2017年北京市海淀区高考数学一模试卷(文科)(解析版)

第 1 页（共 23 页） 2017 年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1设集合 A=x|1x3，集合 B=x|x24，则集合 AB 等于（ ） Ax |2x3 Bx|x 1 Cx|1x 2 Dx|x 2 2圆心为（0，1）且与直线 y=2 相切的圆的方程为（ ） A （x 1） 2+y2=1 B （x+1） 2+y2=1 Cx 2+（y1） 2=1 Dx 2+（y +1） 2=1 3执行如图所示的程序框图，输出的 x 的值为（ ） A4 B3 C2 D1 4若实数 a，b 满足 a0，b 0，则“a b”是“a+ lnab+lnb”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ） 第 2 页（共 23 页） A B C D3 6在ABC 上，点 D 满足 ，则（ ） A点 D 不在直线 BC 上 B点 D 在 BC 的延长线上 C点 D 在线段 BC 上 D点 D 在 CB 的延长线上 7若函数 的值域为1，1，则实数 a 的取值范围是（ ） A1 ，+） B （，1 C （0，1 D （1，0） 8如图，在公路 MN 两侧分别有 A1，A 2，A 7 七个工厂，各工厂与公路 MN（图中粗线）之间有小公路连接现在需要在公路 MN 上设置一个车站，选 择站址的标准是“ 使各工厂到车站的距离之和越小越好”则下面结论中正确的 是（ ） 车站的位置设在 C 点好于 B 点； 车站的位置设在 B 点与 C 点之间公路上任何一点效果一样； 车站位置的设置与各段小公路的长度无关 A B C D 第 3 页（共 23 页） 二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 9已知复数 z=a（1+i ）2 为纯虚数，则实数 a= 10已知等比数列a n中， a2a4=a5，a 4=8，则公比 q= ，其前 4 项和 S4= 11若抛物线 y2=2px 的准线经过双曲线 的左焦点，则实数 p= 12若 x，y 满足 则 的最大值是 13已知函数 f（x ）=sinx（0） ，若函数 y=f（x+a ） （a0）的部分图象如 图所示，则 = ，a 的最小值是 14阅读下列材料，回答后面问题： 在 2014 年 12 月 30 日 CCTV13 播出的“ 新闻直播间”节目中，主持人说：“加入 此次亚航失联航班 QZ8501 被证实失事的话，2014 年航空事故死亡人数将达到 1320 人尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工 具世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有 124 万人死于车祸，而 即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是 1972 年，其死亡数字也仅为 3346 人；截至 2014 年 9 月，每百万架次中有 2.1 次（指飞机失事） ，乘坐汽 车的百万人中其死亡人数在 100 人左右 ” 对上述航空专家给出的、两段表述（划线部分） ，你认为不能够支持“飞机 仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ，你的理由是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 15已知等差数列a n满足 a1+a2=6，a 2+a3=10 第 4 页（共 23 页） （）求数列a n的通项公式； （）求数列a n+an+1的前 n 项和 16某地区以“绿色出行”为宗旨开展“ 共享单车”业务该地有 a，b 两种“共享 单车”（以下简称 a 型车，b 型车） 某学习小组 7 名同学调查了该地区共享单 车的使用情况 （）某日该学习小组进行一次市场体验，其中 4 人租到 a 型车，3 人租到 b 型车如果从组内随机抽取 2 人，求抽取的 2 人中至少有一人在市场体验过程 中租到 a 型车的概率； （）根据已公布的 2016 年该地区全年市场调查报告，小组同学发现 3 月，4 月的用户租车情况城现如表使用规律例如，第 3 个月租 a 型车的用户中，在 第 4 个月有 60%的用户仍租 a 型车 第 3 个月 第 4 个月 租用 a 型车 租用 b 型车 租用 a 型车 60% 50% 租用 b 型车 40% 50% 若认为 2017 年该地区租用单车情况与 2016 年大致相同已知 2017 年 3 月该地 区租用 a，b 两种车型的用户比例为 1：1，根据表格提供的信息，估计 2017 年 4 