2015-2016学年吉林省长春市德惠三中九年级上期中数学试卷.doc

2015-2016 学年吉林省长春市德惠三中九年级（上）期中数 学试卷 一、选择题：每小题 3 分，共 24 分。 1化简的结果是（ ） A2 B 4 C4 D8 2若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax3 B x3 Cx3 Dx3 3若，则的值是（ ） A B C D 4一元二次方程 x（x2）=0 的解是（ ） Ax=0 B x1=2 Cx 1=0，x 2=2 Dx=2 5一元二次方程 x2+2=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D只有一个实数根 6某校数学兴趣小组为测量学校旗杆 AC 的高度，在点 F 处竖立一根长为 1.5 米的标杆 DF，如图所示，量出 DF 的影子 EF 的长度为 1 米，再量出旗杆 AC 的影子 BC 的长度为 6 米，那么旗杆 AC 的高度为（ ） A6 米 B 7 米 C8.5 米 D9 米 7如图，某小区有一块长为 18 米、宽为 6 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩 形绿地（图中阴影部分），它们的面积之和为 60 平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相 等的人行通道若设人行通道的宽度为 x 米，则下列所列方程正确的是（ ） A（182x）（6 2x）=60 B（ 183x）（6x）=60 C（182x）（6 x） =60 D（183x）（62x）=60 8如图，ABE 和CDE 是以点 E 为位似中心的位似图形，点 E 的坐标为（1，0），若 点 A、C、D 的坐标分别是（3，4）、（2，2）、（3，1）则点 D 的对应点 B 的坐标是 （ ） A（4，2） B（ 4，1） C（5，2） D（5，1） 二、填空题：每小题 3 分，共 18 分。 9比较大小：2 （填“”、“ ”或“=”） 10点 A（2，4）关于 x 轴对称的点的坐标是 11若 x=1 是关于 x 的一元二次方程 x22mx+3=0 的一个根，则 m 的值是 12如图，BDEBCA ，若= ，DE=6，则 AC 的长度是 13如图，要测量池塘两端 A、B 的距离，可先取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连结 AC 并延长到 D，使 CD=CA，连结 BC 并延长到 E，使 CE=CB，连结 ED若量出 DE 的 长为 25 米，则池塘宽 AB 为 米 14如图，在 RtABC 中， ABC=90，AB=6 ，BC=8，点 D 是 AC 中点，过点 D 作 DEAC 交 BC 于点 E，则 CE 的长度是 三、解答题：本大题共 10 小题，共 78 分。 15计算：（2+） 16解方程：x 23x2=0 17若代数式 x21 的值与代数式 2x+1 的值相等，求 x 的值 18如图 、图 ，在 46 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形 的顶点叫做格点ABC 的顶点在格点上，在图、图两个网格中画出一个与ABC 相 似的三角形要求：所画的三角形的顶点在格点上，与ABC 有公共点 B，且与ABC 的 相似比不为 1 19某地区 2013 年投入教育经费 2500 万元，2015 年投入教育经费 3025 万元 （1）求 2013 年至 2015 年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费多少万元 20关于 x 的方程 x2+2mx+m22=0 （1）求证：不论 m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 （2）若方程有一个根为 2，求 m 的值 21如图，三个全等的等腰三角形拼在一起，AB=AC=CD=DE，点 B、C、E 在同一条直 线上，点 S 是 DE 的中点，连结 BS，分别交 AC、CD 于点 P、Q （1）直接写出图中的两对相似三角形（相似比为 1 的除外）； （2）求 BP：PQ：QS 的值 22探究：如图，直线 l1l2l3，点 C 在 l2 上，以点 C 为直角顶点作 ACB=90，角的两 边分别交 l1 与 l3 于点 A、B，连结 AB，过点 C 作 CDl1 于点 D，延长 DC 交 l3 于点 E 求证：ACD CBE 应用：如图，在图 的基础上，设 AB 与 l2 的交点为 F，若 AC=BC，l 1 与 l2 之间的距离 为 2，l 2 与 l3 之间的距离为 1，则 AF 的长度是 23某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤，第一个月以单价 80 元销售，售出了 200 件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出 200 件，批发商为增加销售量，决定降价 销售，根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 10 件，但最低单价应高于购进的价格； 第二个月结束后，批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为 40 元，设第二 个月单价降低 x 元 （1）填表：（不需化简） 时间 第一个 月 第二个 月 清仓 时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 （2）如果批发商希望通过销售这批 T 恤获利 9000 元，那么第二个月的单价应是多少元？ 24如图，在ABCD 中，在 AB=3，BC=5 ，对角线 ACAB点 P 从点 D 出发，沿折线 DCCB 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 B 运动（不与点 B、D 重合），过点 P 作 PEAB，交射线 BA 于点 E，连结 PD、DE设点 P 的运动时间为 t（秒）， PDE 与 ABCD 重叠部分图形的面积为 S（平方单位） （1）AD 与 BC 间的距离是 ； （2）求 PE 的长（用含 t 的代数式表示）； （3）求 S 与 t 的之间的函数关系式； （4）直接写出 PE 将ABCD 的面积分成 1：7 的两部分时 t 的值 2015-2016 学年吉林省长春市德惠三中九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：每小题 3 分，共 24 分。 