2017年云南省高考数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年云南省高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1设集合 A=x| x+2 0， B=x|2x 5 0，则集合 的关系是（ ） A B A B B A C B A D A B 2设复数 z 满足 z（ 2+i） =5i，则 |z 1|=（ ） A 1 B 2 C D 5 3已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ） A 32 B 33 C 34 D 35 4设 a=b=c=（ ） A c b a B b c a C c a b D a c b 5在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 B= ， a= ， 面积 S ） A B 3 C D 6 6执行如图所示的程序框图，如果输入 N=30，则输出 S=（ ） A 26 B 57 C 225 D 256 7函数 f（ x） =x+），（ | ）的部分图象如图所示， 则 f（ x）的单调递增区间为（ ） A（ 1+41+4 k Z B（ 3+81+8 k Z C（ 1+4k， 1+4k）， k Z D（ 3+8k， 1+8k）， k Z 8如图，在长方体 ， ， ， ， P 是 中点，则异面直线 成角等于（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 9在平行四边形 ， | |=8， | |=6， N 为 中点， =2 ，则 =（ ） A 48 B 36 C 24 D 12 10已知函数 f（ x） = ，则不等式 f（ x 1） 0 的解集为（ ） A x|0 x 2 B x|0 x 3 C x|1 x 2 D x|1 x 3 11某几何体的三视图如图所示，若这个几何体的顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是（ ） A 2 B 4 C 5 D 20 12以双曲线 C： =1（ a 0， b 0）上一点 M 为圆心作圆，该圆与 的一个焦点 F，与 y 轴交于 P， Q 两点，若 正三角形，则 ） A B C 2 D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13若实数 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x y 的最大值为 14已知函数 f（ x） =b（ a， b R），若 f（ x）的图象在 x=1 处的切线方程为 2x y=0，则 a+b= 15设 P， Q 分别为圆 x2+8x+15=0 和抛物线 x 上的点则 P， Q 两点间的最小距离是 16已知 y=f（ x）是 R 上的偶函数，对于任意的 x R，均有 f（ x） =f（ 2 x），当 x 0， 1时， f（ x） =（ x 1） 2，则函数 g（ x） =f（ x） x 1|的所有零点之和为 三、解答题：本大题共 5 小题，共 48 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17（ 12 分）已知数列 ， n=0（ n N+） （ ）求数列 通项公式 （ ）求数列 前 n 项和 18（ 12 分）某校开展 “翻转合作学习法 ”教学实验，经过一年的实践后，对 “翻转班 ”和 “对照班 ”的全部 220 名学生的数学学习情况进行测试，按照大于或等于120 分为 “成绩优秀 ”， 120 分以下为 “成绩一般 ”统计，得到如下的 2 2 列联 表 成绩优秀 成绩一般 合计 对照班 20 90 110 翻转班 40 70 110 合计 60 160 220 （ ）根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过 前提下认为“成绩优秀与翻转合作学习法 ”有关； （ ）为了交流学习方法，从这次测试数学成绩优秀的学生中，用分层抽样方法抽出 6 名学生，再从这 6 名学生中抽 3 名出来交流学习方法，求至少抽到一名 “对照班 ”学生交流的概率 附： ： P（ K2 9（ 12 分）如图，在四棱锥 P ， 平面 面 平行四边形， C=2a， a， E 的 中点 （ ）求证：平面 平面 （ ）求点 E 到平面 距离 20（ 12 分）在圆 x2+ 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 D 为垂足，点 M 在线段 ，满足 = ，当点 P 在圆上运动时，设点 M 的轨迹为曲线 C （ ）求曲线 C 的方程； （ ）若直线 y=m（ x+5）上存在点 Q，使过点 Q 作曲线 C 的两条切线互相垂直，求实数 m 的取值范围 21（ 12 分）设函数 f（ x） =a R （ ）当 a= 4 时，求 f（ x）的单调区间； （ ）若对 x R， f（ x） 成立，求实数 a 的取值范围 选修 4标系与参数方程选讲 22（ 10 分）已知直线 L 的参数方程为 （ t 为参数），以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 = （ ）直接写出直线 L 的极坐标方程和曲线 C 的普通 方程； （ ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 L 夹角为 的直线 l，设直线 l 与直线 L 的交点为 A，求 |最大值 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x+a|+|x 2|的定义域为实数集 R （ ）当 a=5 时，解关于 x 的不等式 f（ x） 9； （ ）设关于 x 的不等式 f（ x） |x 4|的解集为 A， B=x R|2x 1| 3，如果 A B=A，求实数 a 的取值范围 2017 年云南省高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每 小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1设集合 A=x| x+2 0， B=x|2x 5 0，则集合 的关系是（ ） A B A B B A C B A D A B 【考点】 集合的包含关系判断及应用 【分析】 化解集合 A， B，根据集合之间的关系判断即可 【解答】 解：集合 A=x| x+2 0=x|x 1 或 x 2， B=x|2x 50=x|x B A， 故选 A 【点评】 本题主要考查集合的基本运算，比较基础 2设复数 z 满足 z（ 2+i） =5i，则 |z 1|=（ ） A 1 B 2 C D 5 【考点】 复数求模 【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，再由复数模的计算公式求 |z 1| 【解答】 解： z（ 2+i） =5i， ， 则 |z 1|=|2i|=2 故选： B 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题 3已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ） A 32 B 33 C 34 D 35 【考点】 茎叶图 【分析】 根据中位数相同求 出 m 的值，从而求出甲的平均数即可 【解答】 解：由乙的数据是： 21， 32， 34， 36 得中位数是 33， 故 m=3， 故 = （ 27+33+36） =32， 故选： A 【点评】 本题考查了中位数和平均数问题，考查茎叶图的读法，是一道基础题 4设 a=b=c=（ ） A c b a B b c a C c a b D a c b 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 【解答】 解： a=1， b=0， c=（ 0， 1）， a c b， 故选： D 【点评】 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 B= ， a= ， 面积 S ） A B 3 C D 6 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 由 B= ，利用勾股定理可求 b2=a2+ 用正弦定理可得： 立可求 a=c，进而利用三角形 面积公式即可计算得解 【解答】 解：在 ， B= ， a= ， b2=a2+ 由正弦定理可得： a2+得： a=c= ， S =3 故选： B 【点评】 本题主要考查了勾股定理，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 6执行如图所示的程序框图，如果输入 N=30，则输出 S=（ ） A 26 B 57 C 225 D 256 【考点】 程序框图 【 分析】 由已知中的程序框图及已知中输入 N 的值为 30，可得：进入循环的条件为 n 30，模拟程序的运行结果，即可得到输出的 S 值 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 N=30， n=1， S=0 S=1 不满足条件 n 30，执行循环体， n=3， S=4 不满足条件 n 30，执行循环体， n=7， S=11 不满足条件 n 30，执行循环体， n=15， S=26 不满足条件 n 30，执行循环体， n=31， S=57 满足条件 n 30，退出循环，输出 S 的值为 57 故选： B 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时， 我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理 7函数 f（ x） =x+），（ | ）的部分图象如图所示，则 f（ x）的单调递增区间为（ ） A（ 1+41+4 k Z B（ 3+81+8 k Z C（ 1+4k， 1+4k）， k Z D（ 3+8k， 1+8k）， k Z 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象 【分析】 由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数 的单调性，求得 f（ x）的增区间 【解答】 解：根据函数 f（ x） =x+），（ | ）的部分图象，可得 =3 1=2， 求得 = ，再根据五点法作图可得 1+= ， = ， f（ x） =x+ ） 令 2 x+ 2，求得 8k 3 x 8k+1， 故函数的增区间为 3+8k， 1+8k， k Z， 故选： D 【点评】 本题主要考查由函数 y=x+）的部分图象求解析式，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，正弦函数的单调性，属于基础题 8如图，在长 方体 ， ， ， ， P 是 中点，则异面直线 成角等于（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 根据题意，取 中点 Q，连接 出 成角，利用等边三角形求出 值即可 【解答】 解：长方体 ， ， ， ， 取 中点 Q，连接 P 是 中点， 异面直线 成角， 如图所示； ， Q=， 0， 即异面直线 成角等于 60 故选： C 【点评】 本题考查了异面直线所成的角的作法与计算问题，是基础题目 9在平行四边形 ， | |=8， | |=6， N 为 中点， =2 ，则 =（ ） A 48 B 36 C 24 D 12 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 先画出图形，根据条件及向量加减法的几何意义即可得出 ，这样进行数量积的运算即可求出 的值 【解答】 解：如图， ， ； = ， = ； = = =24 故选： C 【点评】 考查向量数乘的几何意义，相反向量的概念，以及向量的数乘运算，向量数量积的运算 10已知函数 f（ x） = ，则不等式 f（ x 1） 0 的解集为（ ） A x|0 x 2 B x|0 x 3 C x|1 x 2 D x|1 x 3 【考点】 指、对数不等式的解法 【分析】 由已知中函数 f（ x） = 是一个分段函数，故可以将不等式 f（ x 1） 0 分类讨论，分 x 1 1 和 x 1 1 两种 情况，分别进行讨论，综合讨论结果，即可得到答案 【解答】 解：当 x 1 1，即 x 2 时， f（ x 1） 02x 2 2 0，解得 x 3， 2 x 3； 当 x 1 1，即 x 2 时， f（ x 1） 022 x 2 0，解得 x 1， 1 x 2 综上，不等式 f（ x 1） 0 的解集为 x|1 x 3 故选： D 【点评】 本题考查的知识点是分段函数的解析式，及不等式的解法，其中根据分段函数分段处理的原则，对不等式 f（ x+2） 3 的变形进行分类讨论，是解答本题的关键 11某几何体的三视图如图所示，若这个几 何体的顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是（ ） A 2 B 4 C 5 D 20 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体为三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面，高为 1 的三棱柱的外接球，进而得到答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体为三棱锥， 其外接球相当于以俯视图为底面，高为 1 的三棱柱的外接球， 底面的外接圆半径 r=1， 球心到底面的距离 d= ， 故几何体的外接球半径 ， 故几何体的外接球表面积为： S=4， 故选： C 【点评】 本题考查 的知识点是球内接多面体，球的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档 12以双曲线 C： =1（ a 0， b 0）上一点 M 为圆心作圆，该圆与 的一个焦点 F，与 y 轴交于 P， Q 两点，若 正三角形，则 ） A B C 2 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意可设 F（ c， 0）， x 轴，可设 M（ c， n）， n 0，设 x=c，代入双曲线的方程，可得 M 的坐标，圆的半径，运用弦长公式，可得|2 ，再由等边三角形的性质，可得 a， c 的方程，运用离心率 公式计算即可得到所求值 【解答】 解：由题意可设 F（ c， 0）， x 轴，可设 M（ c， n）， n 0， 设 x=c，代入双曲线的方程可得 y=b = ， 即有 M（ c， ）， 可得圆的圆心为 M，半径为 ， 即有 M 到 y 轴的距离为 c， 可得 |2 ， 由 等边三角形，可得 c= 2 ， 化简可得 3 由 c2=a2+得 310， 由 e= ，可得 310=0， 解得 （ 舍去）， 即有 e= 故选： B 【点评】 本题考查双曲线的离心率的求 法，注意运用直线和圆相交的弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） . 