2017年安徽省安庆市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

2017 年安徽省安庆市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题 1设集合 M= 4， 3， 2， 1， 0， 1， N=x R|x 0，则 M N=（ ） A 3， 2， 1， 0 B 2， 1， 0 C 3， 2， 1 D 2， 1 2设 i 为虚数单位，复数 z 满足 =1 i，则复数 z=（ ） A 2i B 2i C i D i 3角 A 是 一个内角，若命题 p： A ，命题 q： ，则 p 是q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条 件 D既不充分也不必要条件 4我们知道： “心有灵犀 ”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在 1， 2， 3， 4， 5， 6中说一个数，甲说的数记为 a，乙说的数记为 b，若 |a b| 1，则称甲、乙两人 “心有灵犀 ”，由此可以得到甲、乙两人 “心有灵犀 ”的概率是（ ） A B C D 5执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ） A 16 B 32 C 64 D 1024 6在等比数列 ， 7， 7，则首项 ） A B 1 C D 1 7某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 32 B 32 C D 8已知双曲线 的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为 120的三角形，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 9若函数 y=x 在 R 上有小于零的极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 3， + ） B（ ， 3） C（ ， + ） D（ ， ） 10函数 y=）在 ， 上的图象大致为（ ） A B C D 11设函数 y= 0）的最小正周期是 T，将其图象向左平移 T 后，得到的图象如图所示，则函数 y= 0）的单增区间是（ ） A ， + （ k Z） B ， + （ k Z） C ， + （ k Z） D + ， + （ k Z） 12已知实数 x， y 满足条件 ，则 的取值范围是（ ） A 0， 1 B ， 1 C ， D ， 1 二、填空题 13若抛物线 x 的准线和圆 x2+x+m=0 相切，则实数 m 的值是 14已知向量 | |= ， | |=2，且 （ ） =0，则 的模等于 15设 A、 B 是球 O 的球面上两点，且 0，若点 C 为该球面上的动点，三棱锥 O 方米，则球 平方米 16已知数列 各项均不为零的等差数列， 其前 n 项和，且 1=a （ n N*），若不等式 + + + 对任意 n N*恒成立，则实数 的最大值是 三、解答题 17在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，其外接圆的半径是 1，且满足 2（ =（ a b） （ ）求角 C 的大小； （ ）求 积的最大值 18在矩形 ，将 其对角线 起来得到 顶点平面 的射影 O 恰好落在边 （如图所示） （ ）证明： 平面 （ ）若 ， ，求三棱锥 体积 19为响应阳光体育运动的号召，某县中学生足球活动正如火如荼的开展，该县为了解本县中学生的足球运动状况，根据性别采取分层 抽样的方法从全县 24000名中学生（其中男生 14000 人，女生 10000 人）中抽取 120 名，统计他们平均每天足球运动的时间，如表：（平均每天足球运动的时间单位为小时，该县中学生平均每天足球运动的时间范围是 0， 3） 男生平均每天足球运动的时间分布情况： 平均每天足球运动0， ） 1， ） 2， 的时间 人数 2 3 28 22 10 x 女生平均每天足球运动的时间分布情况： 平均每天足球运动的时间 0， ） 1， ） 2， 人数 5 12 18 10 3 y （ ）请根据样本估算该校男生平均每天足球运动的时间（结果精确到 （ ）若称平均每天足球运动的时间不少于 2 小时的学生为 “足球健将 ”低于 2小时的学生为 “非足球健将 ” 请根据上述表格中的统计数据填写下面 2 2 列联表，并通过计算判断，能否有 90%的把握认为是否为 “足球健将 ”与性别有关？ 足球健将 非足球健将 总 计 男 生 女 生 总 计 若在足球活动时间不足 1 小时的男生中抽取 2 名代表了解情况，求这 2 名代表都是足球运动时间不足半小时的概率 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d P（ 0已知椭圆 E： （ a b 0）的离心率是 ， 椭圆的左、右焦点，点 A 为椭圆的右顶点，点 B 为椭圆的上顶点，且 S = （ ）求椭圆 E 的方程； （ ）若直线 l 过右焦点 交椭圆 E 于 P、 Q 两点，点 M 是直线 x=2 上的任意一点，直线 斜率分别为 是否存在常数 ，使得 k1+立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 21设函数 f（ x） =23（ a+1） a R （ ）讨论 f（ x）的导函数 f（ x）在 1， 3上的零点个数； （ ）若对于任意的 a 3， 0，任意的 0， 2，不等式 m f（ f（ |恒成立，求实数 m 的取值范围 请考生在 22、 23 题中任选一题作 答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号 .