2016年河北师范大学数学建模大赛论文

2016 年河北师范大学数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、 网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和 参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛 规则的行为，我们将受到严肃处理。 所属学院（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2016 年 06 月 06 日 2016 年河北师范大学数学建模竞赛 编 号 专 用 页 评阅编号： 评阅记录： 评 阅 人 评 分 备 注 城市公共自行车服务系统的分析与研究 摘要 伴随着社会的发展，环境污染、交通拥挤成为城市亟待解决的难题，而乘骑自行车出行作为 一种低碳、环保、节能、健康的出行方式，深受老百姓的青睐。并且目前许多城市着力促进公共 自行车与公共交通实现无缝对接，以期打破交通末端“最后一公里”的难题。 本文基于温州鹿城区公共自行车服务系统的 20 天内的租还车原始数据，构建模型对公共自行 车的使用频次分布、供求状况和自行车租赁的站点位置特征进行了分析，进而探讨了公共自行车 系统的有效性，挖掘其背后的系统运行规律及机理，并分析了这一系统的与之相关的现象如“交 通接驳站”，“潮汐交通现象”，“周一交通综合症”等，最终建立在有效可持续发展的基础上提 出解决方案。 本文首先对题目所给的 20 天的租还车原始数据进行预处理，发现无错误数据，从而有效提高 分析与研究的准确性。 针对问题一：我们使用 Excel 软件对 20 天内累计借出车站与归还车站的频数进行排序，得出 借车频次最高的站点是街心公园，其频率高达 12288；还车频次最高的站点是五马美食林，其频率 高达 12309。通过数据透视表将每天每次用车时长制成图表，然后把 20 天的统计汇总而求得平均 每天每次用车时长的分布情况作为每次用车时长的分布情况。（相关图表见附录） 针对问题二：使用 Excel 软件通过数据透视表分别统计出每天使用公共自行车的不同借车人数 量，从得到的表中我们得到第 20 天借车人数量最多，其高达 20024 人。然后使用层次结构法的分 析方法，辅以插入数据透视表和函数统计等手段得到数据中出现过的每张借车卡累计借车次数， 并构建其分布情况，以图表形式呈现，然后通过 Maple 软件得到相对应的拟合曲线函数。（相关 图表见附录） 针对问题三：使用 Excel 软件制作各站点的借还车高峰时段及其频数统计数据表，采用抽样分 析的方法，以第 10、13 、14 、19、20 天数据为样本数据来估算高峰时段各站点的借还车频次及其 相关分类情况，并进一步分析研究。(表格见附录) 针对问题四：在前三个问数的数据统计基础上分析附件 1 和附件 2 的数据，找到可能存在约 会（聚会）人员的还车站点，并从中分析人数频次随时间段的变化情况，依据时间变化建立线性 规划模型，找出存在约会（聚会）关系的最优化概率。 针对问题五： 通过处理后的附件一数据分析后，选取了大世界超市，开太超市，人本超市 （新田园店），数码广场，沃尔玛（欧洲城），银泰百货作为分析的样本。在处理中，建立了辐 射模型，即设某人的骑车速度为 x, (10km/hx12km/h) 该人骑车到附近超市购物的时间为 s,(0s30mins)其中 y=xs。从而有效绘出样本的覆盖顾客范围。 针对问题六：城区公共自行车站点应与公共交通合理布局，考虑不同人群的特点及需求，可 优化公共自行车的结构和功能；根据站点实际需求，合理投放自行车，即使调度，鼓励市民短时 骑行，即用即还。 