2015-2016学年辽宁省营口市大石桥市九年级上学期期中数学试卷.doc

2015-2016 学年辽宁省营口市大石桥市九年级（上）期中数 学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是( ) A B C D 2下列关于 x 的一元二次方程有实数根的是( ) Ax 2+1=0 B x2+x+1=0 Cx 2x+1=0 Dx 2x1=0 3已知如图O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是( ) A4 B 6 C7 D8 4抛物线 y=x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，得到新的抛物线解析式是( ) Ay= （ x+1） 2+3 B y=（x+1） 23 Cy=（x1） 23 Dy=（x 1） 2+3 5已知点 O 为ABC 的外心，若 A=80，则 BOC 的度数为( ) A40 B 80 C160 D120 6如图，在长为 100 米，宽为 80 米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路， 剩余部分进行绿化，要使绿化面积为 7644 米 2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为 x 米，则可列方程为( ) A10080 100x80x=7644B （100x） （80x）+x 2=7644 C （100x） （80 x）=7644 D100x+80x=356 7若点 A（2，m）在抛物线 y=x2 上，则 m 的值为( ) A2 B 2 C4 D4 8如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子 OA，OB 在 0 点钉在一 起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 0 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8 个单位，OF=6 个单位，则圆的直径为( ) A12 个单位 B 10 个单位 C4 个单位 D15 个单位 9已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，对称轴是直线 则下列结论中，正确的是( ) Aa0 B c1 Ca b+c0 D2a+3b=0 10如图，在正方形 ABCD 中，E 为 DC 边上的点，连接 BE，将 BCE 绕点 C 按顺时针 方向旋转 90得到 DCF，连接 EF，则EFC 的度数为( ) A25 B 30 C45 D60 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 11已知函数 ，当 m=_时，它是二次函数 12抛物线 y=4x2+8x3 的开口方向向_，对称轴是_，最高点的坐标是 _，函数值的最大值是_ 13若 2x2+3 与 2x24 互为相反数，则 x 为_ 14已知等腰ABC 的三个顶点都在半径为 5 的 O 上，如果底边 BC 的长为 8，那么 BC 边上的高为_ 15如图，在同心圆O 中，AB 是大圆的直径，AC 是大圆的弦， AC 与小圆相切于点 D，若小圆的半径为 3cm，则 BC=_cm 16已知抛物线 y=ax22ax+c 与 x 轴一个交点的坐标为（ 1，0） ，则一元二次方程 ax22ax+c=0 的根为 _ 17如图，P 为 O 外一点， PA、PB 分别切O 于 A、B，CD 切O 于点 E，分别交 PA、PB 于点 C、D，若 PA=5，则 PCD 的周长为_ 18如图，把抛物线 y= x2 平移得到抛物线 m，抛物线 m 经过点 A（6，0）和原点 O（0，0） ，它的顶点为 P，它的对称轴与抛物线 y= x2 交于点 Q，则图中阴影部分的面积 为_ 三、解答题（共 8 小题，满分 86 分） 19先化简，再求值：（ ） ，其中， a 是方程 x2+3x+1=0 的 根 20如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA=5，PB=12，PC=13 ，若将 PAC 绕点 A 逆时针旋转后，得到PAB，求点 P 与点 P之间的距离及APB 的度数 21如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位 AB 时，水面宽 8m，水位上升 3m，就达到警戒水位 CD，这时水面宽 4m，若洪水到来时，水位以每小时 0.2m 的速度上 升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶 22某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被 感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到 有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ 23如图，AB 是 O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DC=BD，连接 AC， 过点 D 作 DEAC，垂足为 E （1）求证：AB=AC； （2）求证：DE 为O 的切线； （3）若O 的半径为 5，BAC=60，求 DE 的长 24某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是 20 元调查发现：销售单价是 30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件，但每件玩 