2017年云南省高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年云南省高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 S=1， 2，设 S 的真子集有 m 个，则 m=（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 2已知 i 为虚数单位，则 的共轭复数为（ ） A + i B + i C i D i 3已知 、 是平面向量，如果 | |=3， | |=4， | + |=2，那么 | |=（ ） A B 7 C 5 D 4在（ x ） 10 的二项展开式中， 系数等于（ ） A 120 B 60 C 60 D 120 5已知 a， b， c， d 都是常数， a b， c d，若 f（ x） =2017（ x a）（ x b）的零点为 c， d，则下列不等式正确的是（ ） A a c b d B a b c d C c d a b D c a b d 6公元 263 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率 ，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即 12， 24，48， ， 192， ，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形， ，正一百九十二边形， 的面积，这些数值逐步地逼近圆面积 ，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候 的近似值是 徽称这个方法为 “割圆术 ”，并且把 “割圆术 ”的特点概括为 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣 ”刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的 “割圆术 ”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据： 则输出 n 的值为（ ） A 48 B 36 C 30 D 24 7在平面区域 内随机取一点（ a， b），则函数 f（ x） =4 在区间 1， + ）上是增函数的概率为（ ） A B C D 8已知 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c若 a= 面积为 1+ 则 b 的最小值为（ ） A 2 B 3 C D 9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A 12 B 18 C 24 D 30 10已知常数 0， f（ x） = 1+2 象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为 ，若 f（ = ， ，则 ） A B C D 11已知三棱锥 P 所有顶点都在表面积为 16 的球 O 的球面上， 球 O 的直径，当三棱锥 P 体积最大时，设二面角 P C 的大小为 ，则 ） A B C D 12抛物线 M 的顶点是坐标原点 O，抛物线 M 的焦点 F 在 x 轴正半轴上，抛物线 M 的准线与曲线 x2+6x+4y 3=0 只有一个公 共点，设 A 是抛物线 M 上的一点，若 = 4，则点 A 的坐标是（ ） A（ 1， 2）或（ 1， 2） B（ 1， 2）或（ 1， 2） C（ 1， 2） D（ 1， 2） 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13某校 1000 名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布 N（ 90， 2），若分数在（ 70， 110内的概率为 计这次考试分数不超过 70 分的人数为 人 14过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点，与双曲线的渐近线 交于 C， D 两点，若 | |则双曲线离心率的取值范围为 15计算 = （用数字作答） 16已知 f（ x） = ，若 f（ x 1） f（ 2x+1），则 x 的取值范围为 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17设数列 前 n 项和为 ，当 n 2 时， 2 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）是否存在正数 k，使（ 1+ 1+（ 1+ k 对一切正整数 存在，求 k 的取值范围，若不存在，请说明理由 18云南省 2016 年 高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为： 85 分及以上，记为 A 等，分数在 70， 85）内，记为 B 等，分数在 60， 70）内，记为 C 等， 60 分以下，记为 D 等，同时认定等级分别为 A， B， C 都为合格，等级为 D 为不合格 已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在 50， 100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取 50 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照 50， 60）， 60，70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100分别作出甲校如图 