关键词：公共自行车 Excel 软件 Maple 软件 线性规划模型 问题优化思想 1 一 问题重述 公共自行车作为一种低碳、环保、节能、健康的出行方式，正在全国许多城市迅 速推广与普及。在公共自行车服务系统中，自行车租赁的站点位置及各站点自行车锁 桩和自行车数量的配置，对系统的运行效率与用户的满意度有重要的影响。 基于温州市鹿城区公共自行车管理中心提供的 20 天借车和还车的原始数据和所给 站点的分布情况。根据附件提供的数据，建立数学模型，解决以下问题： 1、分别统计各站点 20 天中每天及累计的借车频次和还车频次,并对所有站点按累计的 借车频次和还车频次分别给出它们的排序。另外，试统计分析每次用车时长的分布情 况。（图表呈现） 2、统计 20 天中各天使用公共自行车的不同借车卡（即借车人）数量，并统计数据中 出现过的每张借车卡累计借车次数的分布情况。（图表呈现） 3、利用 Excel 的数据透视表与统计分析将所给数据进行处理，从而能找出个站点的借 还车高峰时段，列表给出高峰时段各站点的借还车频次，并对具有共同借还车高峰时 段的站点进行归类。 4、通过分析所处理的数据，建立适当的模型 ，通过计算得到一个站点可能存在约会 关系的最优概率，则说明寻找到存在约会关系的不同接车人集合。 5、通过分析所处理的数据，建立适当的模型 ，寻找不同超市拥有的顾客居住地覆盖 面。 6、找出公共自行车服务系统的其他运行规律，并能提出有效性，可行性的改进建议。 二 问题分析 2.1 问题 1 分析 先用 Excel 软件对每天的数据分别用数据透视表分类统计，可得到 20 天中每天的 借车频次和还车频次(结果见电子附录表 2.1.1)，然后对处理后的数据用软件对其作进 一步统计处理，得到 20 天累计的借车频次和还车频次（结果见电子附录表 2.1.2）， 然后将所得到的结果进行排序处理。类似的方法，用该软件能统计出每次用车的时长 的分布情况（结果见电子附录表 2.1.3），对于所得到的分布图像（图 2.1.1），可得到 相关的信息跟结论。 2.2 问题 2 分析 类似于问题 1 的处理办法，对附表中的数据用 Excel 软件对其进行统计处理，然后 使用数据透视表进行处理，得到 20 天中每天使用公共自行车的不同借车卡（借车人） 数量（结果见电子附录 2.2.1），再利用相关方法对其进行多次统计处理，得到出现过 的每张借车卡累计的借车次数分布情况，从而得到图像（图 2.2.1），再利用 MAPIE 软 件拟合曲线，使得所得结论更符合一般性。 2.3 问题 3 分析 由于每天的借还车时刻比较集中，所以拟定单位时间段 j,将一天分为以 j 为间隔的 多个时间段，利用数据透视表就能得出一天中各站点在分好的时间段中每段在该站点 所占权重 w，权重大及为高峰时段（结果见电子附录表 2.3.1）。每个时间段里的数值 即代表着借还车频次，然后用统计的 20 天的高峰时段的站点，进行归类（结果见电子 表 2.3.2）。 2.4 问题 4 分析 在本现有所给的处理过的附件中，我们讨论在某个站点处，都在该站点还车的人才 算作到有可能约会的基数中。为了优化问题，求解到最大可能性约会的概率，所以我 们选择了一个周六（第十天），在问题一中，我们得知道还车频次前十的站点，因此 选择第十天的还车频次前十的站点作为研究的样本。通过建立线性规划模型有效的得 出某站一天约会关系的概率。 2.5 问题 5 分析 在本现有所给的处理过的附件中，我们找出六个不同超市，然后建立辐射性影响的 模型，从而从六个超市的辐射的范围（图 2.5.1）以及相关实际问题的分析，解决。 2.6 问题 6 分析 由所给的数据库，让我们从中挖掘一些该公共自行车服务系统与实际效果的问题， 及其他得出的结论，和我们能提出的建议。 三 模型假设 1、假设问题所给的数据真实可靠； 2、假设一人一卡，且一张卡仅限于一人使用，不得借予他人使用； 3、假设剔除无效数据对整体数据影响不大； 4、假设所有使用自行车的人骑车速度大致相近，且符合实际； 5、假设样本的选择能有效说明问题； 6、假设优化问题思想符合实际问题的解决。 