月该地区租用两种车型的用户比例 17在ABC 中，A=2B （）求证：a=2bcosB； （）若 b=2，c=4，求 B 的值 18在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，PA=AB=2 ，E，F 分别是 PB，PD 的中点 （）求证：PB平面 FAC； （）求三棱锥 PEAD 的体积； （）求证：平面 EAD平面 FAC 第 5 页（共 23 页） 19已知椭圆 C： =1（a b 0）的左、右顶点分别为 A，B ，且 |AB|=4，离心率为 （）求椭圆 C 的方程； （）设点 Q（4，0） ，若点 P 在直线 x=4 上，直线 BP 与椭圆交于另一点 M判断是否存在点 P，使得四边形 APQM 为梯形？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，说明理由 20已知函数 f（x ）=e xx2+ax，曲线 y=f（x ）在点（0，f （0） ）处的切线与 x 轴 平行 （）求 a 的值； （）若 g（ x）=e x2x1，求函数 g（x ）的最小值； （）求证：存在 c0，当 xc 时，f（x ）0 第 6 页（共 23 页） 2017 年北京市海淀区高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1设集合 A=x|1x3，集合 B=x|x24，则集合 AB 等于（ ） Ax |2x3 Bx|x 1 Cx|1x 2 Dx|x 2 【考点】交集及其运算 【分析】解不等式求出集合 B，根据交集的定义写出 AB 【解答】解：集合 A=x|1x 3， 集合 B=x|x24=x|x2 或 x2， 则集合 AB=x|2x3 故选：A 2圆心为（0，1）且与直线 y=2 相切的圆的方程为（ ） A （x 1） 2+y2=1 B （x+1） 2+y2=1 Cx 2+（y1） 2=1 Dx 2+（y +1） 2=1 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】根据题意设圆方程为 x2+（y1） 2=r2，由圆心到直线的距离得到半径 r，代入即可得到所求圆的方程 【解答】解：设圆方程为 x2+（y1） 2=r2，直线 y=2 与圆相切，圆心到直线 的距离等于半径 r，r=1 故圆的方程为：x 2+（y1） 2=1，故选：C 3执行如图所示的程序框图，输出的 x 的值为（ ） 第 7 页（共 23 页） A4 B3 C2 D1 【考点】程序框图 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出 变量 x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答 案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 x=0，y=5 不满足条件 = ，执行循环体， x=1，y=4 不满足条件 = ，执行循环体， x=2，y=2 满足条件 = ，退出循环，输出 x 的值为 2 故选：C 4若实数 a，b 满足 a0，b 0，则“a b”是“a+ lnab+lnb”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】据 a，b 的范围结合函数的单调性确定充分条件，还是必要条件即可 【解答】解：设 f（x）=x+lnx，显然 f（x ）在（0， +）上单调递增， 第 8 页（共 23 页） a b ， f（ a）f（b） ， a +lnab+lnb， 故充分性成立， a +lnab+lnb”， f（ a）f（b） ， a b ， 故必要性成立， 故“ab”是“a+lnab+lnb” 的充要条件， 故选：C 5某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的长度为（ ） A B C D3 【考点】由三视图求面积、体积 【分析】将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为 2、1、1，该三棱锥中 最长棱为长方体的一条对角线，即可得出结论 【解答】解：将该几何体放入在长方体中，且长、宽、高为 2、1、1， 该三棱锥中最长棱为长方体的一条对角线，长度为 = ， 故选 B 6在ABC 上，点 D 满足 ，则（ ） A点 D 不在直线 BC 上 B点 D 在 BC 的延长线上 第 9 页（共 23 页） C点 D 在线段 BC 上 D点 D 在 CB 的延长线上 【考点】向量的三角形法则 【分析】据条件，容易得出 ，可作出图形，并作 ，并连接 AD，这样便可说明点 D 和点 D重合，从而得出点 D 在 CB 