1 所示样本频率分布直方图，乙校 如图 2 所示样本中等级为 C、 D 的所有数据茎叶图 （ 1）求图中 x 的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率； （ 2）在选取的样本中，从甲、乙两校 C 等级的学生中随机抽取 3 名学生进行调研，用 X 表示所抽取的 3 名学生中甲校的学生人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 19如图，在四棱锥 S ，底面 矩形，平面 平面 B=M 是 中点， ， （ 1）求证： （ 2）若二面角 B M 的正弦值为 ，求四棱锥 S 体积 20已知椭圆 E 的中 心在原点，焦点 y 轴上，离心率等于 ， P 是椭圆 E 上的点，以线段 直径的圆经过 9 =1 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）做直线 l 与椭圆 E 交于两个不同的点 M、 N，如果线段 直线 2x+1=0平分，求 l 的倾斜角的取值范围 21已知 e 是自然对数的底数，实数 a 是常数，函数 f（ x） =1 的定义域为（ 0， + ） （ 1）设 a=e，求函数 f（ x）在切点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）判断函数 f（ x）的单调性； （ 3）设 g（ x） =1） x 0， f（ g（ x） f（ x），求 a 的取值范围 选修 4标系与参数方程选讲 22已知直线 L 的参数方程为 （ t 为参数），以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 = （ ）直接写出直线 L 的极坐标方程和曲线 C 的普通方程； （ ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 L 夹角为 的直线 l，设直线 l 与直线 L 的交点为 A，求 |最大值 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x+a|+|x 2|的定义域为实数集 R （ ）当 a=5 时，解关于 x 的不等式 f（ x） 9； （ ）设关于 x 的不等式 f（ x） |x 4|的解集为 A， B=x R|2x 1| 3，如果 A B=A，求实数 a 的取值范围 2017 年云南省高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知集合 S=1， 2，设 S 的真子集有 m 个，则 m=（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 子集与真子集 【分析】 若集合 A 有 n 个元素，则集合 A 有 2n 1 个真子集 【解答】 解： 集合 S=1， 2， S 的真子集的个数为： 22 1=3 故选： B 2已知 i 为虚数单位，则 的共轭复数为（ ） A + i B + i C i D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： = ， 的共轭复数为 故选： C 3已知 、 是平面向量，如果 | |=3， | |=4， | + |=2，那么 | |=（ ） A B 7 C 5 D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据条件对 两边平方，从而可求出 ，这样即可求出的值，进而求出 的值 【解答 】 解：根据条件： = =4； ； =9（ 21） +16 =46； 故选： A 4在（ x ） 10 的二项展开式中， 系数等于（ ） A 120 B 60 C 60 D 120 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用通项公式即可得出 【解答】 解：通项公式 = =（ 1） r 2r， 令 10 2r=4，解得 r=3 系数等于 = 120 故选： A 5已知 a， b， c， d 都是常数， a b， c d，若 f（ x） =2017（ x a）（ x b）的零 点为 c， d，则下列不等式正确的是（ ） A a c b d B a b c d C c d a b D c a b d 【考点】 函数的零点 【分析】 由题意设 g（ x） =（ x a）（ x b），则 f（ x） =2017 g（ x），由函数零点的定义求出对应方程的根，画出 g（ x）和直线 y=2017 的大致图象，由条件和图象判断出大小关系 【解答】 解：由题意设 g（ x） =（ x a）（ x b），则 f（ x） =2017 g（ x）， 所以 g（ x） =0 的两个根是 a、 b， 由题意知： f（ x） =0 的两根 c， d， 也就是 g（ x） =2017 的两根， 画出 g（ x）（开口向上）以及直线 y=2017 的大致图象， 则与 f（ x）交点横坐标就是 c， d， f（ x）与 x 轴交点就是 a， b， 又 a b， c d，则 c， d 在 a， b 外， 由图得， c a b d， 故选 D 6公元 263 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率 ，他从圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即 12， 24，48， ， 192， ，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形， ，正一百九十二边形， 的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正 