1化简的结果是（ ） A2 B 4 C4 D8 【考点】二次根式的乘除法 【分析】根据二次根式的乘法法则求解 【解答】解： =4 故选 B 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则 2若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax3 B x3 Cx3 Dx3 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】根据被开方数大于等于 0 列式进行计算即可得解 【解答】解：根据题意得，x30， 解得 x3 故选：A 【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数 3若，则的值是（ ） A B C D 【考点】比例的性质 【分析】根据比例的性质，可用 A 表示 B，根据分式的性质，可得答案 【解答】解；由分比性质，得 b= =， 故选：B 【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质得出 b=是解题关键 4一元二次方程 x（x2）=0 的解是（ ） Ax=0 B x1=2 Cx 1=0，x 2=2 Dx=2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】方程利用两数相乘积为 0，两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来 求解 【解答】解：方程 x（x2）=0， 可得 x=0 或 x2=0， 解得：x 1=0，x 2=2 故选 C 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关 键 5一元二次方程 x2+2=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D只有一个实数根 【考点】根的判别式 【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式=b 24ac 的值的符号就可以了 【解答】解：a=1，b=0 ，c=2， =b24ac=02412=80， 方程没有实数根 故选 C 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 有如 下关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 6某校数学兴趣小组为测量学校旗杆 AC 的高度，在点 F 处竖立一根长为 1.5 米的标杆 DF，如图所示，量出 DF 的影子 EF 的长度为 1 米，再量出旗杆 AC 的影子 BC 的长度为 6 米，那么旗杆 AC 的高度为（ ） A6 米 B 7 米 C8.5 米 D9 米 【考点】相似三角形的应用 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部 的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似根据相似三角形的对应边的比相等，即可求 解 【解答】解： = 即=， AC=61.5=9 米 故选 D 【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形， 然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题 7如图，某小区有一块长为 18 米、宽为 6 米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩 形绿地（图中阴影部分），它们的面积之和为 60 平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相 等的人行通道若设人行通道的宽度为 x 米，则下列所列方程正确的是（ ） A（182x）（6 2x）=60 B（ 183x）（6x）=60 C（182x）（6 x） =60 D（183x）（62x）=60 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】几何图形问题 【分析】利用平移的性质，进而表示出长与宽进而得出答案 【解答】解：设人行通道的宽度为 x 米，根据题意可得： （183x ）（6 2x）=60 ， 故选：D 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用平移的性质得出是解题关 键 8如图，ABE 和CDE 是以点 E 为位似中心的位似图形，点 E 的坐标为（1，0），若 点 A、C、D 的坐标分别是（3，4）、（2，2）、（3，1）则点 D 的对应点 B 的坐标是 （ ） A（4，2） B（ 4，1） C（5，2） D（5，1） 【考点】位似变换；坐标与图形性质 【分析】设点 B 的坐标为（x ，y），然后根据位似变换的性质列式计算即可得解 【解答】解：设点 B 的坐标为（ x，y）， ABE 和CDE 是以点 E 为位似中心的位似图形， =， = ， 解得：x=5，y=2 所以，点 B 的坐标为（5，2） 故选：C 【点评】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，灵活运用位似变换的性质并列出方程是 解题的关键 二、填空题：每小题 3 分，共 18 分。 