的延长线上 【解答】解： = = ； 如图， 作 ，连接 AD，则： = ； D和 D 重合； 点 D 在 CB 的延长线上 故选 D 7若函数 的值域为1，1，则实数 a 的取值范围是（ ） A1 ，+） B （，1 C （0，1 D （1，0） 【考点】分段函数的应用 【分析】根据函数 f（x）的解析式，讨论 xa 和 xa 时，f （x）1，1，即 可求出 a 的取值范围 【解答】解：函数 的值域为1 ，1， 第 10 页（共 23 页） 当 xa 时，f（x）=cosx 1，1，满足题意； 当 xa 时，f（x）= 1，1， 应满足 0 1，解得 x1； a 的取值范围是1，+） 故选：A 8如图，在公路 MN 两侧分别有 A1，A 2，A 7 七个工厂，各工厂与公路 MN（图中粗线）之间有小公路连接现在需要在公路 MN 上设置一个车站，选 择站址的标准是“ 使各工厂到车站的距离之和越小越好”则下面结论中正确的 是（ ） 车站的位置设在 C 点好于 B 点； 车站的位置设在 B 点与 C 点之间公路上任何一点效果一样； 车站位置的设置与各段小公路的长度无关 A B C D 【考点】进行简单的合情推理 【分析】根据最优化问题，即可判断出正确答案 【解答】解：因为 A、D 、 E 点各有一个工厂相连，B，C ，各有两个工厂相连， 把工厂看作“ 人” 可简化为“A，B，C，D， E 处分别站着 1，2，2，1，1 个人（如图） ，求一点， 使所有人走到这一点的距离和最小”把人尽量靠拢，显然把人聚到 B、C 最合 适，靠拢完的结果变成了 B=4，C=3，最好是移动 3 个人而不要移动 4 个人 第 11 页（共 23 页） 所以车站设在 C 点，且与各段小公路的长度无关 故选 C 二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 9已知复数 z=a（1+i ）2 为纯虚数，则实数 a= 2 【考点】复数代数形式的乘除运算 【分析】利用纯虚数的定义即可得出 【解答】解：复数 z=a（1+i） 2=a2+ai 为纯虚数， a 2=0，a0， 则实数 a=2 故答案为：2 10已知等比数列a n中， a2a4=a5，a 4=8，则公比 q= 2 ，其前 4 项和 S4= 15 【考点】等比数列的前 n 项和；等比数列的通项公式 【分析】设等比数列a n的公比为 q，由 a2a4=a5，a 4=8，可得 q2=a2q3， =8，解得 a2，q，利用求和公式即可得出 【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a 2a4=a5，a 4=8， q2=a2q3， =8，解得 a2=q=2 a 1=1 其前 4 项和 S4= =15 第 12 页（共 23 页） 故答案为：2，15 11若抛物线 y2=2px 的准线经过双曲线 的左焦点，则实数 p= 4 【考点】抛物线的简单性质 【分析】求出抛物线的准线 x= 经过双曲线的右焦点（2，0） ，即可求出 p 【解答】解：因为抛物线 y2=2px 的准线经过双曲线 的左焦点， p0，所以抛物线的准线为 x= ， 依题意，直线 x= 经过双曲线的右焦点（ 2，0） ， 所以 p=4 故答案为：4 12若 x，y 满足 则 的最大值是 【考点】简单线性规划 【分析】根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出 目标函数的最大值 【解答】解：满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示： 则 的几何意义表示平面区域内的点 与点（0，0）的斜率的最大值，由 解得 A（1， ） 显然过 A 时，斜率最大，最大值是 ， 故答案为： 第 13 页（共 23 页） 13已知函数 f（x ）=sinx（0） ，若函数 y=f（x+a ） （a0）的部分图象如 图所示，则 = 2 ，a 的最小值是 【考点】由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式 【分析】首先由图象最高点横坐标与零点的距离求函数的周期，从而由周期公 式求 ，然后由图象过的已知点求出 a 【解答】解：由已知函数图象得到 ，所以 T=，所以 =2， 又 y=f（x+a） ）=sin（x+ a）且（ ，1）在图象上， 所以 sin2（ +a）=1，所以 +2a=2k ，kZ， 所以 k 取 0 时 a 的最小值为 ； 故答案为：2； 14阅读下列材料，回答后面问题： 在 2014 年 12 月 30 日 CCTV13 播出的“ 新闻直播间”节目中，主持人说：“加入 此次亚航失联航班 QZ8501 被证实失事的话，2014 年航空事故死亡人数将达到 第 14 页（共 23 