 RtABP 中， BP= AP， 可得出 BAP=30， 在 RtACO 中， OA=1， BAP= 菁优网 2010-2012 菁优网 30， tanBAP=tan3 0= =OC， OC= ，即 C（0， ） ， 设直线 AC 的 解析式为 y=kx+b，将 A 和 C 的坐标代 入得： ， 解得： ， k+b= ； 当直线 AB 与 圆 P 相切时， 切点 B 在第二 象限时，同理 得到 k=b= ， 可得 k+b= ， 综上，k+b= 故答案为： 点评： 此题考查了切 线的性质，含 30直角三角形 的判定与性质， 利用待定系数 法求一次函数 解析式，锐角 三角函数定义， 以及坐标与图 形性质，利用 了数形结合及 分类讨论的思 想，熟练掌握 切线的性质是 解本题的关 键 17 （4 分） （2012 常州）如图，已知反比例函数 y= （k 10） ，y= （k 20） 点 A 在 y 轴的正半轴上，过点 A 作直线 BCx 轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点 B 和 C，连接 OC、OB若BOC 的面积为 ， AC：AB=2：3，则 k1= 2 ，k 2= 3 考点： 反比例函数系 数 k 的几何意 义。710466 分析： 根据反比例函 数系数的几何 意义可得， |k1|+|k2|的值以 及|k 1|： |k2|的值， 然后联立方程 组求解得到|k 1| 与|k 2|的值，然 后即可得解 解答： 解：BOC 的 面积为 ， |k1|+ |k2|= ， 即 |k1|+|k2|=5， AC：AB=2： 3， |k1|：|k 2|=2：3 ， 菁优网 2010-2012 菁优网 联立 ， 解得 |k1|=2，|k 2|=3， k1 0， k20 ， k1=2，k 2=3 故答案为： 2，3 点评： 本题考查了反 比例函数系数 的几何意义， 过双曲线上的 任意一点分别 向两条坐标作 垂线，与坐标 轴围成的矩形 面积就等于 |k|，根据题意 得到两个关于 反比例函数系 数的方程是解 题的关键 三、解答题（本题共 2 各小题，共 18 分，解答应写出演算步骤） 18 （8 分） （2012 常州）化简： （1） （ ） 0+2sin30 （2） 考点： 分式的加减法； 实数的运算； 零指数幂；特 殊角的三角函 数值。710466 分析： （1）由二次根 式的化简、零 指数幂的性质 以及特殊角的 三角函数值， 即可将原式化 简，继而求得 答案； （2）首先通分， 然后利用同分 母的分式相加 减的运算法则 求解即可，注 意运算结果需 化为最简 解答： 解：（1）原式 =31+2 =31+1 =3； （2）原式= = = 点评： 此题考查了分 式的加减运算 法则与实数的 混合运算此 题比较简单， 注意掌握二次 根式的化简、 零指数幂的性 菁优网 2010-2012 菁优网 质以及特殊角 的三角函数值 的运用，注意 分式加减运算 的运算结果要 化为最简 19 （10 分） （2012 常州）解方程组和不等式组： （1） （2） 考点： 解一元一次不 等式组；解二 元一次方程组。 710466 分析： （1）利用代入 法，然后由 求得 x=93y，然 后将代入 ，即可求得 y 的值，继而求 得 x 的值，则 可求得答案； （2）分别求得 两个不等式的 解集，然后根 据解集的规律： 同大取大；同 小取小；大小 小大中间找； 大大小小找不 到，求得答 案 解答： 解：（1） ， 由得： x=93y， 将代入得： 3（93y ） 2y=5， 解得：y=2， 将 y=2 代入 ，得： x=3， 原方程组的解 为： ； （2） ， 由得： x3， 由得： x10， 原不等式组的 解集为： 3 x 10 点评： 此题考查了二 元一次方程组 与一元一次不 等式组的求解 方法此题比 较简单，注意 掌握不等式组 解集的规律： 同大取大；同 小取小；大小 小大中间找； 大大小小找不 到 四、解答题（本大题共 2 小题，共 15 分，解答应写出文字说明或演算步骤） 