9比较大小：2 （填“”、“ ”或“=”） 【考点】实数大小比较 【分析】根据 2=即可得出答案 【解答】解：2= ， ， 2 ； 故答案为： 【点评】此题考查了实数的大小比较关键是得出 2=，题目比较基础，难度适中 10点 A（2，4）关于 x 轴对称的点的坐标是 （2，4） 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标 【分析】根据关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答 案 【解答】解：点 A（2，4）关于 x 轴对称的点的坐标是（2，4）， 故答案为：（2，4） 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律 11若 x=1 是关于 x 的一元二次方程 x22mx+3=0 的一个根，则 m 的值是 2 【考点】一元二次方程的解 【专题】计算题 【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 x=1 代入一元二次方程得到关于 m 的一次方程， 然后解此一元一次方程即可得到 m 的值 【解答】解：把 x=1 代入方程 x22mx+3=0 得 12m+3=0， 解得 m=2 故答案为 2 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是 一元二次方程的解 12如图，BDEBCA ，若= ，DE=6，则 AC 的长度是 9 【考点】相似三角形的性质 【分析】由相似三角形的性质得出对应边成比例，即可得出 AC 的长度 【解答】解：BDE BCA， =， 即， 解得：AC=9； 故答案为：9 【点评】本题考查了相似三角形的性质；熟练掌握相似三角形的性质，由相似三角形的性 质得出应边成比例是解决问题的关键 13如图，要测量池塘两端 A、B 的距离，可先取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连结 AC 并延长到 D，使 CD=CA，连结 BC 并延长到 E，使 CE=CB，连结 ED若量出 DE 的 长为 25 米，则池塘宽 AB 为 50 米 【考点】相似三角形的应用 【分析】利用相似三角形的判定方法得出ACB DCE，进而利用相似三角形的性质得出 AB 的长 【解答】解：CD= CA，CE=CB， =， ACB=ECD， ACBDCE， =， 解得：AB=50 故答案为：50 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出ACBDCE 是解题关键 14如图，在 RtABC 中， ABC=90，AB=6 ，BC=8，点 D 是 AC 中点，过点 D 作 DEAC 交 BC 于点 E，则 CE 的长度是 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】根据勾股定理得到 AC=10，由 DEAC 于 D，得到ADE=90，推出CED ACB，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解：ABC=90，AB=6，BC=8 ， AC=10， DEAC 于 D， ADE=90， C=C， CEDACB， CD：CB=CE ：AC ， D 是 AC 中点， CD=5， 5： 8=CE：10， CE= 故答案为： 【点评】本题考查了勾股定理的运用以及相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌 握相似三角形的判定和性质是解题的关键 三、解答题：本大题共 10 小题，共 78 分。 15计算：（2+） 【考点】二次根式的混合运算 【专题】计算题 【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可 【解答】解：原式=2+3 2 =3 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根 式的乘除运算，然后合并同类二次根式 16解方程：x 23x2=0 【考点】解一元二次方程-公式法 【专题】计算题 【分析】公式法的步骤：化方程为一般形式； 找出 a，b，c；求 b24ac；代入公 式 x= 【解答】解：a=1，b= 3，c=2； b24ac=（3） 241（2）=9+8=17 ； x= =， x1=，x 2= 【点评】本题主要考查了解一元二次方程的解法要会熟练运用公式法求得一元二次方程 的解此法适用于任何一元二次方程 17若代数式 x21 的值与代数式 2x+1 的值相等，求 x 的值 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】先根据题意得出方程，再求出方程的解即可 【解答】解：根据题意得：x 21=2x+1， 整理得：x 22x2=0， 解得：x 1=1+，x 2=1 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能根据题意列出方程是解此题的关键 18如图 、图 ，在 46 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形 的顶点叫做格点ABC 的顶点在格点上，在图、图两个网格中画出一个与ABC 相 似的三角形要求：所画的三角形的顶点在格点上，与ABC 有公共点 B，且与ABC 的 相似比不为 1 【考点】作图相似变换 【分析】利用相似三角形的性质，结合对应边的比得出对应点位置 【解答】解：如图所示： 【点评】此题主要考查了相似变换，根据相似三角形的性质得出对应点位置是解题关键 19某地区 2013 年投入教育经费 2500 万元，2015 年投入教育经费 3025 万元 （1）求 2013 年至 2015 年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费多少万元 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量（1+ 增长率），2014 年要投入教育经费是 2500（1+x）万元，在 2014 年的基础上再增长 x，就是 2015 年的教育经费数额，即可列出 方程求解 （2）利用（1）中求得的增长率来求 2016 年该地区将投入教育经费 【解答】解：设增长率为 x，根据题意 2014 年为 2500（1+x）万元，2015 年为 2500（1+x） 2 万元 则 2500（1+x） 2=3025， 解得 x=0.1=10%，或 x=2.1（不合题意舍去） 答：这两年投入教育经费的平均增长率为 10% （2）3025（1+10%）=3327.5（万元） 故根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费 3327.5 万元 