一百九十二边形，这时候 的近似值是 徽称这个方法为 “割圆术 ”，并且把 “割圆术 ”的特点概括为 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣 ”刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想及其重要，对后世产生了巨大影响，如图是利用刘徽的 “割圆术 ”思想设计的一个程序框图，若运行改程序（参考数据： 则输出 n 的值为（ ） A 48 B 36 C 30 D 24 【考点】 程序框图 【分析】 列出循环过程中 S 与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环 【解答】 解：模拟执行程序，可得： n=6， S=3 ， 不满足条件 S n=12， S=6 3， 不满足条件 S n=24， S=12 12 满足条件 S 出循环，输出 n 的值为 24 故选： D 7在平面区域 内随机取一点（ a， b），则函数 f（ x） =4 在区间 1， + ）上是增函数的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，根据概率的几何概型的概率公式进行计算即可得到结论 【解答】 解：作出不等式组 对应的平面区域如图： 对应的图形为 中对应面积为 S= 4 4=8， 若 f（ x） =4 在区间 1， + ）上是增函数， 则满足 a 0 且对称轴 x= 1， 即 ，对应的平面区域为 由 ， 解得 ， 对应的面积为 4= ， 根据几何概型的概率公式可知所求的概率为 = ， 故选： B 8已知 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c若 a= 面积为 1+ 则 b 的最小值为（ ） A 2 B 3 C D 【考点】 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，求出 值，确定出 B 的度数，利用三角形面积公式求出 值，利用余弦定理，基本不等式可求 b 的最小值 【解答】 解：由正弦定理得到： 在 ， （ B+C） =B+C）， B+C） = C （ 0， ）， 0， ， B （ 0， ）， B= ， S + ， +2 ， 由余弦定理得到： b2=a2+2 b2=a2+2，当且仅当 a=c 时取 “=”， b 的最小值为 2 故选： A 9如图，网格纸 上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A 12 B 18 C 24 D 30 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，切去一个三棱锥所得的组合体， 其底面面积 S= 3 4=6， 棱柱的高为： 5，棱锥的高为 3， 故组合体的体积 V=6 5 6 3=24， 故选： C 10已知常数 0， f（ x） = 1+2 象的对称中心得到对称轴的距离的最小值为 ，若 f（ = ， ，则 ） A B C D 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 将函数 f（ x）化简成只有一个函数名，对称中心得到对称轴的距离的最小值为 ，可得 T=根据 f（ = ， ，求出 得 值 【解答】 解：由 f（ x） = 1+2 化简可得： f（ x） = 2x+ ） 对称中心得到对称轴的距离的最小值为 ， T= 由 ， 可得： =1 f（ = ，即 22） = ， 2 2） = 0 2） = 那么： 2 ） =2） 2） 故选 D 11已知三棱锥 P 所有顶点都在表面积为 16 的球 O 的球面上， 球 O 的直径，当三棱锥 P 体积最大时，设二 面角 P C 的大小为 ，则 ） A B C D 【考点】 二面角的平面角及求法 【分析】 球 O 的直径，当三棱锥 P 体积最大时， 等腰直角三角形， P 在面 的射影为圆心 O，过圆心 O 作 D，连结 二面角 P C 的平面角 【解答】 解：如图所示：由已知得球的半径为 2， 球 O 的直径，当三棱锥 P 体积最大时， 等腰直角三角形，P 在面 的射影为圆心 O， 过圆心 O 作 D，连结 二面 角 P C 的平面角， 在 中， ， ， ， 故选： C 12抛物线 M 的顶点是坐标原点 O，抛物线 M 的焦点 F 在 x 轴正半轴上，抛物线 M 的准线与曲线 x2+6x+4y 3=0 只有一个公共点，设 A 是抛物线 M 上的一点，若 = 4，则点 A 的坐标是（ ） A（ 1， 2）或（ 1， 2） B（ 1， 2）或（ 1， 2） C（ 1， 2） D（ 1， 2） 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 先求出抛物线的焦点 F（ 1， 0），根据抛物线的方程设 A（ ， 则 =（ ， =（ 1 ， 再由 = 4，可求得 值，最后可得答案 【解答】 解： x2+6x+4y 3=0，可化为（ x 3） 2+（ y+2） 2=16，圆心坐标为（ 3， 2），半径为 4， 抛物线 M 的准线与曲线 x2+6x+4y 3=0 只有一个公共点， 3+ =4， p=2 F（ 1， 0）， 设 A（ ， 则 =（ ， =（ 1 ， 由 = 4， 2， A（ 1， 2） 故选 B 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13某校 1000 名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布 N（ 90， 2），若分数在（ 70， 110内的概率为 计这次考试分数不超过 70 分的人数为 325 人 【考点】 