13若实数 x， y 满足约束条件 ，则 z=2x y 的最大值为 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出可行域，变形目标函数，平移直线找出最优解可得结论 【解答】 解：作出 ，所对应可行域（如图 变形目标函数 z=2x y 可得 y=2x z， 平移直线 y=2x 可得当直线经过点 A（ 1， 0）时， 直线的截距最小， z 取最大值， 代值计算可得最大值为： 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题 14已知函数 f（ x） =b（ a， b R），若 f（ x）的图象在 x=1 处的切线方程为 2x y=0，则 a+b= 4 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导数，由题意可得 f（ 1） =2， f（ 1） =2，计算即可得到所求 【解答】 解： f（ x） =b 的导数为 f（ x） =a（ 1+ 由 f（ x）的图象在 x=1 处的切线方程为 2x y=0， 易知 f（ 1） =2，即 b=2， f（ 1） =2，即 a=2， 则 a+b=4 故答案为： 4 【点评】 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键 15设 P， Q 分别为圆 x2+8x+15=0 和抛物线 x 上的点则 P， Q 两点间的最小距离是 2 1 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由题意可得圆的圆心和半径，由二次函数可得 P 与圆心距离的最小值，减半径即可 【解答】 解： 圆 x2+8x+15=0 可化为（ x 4） 2+， 圆的圆心为（ 4， 0），半径为 1， 设 P（ 抛物线 x 上的任意 一点， P 与（ 4， 0）的距离 d= = ， 由二次函数可知当 时， d 取最小值 2 ， 所求最小值为： 2 1 故答案为： 2 1 【点评】 本题考查两点间的距离公式，涉及抛物线和圆的知识，属中档题 16已知 y=f（ x）是 R 上的偶函数，对于任意的 x R，均有 f（ x） =f（ 2 x），当 x 0， 1时， f（ x） =（ x 1） 2，则函数 g（ x） =f（ x） x 1|的所有零点之和为 2016 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 由题意可求得函数是一个周期函数，且 周期为 2，故可以研究出一个周期上的函数图象，再研究所给的区间包含了几个周期即可知道函数 g（ x） =f（ x） x 1|的所有零点之和 【解答】 解：由题意可得函数 f（ x）是 R 上的偶函数，可得 f（ x） =f（ x），f（ 2 x） =f（ x）， 故可得 f（ x） =f（ 2 x），即 f（ x） =f（ x 2），即函数的周期是 2， y=x 1|在（ 1， + ）上单调递增函数，当 x=2018 时， x 1|=1， 当 x 2018 时， y=x 1| 1，此时与函数 y=f（ x） 无交点 根据周期性，利用 y=x 1|的图象和 f（ x）的图象都关于直线 x=1 对称，则函数 g（ x） =f（ x） x 1|的所有零点之和为 2015 2013 31+3+5 +2017=2016， 故答案为： 2016 【点评】 本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数 f（ x）性质 三、解答题：本大题共 5 小题，共 48 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17（ 12 分）（ 2017云南一模）已知数列 ， n=0（ n N+） （ ）求数 列 通项公式 （ ）求数列 前 n 项和 【考点】 数列递推式；数列的求和 【分析】 （ I） n=0（ n N+），可得（ n）（ n+2） =0即可解出 （ 用等差数列的求和公式即可得出 【解答】 解：（ I） n=0（ n N+）， （ n）（ n+2） =0 an=n，或 an=n 2 （ an=n 时， an=n 2 时， = 【点评】 本题考查了一元二次方程的解法、等差数列的通项公式与求和公式，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017云南一模）某校开展 “翻转合作学习法 ”教学实验，经过一年的实践后，对 “翻转班 ”和 “对照班 ”的全部 220 名学生的数学学习情况进行测试，按照大于或等于 120 分为 “成绩优秀 ”， 120 分以下为 “成绩一般 ”统计，得到如下的 2 2 列联表 成绩优秀 成绩一般 合计 对照班 20 90 110 翻转班 40 70 110 合计 60 160 220 （ ）根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过 前 提下认为“成绩优秀与翻转合作学习法 ”有关； （ ）为了交流学习方法，从这次测试数学成绩优秀的学生中，用分层抽样方法抽出 6 名学生，再从这 6 名学生中抽 3 名出来交流学习方法，求至少抽到一名 “对照班 ”学生交流的概率 附： ： P（ K2 考点】 独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）根据列联 表中的数据计算 照临界值表得出结论； （ ）求出用分层抽样方法抽出 6 人，对照班 2 人，翻转班 4 人， 用列举法计算基本事件数，求出概率直 【解答】 解：（ ）根据列联表中的数据，计算 对照临界值表知，不能在犯错误的概率不超过 前提下 认为 “成绩优秀与翻转合作学习法 ”有关； （ ）这次测试数学成绩优秀的学生中，对照班有 20 人，翻转班有 40 