2017年数学研习试题四

掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 2017 年数学研习试题四 4. （2015 年广东广州 3 分）如图，四边形 ABCD 中，A=90， 3AB，AD=3， 点 M，N 分别为线段 BC，AB 上的动点（含端点，但点 M 不与点 B 重合），点 E，F 分 别为 DM，MN 的中点，则 EF 长度的最大值为 . （第 4 题） （第 6 题） （第 7 题） 6. （2015 年陕西 3 分）如图，AB 是O 的弦，AB=6，点 C 是O 上的一个动点，且 ACB=45若点 M，N 分别是 AB，BC 的中点，则 MN 长的最大值是 7. （2015 年浙江衢州 4 分）如图，已知直线 34yx分别交 x轴、 y轴于点 A、B ， P是抛物线 215yx上的一个动点，其横坐标为 a，过点 P且平行于y 轴的直线交直线 34于点 Q，则当 PB时， 的值是 .【 12. （2015 年浙江舟山 4 分）如图，在直角坐标系 xOy中，已知点 A（0，1） ，点 P 在线 段 OA 上，以 AP 为半径的P 周长为 1. 点 M 从 A 开始沿P 按逆时针方向转动，射线 AM 交 x轴于点 N（ n，0）. 设点 M 转过的路程为 m（ 0）. 随着点 M 的转动， 当 m从 13变化到 2时，点 N 相应移动的路径长为 （第 12 题） 23. （2015 年重庆 B4 分）如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，AB=2，BC= 23，点 E、F 分别是线段 AB，AD 上的点，连接 CE，CF，当BCE=ACF ，且 CE=CF 时， AE+AF= . 24. （2015 年江苏苏州 3 分）如图，四边形 ABCD 为矩形，过点 D 作对角线 BD 的垂线， 交 BC 的延长线于点 E，取 BE 的中点 F，连接 DF，DF=4设 AB=x，AD=y，则 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 224xy的值为 （第 24 题） （第 26 题） 26. （2015 年福建福州 4 分） 如图，在 RtABC中， =90， 2ABC，将ABC 绕点 C 逆时针转 60，得到MNC ，则 BM 的长是 41. （2015 年江苏连云港 3 分）如图，在ABC 中，BAC=60，ABC=90，直线 l1l 2l 3，l 1 与 l2 之间距离是 1，l 2 与 l3 之间距离是 2，且 l1，l 2，l 3 分别经过点 A，B，C ，则边 AC 的长为 42. （2015 年江苏南京 2 分）如图，过原点 O 的直线与反比例函数 y1，y 2 的图象在第一 象限内分别交于点 A、B ， 且 A 为 OB 的中点，若函数 1yx，则 y2 与 x 的函数表达式是 （第 41 题） （第 42 题） （第 43 题） 43. （2015 年江苏泰州 3 分）如图， 矩形 ABCD中，AB=8，BC=6，P 为 AD 上一点， 将ABP 沿 BP 翻折至EBP， PE 与 CD 相交于点 O，且 OE=OD，则 AP 的长为 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 参考答案 4. 【答案】 3.【分析】如答图，连接 DN， 点 E，F 分别为 DM，MN 的中点， 12EF. 要使 最大，只要 最大即可.根据题意，知当点 到达点 B与 重合时，DN 最大.A=90， 3AB，AD=3 ， 26 ，此时， 132EFDN. 6. 【答案】 3. 如答图，当 AC 是O 的直径时， 90ABC， AB=6，ACB=45， 62.点 M，N 分别是 AB，BC 的中点， 132MNAC.MN 长的最大值是 3. 7. 【答案】4 或 或 45或 . 【分析】根据题意，设点 P的坐标为 21,5a ，则 Q3,4a . 在 34yx令 0得 3y 0,B. QB 22 2133544aaa ，即28 . 由 215aa解得 或 1a. 由 8解得 425或 425. 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 综上所述， a的值是 4 或 1或 25或 4. 12. 【答案】 23.【考点】单点和线动旋转问题；圆周角定理；等边三角形的判定和性 质；含 30 度直角三角形的性质. 【分析】以 AP 为半径的P 周长为 1，当 m从 13变化到 2时，点 M 转动的圆心角为 120，即圆周角为 60.根据对称性，当点 M 转动的圆心角为 120时，点 N 相应移动的 路径起点和终点关于 y轴对称.此时构成等边三角形，且 03OA. 点 A（0，1） ，即 OA=1， 13ON. 当 m从 3变化到 2时，点 N 相应移动的路径长为 32. 23. 【答案】 4. 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函 数值；方程思想的应用. 【分析】如答图，过点 F 作 FGAC 于点 G， ,易证BCEGCF（AAS） ，BE=GF ，BC=CG. 在 RtABC 中， 23tanABC . ACB=30. AC=2AB=4，DAC=ACB =30. FGAC，AF =2GF, AE+AF=AE+2BE=AB+BE, 设 BE=x，在 RtAFG 中，AG= 3GFx ，24CGx ， 解得 43x AE +AF= AB+BE= 4233. 24. 【答案】16. 【考点】代数式的几何意义；矩形的性质；直角三角形斜边上中线的性质；勾股定理. 【分析】四边形 ABCD 为矩形，AB=x，AD=y，DC=x，BC=y. 在 RtBDE中，点 F 是斜边 BE 的中点，DF=4 ，BF= DF=4. 在 C中， 22D，即 24y. 22416xy. 26. 【答案】 13. 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU 【考点】面动旋转问题；旋转的性质；等边三角形的判定和性质；垂直平分线的判定和 性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值. 【分析】如答图，连接 AM，设 C与 B相交于点 D. 将 ABC绕点 C 逆时针转 60得到MNC ， ,60 . 是等边三角形. CMA. 又 ， 是 的垂直平分线. 在 Rt中， =90， 2AB， 1BD. MCD=60， tan13CD. 13B. 41. 【答案】 2. 【考点】平行线的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定 和性质；勾股定理 【分析】如答图，过点 B 作 EFl 2，交 l1 于 E，交 l3 于 F， BAC=60，ABC =90， BCtanA 直线 l1l 2l 3，EFl 1，EFl 3. AEB= BFC=90 ABC=90 ， EAB=90ABE=FBC . BFCAEB， FCBEA EB=1，FC= 3 在 RtBFC 中， 22237 在 RtABC 中， 712BCAsin 42. 【答案】 24yx. 【考点】反比例函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用. 【分析】设 y2 与 x 的函数表达式是 2kyx， 点 B 在反比例函数 y2 的图象上，可设 ,kBb . 掌握数学知识 提高数学能力 欣赏数学魅力 享受数学乐趣 J MX BANQUANSUOYOU A 为 OB 的中点， ,2bkA. 点 A 在反比例函数 1yx的图象上， 12kb，解得 4k. y 2 与 x 的函数表达式是 24. 43. 【答案】 45. 【考点】翻折变换（折叠问题） ；矩形的性质；折叠对称的性质；勾股定理，全等三角形 的判定