具售价不能高于 40 元设每件玩具的销售单价上涨了 x 元时（x 为正整数） ，月销售利润 为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围 （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为 2520 元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 25 （14 分）有这样一道习题：如图 1，已知 OA 和 OB 是 O 的半径，并且 OAOB，P 是 OA 上任一点（不与 O、A 重合） ，BP 的延长线交 O 于 Q，过 Q 点作O 的切线交 OA 的延长线于 R说明：RP=RQ 请探究下列变化： 变化一：交换题设与结论 已知：如图 1，OA 和 OB 是O 的半径，并且 OAOB，P 是 OA 上任一点（不与 O、A 重合） ，BP 的延长线交O 于 Q，R 是 OA 的延长线上一点，且 RP=RQ 求证：RQ 为 O 的切线 变化二：运动探究： （1）如图 2，若 OA 向上平移，变化一中的结论还成立吗？（只需交待判断） （2）如图 3，如果 P 在 OA 的延长线上时，BP 交O 于 Q，过点 Q 作O 的切线交 OA 的延长线于 R，原题中的结论还成立吗？为什么？ （3）若 OA 所在的直线向上平移且与O 无公共点，请你根据原题中的条件完成图 4，并 判断结论是否还成立？（只需交待判断） 26 （14 分）如图，抛物线 y=x2+4x+3 交 x 轴于 A，B 两点（A 在 B 左侧） ，交 y 轴于点 C已知一次函数 y=kx+b 的图象过点 A，C （1）求抛物线的对称轴和一次函数的解析式； （2）根据图象，写出满足 kx+bx 2+4x+3 的 x 的取值范围； （3）在平面直角坐标系 xOy 中是否存在点 P，与 A、B、C 三点构成一个平行四边形？若 存在，请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2015-2016 学年辽宁省营口市大石桥市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 1下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是( ) A B C D 【考点】中心对称图形；轴对称图形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形；故 A 正确； B、是中心对称图形，也是轴对称图形；故 B 错误； C、是中心对称图形，也是轴对称图形；故 C 错误； D、不是中心对称图形，是轴对称图形；故 D 错误； 故选 A 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴， 图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原 图重合 2下列关于 x 的一元二次方程有实数根的是( ) Ax 2+1=0 B x2+x+1=0 Cx 2x+1=0 Dx 2x1=0 【考点】根的判别式 【专题】计算题 【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于 0 的方程即 可 【解答】解：A、这里 a=1， b=0，c=1， =b24ac=40， 方程没有实数根，本选项不合题意； B、这里 a=1，b=1，c=1 ， =b24ac=14=30， 方程没有实数根，本选项不合题意； C、这里 a=1，b= 1，c=1， =b24ac=14=30， 方程没有实数根，本选项不合题意； D、这里 a=1，b= 1，c=1， =b24ac=1+4=50， 方程有两个不相等实数根，本选项符合题意； 故选 D 【点评】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键 3已知如图O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是( ) A4 B 6 C7 D8 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】先根据垂径定理求出 AM= AB，再根据勾股定理求出 AM 的值 【解答】解：连接 OA， O 的直径为 10， OA=5， 圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3， 由垂径定理知，点 M 是 AB 的中点，AM= AB， 由勾股定理可得，AM=4，所以 AB=8 故选 D 【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解 4抛物线 y=x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，得到新的抛物线解析式是( ) Ay= （ x+1） 2+3 B y=（x+1） 23 Cy=（x1） 23 Dy=（x 1） 2+3 【考点】二次函数图象与几何变换 【专题】探究型 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可 【解答】解：由“左加右减” 的原则可知，抛物线 y=x2 向右平移 1 个单位所得抛物线的解析 式为：y=（x 1） 2； 由“上加下减”的原则可知，抛物线 y=（x 1） 2 向上平移 3 个单位所得抛物线的解析式为： y=（x1 ） 2+3 故选 D 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题 的关键 5已知点 O 为ABC 的外心，若 A=80，则 