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】 利用正态分布曲线的对称性结合已知求得 P（ X 70），乘以 1000 得答案 【解答】 解：由 X 服从正态分布 N（ 90， 2）（ 0），且 P（ 70 X 110） = 得 P（ X 70） = （ 1 = 估计这次考试分数不超过 70 分的人数为 1000 =325 故答案 为： 325 14过双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A， B 两点，与双曲线的渐近线交于 C， D 两点，若 | |则双曲线离心率的取值范围为 ， + ） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设出双曲线的右焦点和渐近线方程，令 x=c，联立方程求出 A， B， C，D 的坐标，结合距离关系和条件，运用离心率公式和 a， b， c 的关系，进行求解即可 【解答】 解：设双曲线 =1（ a 0， b 0）的右焦点为（ c， 0）， 当 x=c 时代入双曲线 =1 得 y= ，则 A（ c， ）， B（ c， ）， 则 ， 将 x=c 代入 y= x 得 y= ，则 C（ c， ）， D（ c， ）， 则 | ， | | ，即 b c， 则 b2= 即 则 ， 则 e 故答案为： ， + ） 15计算 = （用数字作答） 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 利用诱导公式化简 100） = 同角三角函数关系式 1 2入化 简根据两角和与差的公式可得答案 【解答】 解：由= = 故答案为： 16已知 f（ x） = ，若 f（ x 1） f（ 2x+1），则 x 的取值范围为 x|x 0，或 x 2 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 由题意可得 f（ x）为偶函数， f（ x）在 0， + ）上单调递增由不等式 f（ x 1） f（ 2x+1），可得 |x 1| |2x+1|，由此求得 x 的范围 【解答】 解： 已知 f（ x） = ， 满足 f（ x） =f（ x），且 f（ 0） =0，故 f（ x）为偶函数， f（ x）在 0， + ）上单 调递增 若 f（ x 1） f（ 2x+1），则 |x 1| |2x+1|， （ x 1） 2 （ 2x+1） 2，即 x 0， x 0，或 x 2， 故答案为： x|x 0，或 x 2 三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17设数列 前 n 项和为 ，当 n 2 时， 2 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）是否存在正数 k，使（ 1+ 1+（ 1+ k 对一切正整数 存在，求 k 的取值范围，若不存在，请说明理由 【考点】 数列与不等式的综 合；数列递推式 【分析】 （ 1）由数列的性质对其经行变形整理出可以判断数列为等差数列的形式即可，求出 根据 n 1，即可求出数列的通项公式， （ 2）先构造函数 f（ n）并判断其单调性，然后再由函数的单调性解决函数恒成立的，求出参数 k 的取值范围 【解答】 解：（ 1） 当 n 2 时， 2 ， n 2， （ 1）（ 21） =2 1=21， 2， n 2， 数列 是以 =1 为首项，以 2 为公差的等差数列， =1+2（ n 1） =2n 1， ， n 2 时， n 1= = ， 1=1， ， （ 2）设 f（ n） = ， 则 = = 1， f（ n）在 n N*上递增， 要使 f（ n） k 恒成立，只需要 f（ n） k， f（ n） f（ 1） = ， 0 k 18云南省 2016 年高中数学学业水平考试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制，各登记划分标准为： 85 分及以上，记为 A 等，分数在 70， 85）内，记为 B 等，分数在 60， 70）内，记为 C 等， 60 分以下， 记为 D 等，同时认定等级分别为 A， B， C 都为合格，等级为 D 为不合格 已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在 50， 100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取 50 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照 50， 60）， 60，70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100分别作出甲校如图 1 所示样本频率分布直方图，乙校如图 2 所示样本中等级为 C、 D 的所有数据茎叶图 （ 1）求图中 x 的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率； （ 2）在选取的样本中，从甲、乙两校 C 等级的学生中随机抽取 3 名学生进行调研， 用 X 表示所抽取的 3 名学生中甲校的学生人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）利用频率分布直方图的性质可得 x，进而定点甲校的合格率由茎叶图可得乙校的合格率 （ 2）甲乙两校的 C 等级的学生数分别为： 10 50=6， 4 人 X=0， 1， 2，3利用 P（ X=k） = ，即可得出 【解答】 解：（ 1）由频率分布直方图可得：（ x+ 10=1，解得 x= 甲校的合格率 1 10=6%， 乙校的合格率 =96% 