20 （7 分） （2012 常州）为了迎接党的十八大的召开，某校组织了以“ 党在我心中”为主题的征文比赛，每位学生 只能参加一次比赛，比赛成绩只分 A、B、C、D 四个阶段随机抽取该校部分学生的征文比赛成绩进行统计分析， 并绘制了如下的统计图表： 根据表中的信息，解决下列问题： 成绩等级 A B C D 人数 60 x y 10 占抽查学生总数的百分比 30% 50% 15% m （1）本次抽查的学生共有 200 名； 菁优网 2010-2012 菁优网 （2）表中 x、y 和 m 所表示的数分别为： X= 100 ，y= 30 ，m= 5% ； （3）请补全条形统计图 考点： 条形统计图； 统计表。710466 分析： （1）用 A 组的 人数除以该组 所占的百分比 即可求得抽查 的总人数； （2）用总人数 乘以 B、C 两 组所占的百分 比即可求得 x、y 的值； （3）根据上题 求得的 x、y 的 值补全统计图 即可 解答： 解：（1）观察 统计图和统计 表知道 A 组有 60 人，占总数 的 30%， 故抽查的总人 数为： 6030%=200 人； （2） x=20050%=10 0 人， y=20015%=30 人， m=10200100 %=5%； （3）统计图为： 点评： 本题考查了条 形统计图的知 识，解题的关 键是仔细的观 察统计图并从 统计图中整理 出进一步解题 的有关信息 21 （8 分） （2012 常州）在一个不透明的口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球 2 只，红球 1 只，黑 球 1 只，它们除了颜色之外没有其它区别，从袋中随机地摸出 1 只球，记录下颜色后放回搅匀，再摸出第二只球 并记录颜色，求两次都摸出白球的概率 考点： 列表法与树状 图法。710466 分析： 首先根据题意 列出表格，然 后表格求得所 有等可能的结 果与两次都摸 出白球的情况， 再利用概率公 式求解即可求 得答案 解答： 解：列表得： 白 黑 白 黑 红 黑 黑 黑 白 红 白 红 红 红 黑 红 白 白 白 白 红 白 黑 白 白 白 白 白 红 白 黑 白 共有 16 种等 菁优网 2010-2012 菁优网 可能的结果， 两次都摸出白 球的有 4 种情 况， 两次都摸出白 球的概率是： = 点评： 此题考查的是 用列表法或树 状图法求概 率注意画树 状图法与列表 法可以不重复 不遗漏的列出 所有可能的结 果，列表法适 合于两步完成 的事件；树状 图法适合两步 或两步以上完 成的事件；注 意此题属于放 回实验 五、解答题（本大题共 2 小题，共 12 分，解答应写出证明过程） 22 （7 分） （2012 常州）如图，在四边形 ABCD 中，AD BC，对角线 AC 的中点为 O，过点 O 作 AC 的垂线分别 与 AD、BC 相交于点 E、F，连接 AF求证：AE=AF 考点： 线段垂直平分 线的性质；等 腰三角形的判 定与性质。710466 专题： 证明题。 分析： 连接 CE，由与 EF 是线段 AC 的垂直平分线， 故 AE=CE，再 由 AEBC 可知 ACB=DAC ，故可得出 AOECOF， 故 AE=CF，所 以四边形 AFCE 是平行四边形， 再根据 AE=CE 可知四边形 AFCE 是菱形， 故可得出结 论 解答： 证明：连接 CE， EF 是线段 AC 的垂直平分线， AE=CE，OA= OC， AEBC， ACB=DAC ， 在AOE COF 中， ， AOE COF， AE=CF， 四边形 AFCE 是平行四边形， AE=CE， 四边形 AFCE 是菱形， AE=AF 点评： 本题考查的是 线段垂直平分 线的性质及菱 形的判定定理， 根据题意作出 辅助线，构造 出平行四边形 是解答此题的 关键 菁优网 2010-2012 菁优网 23 （5 分） （2012 常州）如图，在 ABC 中，AB=AC ，AD 平分BAC求证： DBC=DCB 考点： 全等三角形的 判定与性质。