7、假设该城区的所有用户由于生活地理位置和风俗人情相近，即影响出行状况外界不 可抗拒因素接近 四 符号说明 3 五 模型的建立与求解 5.1 问题一的求解 由题目要求，我们已用 Excel 软件统计出各站点每天及累计的借还车频次，以及 20 天累计的借还频次，（详细结果见电子附录表 2.1.2），其中部分结果如下表 2.1.2 通过上表观察可见，累计的借车频次前十与累计的还车频次前十都是同十个站，可见 这十个站人流量比较大，对公共自行车服务系统影响比较大。还有我们可以看出累计 借车频次最高的是街心花园，累计还车频次最高的是五马美食林。另外，我们还利用 excel 统计如下表 1 数据： 表 1 从上表可以看出五马美食林和街心公园分别占据较多的每天借还最高频数，应加大对 其调度监控。 然后用软件对所有站点按累计的借车频次和和还车频次分别进行排序，类似的方法， 对表中的每次用车时长数据处理后，可制成分布情如况图 2.1.1， 占据统计最高的天数 街心公园 五马美食林 开太百货 借车统计 11 7 2 还车统计 8 11 1 5 观察上图的分布情况容易看出有两个峰值，其中一个是在 0 分钟的系列，一个是 在 8 分钟的系列中。但是就现实意义而言，我们认为在 0 分钟系列处于诸多中偶然因 素而造成（例如，可能刚借车也许公交到了；可能天气突变，可能其他能临时想 法），所以在 20 天的数据体现出来的是，每次用车时长集中在 7-10 分钟系列 内，足以说明短时出行这一特点. 5.2 问题 2 的求解 与问题一使用相同的软件，我们对数据进行统计处理，然后利用数据透视表可得到 20 天中每天使用公交自行车的不同借车卡数量（见附录表 2.2.1）如下表 2.2.1 所示： 对于第二小问再利用相关方法对其进行多次统计处理，得到出现过的每张借车卡累计 图 2.1.1 的借车次数分布情况，从而得到如下图 2.2.1，（其中相关数据见电子附录表 2.2.2） 图 2.2.1 为了更进一步了解分布情况的函数，我们用了 maple 软件拟合该曲线函数，其具体步 骤见下图： 7 图：拟合曲线 在操作后得出一个显示所指定次数多项式最终拟合曲线的函数 表达式，然后利用 幂级数的性质，我们把这个多项式近似求解成一个指数型函数 y=e - x ( 为密度指数参数)，如表 2.2.2 所示： 表 2.2.2 借记次数（X) 人数 频率(P) 1 3071 0.06761 2 3088 0.067985 3 2879 0.063383 4 2614 0.057549 5 2430 0.053498 6 2148 0.04729 7 2070 0.045573 8 1909 0.042028 9 1790 0.039408 10 1656 0.036458 11 1524 0.033552 12 1405 0.030932 13 1327 0.029215 14 1234 0.027167 把借记次数设为 x0,把频率设为 P0由概率分布相关知识知道，参与拟合曲线的所有数 据的数学期望值 E(X)=1/，(密度指数中的参数 ),由于 E(X)=x 0 P0=14,从而 解得 =1/14. 所以，密度指数得以求解。 5.3 问题 3 的求解 通过抽样分析工具用表第 10，13，14，19，20 天（有工作日和非工作日）作为样本 来分析各站点的借车高峰时段和还车高峰时段，以一个小时作为单位时间 j，将一天分 为 n 个时间段用 Excel 软件使用数据透视表对各车站的各时间段的借车频次、还车频 次分别进行统计，其中借（还）的频次可作为是否判定为当天借（还）高峰时段的权 重 w, 从而通过插入相关数学函数，从 w 的大小来判定。