2012年深圳市高三年级第二次调研考试_理科数学参考答案与评分标准.doc

2012 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准 2012.4 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C D A D B 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题：第 9、10、11、12、13 题为必做题 9 10 11 12 130,128010368 （注：第 9 题答案也可以写成 ，如果写成 ，不扣分 ）0|xx （二）选做题：第 14、15 题为选做题，考生只能从中选做一题 14 （坐标系与参数方程选做题） 15 （几何证明选讲选做题）121 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知函数 ， )6cos(in)(xxf R （1）求 的最大值； （2）设 中，角 、 的对边分别为 、 ，若 且 ，求角ABCabAB2)6(fab 的大小 解：（1） 2 分)6cos(in)(xxf xxsin1co23sin （注：也可以化为 ） 4 分213)6()3cos(x 所以 的最大值为 6 分)(xf （注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给 4 分） （2）因为 ，由（1）和正弦定理，得 7 分)6(2Afab AB2sin3si 又 ，所以 ，即 ， 9 分B2sin3si A2cosi 而 是三角形的内角，所以 ，故 ， ， 11 分A0in3ta 所以 ， ， 12 分6A32B2BAC 17 （本小题满分 12 分） 深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有 6 个篮球，其中 3 个是新球（即没有用过的球） ，3 个是旧球（即至少用过一次的球） 每次训练，都从中任意取出 2 个球，用完后放回 （1）设第一次训练时取到的新球个数为 ，求 的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率 解：（1） 的所有可能取值为 0，1，2 1 分 设“第一次训练时取到 个新球（即 ） ”为事件 （ 0，1，2） 因为集训前共有 6 个iiiA 篮球，其中 3 个是新球，3 个是旧球，所以 ， 3 分5)0()2630CPA ， 5 分111 7 分5)2()632 所以 的分布列为（注：不列表，不扣分 ） 0 1 2P535 的数学期望为 8 分2310E （2）设“从 6 个球中任意取出 2 个球，恰好取到一个新球”为事件 B 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 AB210 而事件 、 、 互斥，BA012 所以， )()()()( 210PAPP 由条件概率公式，得 ， 9 分535|()( 263000 C为 ， 10 分81|41111ABPA 11 分535|()( 261222 为 所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 11 页 12 分75381253)(210 为BAP 18 （本小题满分 14 分） 如图 5，已知正方形 在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形 ，CD DCBA 其中 与 重合，且 （1）证明 平面 ，并指出四边形 的形状；/ABDCAB （2）如果四边形 中， ， ，正方形 的边长为 ， 25AB6 求平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值C 证明：（1）依题意， 平面 ， A 平面 ，DCB 平面 ， 所以 2 分/DCB （法 1）在 上取点 ，使得 ，E 连结 ， ，如图 51E 因为 ，且 ，/ 所以 是平行四边形， ，且 C C/DE 又 是正方形， ，且 ，ABDAB 所以 ，且 ，故 是平行四边形， 4E/ 分 从而 ，又 平面 ， 平面 ，/ECCB 所以 平面 6ACB 分 四边形 是平行四边形（注：只需指出四边形 的形状，不必证明） 7DDA 分 （法 2）因为 ， 平面 ， 平面 ，/CCBCB 所以 平面 /B 因为 是正方形，所以 ，又 平面 ， 平面 ，AA/ AB 所以 平面 4 分/D 而 平面 ， 平面 ， ， D D 所以平面 平面 ，又 平面 ，所以 平面 6/CB /C 分 四边形 是平行四边形（注：只需指出四边形 的形状，不必证明） 7A AB 15图 CD)(ABC