BOC 的度数为( ) A40 B 80 C160 D120 【考点】三角形的外接圆与外心 【分析】根据圆周角定理得BOC=2A=160 【解答】解：点 O 为ABC 的外心， A=80， BOC=2A=160 故选 C 【点评】熟练运用圆周角定理计算，即在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对的圆 心角的一半 6如图，在长为 100 米，宽为 80 米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路， 剩余部分进行绿化，要使绿化面积为 7644 米 2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为 x 米，则可列方程为( ) A10080 100x80x=7644B （100x） （80x）+x 2=7644 C （100x） （80 x）=7644 D100x+80x=356 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】几何图形问题 【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方 形，根据长方形的面积公式列方程 【解答】解：设道路的宽应为 x 米，由题意有 （100x ） （80 x）=7644 ， 故选 C 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平 移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键 7若点 A（2，m）在抛物线 y=x2 上，则 m 的值为( ) A2 B 2 C4 D4 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】把 A 点坐标代入抛物线解析式，可求得 m 【解答】解：点 A（2，m）在抛物线 y=x2 上， m=22=4， 故选 C 【点评】本题主要考查函数图象上的点与函数解析式的关系，掌握函数图象上的点的坐标 满足函数解析式是解题的关键 8如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子 OA，OB 在 0 点钉在一 起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 0 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8 个单位，OF=6 个单位，则圆的直径为( ) A12 个单位 B 10 个单位 C4 个单位 D15 个单位 【考点】圆周角定理；勾股定理 【分析】根据圆中的有关性质“90的圆周角所对的弦是直径”从而得到 EF 即可是直径， 根据勾股定理计算即可 【解答】解：连接 EF， OEOF， EF 是直径， EF= = = =10 故选：B 【点评】考查了圆中的有关性质：90的圆周角所对的弦是直径此性质是判断直径的一个 有效方法，也是构造直角三角形的一个常用方法 9已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，对称轴是直线 则下列结论中，正确的是( ) Aa0 B c1 Ca b+c0 D2a+3b=0 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】根据二次函数的图象开口方向即可判断 A；二次函数的图象与 y 轴的交点位置即 可判断 B；把 x=1 代入二次函数的解析式即可判断 C；根据二次函数的对称轴即可求出 D 【解答】解：A、二次函数的图象开口向上， a0，故本选项错误； B、二次函数的图象与 y 轴的交点在点（0， 1）的上方， c1，故本选项错误； C、把 x=1 代入 y=ax2+bx+c 得：y=a b+c， 从二次函数的图象可知当 x=1 时，y0， 即 ab+c0，故本选项错误； D、 二次函数的图象的对称轴是直线 ， = ， 3b=2a， 2a+3b=0，故本选项正确； 故选 D 【点评】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，题目具有一定的代表性，是一道比较 好的题目，注意用了数形结合思想，二次函数的图象开口方向决定 a 的符号，二次函数的 图形与 y 轴的交点位置决定 c 的符号，根据二次函数的图象的对称轴是直线 x= 得出 = ，把 x=1 代入 y=ax2+bx+c（ a0）得出 y=ab+c 等等 10如图，在正方形 ABCD 中，E 为 DC 边上的点，连接 BE，将 BCE 绕点 C 按顺时针 方向旋转 90得到 DCF，连接 EF，则EFC 的度数为( ) A25 B 30 C45 D60 【考点】旋转的性质 【分析】由旋转前后的对应角相等可知，CF=CE；一个特殊三角形ECF 为等腰直角三角 形，可知EFC 的度数 【解答】解：DCF 是BCE 旋转以后得到的图形， CF=CE 又ECF=90， EFC=FEC= （180ECF）= （180 90）=45 故选：C 【点评】本题考查了图形的旋转变化，由旋转的性质得出ECF 为等腰直角三角形是解题 的关键 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 11已知函数 ，当 m=1 时，它是二次函数 【考点】二次函数的定义 【分析】根据二次函数的定义列出关于 m 的方程，求出 m 的值即可 【解答】解：y= （m1）xm2+1 是二次函数， m2+1=2， m=1 或 m=1（舍去此时 m1=0） 故答案为：1 【点评】此题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意 