其次，我们再筛选高峰时间 段所相对应的频次，然后再列表给出。最后，我们再利用高级筛选和统计把具有共同 借车高峰时段和还车高峰时段的站点进行分类，基本如下表 2 所示: 9 借车高峰分类 还车高峰分类 街道社区 商贸 学校 公园 公园 单位 超市 广场 单位 通过分析所处理的四天数据（结果见电子附录表 2.3.1 系列）中，下表为部分数据展示： （其中第 1J 段为 6:00-7:00,然后以单位时间段 J 依次增加） 我们观察出借车高峰时段均在 7-8 左右，还车高峰时刻段也基本上在 17-18 左右， 符合现实生活情况。从而也体现出社会中的“潮汐交通现象”，所以关于有些站点借 车人数太多而导致耽误自己的行程。为了避免交通堵塞现象的出现，我们应该优化交 通网络化服务，减轻交通压力。 5.4 问题 4 的求解 对附件 1 和附件 2 的数据统计、在前面此题的分析中也提到，选取累计前十的还车 频次的站点（附录表 5.4.1）为样本建立模型，来求出还车点相同的借车人具有约会 （聚会）关系的概率。 用概率估计、线性规划的方法找到存在约会（聚会）关系的不同借车人集合。 假设以某一时间点为约会（聚会）时刻，双方约定，先到者等后到者一个小时， 若后到者未及时到达，则先到者离开，约会（聚会）取消。 由数据统计和常识可以看出，每天 10 点到 20 点为一般约会时间，设甲到达时刻 为 k，乙到达时刻为 y. 满足 10k20 ,10y20 . 约会（聚会）成功情况为:k-y1 在平面坐标系内，画出图形，如下图 因此可得 到满足于 黑色部分线性相关的数据都有存在约会关系的可能性。 5.5 问题 5 的求解 通过对附件 1 和附件 2 的数据进行统计分析，使用分类归类的方法找出六个不同 的超市以及其各对应的相关车站集合。由于六个超市的性能基本相似，所以选取其中 一个作为研究对象。 假设每一位顾客骑行速度均为 x km/h（1015），路途中遇到红绿灯的时间为 z min , 从顾客出发点（借车车站）到超市（超市还车点）的距离为 y m,顾客骑行时间 为 s. y=(s-z)*x 根据对借还车数据中使用时间的统计分析，得出正态分布图。 11 所以取 =30. =0.63 由正态分布图可知顾客选择超市的对应最大骑行时间为 30 min，z 随 s 增大而增 大，但鉴于实际情况 z7 min，由公式可求出距离 y 应小于 3000 m,以超市为中心，向 外辐射半径为 3000 m，汇出圆形图形，其覆盖面积即为所求。下图 2.5.1 为六个超市 综合覆盖情况其余每个超市的覆盖图在文 2.5.1; 图 2.5.1(六个超市综合覆盖) 由图 2.5.1 所示超市覆盖面积可以看出城区中心处超市密度较大，具有重合覆盖面，可 以以黎明路与飞霞路交叉路口为中心向外辐射设置公共自行车车站密度，以便更多市 民选择使用公共自行车出行。 5.6 问题 6 的求解 对自行车服务系统的分析和评价 第一题可以看出，大多数人在租用自行车时，他们使用的时长都在免费的时域内。 通过观察各站点借还高峰频次，有以下主要表现：1.站点还车高峰段还车数大于 借车数，造成停车桩已满而无法还车的现象。2、站点借车高峰段借车数大于还车数， 造成自行车全空，没有自行车可以租借的现象。3、不同站点其他时段则不同程度的出 现借车频次过少的现象。不同时间段不同站点用户需求波动较大。 解决这种现象的办法是：1、均衡投放。及时调度。根据每个站点自行车的使用频 率不同，避免部分站点自行车的短缺或堆积现象发生，将通过调度专用车进行合理调 度。由于某些站点是市民使用自行车的高峰期，因此，可以在社区、校园、商圈、景 点和公共对接处等使用公共自行车需求量大的地方设置多站点、增加自行车数量。2、 服务亭可以改进成智能亭，统一安装监控并设立一个电信息牌。