E 分 解：（2）依题意，在 Rt 中， ，AB1)5(6 222AB 在 Rt 中， ，AD)(6 2D 所以 301 BC （注：或 ） 8 分1BEC 连结 ， ，如图 52， 在 Rt 中， A 3)2( 2A 所以 ，故 10 分22B （法 1）延长 ， 相交于点 ，CF 则 ，而 ，所以 3F 23C 连结 ，则 是平面 与平面AFABD 的交线 在平面 内作 ，垂足为 ，CBG 连结 G 因为 平面 ， 平面 ，所以 AFCABAF 从而 平面 ， F 所以 是平面 与平面 所成的一个锐二面角 12 分CBD 在 Rt 中， ，A 532)3( 2AFG 在 Rt 中， C 3022C 所以 ，6cosG 即平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值为 14 分ABD 6 （法 2）以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，CAxBCyz 建立空间直角坐标系（如图 53） ， 则平面 的一个法向量 )1,0(n 设平面 的一个法向量为 ，ABDzyxm25图 CD)(BCDFG 35图 CD)(ABCDyxz 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 5 页 共 11 页 因为 ， ， ，)0,3(A)1,2(B)3,0(C 所以 ， ，,2 而 ， ，m 所以 且 0，0 即 ， 23zyx 取 ，则 ， ，所以平面 的一个法向量为 1z3xABCD)1,23(m （注：法向量不唯一，可以是与 )1,2(m共线的任一非零向量）12 分 610)(3|0|,cos| 2222 n 所以平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值为 14 分ABCD （法 3）由题意，正方形 在水平面上的正投影是四边形 ，DCBA 所以平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值 12 分 S 而 ， ，所以 ，6)(2ABCDS 632 ACBSDCA 6cos 所以平面 与平面 所成的锐二面角 的余弦值为 14 分 19 （本小题满分 14 分） 已知数列 满足： ， ，且 ， na12a3)1(cos2(nna*N （1）求通项公式 ； （2）设 的前 项和为 ，问：是否存在正整数 、 ，使得 ？若存在，请nnSm12nmS 求出所有的符合条件的正整数对 ，若不存在，请说明理由),(m 解：（1）当 是奇数时， ；当 是偶数时， 1cos1cosn 所以，当 是奇数时， ；当 是偶数时， 2 分n22naa32 又 ， ，所以 ， ， ， ，是首项为 1，公差为 2 的等差数列；1a21351n ， ， ， ，是首项为 2，公比为 3 的等比数列 4 分246na 所以， 6 分 为n,21 （2）由（1） ，得 )()( 242123 nnn aaaS )326()12(31 1nn ，n 8 分3212212 aSnn 所以，若存在正整数 、 ，使得 ，则m2mS 9 分1132212 nnn 31n 显然，当 时， ；2)3(SS 当 时，由 ，整理得 12n1n 显然，当 时， ；0 当 时， ，3212 所以 是符合条件的一个解 11 分)2,( 当 时，n 21111)(nnnn C24C34)( 12 分12n 当 时，由 ，整理得 ，3m123nS 所以 是符合条件的另一个解)1,( 综上所述，所有的符合条件的正整数对 ，有且仅有 和 两对 14 分),(m)1,3(2, （注：如果仅写出符合条件的正整数对 和 ，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，32 给 2 分，共 4 分） 20 （本小题满分 14 分） 如图 6，已知动圆 过定点 且与 轴相切，点 关于圆心 的对称点为 ，动点M)1,0(FxFMF 的轨迹为 FC （1）求曲线 的方程； （2）设 是曲线 上的一个定点，过点 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线),(0yxAA 相交于另外两点 、 PQ 证明：直线 的斜率为定值； 记曲线 位于 、 两点之间的那一段为 若点 在 上，且点 到直线 的距离CLBPQ 最大，求点 的坐标B 解：（1） （法 1）设 ，因为点 在圆 上，),(yxF)1,0(FM16图FxyONE 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 7 页 共 11 页 且点 关于圆心 的对称点为 ，FMF 所以 ， 1 分)21,(yx 