m10 12抛物线 y=4x2+8x3 的开口方向向下，对称轴是直线 x=1，最高点的坐标是（1，1） ， 函数值的最大值是 1 【考点】二次函数的性质 【分析】把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后分别解答即可 【解答】解：y= 4x2+8x3=4（x 22x+1）+1= 4（x1） 2+1， 开口方向向下，对称轴是直线 x=1，最高点的坐标是（ 1，1） ，函数值的最大值是 1 故答案为：下，直线 x=1， （1，1） ，1 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要是开口方向、对称轴和顶点坐标的求解，把函 数解析式整理成顶点式求解更简便 13若 2x2+3 与 2x24 互为相反数，则 x 为 【考点】解一元二次方程-直接开平方法 【分析】根据有理数加法法则可得 2x2+3+2x24=0，再解一元二次方程即可 【解答】解：由题意得：2x 2+3+2x24=0， 4x21=0， 4x2=1， x= ， 故答案为： 【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知 数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成 x2=a（a0）的形式，利用数的 开方直接求解 14已知等腰ABC 的三个顶点都在半径为 5 的 O 上，如果底边 BC 的长为 8，那么 BC 边上的高为 8 或 2 【考点】垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理 【分析】分为两种情况：当圆心在三角形的内部时，当圆心在三角形的外部时从圆心 向 BC 引垂线，交点为 D，则根据垂径定理和勾股定理可求出 OD 的长，即可求出高 AD 【解答】解：分为两种情况：如图 1，当圆心在三角形的内部时， 连接 AO 并延长交 BC 于 D 点，连接 OB， AB=AC， = ， 根据垂径定理得 ADBC， 则 BD=4， 在 RtODB 中，由勾股定理得：OB 2=OD2+BD2， OB=5，BD=4， OD=3， 高 AD=5+3=8； 当圆心在三角形的外部时，如图 2， 三角形底边 BC 上的高 AD=53=2 所以 BC 边上的高是 8 或 2， 故答案为：8 或 2 【点评】本题综合考查了垂径定理和勾股定理在圆中的应用，因三角形与圆心的位置不明 确，注意分情况讨论 15如图，在同心圆O 中，AB 是大圆的直径，AC 是大圆的弦， AC 与小圆相切于点 D，若小圆的半径为 3cm，则 BC=6cm 【考点】切线的性质 【分析】连接 OD，因为 D 点小圆的切线，故 ODAC；根据垂径定理可证 D 点为 AC 的 中点，又 O 点为 AB 的中点，所以 OD 为 ABC 的中位线；又因为 OD=3，根据中位线定 理，可知 BC=2OD=6cm 【解答】解：连接 OD， 根据题意，D 点为小圆的切点， 故 ODAC， 在大圆中，有 D 点为 AC 的中点 所以 OD 为ABC 的中线， 且 OD=3cm， 故 BC=2OD=6cm 【点评】本题考查了切线和垂径定理以及三角形中位线定理在圆中的综合运用 16已知抛物线 y=ax22ax+c 与 x 轴一个交点的坐标为（ 1，0） ，则一元二次方程 ax22ax+c=0 的根为 1，3 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】将 x=1，y=0 代入抛物线的解析式可得到 c=3a，然后将 c=3a 代入方程，最后利 用因式分解法求解即可 【解答】解法一：将 x=1，y=0 代入 y=ax22ax+c 得：a+2a+c=0 解得：c= 3a 将 c=3a 代入方程得：ax 22ax3a=0 a（x 22x3）=0 a（x+1） （x 3）=0 x1=1，x 2=3 解法二：已知抛物线的对称轴为 x= =1，又抛物线与 x 轴一个交点的坐标为 （1 ，0 ） ，则根据对称性可知另一个交点坐标为（3，0） ；故而 ax22ax+c=0 的两个根为 1， 3 故答案为：1， 3 【点评】本题主要考查的是抛物线与 x 轴的交点，求得 a 与 c 的关系是解题的关键 17如图，P 为 O 外一点， PA、PB 分别切O 于 A、B，CD 切O 于点 E，分别交 PA、PB 于点 C、D，若 PA=5，则 PCD 的周长为 10 【考点】切线长定理 【分析】由于 CA、CE，DE、DB 都是O 的切线，可由切线长定理将 PCD 的周长转换 为 PA、PB 的长 【解答】解：PA 、PB 切O 于 A、B ， PA=PB=5； 同理，可得：EC=CA，DE=DB； PDC 的周长=PC+CE+DE+DP=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PA=10 即PCD 的周长是 10 【点评】此题主要考查的是切线长定理的应用能够将PCD 的周长转换为切线 PA、PB 的长是解答此题的关键 18如图，把抛物线 y= x2 平移得到抛物线 m，抛物线 m 经过点 A（6，0）和原点 O（0，0） ，它的顶点为 P，它的对称轴与抛物线 y= x2 交于点 Q，则图中阴影部分的面积 为 【考点】二次函数图象与几何变换 【专题】压轴题 【分析】根据点 O 与点 A 的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点 P 的坐标，过 点 P 作 PMy 轴于点 M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形 NPMO 的面 积，然后求解即可 【解答】解：过点 P 作 PMy 轴于点 M， 抛物线平移后经过原点 