2017年江西省九校联考高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年江西省九校联考高考数学一模试卷（理科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知集合 A=x|2x 3 0， B=x|y=2 x） ，则 A B=（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 3 C 1， 2） D（ 1， 2） 2已知复数 z 满足 z=3+4i，则 |z|=（ ） A 2 B C 5 D 5 3已知 R 上的奇函数 f（ x）满足：当 x 0 时， f（ x） =x2+x 1，则 ff（ 1） =（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 4某几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积等于（ ） A 4+ B 4+ C 6+ D 6+ 5下列命题正确的个数为（ ） “ x R 都有 0”的否定是 “ R 使得 0”； “x 3”是 “|x| 3”成立的充分条件； 命题 “若 m ，则方程 x+2=0 有实数根 ”的否命题为真命题 A 0 B 1 C 2 D 3 6美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一美索不达米亚人善于计算，他们创造 了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的程序框图如图所示，若输入 a， n， 的值分别为 8， 2， 每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（ ） A 随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了 100 位育龄妇女，结果如表 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 100 附表： P（ k） k 算得， 照附表，得到的正确结论是（ ） A在犯错误的概率不超过 前提下，认为 “生育意愿与城市级别有关 ” B在犯错误的概率不超过 前提下，认为 “生育意愿与城市级别无关 ” C有 99%以上的把握认为 “生育意愿与城市级别有关 ” D有 99%以上的把握认为 “生育意愿与城市级别无关 ” 8若 x， y 满足条件 ，则目标函数 z=x2+最小值是（ ） A B 2 C 4 D 9已知 A（ 1， 2）， B（ 2， 11），若直线 y=（ m ） x+1（ m 0）与线段 交，则实数 m 的取值范围是（ ） A 2， 0） 3， + ） B（ ， 1 （ 0， 6 C 2， 1 3， 6D 2， 0） （ 0， 6 10已知函数 f （ x） =x+），（ 0 ）的图象如图所示，若 f （ 3， （ ， ），则 值为（ ） A B C D 11设双曲线 =1（ a 0， b 0）的左焦点为 左顶点为 A，过 、 Q 两点，过 P 作 直 M，过 Q 作 直 ，设 交点为 B，若 B 到直线 距离大于 a+ ，则该双曲线的离心率取值范围是（ ） A（ 1 ） B（ ， + ） C（ 1， 2 ） D（ 2 ， + ） 12若函数 f（ x） =（ a+6） x+6 ae x 在区间（ 2， 4）上存在极大值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 8） B（ ， 7） C（ 8， 7） D（ 8， 7 二、填空题（本大题共 4 小题，每小 题 5 分，共 20 分，请将正确答案填在答题卷相应位置） 13（ 1 ）（ 1+x） 4 的展开式中含 的系数为 14 （ 2x+ ） 15已知半径为 1 的球 O 内切于正四面体 A 段 球 O 的一条动直径（ M， N 是直径的两端点），点 P 是正四面体 A 表面上的一个动点，则的取值范围是 16 ， A B） =D 是边 一个三等分点（靠近点 B），记 ，则当 取最大值时， 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤） 17等差数列 前 n 项和为 列 等比数列，满足 ， ，2=10， 2b2= （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 cn=an数列 前 n 项和为 18在如图所示的多面体 ，四边形 正方形，底面 直角梯形， 直角， ， 平面 平面 （ 1）求证： （ 2）若 B，求二面角 C B 的余弦值 19一个正四面 体的 “骰子 ”（四个面分别标有 1， 2， 3， 4 四个数字），掷一次 “骰子 ”三个侧面的数字的和为 “点数 ”，连续抛掷 “骰子 ”两次 （ 1）设 A 为事件 “两次掷 骰子 的点数和为 16”，求事件 A 发生的概率； （ 2）设 X 为两次掷 “骰子 ”的点数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的离心率为 ， 别是椭圆的左、右焦点， M 为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且 周长为 4+2 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点 D（ 0， 2）作直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，点 N 满足 （ 求四边形 积的最大值，并求此时直线 l 的方程 21已知函数 f（ x） =ex+ a R），其图象与 x 轴交于 A（ 0）， B（ 0）两点，且 1）求 a 的取值范围； （ 2）证明： ；（ f（ x）为 f（ x）的导函数） （ 3）设点 C 在函数 f（ x）的图象上，且 等边三角形，记 ，求（ t 1）（ a+ ）的值 选修 4数方程与坐标系 22以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为（ 1， 2），点 M 的极坐标为 ，若直线 l 过点 P，且倾斜角为 ，圆 C 以 M 为圆心， 3 为半径 （ ）求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程； （ ）设直线 l 与圆 C 相交于 A， B 两点，求 | 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x+a|+|x+ |（ a 0）（ a 0） （ 1）当 a=2 时，求不等式 f（ x） 3 的解集 （ 2）证明： 2017 年江西省九校联考高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的） 1已知集合 A=x|2x 3 0， B=x|y=2 x） ，则 A B=（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 3 C 1， 2） D（ 1， 2） 【考点】 交集及其运算 【分析】 化简集合 A、 B，求出 A B 即可 【解答】 解： 集合 A=x|2x 3 0=x| 1 x 3= 1， 3， B=x|y=2 x） =x|2 x 0=x|x 2=（ ， 2）； A B= 1， 2） 故选： C 2已知复数 z 满足 z=3+4i，则 |z|=（ ） A 2 B C 5 D 5 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】 解： = = =i， 复数 z 满足 z=3+4i， +4i， i i（ 3+4i）， z=4 3i， 则 |z|= =5 故选： D 3已知 R 上的奇函数 f（ x）满足：当 x 0 时， f（ x） =x2+x 1，则 ff（ 1） =（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 由 f（ x）为奇函数即可得出 f（ 1） = f（ 1），进而得出 ff（ 1） = ff（ 1） ，而根据 x 0 时 f（ x）的解析式即可求出 f（ 1） =1，从而可求出 ff（ 1） 的值 【解答】 解：根据条件， ff（ 1） =f f（ 1） = ff（ 1） = f（ 1） = 1 故选 A 4某几何体的三视图如图所示（单位： 则该几何体的体积等于（ ） A 4+ B 4+ C 6+ D 6+ 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图还原原图形，得到原几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，然后利用柱体体积公式求得答 案 【解答】 解：由三视图还原原几何体如图， 是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体， 半圆柱的底面半径为 1，高为 3；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为 2），高为 3 V= 故选： D 5下列命题正确的个数为（ ） “ x R 都有 0”的否定是 “ R 使得 0”； “x 3”是 “|x| 3”成立的充分条件； 命题 “若 m ，则方程 x+2=0 有实数根 ”的否命题为真命题 A 0 B 1 C 2 D 3 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 ， “ x R 都有 0”的否定是 “ R 使得 0”； ，当 “x 3”时 “|x|=3”成立； ，当 m 时， =4 8m 0，方程 x+2=0 无实数根， 【解答】 解：对于 ， “ x R 都有 0”的否定是 “ R 使得 0”，故错； 对于 ，当 “x 3”时 “|x|=3”成立，故错； 对于 ，命题 “若 m ，则方程 x+2=0 有实数根 ”的否命题为： “若方程x+2=0 无实数根 ”，则 “m “，当 m 时， =4 8m 0，方程 x+2=0无实数根，故正确， 故选 ： B 6美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的程序框图如图所示，若输入 a， n， 的值分别为 8， 2， 每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（ ） A 考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算 n 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 a=8， n=2， =0.5 m=4， n=3 不满足条件 |m n| m=n=足条件 |m n| 出循环，输出 n 的值为 故选： D 7随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了 100 位育龄妇女，结果如表 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 100 附表： P（ k） k 算得， 照附表，得到的正确结论是（ ） A在犯错误的概率不超过 前提下，认为 “生育意愿与城市级别有关 ” B在犯错误的概率不超过 前提下，认为 “生育意愿与城市级别无关 ” C有 99%以上的把握认为 “生育意愿与城市级别有关 ” D有 99%以上的把握认为 “生育意愿与城市级别无关 ” 【考点】 独立性检验 【分析】 根据 99%以上的把握认为 “生育意愿与城市级别有关 ”，即可求得答案 【解答】 解：根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式， 有 99%以上的把握认为 “生育意愿与城市级别有关 ”， 故选： C 8若 x， y 满足条件 ，则目标函数 z=x2+最小值是（ ） A B 2 C 4 D 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，再由 z=x2+几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求解 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， z=x2+几何意义为可行域内的动点与原点距离的平方 ， 原点 O 到直线 x+y 2=0 的距离 d= ， z=x2+最小值是 2 故选： B 9已知 A（ 1， 2）， B（ 2， 11），若直线 y=（ m ） x+1（ m 0）与线段 交，则实数 m 的取值范围是（ ） A 2， 0） 3， + ） B（ ， 1 （ 0， 6 C 2， 1 3， 6D 2， 0） （ 0， 6 【考点】 两条直线的交点坐标；直线的斜率 【分析】 由题意知，两点 A， B 分布在直线的两侧，利用直线两侧的点的坐标代入直线的方程中的左式，得到的结果为异号，得到不等式，解之即 得 m 的取值范围 【解答】 解：由题意得： 两点 A（ 1， 2）， B（ 2， 11）分布在直线 y=（ m ） x+1（ m 0）的两侧， （ m 2+1） 2（ m ） 11+1 0， 解得： 2 m 1 或 3 m 6， 故选： C 10已知函数 f （ x） =x+），（ 0 ）的图象如图所示，若 f （ 3， （ ， ），则 值为（ ） A B C D 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由 五点法作图求出 的值，求出函数的解析式再由 f （ =3 求出 ）的值，可得 ）的值，再由两角差的正弦公式求得 ） 的值 【解答】 解：由函数的图象可得 A=5，且 = ，解得 =1 再由五点法作图可得 1 += ，解得 = 故函数的解析式为 f（ x） =5x+ ） 再由 f （ =3， （ ， ），可得 51 ） =3， 解得 ） = ，故有 ） = ， ） = ） ） （ ） = 故选 A 11设双曲线 =1（ a 0， b 0）的左焦点为 顶点为 A，过 、 Q 两点，过 P 作 直 M，过 Q 作 直 ，设 交点为 B，若 B 到直线 距离大于 a+ ，则该双曲线的离心率取值范围是（ ） A（ 1 ） B（ ， + ） C（ 1， 2 ） D（ 2 ， + ） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的对称性，则 B（ x， 0），由 1，求得 c+x= ，由 B 到直线 距离 d=x+c，由丨 丨 a+ ，即可求得 1，利用双曲线的离心率公式即可求得 e 的取值范围 【解答】 解：由题意可知： A（ a， 0）， P（ c， ）， Q（ c， ）， 由双曲线的对称性可知 B 在 x 轴上，设 B（ x， 0）， 则 则 1， = 1， 则 c+x= ， 由 B 到直线 距离 d=x+c， 丨 丨 a+ ，则 a2= 1， 由椭圆的离心率 e= = ， 双曲线的离心率取值范围（ ， + ）， 故选 B 12若函数 f（ x） =（ a+6） x+6 ae x 在区间（ 2， 4）上存在极大值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 8） B（ ， 7） C（ 8， 7） D（ 8， 7 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 f（ x） = 9a+48） x+10a+48e x，令 g（ x） = 9a+48） x+10a+48，则 g（ 2） 0， g（ 4） 0，即可求出实数 a 的取值范围 【解答】 解： f（ x） = 9a+48） x+10a+48e x 令 g（ x） = 9a+48） x+10a+48，则 g（ 2） 0， g（ 4） 0， 8 a 7 实数 a 的取值范围为（ 8， 7） 故选 C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将正确答案填在答题卷相应位置） 13（ 1 ）（ 1+x） 4 的展开式中含 的系数为 2 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据（ 1+x） 4 的展开式通项公式，分析（ 1 ）（ 1+x） 4 的展开式中含是如何构成的，从而求出结果 【解答】 解：（ 1 ）（ 1+x） 4 的展开式中， 设（ 1+x） 4 的通项公式为 = r=0， 1， 2， 3， 4） 则（ 1 ）（ 1+x） 4 的展开式中含 的系数为 =2 故答案为： 2 14 （ 2x+ ） 1+ 【考点】 定积分 【分析】 利用定积分的运算性质，根据定积分的几何意义，即可求得答案， 【解答】 解： （ 2x+ ） 2 由定积分的几何意义可知： 示单位圆面积的 ，即， 21， （ 2x+ ） + ， 故答案为： 1+ 15已知半径为 1 的球 O 内切于正四面体 A 段 球 O 的一条动直径（ M， N 是直径的两端点），点 P 是正四面体 A 表面上的一个动点，则的取值范围是 0， 8 【考点】 向量在几何中的应用 【分析】 运用向量的加减运算和数量积的性质：向量的平方即为模的平方，讨论P 位于切点 E 和顶点时分别取得最值，即可得到所求取值范围 【解答】 解：由题意 M， N 是直径的两端点，可得 + = ， = 1， 则 =（ + ） （ + ） = 2+ （ + ） + = 2+0 1= 2 1， 即求正四面体表面上的动点 P 到 O 的距离的范围 当 P 位于 E（切点）时， 得最小值 1； 当 P 位于 A 处时， 为正四面体外接球半径最大即为 3 设正四面体的边长为 a，由 O 为正四面体的中心， 可得直角三角形 ， a， a， a， a， 综上可得 2 1 的最小值为 1 1=0，最大值为 9 1=8 则 的取值范围是 0， 8 故答案为： 0， 8 16 ， A B） =D 是边 一个三等分点（靠近点 B），记 ，则当 取最大值时， 2+ 【考点】 正弦定理 【分析】 由 A B） = ，可得： A= ，由已知得 ，利用 和 a2=b2+得 取最值时， a、 b、 c 间的数量关系 【解答】 解： A B） = 0， ，由 A （ 0， ），可得： A= ， 在 ，由 正 弦 定 理 可 将 ， 变 形 为 则， = 即 c2+ 在 ，由余弦定理得： a2=b2+ 由 得 令 ， ， f（ t） = ，令 f（ t） =0，得 t= ， 即 时， 最大 结合 可得 b= ， a= c 在 ，由正弦定理得 ， + 故答案为： 2+ 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17等差数列 前 n 项和为 列 等比数列，满足 ， ，2=10， 2b2= （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 cn=an数列 前 n 项和为 【考点】 数列的求和；等差数列与等比数列的综合 【分析】 （ 1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出 （ 2）利用 “错位相减法 ”、等比数列的求和公式即可得出 【解答】 解：（ 1）设数列 公差为 d，数列 公比为 q，则 由 ，得 ，解得 ， 所以 +2（ n 1） =2n+1， （ 2）由（ 1）可知 2n+1） 2n 1 +5 2+7 22+（ 2n+1） 2n 1， 得： +2 （ 2+22+2n 1）（ 2n+1） 2n=1+2+22+2n（ 2n+1）2n=2n+1 1（ 2n+1） 2n=（ 1 2n） 2n 1， 2n 1） 2n+1 18在如图所示的多面体 ，四边形 正方形，底面 直角梯形， 直角， ， 平面 平面 （ 1）求证： （ 2）若 B，求二面角 C B 的余弦值 【考点】 二面角的 平面角及求法；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ 1）推导出 而 AE=t，以 x， y， z 轴坐标系，利用向量法能证明 （ 2）求出平面 一个法向量和平面 