且圆 的直径为 2 分22)1(|yx 由题意，动圆 与 轴相切， 所以 ，两边平方整理得： ，2)(|1|y yx42 所以曲线 的方程为 5 分Cyx4 （法 2）因为动圆 过定点 且与 轴相切，所以动圆 在 轴上方，M)1,0(FMx 连结 ，因为点 关于圆心 的对称点为 ，所以 为圆 的直径FF 过点 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，垂足为 （如图 61） xNNxEE 在直角梯形 中， ，EO|2| FON 即动点 到定点 的距离比到 轴的距离大 1 3 分)1,0(x 又动点 位于 轴的上方（包括 轴上） ，Fx 所以动点 到定点 的距离与到定直线 的距离相等),( y 故动点 的轨迹是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线1,0F1 所以曲线 的方程为 5 分Cyx42 （2）（法 1）由题意，直线 的斜率存在且不为零，如图 62AP 设直线 的斜率为 （ ） ，则直线 的斜率为 6 分APk0Qk 因为 是曲线 ： 上的点，),(0yxyx42 所以 ，直线 的方程为 4 20)(00xk 由 ， )(020xky 解之得 或 ，420y x4)(20k 所以点 的坐标为 ，P),(200x 以 替换 ，得点 的坐标为 8 分kQ)4(,(200k 所以直线 的斜率 为定值10 分P 2316)()(400022 xkxkxkPQ 26图MFxyOPQA （法 2）因为 是曲线 ： 上的点，所以 ， ),(0yxACyx42420xy),(20xA 又点 、 在曲线 ： 上，所以可设 ， ， 6 分PQ2 ),(21xP,2Q 而直线 ， 的倾斜角互补， 所以它们的斜率互为相反数，即 ，整理得 8 分02 201244xx021x 所以直线 的斜率 为定值 10 分PQ402122kP （法 1）由可知， ， ，)(,(200kxQ)4(,(200kx ，所以直线 的方程为 ，20xkPQ )4xy 整理得 11 分6420ky 设点 在曲线段 上，因为 、 两点的横坐标分别为 和 ，),(2xBLPQkx40kx0 所以 点的横坐标 在 和 之间，即 ，k40kx0|0x 所以 ，从而 |4xk216)( 点 到直线 的距离BPQ42|16|42| 02200 xkxd 12 分)(41|16)(| 202020xk 当 时， 0x420maxd 注意到 ，所以点 在曲线段 上|40 kk)4,(20xL 所以，点 的坐标是 14 分B)4,(20x （法 2）由可知， ，结合图 63 可知，kPQ 若点 在曲线段 上，且点 到直线 的距离最大，L 则曲线 在点 处的切线 11 分CBl/ 36图MFxyOPQABl 2012 年深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）试题参考答案及评分标准 第 9 页 共 11 页 设 ： ，由方程组 ，lbxy20yxb420 消去 ，得 40 令 ，整理，得 12 分)(1)(20bx 20b 代入方程组，解得 ， 0x420y 所以，点 的坐标是 14 分B),( （法 3）因为抛物线 ： 关于 轴对称，Cyx2 由图 64 可知，当直线 的倾斜角大于 且趋近于 时，直线 的倾斜角小于 且AP0AQ180 趋近于 ，即当直线 的斜率大于 0 且趋近于 0 时，直线 的斜率小于 0 且趋近于 0180 从而 、 两点趋近于点 关于 轴的对称点 11 分PQ)4,(2xy)4,(20x 由抛物线 的方程 和的结论，Cyx2 得 ， 4 2xyPQxx k| 000 所以抛物线 以点 为切点的切线 )4,(2Al/ 12 分 所以曲线段 上到直线 的距离最大的点就是点 ，LPA 即点 、点 重合B 所以，点 的坐标是 14 分)4,(20x 21 （本小题满分 14 分） 已知函数 ， ，其中 表示函数 在 处的xxfln)()()(afxfg)(f)(xfa 导数， 为正常数a （1）求 的单调区间；)(g （2）对任意的正实数 ，且 ，证明：21,x21 ；)()()( 121xfxfff （3）对任意的 ，且 ，证明： *Nn nfl2)ln3ln 解：（1） ， ，xfl)(axgl)( 2 分afxgl A46图MFx yO1P1QB232l 所以， 时， ， 单调递增；),0(ax0)(xg)( 时， ， 单调递减x 所以， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 4 分)(g,(a),a （2） （法 1）对任意的正实数 ，且 ，2121 取 ，则 ，由（1）得 ，xa),(2x)(xg 即 ，()( 21211 fxfffg