页） 1320 人尽管如此，航空安全专家还是提醒：飞机仍是相对安全的交通工 具世界卫生组织去年公布的数据显示，每年大约有 124 万人死于车祸，而 即使在航空事故死亡人数最多的一年，也就是 1972 年，其死亡数字也仅为 3346 人；截至 2014 年 9 月，每百万架次中有 2.1 次（指飞机失事） ，乘坐汽 车的百万人中其死亡人数在 100 人左右 ” 对上述航空专家给出的、两段表述（划线部分） ，你认为不能够支持“飞机 仍是相对安全的交通工具”的所有表述序号为 ，你的理由是 数据虽是 同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总人数的关系； 数据两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可以 做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为 x，这样每百万人乘机死 亡人数 2.1 人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数 【考点】收集数据的方法 【分析】根据题意，利用数据的收集，分类，归纳，分析可得结论 【解答】解：选，理由为：数据虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘 飞机出行的总人数的关系； 数据两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可 以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为 x，这样每百万人乘机 死亡人数 2.1 人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数 故答案为：；数据虽是同类数据，但反映不出乘车出行和乘飞机出行的总 人数的关系； 数据两个数据不是同一类数据，这与每架次飞机的乘机人数有关；但是可 以做如下大致估算，考虑平均每架次飞机的乘机人数为 x，这样每百万人乘机 死亡人数 2.1 人，要远远少于乘车每百万人中死亡人数 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 15已知等差数列a n满足 a1+a2=6，a 2+a3=10 （）求数列a n的通项公式； （）求数列a n+an+1的前 n 项和 第 15 页（共 23 页） 【考点】数列的求和；数列递推式 【分析】 （I）利用等差数列的通项公式即可得出 （II）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出 【解答】解：（）设数列a n的公差为 d， 因为 a1+a2=6，a 2+a3=10，所以 a3a1=4， 所以 2d=4，d=2 又 a1+a1+d=6，所以 a1=2， 所以 an=a1+（n1 ）d=2n （）记 bn=an+an+1，所以 bn=2n+2（n+1）=4n+2， 又 bn+1bn=4（n+1）+24n2=4 ， 所以b n是首项为 6，公差为 4 的等差数列， 其前 n 项和 16某地区以“绿色出行”为宗旨开展“ 共享单车”业务该地有 a，b 两种“共享 单车”（以下简称 a 型车，b 型车） 某学习小组 7 名同学调查了该地区共享单 车的使用情况 （）某日该学习小组进行一次市场体验，其中 4 人租到 a 型车，3 人租到 b 型车如果从组内随机抽取 2 人，求抽取的 2 人中至少有一人在市场体验过程 中租到 a 型车的概率； （）根据已公布的 2016 年该地区全年市场调查报告，小组同学发现 3 月，4 月的用户租车情况城现如表使用规律例如，第 3 个月租 a 型车的用户中，在 第 4 个月有 60%的用户仍租 a 型车 第 3 个月 第 4 个月 租用 a 型车 租用 b 型车 租用 a 型车 60% 50% 租用 b 型车 40% 50% 第 16 页（共 23 页） 若认为 2017 年该地区租用单车情况与 2016 年大致相同已知 2017 年 3 月该地 区租用 a，b 两种车型的用户比例为 1：1，根据表格提供的信息，估计 2017 年 4 月该地区租用两种车型的用户比例 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （）依题意租到 a 型车的 4 人为 A1，A 2，A 3，A 4；租到 b 型车的 3 人 为 B1，B 2，B 3；设事件 A 为“7 人中抽到 2 人，至少有一人租到 a 型车” ，则事件 为“7 人中抽到 2 人都租到 b 型车”利用列举法能求出抽取的 2 人中至少有一 人在市场体验过程中租到 a 