当服务亭车辆低于 20%时， 该站点会显示红色加车提示，然后系统发调动指令到调动组，调度安排专用车，当市 民在还车时出现满棚的现象，可以参考电子牌上的信息在就近的站点还车。 对于一些用车频次较低的站点，说明该站点服务效率不高，可能存在缺陷。 改进意见：1、提供各种型号的自行车，为了提高自行车的使用效率，我们可以在 每个站点提供轻便型、载重型、带小孩三种车型，以提高不同人群的自行车使用满意 度。 2、鼓励市民短时骑行、即用即还、。可根据公共自行车的使用率，可根据时间， 减少免费利用时间，提高周转率，从而提高使用效率。 3、租借人使用自行车存在信用问题，在借车卡的记录上设立一条关于违规违纪的 档案，如果有违规暂停其服务，情节严重者处以一定的罚款，来提高市民信用度。 4、技术改进，将刷卡的芯片与手机绑定，便于市民更好享用公共自行车服务。 六 模型评价 我们主要运用 Excel 软件 maple 软件，科学的统计和分析了温州市鹿城区的自行 车服务系统的数据。有效的了解了公共自行车的运行方式方法，并且建立了实效的模 型，有效推广了模型的正确性，描述统计的结果与结论比较切合实际，但是由于一些 计算是基于众多假设所计算统计分析的，需要根据实际在进行进一步精确优化，以便 日后的使用。 我们建立模型方法简单易行，且易用于现实社会生活。在求解问题中，我们对于 数据处理分析后所制的分布图，建立了函数模型（如处理问题 2），使得更普遍有效 研究类似的问题。我们还利用优化思想建立假设相关数据等概率出现的线性模型， （如处理问题 4），此外，还结合实际问题建立城区超市覆盖顾客居住地的辐射模型 （如处理问题 5）。 七 参考文献 1.李正浩，城市公共自行车租赁站远期发展规模分析，交通节能与环保，2010.2 2.温州市鹿城区公共自行车管理中心网址： 。2016.06.04 3.曹建莉，肖留超，程涛数学建模与数学实验，89 页，西安，西安电子科技大学 出版社，2014 4 郑子苹，数学建模教程，16 页，沈阳，东北大学出版社，2013 13 5 腾讯地图： 八 附录（部分） 表 2.1.1部分 第三天 车站 借车频次 归还车站 还车频次 安澜轮渡码头 104 安澜轮渡码头 99 安平大厦 152 安平大厦 138 白鹿洲公园 99 白鹿洲公园 82 百里路勤奋路口 63 百里路勤奋路口 47 百里小学 47 百里小学 53 滨江街道办事处 38 滨江街道办事处 44 滨江美景园 36 滨江美景园 32 测试点 5 测试点 13 春晖路口 144 春晖路口 133 粗糠桥 59 粗糠桥 59 粗糠桥公交站 35 粗糠桥公交站 27 大南门农贸 184 大南门农贸 194 大士门石坦小学 102 大士门石坦小学 97 大世界超市 93 大世界超市 89 大自然家园 32 大自然家园 49 东阿外楼 207 东阿外楼 204 东方灯具市场 76 东方灯具市场 83 东门商业步行街 75 东门商业步行街 78 东南剧院 35 东南剧院 40 都市花园 0 都市花园 0 都市花苑 88 都市花苑 80 帆影广场对面 87 帆影广场对面 71 繁华公寓 57 繁华公寓 53 方正大厦 58 方正大厦 57 府东家园公交站 61 府东家园公交站 66 妇女儿童中心 17 妇女儿童中心 15 工人文化宫 163 工人文化宫 140 公共自行车中心 62 公共自行车中心 55 公交集团 27 公交集团 31 第十一天 车站 借车频次 归还车站 还车频次 安澜轮渡码头 174 安澜轮渡码头 174 安平大厦 240 安平大厦 242 白鹿洲公园 253 白鹿洲公园 246 百里路勤奋路口 113 百里路勤奋路口 107 百里小学 151 百里小学 134 滨江街道办事处 102 滨江街道办事处 88 滨江美景园 106 滨江美景园 98 测试点 8 测试点 9 春晖路口 289 春晖路口 264 粗糠桥 144 粗糠桥 132 粗糠桥公交站 65 