O 和点 A（6，0） ， 平移后的抛物线对称轴为 x=3， 得出二次函数解析式为：y= （x+3） 2+h， 将（6， 0）代入得出： 0= （6+3） 2+h， 解得：h= ， 点 P 的坐标是（3， ） ， 根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形 NPMO 的面积， S=|3| |= 故答案为： 【点评】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴 的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键 三、解答题（共 8 小题，满分 86 分） 19先化简，再求值：（ ） ，其中， a 是方程 x2+3x+1=0 的 根 【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解 【专题】计算题 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形， 约分得到最简结果，将 a 代入方程求出 a2+3a 的值，代入计算即可求出值 【解答】解：原式= + =（ + ） = = ， a 是方程 x2+3x+1=0 的根， a2+3a=1， 则原式= 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 20如图，P 是正三角形 ABC 内的一点，且 PA=5，PB=12，PC=13 ，若将 PAC 绕点 A 逆时针旋转后，得到PAB，求点 P 与点 P之间的距离及APB 的度数 【考点】旋转的性质；勾股定理的逆定理 【专题】计算题 【分析】先根据等边三角形的性质得 AB=AC， BAC=60，再利用旋转的性质得 PAP=BAC=60，AP=AP，BP=CP=13，于是可判断APP 为等边三角形，得到 PP=AP=5，APP=60，接着根据勾股定理的逆定理证明BPP为直角三角形，且 BPP=90，然后利用 APB=APP+BPP求出APB 的度数 【解答】解：ABC 为等边三角形， AB=AC，BAC=60 ， PAC 绕点 A 逆时针旋转后，得到 PAB， PAP=BAC=60，AP=AP，BP=CP=13， APP 为等边三角形， PP=AP=5， APP=60， 在BPP中，PP=5，BP=12，BP=13， PP2+BP2=BP2， BPP为直角三角形，BPP=90， APB=APP+BPP=60+90=150 答：点 P 与点 P之间的距离为 5，APB 的度数为 150 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连 线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等边三角形的判定与性质和勾 股定理的逆定理 21如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位 AB 时，水面宽 8m，水位上升 3m，就达到警戒水位 CD，这时水面宽 4m，若洪水到来时，水位以每小时 0.2m 的速度上 升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶 【考点】二次函数的应用 【分析】以 AB 为 x 轴，中点为坐标原点建立平面直角坐标系，已知 B、D 可得 y 的解析 式，从而求出 OM 的值又因为 MN=OMON，故可求 t 的值 【解答】解：根据题意建立坐标系如下： 设抛物线解析式为：y=ax 2+h， 又 B（4，0） ，D（2，3） ， 解得： ， y= x2+4， M（0，4）即 OM=4m MN=OMON=1， 则 t= =5（小时） 答：水过警戒线后 5 小时淹到拱桥顶 【点评】本题考查二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问 题 22某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81 台电脑被 感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到 有效控制，3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700 台？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】其他问题 【分析】本题可设每轮感染中平均一台会感染 x 台电脑，则第一轮后共有（1+x）台被感 染，第二轮后共有（1+x）+x（1+x ）即（1+x） 2 台被感染，利用方程即可求出 x 的值，并 且 3 轮后共有（1+x） 3 台被感染，比较该数同 700 的大小，即可作出判断 【解答】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染 x 台电脑，依题意得：1+x+（1+x ） x=81， 整理得（1+x） 2=81， 则 x+1=9 或 x+1=9， 解得 x1=8，x 2=10（舍去） ， （ 1+x） 2+x（1+x） 2=（1+x） 3=（1+8 ） 3=729700 答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 8 台电脑，3 轮感染后，被感染的电脑会超过 700 台 【点评】本题只需仔细分析题意，利用方程即可解决问题找到关键描述语，找到等量关 系准确的列出方程是解决问题的关键 23如图，AB 是 O 的直径，BD 是O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DC=BD，连接 AC， 过点 D 作 DEAC，垂足为 