一个法向量，利用向量法能求出二面角 C B 的余弦值 【解答】 证明：（ 1） 底面 直角梯形， 0， 平面 平面 面 平面 B， 平面 平面 设 AE=t，以 在的直线分别为 x， y， z 轴建立如图坐标系， 则 B（ 0， 0， 0）， C（ 0， 0， 1）， D（ 1， 0， 1）， E（ 1， t， 0） =0， 解：（ 2）由（ 1）知 是平面 一个法向量， 设 =（ x， y， z）是平面 一个法向量， B=1， E（ 1， 1， 0）， F（ 0， 2， 0）， =（ 1， 1， 1）， =（ 0， 2， 1）， 则 ，取 z=2， =（ 1， 1， 2）， = = ， 即二面角 C B 的余弦值为 19 一个正四面体的 “骰子 ”（四个面分别标有 1， 2， 3， 4 四个数字），掷一次 “骰子 ”三个侧面的数字的和为 “点数 ”，连续抛掷 “骰子 ”两次 （ 1）设 A 为事件 “两次掷 骰子 的点数和为 16”，求事件 A 发生的概率； （ 2）设 X 为两次掷 “骰子 ”的点数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）两次点数之和为 16，即两次的底面数字为：（ 1， 3），（ 2， 2），（ 3，1），可得 P（ A） （ 2） X 的可能取值为 0， 1， 2， 3，利用相互独立与古典概率 计算公式即可得出 【解答】 解：（ 1）两次点数之和为 16，即两次的底面数字为：（ 1， 3），（ 2， 2），（ 3， 1）， P（ A） = = （ 2） X 的可能取值为 0， 1， 2， 3 且 P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = 则 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P E（ X） =0 +1 +2 +3 = 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的离心率为 ， 别是椭圆的左、右焦点， M 为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且 周长为 4+2 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点 D（ 0， 2）作直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，点 N 满足 （ 求四边形 积的最大值，并求此时直线 l 的方程 【考点】 直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）利用椭圆的离心率公式及焦点三角形的周长公式，求得 a 和 c 的值，b2=，即可求得椭圆方程； （ 2）确定四边形 平行四边形，则 S 示出面积，利用基本不等式，即可求得最大值，从而可得直线 l 的方程 【解答】 解：（ 1）由离心率为 e= = ， 则 周长 l=2a+2c=4+2 ，则 a+c=2+ ， 则 a=2， c= ， 则 b2=， 椭圆 C 的方程 ； （ 2）由 ，则四边形 平行四边形， 当直线 l 的斜率不存在时显然不符合题意； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=2， l 与椭圆交于 A（ B（ 点，由 得（ 1+4162=0 由 =16248（ 1+4 0，得 x1+， S 丨 丨 =丨 ， 四边形 积 S=2S 丨 =2 ， =2 ， =2 ， =8 ， 令 43=t，则 4k2=t+3（由上可知 t 0）， S=8 =8 8 =8 =2， 当且仅当 t=4，即 时取等号； 当 k= ，平行四边形 积的最大值为 2， 此时直线 l 的方程为 y= x 2 21已知函数 f（ x） =ex+ a R），其图象与 x 轴交于 A（ 0）， B（ 0）两点，且 1）求 a 的取值范围； （ 2）证明： ；（ f（ x）为 f（ x）的 导函数） （ 3）设点 C 在函数 f（ x）的图象上，且 等边三角形，记 ，求（ t 1）（ a+ ）的值 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）讨论 a 的符号，判断 f（ x）的单调性，计算 f（ x）的极值，根据零点个数得出 f（ x）的极小值为负数，列出不等式解出 a； （ 2）计算 f（ ），根据函数单调性判断 f（ ）的符号，根据 f（ x）的单调性得出结论； （ 3）用 示出 P 点坐标，根据等边三角形的性质列方程化简即可求出 t和 a 的关系，再计算（ t 1）（ a+ ）的值 【解答】 解：（ 1） f（ x） =ex+ f（ x） =ex+a， 若 a 0，则 f（ x） 0，则函数 f（ x）在 R 上单调递增，这与题设矛盾 a 0， 令 f（ x） 0 得 x a），令 f（ x） 0 得 x a）， f（ x）在（ ， a）上单调递减，在（ a）， + ）上单调递增， f（ x）有两个零点， x） =