粗糠桥公交站 67 大南门农贸 370 大南门农贸 380 大士门石坦小学 206 大士门石坦小学 185 大世界超市 198 大世界超市 203 大自然家园 83 大自然家园 86 东阿外楼 341 东阿外楼 331 东方灯具市场 189 东方灯具市场 191 15 东门商业步行街 165 东门商业步行街 164 东南剧院 93 东南剧院 79 都市花园 0 都市花园 0 都市花苑 219 都市花苑 216 帆影广场对面 169 帆影广场对面 171 繁华公寓 142 繁华公寓 118 方正大厦 103 方正大厦 93 府东家园公交站 118 府东家园公交站 107 妇女儿童中心 22 妇女儿童中心 17 第二十天 车站 借车频次 归还车站 还车频次 安澜轮渡码头 191 安澜轮渡码头 158 安平大厦 305 安平大厦 310 白鹿洲公园 166 白鹿洲公园 157 百里路勤奋路口 137 百里路勤奋路口 142 百里小学 168 百里小学 189 滨江街道办事处 188 滨江街道办事处 181 滨江美景园 123 滨江美景园 113 测试点 33 测试点 33 春晖路口 261 春晖路口 273 粗糠桥 181 粗糠桥 178 粗糠桥公交站 66 粗糠桥公交站 61 大南门农贸 397 大南门农贸 439 大士门石坦小学 318 大士门石坦小学 289 大世界超市 220 大世界超市 215 大自然家园 128 大自然家园 143 东阿外楼 440 东阿外楼 420 东方灯具市场 333 东方灯具市场 363 东门商业步行街 197 东门商业步行街 216 东南剧院 137 东南剧院 126 都市花园 0 都市花园 0 都市花苑 276 都市花苑 247 帆影广场对面 218 帆影广场对面 212 繁华公寓 160 繁华公寓 158 方正大厦 156 方正大厦 146 府东家园公交站 117 府东家园公交站 133 表 2.1.2部分 编号 车站 累计借出数 累计归还数 41 安澜轮渡码头 3371 3262 35 安平大厦 4643 4803 45 白鹿洲公园 3422 3347 145 百里路勤奋路口 2005 1988 175 百里小学 2426 2428 150 滨江街道办事处 2494 2324 173 滨江美景园 1837 1855 86 测试点 419 422 24 春晖路口 4750 4664 144 粗糠桥 2396 2351 143 粗糠桥公交站 1128 1039 62 大南门农贸 6761 6979 171 大士门石坦小学 4341 4227 137 大世界超市 2886 2962 67 大自然家园 2014 2179 21 东阿外楼 6520 6382 172 东方灯具市场 4247 4379 104 东门商业步行街 3192 3210 125 东南剧院 1930 1839 177 都市花园 185 185 177 都市花苑 3510 3351 169 帆影广场对面 2793 2819 表 2.1.3部分 17 表 2.2.1 借车人数量 第一天 16842 第二天 17461 第三天 9668 第四天 14677 第五天 17983 第六天 18709 第七天 18881 第八天 10596 第九天 7044 第十天 4153 第十一天 15098 第十二天 18195 第十三天 19534 第十四天 19463 第十五天 18677 第十六天 11333 第十七天 15414 第十八天 15309 第十九天 19190 第二十天 20024 总计 308251 表 2.2.2部分 借记次数 （X) 人数 频率(P) 1 3071 0.067610409 2 3088 0.067984677 3 2879 0.063383383 4 2614 0.057549205 5 2430 0.