E （1）求证：AB=AC； （2）求证：DE 为O 的切线； （3）若O 的半径为 5，BAC=60，求 DE 的长 【考点】切线的判定；圆周角定理 【专题】计算题；证明题 【分析】 （1）根据垂直平分线的判断方法与性质易得 AD 是 BC 的垂直平分线，故可得 AB=AC； （2）连接 OD，由平行线的性质，易得 ODDE，且 DE 过圆周上一点 D 故 DE 为 O 的 切线； （3）由 AB=AC， BAC=60知ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质，可得 AB=BC=10，CD= BC=5；又C=60 ，借助三角函数的定义，可得答案 【解答】 （1）证明：AB 是 O 的直径， ADB=90； BD=CD， AD 是 BC 的垂直平分线 AB=AC （2）证明：连接 OD， 点 O、 D 分别是 AB、BC 的中点， ODAC DEAC， ODDE DE 为O 的切线 （3）解：由 AB=AC， BAC=60知ABC 是等边三角形， O 的半径为 5， AB=BC=10，CD= BC=5 C=60， DE=CDsin60= 【点评】本题考查切线的判定，线段相等的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的 解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题 24某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是 20 元调查发现：销售单价是 30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件，但每件玩 具售价不能高于 40 元设每件玩具的销售单价上涨了 x 元时（x 为正整数） ，月销售利润 为 y 元 （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围 （2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为 2520 元？ （3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？ 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用 【专题】销售问题；压轴题 【分析】 （1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x20）元，月销售量为（230 10x） ，然后 根据月销售利润=一件玩具的利润月销售量即可求出函数关系式 （2）把 y=2520 时代入 y=10x2+130x+2300 中，求出 x 的值即可 （3）把 y=10x2+130x+2300 化成顶点式，求得当 x=6.5 时，y 有最大值，再根据 0x10 且 x 为正整数，分别计算出当 x=6 和 x=7 时 y 的值即可 【解答】解：（1）根据题意得： y=（30+x 20） （23010x）= 10x2+130x+2300， 自变量 x 的取值范围是：0x10 且 x 为正整数； （2）当 y=2520 时，得 10x2+130x+2300=2520， 解得 x1=2，x 2=11（不合题意，舍去） 当 x=2 时，30+x=32（元） 答：每件玩具的售价定为 32 元时，月销售利润恰为 2520 元 （3）根据题意得： y=10x2+130x+2300 =10（x 6.5） 2+2722.5， a=100， 当 x=6.5 时，y 有最大值为 2722.5， 0 x10 且 x 为正整数， 当 x=6 时，30+x=36，y=2720（元） ， 当 x=7 时，30+x=37，y=2720（元） ， 答：每件玩具的售价定为 36 元或 37 元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是 2720 元 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语， 求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程 25 （14 分）有这样一道习题：如图 1，已知 OA 和 OB 是 O 的半径，并且 OAOB，P 是 OA 上任一点（不与 O、A 重合） ，BP 的延长线交 O 于 Q，过 Q 点作O 的切线交 OA 的延长线于 R说明：RP=RQ 请探究下列变化： 变化一：交换题设与结论 已知：如图 1，OA 和 OB 是O 的半径，并且 OAOB，P 是 OA 上任一点（不与 O、A 重合） ，BP 的延长线交O 于 Q，R 是 OA 的延长线上一点，且 RP=RQ 求证：RQ 为 O 的切线 变化二：运动探究： （1）如图 2，若 OA 向上平移，变化一中的结论还成立吗？（只需交待判断） （2）如图 3，如果 P 在 OA 的延长线上时，BP 交O 于 Q，过点 Q 作O 的切线交 OA 的延长线于 R，原题中的结论还成立吗？为什么？ （3）若 OA 所在的直线向上平移且与O 无公共点，请你根据原题中的条件完成图 4，并 判断结论是否还成立？（只需交待判断） 【考点】切线的判定与性质 【专题】证明题 【分析】原命题的证明：连接 OQ，利用 RQ 为O 的切线，得出OQB+ PQR=90，根据 半径 OB=OQ 及 OAOB，得出 OQB=OBQ， OBQ+BPO=90，从而得 PQR=QPR， 证明结论； 变化一的证明：与原命题的证明过程相反，由 RP=RQ，可知 PQR=QPR=BPO，再利用 互余关系将角进行转化，证明OQB+PQR=90，即OQR=90即可； 变化二的证明：连接 OQ，仿照原命题的证