型车的概率 （）依题意，市场 4 月份租用 a 型车的比例为 50%60%+50%50%=55%，租用 b 型车的比例为 50%40%+50%50%=45%，由此能同市场 4 月租用 a，b 型车的用 户比例 【解答】解：（）依题意租到 a 型车的 4 人为 A1，A 2，A 3，A 4；租到 b 型车 的 3 人为 B1，B 2，B 3； 设事件 A 为“7 人中抽到 2 人，至少有一人租到 a 型车”， 则事件 为“7 人中抽到 2 人都租到 b 型车” 如下列表格所示： 从 7 人中抽出 2 人共有 21 种情况，事件 发生共有 3 种情况， 所以事件 A 概率 （）依题意，市场 4 月份租用 a 型车的比例为 50%60%+50%50%=55%， 租用 b 型车的比例为 50%40%+50%50%=45%， 所以市场 4 月租用 a，b 型车的用户比例为 第 17 页（共 23 页） 17在ABC 中，A=2B （）求证：a=2bcosB； （）若 b=2，c=4，求 B 的值 【考点】余弦定理的应用 【分析】 （）由正弦定理 ，得 ，即可证明： a=2bcosB； （）若 b=2，c=4，利用余弦定理，即可求 B 的值 【解答】 （）证明：因为 A=2B， 所以由正弦定理 ，得 ， 得 ，所以 a=2bcosB （）解：由余弦定理，a 2=b2+c22bccosA， 因为 b=2，c=4，A=2B， 所以 16cos2B=4+1616cos2B， 所以 ， 因为 A+B=2B+B，所以 ， 所以 ，所以 18在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，PA=AB=2 ，E，F 分别是 PB，PD 的中点 （）求证：PB平面 FAC； （）求三棱锥 PEAD 的体积； （）求证：平面 EAD平面 FAC 第 18 页（共 23 页） 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定 【分析】 （）连接 BD，与 AC 交于点 O，连接 OF，推导出 OFPB ，由此能证 明 PB 平面 FAC （）由 PA平面 ABCD，知 PA 为棱锥 PABD 的高由 SPAE =SABE ，知 ，由此能求出结果 （）推导出 ADPB ，AEPB ，从而 PB平面 EAD，进而 OF平面 EAD，由 此能证明平面 EAD平面 FAC 【解答】证明：（）连接 BD，与 AC 交于点 O，连接 OF， 在PBD 中，O，F 分别是 BD，PD 的中点， 所以 OFPB， 又因为 OF平面 FAC，PB平面 FAC， 所以 PB平面 FAC 解：（）因为 PA平面 ABCD，所以 PA 为棱锥 PABD 的高 因为 PA=AB=2，底面 ABCD 是正方形， 所以 = ， 因为 E 为 PB 中点，所以 SPAE =SABE ， 所以 证明：（）因为 AD平面 PAB，PB平面 PAB， 所以 ADPB， 在等腰直角PAB 中，AE PB ， 又 AEAD=A，AE 平面 EAD，AD 平面 EAD， 第 19 页（共 23 页） 所以 PB平面 EAD， 又 OFPB， 所以 OF平面 EAD， 又 OF平面 FAC， 所以平面 EAD平面 FAC 19已知椭圆 C： =1（a b 0）的左、右顶点分别为 A，B ，且 |AB|=4，离心率为 （）求椭圆 C 的方程； （）设点 Q（4，0） ，若点 P 在直线 x=4 上，直线 BP 与椭圆交于另一点 M判断是否存在点 P，使得四边形 APQM 为梯形？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，说明理由 【考点】直线与椭圆的位置关系 【分析】 （）由|AB|=4，得 a=2又 ，b 2=a2c2，联立解出即可得出 （）假设存在点 P，使得四边形 APQM 为梯形由题意知，显然 AM，PQ 不 平行，可得 APMQ， ， 设点 M（x 1，y 1） ，P （4，t ） ， 过点 M 作 MHAB 于 H，可得 ，解得 x1，代入椭圆方程，即可 得出 【解答】解：（）由|AB|=4，得 a=2 第 20 页（共 23 页） 又因为 ，所以 c=1，所以 b2=a2c2=3， 所以椭圆 C 的方程为 （）假设存在点 P，使得四边形 APQM 为梯形 由题意知，显然 AM，PQ 不平行，所以 APMQ， 所以 ，所以 设点 M（x 1，y 1） ，P（4，t） ， 过点 M 作 MHAB 于 H，则有 ， 所以|BH |=1，所以 H（1， 0） ，所以 x1=1， 代入椭圆方程，求得 ， 所以 P（4 ，3） 20已知函数 f（x ）=e xx2+ax，曲线 y=f（x ）在点（0，f （0） ）处的切线与 x 轴 平行 （）求 a 的