【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识增长前的量（1+年平均增长率） 年数 = 增长后的量 20关于 x 的方程 x2+2mx+m22=0 （1）求证：不论 m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 （2）若方程有一个根为 2，求 m 的值 【考点】根的判别式；一元二次方程的解 【分析】（1）根据题意代入得出0，即可证出不论 m 取何实数，该方程都有两个不相 等的实数根； （2）把 x=2 代入方程 x2+2mx+m22=0，再求解即可 【解答】解：（1）= （2m） 24（m 22）=80， 不论 m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）把 x=2 代入方程 x2+2mx+m22=0 得：4+4m+m 22=0， 解得：m 1=2+，m 2=2 【点评】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，一元二次方程根的判别式 （1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（ 3） 0方程没有实数根 21如图，三个全等的等腰三角形拼在一起，AB=AC=CD=DE，点 B、C、E 在同一条直 线上，点 S 是 DE 的中点，连结 BS，分别交 AC、CD 于点 P、Q （1）直接写出图中的两对相似三角形（相似比为 1 的除外）； （2）求 BP：PQ：QS 的值 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到BAC=ACD= CDE，由平行线的判定定理得 到 ABCDDE，于是得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到ACB=DEC，由平行线的判定得到 ACDE，推出 BPCBSE，PCQ SDQ，根据相似三角形的性质得到，即可得到结论 【解答】解：（1）ABCACD DCE， BAC=ACD=CDE， ABCDDE， ABPCPQ，BPCBSE； （2）ABCDCE， ACB=DEC， ACDE， BPCBSE，PCQSDQ， ， ， 点 S 是 DE 的中点， ， BP：PQ：QS=3：1：2 【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，线段中点的定义，熟 练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 22探究：如图，直线 l1l2l3，点 C 在 l2 上，以点 C 为直角顶点作 ACB=90，角的两 边分别交 l1 与 l3 于点 A、B，连结 AB，过点 C 作 CDl1 于点 D，延长 DC 交 l3 于点 E 求证：ACD CBE 应用：如图，在图 的基础上，设 AB 与 l2 的交点为 F，若 AC=BC，l 1 与 l2 之间的距离 为 2，l 2 与 l3 之间的距离为 1，则 AF 的长度是 【考点】相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离 【分析】探究：根据已知条件得到ADC=CEB=90，于是得到 ACD+DAC=90，由于 ACB=90，于是得到 ACD+ECB=90，根据余角的性质得到 DAC=ECB，即可得到结 论； 应用：通过ACDBCE，得到 AD=CE=1，CD=BE=2，根据勾股定理得到 AC=BC=，AB=，然后根据平行线分线段成比例即可得到结论 【解答】探究：证明：l 1l3，CDl 1， ADC=CEB=90， ACD+DAC=90， ACB=90， ACD+ECB=90， DAC=ECB， ACDCBE； 应用：在ACD 与CBE 中， ， ACDBCE， AD=CE=1，CD=BE=2， ADC=CEB=90， AC=BC=， ACB=90， AB=， l1l2l3， ， AF= 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平 行线分线段成比例定理，熟练掌握各定理是解题的关键 23某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤，第一个月以单价 80 元销售，售出了 200 件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出 200 件，批发商为增加销售量，决定降价 销售，根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 10 件，但最低单价应高于购进的价格； 第二个月结束后，批发商将对剩余的 T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为 40 元，设第二 个月单价降低 x 元 （1）填表：（不需化简） 时间 第一个 月 第二个 月 清仓 时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 （2）如果批发商希望通过销售这批 T 恤获利 9000 元，那么第二个月的单价应是多少元？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】销售问题；压轴题 【分析】（1）根据题意直接用含 x 的代数式表示即可； （2）利用“获利 9000 元” ，即销售额 进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要 代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍 【解答】解：（1）80x，200+10x，800200 （200+10x） 时间 第一个 月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 80x 40 销售量（件） 200 200+10x 800200（200+10x） （2）根据题意，得 80200+（80x）（200+10x ）+40800 200（200+10x） 50800=9000 整理得 10x2200x+1000=0， 即 x220x+100=0， 解得 x1=x2=10 当 x=1