人， 用分层抽样方法抽出 6 人，对照班抽 2 人，记为 A、 B，翻转班抽 4 人记为 c、 d、e、 f； 再从这 6 人中抽 3 人，基本事件是 20 种不同取法； 至少抽到一名 “对照班 ”学生的基本事件是 16 种， 故所求的概率为 P= = 【点评】 本题考查了独立性检验与列举法求概率的计算问题，是基础题目 19（ 12 分）（ 2017云南一模）如图，在四棱锥 P ， 平面 面 平行四边形， C=2a， a， E 的 中点 （ ）求证：平面 平面 （ ）求点 E 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）设 ，证明 平面 可证明平面 平面 （ ）点 E 到平面 距离 =点 O 到平面 距离，作 足为F，证明 平面 可求出求点 E 到平面 距离 【解答】 （ ）证明：设 ，则 平面 平面 平面 ， 平面 面 平面 平面 （ ）解：点 E 到平面 距离 =点 O 到平面 距离， 作 足为 F， 平面 面 ， 平面 C=2a， a， 20， O 到 距离为 a， 即点 E 到平面 距离为 a 【 点评】 本题考查线面垂直、平面与平面垂直的证明，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 20（ 12 分）（ 2017云南一模）在圆 x2+ 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 D 为垂足，点 M 在线段 ，满足 = ，当点 P 在圆上运动时，设点 M 的轨迹为曲线 C （ ）求曲线 C 的方程； （ ）若直线 y=m（ x+5）上存在点 Q，使过点 Q 作曲线 C 的两条切线互相垂直，求实数 m 的取值范围 【考点】 直线与椭圆的位置关系；轨迹方程 【分析】 （ ）设出 P（ M（ x， y）， D（ 0），由点 M 在线段，且满足 M 的坐标用 P 的坐标表示，代入圆的方程得答案； （ ）设过点 Q（ 椭圆的切线方程为 y y0=k（ x 由 y=，整理得：（ 4+98k（ x+9（ 36=0，由 =324 2 36（ 4+9（ 2 4=0，整理得：（ 9 ） =0由 ，点 x2+ 与 y=m（ x+5）的公共点， O（ 0， 0）到直线 y=m（ x+5）的距离d 即可 【解答】 解：（ ）设 P（ M（ x， y）， D（ 0）， 点 M 在线段 ，且满足满足 = ， x0=x， y， 又 P 在圆 x2+ 上， ， ， 曲线 C 的方程为： （ 2）假设在直线 y=m（ x+5）上存在点 Q（ 设过点 Q（ 椭圆的切线方程为 y y0=k（ x 即 y= 由 y=，整理得：（ 4+98k（ x+9（ 36=0， 由 =324 2 36（ 4+9（ 2 4=0， 整理得：（ 9 ） =0 故过点 Q（ 椭圆的两条切线斜率 别是：（ 9 ） =0 的两解 故 ， 点 Q 是圆 x2+ 与 y=m（ x+5）的公共点， O（ 0， 0）到直线 y=m（ x+5）的距离 d 即可 解得 1213，即 ， 实数 m 的取值范围： 【点评】 本题考查了轨迹方程的求 法，考查了代入法求曲线的轨迹方程，椭圆的切线问题，属于难题 21（ 12 分）（ 2017云南一模）设函数 f（ x） =a R （ ）当 a= 4 时，求 f（ x）的单调区间； （ ）若对 x R， f（ x） 成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ I）当 a= 4 时， f（ x） =22），令 f（ x） =0，解得 x=别解出 f（ x） 0， f（ x） 0，即可得出函数 f（ x）单调区间 （ ）对 x R， f（ x） 成立 0，令 g（ x） = f（ x） 成立 g（ x） 0 g（ x） =2 a） ，对 a 分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出 【解答】 解：（ I）当 a= 4 时，函数 f（ x） =4 f（ x） =242）， 令 f（ x） =0，解得 x= 当 x （ + ）时， f（ x） 0，此时函数 f（ x）单调递增；当 x （ ， f（ x） 0，此时 函数 f（ x）单调递减 函数 f（ x）的单调递增区间为： + ）时，单调递减区间为（ ， （ ）对 x R， f（ x） 成立 0， 令 g（ x） = f（ x） 成立 g（ x） 0 g（ x） =2 a） ， a=0 时， g（ x） =20， 此时函数 g（ x）在 R 上单调递增， g（ x） =0 恒成立，满足条件 a 0 时，令 g（ x） =0，解得 x=则 x ， g（ x） 0， 此时函数 g（ x）在 R 上单调递增； x ， g（ x） 0， 此时函数 g（ x）在 R 上单调递减 当 x=，函数 g（ x）取得极小值即最小值，则 g（ =1 0， 解得 0 a 2e a 0 时，令 g（ x） =0，解得 x= a）， 则 x a）时， g（ x） 0，此时函数 g（ x）在 R 上单调递增； x a）时， g（ x） 0，此时函数 g（ x）在 R 上单调递减 当 x= a）时，函数 g（ x）取得极小值即最小值， 则 g（ a） = a） 0，解得 1 a 0 综上可得： a 的求值范围是 1， 2e 【点评】 本题