710466 专题： 证明题。 分析： 利用 SAS 证得 ACD ABD，从而证 得 BD=CD，利 用等边对等角 证得结论即 可 解答： 解： AD 平分 BAC， BAD=CAD 在 ACD 和 ABD 中 ， ACDAB D， BD=CD， DBC=DCB 点评： 本题考查了全 等三角形的判 定与性质，特 别是在应用 SAS 进行判定 三角形全等时， 主要 A 为两边 的夹角 六、画图与应用（本大题共 2 小题，共 13 分） 24 （6 分） （2012 常州）在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 和DEF 的顶点坐标分别为 A（1，0） 、 B（3，0） 、C （2，1） 、D（4 ，3） 、E（6，5） 、F（4，7） 按下列要求画图：以 O 为位似中心，将 ABC 向 y 轴左侧按比例尺 2：1 放大得ABC 的位似图形A 1B1C1，并解 决下列问题： （1）顶点 A1 的坐标为 （2，0） ，B 1 的坐标为 （ 6，0） ，C 1 的坐标为 （4， 2） ； （2）请你利用旋转、平移两种变换，使A 1B1C1 通过变换后得到A 2B2C2，且A 2B2C2 恰与DEF 拼接成一个平 行四边形（非正方形） ，写出符合要求的变换过程 考点： 作图-位似变换； 作图-平移变换； 作图-旋转变换。 710466 专题： 作图题。 分析： （1）延长 AO 到 A1，使 A1O=2AO，延 长 BO 到 B1， 使 B1O=2BO， 连接 CO 并延 长到 C1，使 C1O=2CO，然 后顺次连接即 可，再根据平 面直角坐标系 写出各点的坐 标即可； （2）先绕点 O 顺时针旋转 90， 然后向右平移 再向下（或向 上）平移，使 A2B2C2 的直角 边与DEF 的 直角边重合即 可 解答： 解：（1）如图 所示， A1B1C1 即为所 菁优网 2010-2012 菁优网 求作的三角形， A1（2， 0） B1（6，0） C1（4，2） ； （2）如图，把 A1B1C1 绕点 O 顺时针旋转 90，再向右平 移 6 个单位， 向下平移 1 个 单位，使 B2C2 与 DE 重合， 或者：把 A1B1C1 绕点 O 顺时针旋转 90， 再向右平移 6 个单位，向上 平移 3 个单位， 使 A2C2 与 EF 重合，都可以 拼成一个平行 四边形 点评： 本题考查了利 用位似变换作 图，利用平移 变换与旋转变 换作图，熟练 掌握网格结构， 准确找出对应 点的位置是解 题的关键 25 （7 分） （2012 常州）某商场购进一批 L 型服装（数量足够多） ，进价为 40 元/件，以 60 元/件销售，每天销售 20 件，根据市场调研，若每件降价 1 元，则每天销售数量比原来多 3 件现商场决定对 L 型服装开展降价促销活 动，每件降价 x 元（x 为正整数） 在促销期间，商场要想每天获得最大销售毛利润，每件应降价多少元？每天最 大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润是指每件服装的销售价与进货价的差） 考点： 二次函数的应 用。710466 分析： 设每件降低 x 元时，获得的 销售毛利润为 y 元根据毛利 润=每件服装销 售毛利润销售 量列出函数关 系式，再根据 二次函数的性 质，结合已知 条件即可求出 最大销售毛利 润和降价元 数 解答： 解：设每件降 价 x 元时，获 得的销售毛利 润为 y 元 由题意，有 y=（60 40x） （20+3x） =3x2+40x+400 ， x 为正整数， 当 x= = 7 时，w 有 最大值 372+407+400 =533 因此，在促销 期间，商场要 想每天获得最 大销售毛利润， 每件应降价 7 元，此时，每 菁优网 2010-2012 菁优网 天最大销售毛 利润为 533 元 点评： 本题考查二次 函数的应用， 难度中等根 据题意写出利 润的表达式是 此题的关键， 要注意自变量 的取值必须使 实际问题有意 义 