2017届上海市松江区高三二模数学卷(含答案)

1 松江区二模考试数学试卷题（印刷稿） （参考答案）2017.4 一填空题（本大题共 54 分）第 16 题每个空格填对得 4 分，第 75 题每个空格填对得 5 分 1 2 3 4 5 6,010xy640 7 8 9 10 11 12,233,109 二、选择题 （每小题 5 分，共 20 分） 13 C 14A 15. B 16B 三解答题（共 78 分） 17 解（1）以 为坐标原点，以射线 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐AC1xyz 标系，如图所示， 则 , ， ， 2 分)02(B)4,(1A)0,2(C),(hM ， hM 4 分 由 得 ，即11 04 解得 6 分 (2) 解法一：此时 (0,2) 8 分12, ,2,ABBA 设平面 的一个法向量为M()nxyz 由 得 0n xyz 所以 10 分(,1) 设 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为BA 则 12 分1410sin52 所 以 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 14 分1Msinarc 解法二：联结 ， 则 ，A1AAB CMB1 C1A1x yz 2 ， 平面 8 分1,ABCAB1AC 平面1MM 所以 是直 线 与 平 面 所 成 的 角 ； 10 分1 在 中 ， 1ABRt 12,0AB 所 以 12 分11sin5 所 以 10arcsinABM 所 以 直 线 与 平 面 所 成 的 角 为 14 分1 10sin5arc 18解 （1 ）由 得 2 分()43fxg243xx230x 所以 （舍）或 ， 4 分2x 所以 6 分x （2 ）由 得 8 分()()3fag23ax 10 分23ax2x 而 ，当且仅当 时取等号12 分x 42,log0,xx即 所以 ，所以 14 分2a1log3a 19 解（1）设 长为 米， 长为 米，依题意得 ，ABxCy804120xy 即 ， 2 分230xy 4 分1sin2ABCSyx43 3 =yx2832yx815032m 当且仅当 ，即 时等号成立，7, 所以当 的面积最大时， 和 AC 的长度分别为 750 米和 1500 米6 分ABC AB （2 ）在(1) 的条件下，因为 50,10C 由 8 分13D 得 22ABAC 10 分 29149 2 275050()150 ， 12 分|AD 元1 所以，建水上通道 还需要 万元 14 分50 解法二：在 中， BC 120cos22ACBA 8 分22750171cos75 在 中，ADBcos22 10 分75021)(750 22 在 中，ABBDAcos2 = 12 分7)50(7)250(72 50 元1 所以，建水上通道 还需要 万元 14 分AD 解法三：以 A 为原点，以 AB 为 轴建立平面直角坐标系，则 ，x)0,(A),75(B 4 ,即 ，设 8 分)120sin5,cos150(C)3750,(C),(0yxD 由 ，求得 ， 所以 10 分2DB30yx2, 所以， 12 分2)05()(| A5 元105 所以，建水上通道 还需要 万元 14 分 20 解 (1)设 的边长为 ，则 的坐标为 2 分OB aA31(,)2a 所以 所以 2134,a83 此三角形的边长为 4 分8 (2)设直线 :lxkyb 当 时， 符合题意 6 分0k1,9 当 时， 8 分2240 xkykyb2212116()0, (,)bxMkbABCMABkk2235bkb216()()0k2241rk ，舍去230,k 综上所述，直线 的方程为： 10 分l1,9x (3) 时，共 2 条；12 分,4,5r 5 时，共 4 条； 14 分2,r 时，共 1 条 16 分5 21 解：（1）由 ，可知数列 为递增数列，2 分0nanT 计算得 ， ，17938217T82017 所以不存在 ，使得 ； 4 分*kNk （2 ）由 ，可以得到当 时，6n*,nN ， 6 分1111(6)()56nnnaT 又因为 ，25 所以 ， 进而得到 ，1*1,nnN*12,nnaN 两式相除得 ，*26,na 所以数列 ， 均为公比为 6 的等比数列， 8 分21k2k 由 ，得 ，13a5 所以 ； 10 分 1*26,3nnkN （3）证明：由题意 ，1212312bTa 当 时， ，*,nN121nnnnTa 因此，对任意 ，都有 12 分12b 必要性( )：若 为等差数列，不妨设 ，其中 为常数，nanbc, 显然 ，213243a 6 由于 = ，121nnnba22()nabnc 所以对于 ， 为常数，*Nb 故 为等差数列； 14 分n 充分性( )：由于 的前 4 项为等差数列，不妨设公差为 nad 当 时，有 成立。15 分3(1k13121,daa 假设 时 为等差数列，*,)nkNn 即 16 分321,kkkada 当 时，由 为等差数列，得 ，*4(1