可得：甲乙两校的合格率相同，都为 96% （ 2）甲乙两校的 C 等级的学生数分别为： 10 50=6， 4 人 X=0， 1， 2， 3 则 P（ X=k） = ， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ，P（ X=3） = = X 的分布列为： X 0 1 2 3 P E（ X） =0+1 +2 +3 = 19如图，在四棱锥 S ，底面 矩形，平面 平面 B=M 是 中点， ， （ 1）求证： （ 2）若二面角 B M 的正弦值为 ，求四棱锥 S 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的性质 【分析】 （ 1）推导出 勾股定理得 而 面 此能证明 （ 2）以 M 为原点， x 轴， y 轴，过 M 作平面 垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出四棱锥 S 体积 【 解答】 证明：（ 1） C， M 是 中点， 平面 平面 面 平面 C， 平面 平面 底面 矩形， M 是 中点， ， ， = ， ， ， 平面 平面 解：（ 2） 平面 以 M 为原点， x 轴， y 轴，过 M 作平面 垂线为 z 轴， 建立 空间直角坐标系， 设 SM=t，则 M（ 0， 0， 0）， B（ 1， 0， 0）， S（ 0， t， 0）， A（ 1， 0， 1）， =（ 0， 0， 1）， =（ 1， t， 0）， =（ 1， 0， 1）， =（ 0， t， 0）， 设平面 法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x=1，得 =（ 1， ， 0）， 设平面 法向量 =（ a， b， c）， 则 ，取 a=1，得 =（ 1， 0， 1）， 设二面角 B M 的平面角为 ， 二面角 B M 的正弦值为 ， ， = ， = = ，解得 t= ， 平面 ， 四棱锥 S 体积： = = 20已知椭圆 E 的中心在原点，焦点 y 轴上，离心率等于 ， P 是椭圆 E 上的点，以线段 直径的圆经过 9 =1 （ 1）求椭圆 E 的方程； （ 2）做直线 l 与椭圆 E 交于两个不同的点 M、 N，如果线段 直线 2x+1=0平分，求 l 的倾斜角的取值范围 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）由题意可知：设椭圆的标准方程， c= a，则利用椭圆的定义m+n=2a，勾股定理 2c） 2=向量数量积，即可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程； （ 2）假设存在直线 l，设出方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合根的判别式，即可得到结论 【解答】 解：（ 1）由题意可知：设题意的方程： （ a b 0）， e= = ，则 c= a，设丨 =m，丨 =n， 则 m+n=2a， 线段 直径的圆经过 则 2c） 2= 9mn ，由 9， n= ，解得： a=3， c= ， 则 b= =1， 椭圆标准方程： ； （ 2）假设存在直线 l，依题 意 l 交椭圆所得弦 x= 平分， 直线 l 的斜率存在 设直线 l： y=kx+m，则 由 消去 y，整理得（ ） 9=0 l 与椭圆交于不同的两点 M， N， =44（ ）（ 9） 0，即 9 0 设 M（ N（ 则 x1+ = = ， m= 把 代入 式中得（ ） 2（ ） 0 k 或 k ， 直线 l 倾斜角 （ ， ） （ ， ） 21已知 e 是自然对数的底数，实数 a 是常数，函数 f（ x） =1 的定义域为（ 0， + ） （ 1）设 a=e，求函数 f（ x）在切点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）判断函数 f（ x）的单调性； （ 3）设 g（ x） =1） x 0， f（ g（ x） f（ x），求 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，计算 f（ 1）， f（ 1），求出切线方程即可； （ 2）求出函数的导数，通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可； （ 3）设 F（ x） =x 1，求出函数的导数，问题转 化为 x 0 时， 1x，设 h（ x） =，根据函数的单调性确定 a 的范围即可 【解答】 解：（ 1） a=e 时， f（ x） =1， f（ 1） = 1， f（ x） =e，可得 f（ 1） =0， 故 a=e 时，函数 f（ x）在切点（ 1， f（ 1）处的切线方程是 y= 1； （ 2） f（ x） =1， f（ x） =a， 当 a 0 时， f（ x） 0，则 f（ x）在 R 上单调递增； 当 a 0 时，令 f（ x） =a=0，得 x= 则 f（ x）在（ ， 单调递减，在（ + ）上单调递增 （ 3）设 F（ x） =x 1，则 F（ x） =1， x=0 时， F（ x） =0， x 0 时， F（ x） 0， F（ x）在 0， + ）递增， x 0 时， F（ x） F（ 0），化简得： 1 x， x 0 时， 1 x， 设 h（ x） =， 则 h（ x） =x（ 设 H（ x） =H（ x） =e， 由 H（ x） =0，得 x=1 时， H（ x） 0， x 1 时， H（ x） 0， x 0 时， H（ x）的最小值是 H（ 1）， x 0 时 ， H（ x） H（ 1），即 H（ x） 0， h（ x） 0，可知函数 h（ x）在（ 0， + ）递增， h（ x） h（ 0） =0，化简得 1