七、解答题（本大题共 3 小题，共 26 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 26 （7 分） （2012 常州）平面上有两条直线 AB、CD 相交于点 O，且 BOD=150（如图） ，现按如下要求规定此 平面上点的“距离坐标” ： （1）点 O 的“距离坐标” 为（0，0） ； （2）在直线 CD 上，且到直线 AB 的距离为 p（p0）的点的“距离坐标” 为（p，0） ；在直线 AB 上，且到直线 CD 的距离为 q（q0）的点的“距离坐标”为（0，q） ； （3）到直线 AB、CD 的距离分别为 p，q（p0，q0）的点的“距离坐标” 为（p，q） 设 M 为此平面上的点，其“ 距离坐标 ”为（m ，n） ，根据上述对点的 “距离坐标”的规定，解决下列问题： （1）画出图形（保留画图痕迹）： 满足 m=1，且 n=0 的点 M 的集合； 满足 m=n 的点 M 的集合； （2）若点 M 在过点 O 且与直线 CD 垂直的直线 l 上，求 m 与 n 所满足的关系式 （说明：图中 OI 长为一个单位 长） 考点： 一次函数综合 题；角平分线 的性质；含 30 度角的直角三 角形；锐角三 角函数的定义。 710466 专题： 计算题；作图 题。 分析： （1）以 O 为圆心，以 2 为半径作圆， 交 CD 于两点， 则此两点为所 求；分别作 BOC 和BOD 的角平分线并 且反向延长， 即可求出答案； （2）过 M 作 MNAB 于 N，根据已知得 出 OM=n，MN=m ，求出 NOM=60， 根据锐角三角 函数得出 sin60 = = ，求出 即可 解答： 解：（1）如 图所示： 点 M1 和 M2 为 所求； 如图所示： 直线 MN 和直 线 EF（O 除外） 为所求； （2）如图： 菁优网 2010-2012 菁优网 过 M 作 MNAB 于 N， M 的“距离坐 标”为（m，n） ， OM=n，MN= m， BOD=150， 直线 lCD， MON=1509 0=60， 在 RtMON 中， sin60= = ， 即 m 与 n 所满 足的关系式是： m= n 点评： 本题考查了锐 角三角函数值， 角平分线性质， 含 30 度角的直 角三角形的应 用，主要考查 学生的动手操 作能力和计算 能力，注意： 角平分线上的 点到角两边的 距离相等 27 （9 分） （2012 常州）已知，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=2，点 M 为边 BC 的中点，点 P 为边 CD 上的动点 （点 P 异于 C，D 两点） 连接 PM，过点 P 作 PM 的垂线与射线 DA 相交于点 E（如图） ，设 CP=x，DE=y （1）写出 y 与 x 之间的关系式 y=x 2+4x ； （2）若点 E 与点 A 重合，则 x 的值为 2+ 或 2 ； （3）是否存在点 P，使得点 D 关于直线 PE 的对称点 D落在边 AB 上？若存在，求 x 的值；若不存在，请说明理 由 考点： 相似形综合题； 一元二次方程 的应用；矩形 的性质；翻折 变换（折叠问 题） 。710466 专题： 综合题。 分析： （1）由 PE 与 PM 垂直，利用 平角的定义得 到一对角互余， 再由矩形的内 角为直角，得 到三角形 DPE 为直角三角形， 可得出此直角 三角形中一对 锐角互余，利 用同角的余角 相等得到一对 角相等，利用 两对对应角相 等的两三角形 相似得到三角 形 PCM 与三角 形 DPE 相似， 由相似得比例， 将各自的值代 入，即可列出 y 关于 x 的函数 关系式； （2）当 E 与 A 重合时， DE=DA=2，将 y=2 代入第一问 得出的 y 与 x 的关系式中， 即可求出 x 的 值； （3）存在，理 由为：如图所 示，过 P 作 PH 菁优网 2010-2012 菁优网 垂直于 AB，由 对称的性质得 到： PD=PD=4x， E D=ED=y=x2+