选修 4标系与参数方程 22在平面直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，若直线 l 的极坐标方程是 + ） =2 ，且点 ： （ 为参数）上的一个动点 （ ）将直线 l 的方程化为直角坐标方程； （ ）求点 P 到直线 l 的距离的最大值与最小值 选修 4等式选讲 23已知 f（ x） =|x 1|+|x+2| （ 1）若不等式 f（ x） 任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值的集合 T； （ ）设 m、 n T，证明： |m+n| | 2017 年安徽省安庆市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1设集合 M= 4， 3， 2， 1， 0， 1， N=x R|x 0，则 M N=（ ） A 3， 2， 1， 0 B 2， 1， 0 C 3， 2， 1 D 2， 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 解不等式求出集合 N，根据交集的定义写出 M N 【解答】 解：集合 M= 4， 3， 2， 1， 0， 1， N=x R|x 0=x| 3 x 0， M N= 2， 1 故选： D 2设 i 为虚数单位，复数 z 满足 =1 i，则复数 z=（ ） A 2i B 2i C i D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则即可得出 【解答】 解： =1 i， 则复数 z= = = =i 故选： C 3角 A 是 一个内角，若命题 p： A ，命题 q： ，则 p 是q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要 条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据三角函数的性质和充分条件和必要条件的定义即可判断 【解答】 解： A 为 内角，则 A （ 0， ），若命题 p： A ，命题 q：成立， 反之当 ，则 A= 满足， 故 p 是 q 的充分不必要条件， 故选： A 4我们知道： “心有灵犀 ”一般是对人的心理活动非常融洽的一种描述，它也可以用数学来定义：甲、乙两人都在 1， 2， 3， 4， 5， 6中说一个数，甲说的数记为 a，乙说的数记为 b，若 |a b| 1，则称甲、乙两人 “心有灵犀 ”，由此可以得到甲、乙两人 “心有灵犀 ”的概率是（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从 6 个数字中各自想一个数字，可以重复，可以列举出共有 36 种结果，满足条件的事件可以通过列举得到结果，根据等可能事件的概率公式得到结果 【解答】 解：（ I）由题意知，本题是一个等可能事件的概率 列举出所有基本事件为： （ 1， 1），（ 2， 2），（ 2， 3），（ 4， 4），（ 5， 5），（ 6， 6） （ 1， 2），（ 2， 1），（ 1， 3），（ 3， 1），（ 1， 4）， （ 4， 1），（ 1， 5），（ 5， 1），（ 1， 6），（ 6， 1） （ 1， 3），（ 3， 1），（ 2， 4），（ 4， 2），（ 3， 5），（ 5， 3），（ 4， 6），（ 6， 4）， （ 1， 4），（ 4， 1），（ 2， 5），（ 5， 2），（ 3， 6），（ 6， 3）， （ 1， 5），（ 5， 1），（ 2， 6），（ 6， 2）， （ 1， 6），（ 6， 1），共计 36 个 记 “两人想的数字相同或相差 1”为事件 B， 事件 B 包含的基本事件为： （ 1， 1），（ 2， 2），（ 3， 3），（ 4， 4），（ 5， 5），（ 6， 6） （ 1， 2），（ 2， 1），（ 1， 3），（ 3， 1），（ 1， 4），（ 4， 1）， （ 1， 5），（ 5， 1），（ 1， 6），（ 6， 1），共计 16 个 P= = ， “甲乙心有灵犀 ”的概率为 故选 D 5执行如图所示的程序框图，则输出 S 的值为（ ） A 16 B 32 C 64 D 1024 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 S， n 的值，当 n=4 时不满足条件 n 3，退出循环，输出 S 的值为 64 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 n=0， S=1， n=1 满足条件 n 3， S=2， n=2 满足条件 n 3， S=8， n=3 满足 条件 n 3， S=64， n=4， 不满足条件 n 3，退出循环，输出 S 的值为 64 故选： C 6在等比数列 ， 7， 7，则首项 ） A B 1 C D 1 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 利用等比数列的通项公式及其性质即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q， 7， 7， =27， =27， =1， 0，解得 故选： D 7某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A 32 B 32 C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体为一个直三棱柱，其中高为 4，底面为一个等腰三角形，底边长为 4 ，底边上的高为 4 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为一个直三棱柱，其中高为 4，底面为一个等腰三角形，底边长为 4 ，底边上的高为 4 该几何体的体积 V= 4=32 故选： B 8已知双曲线 的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为 120的三角形，则双曲线 C 的离心率为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性 质 【分析】 根据题意，设虚轴的一个端点 M（ 0， b），结合焦点 坐标和 20，得到 c= b，再用平方关系化简得 c= a，根据离心率计算公式即可得到该双曲线的离心率 【解答】 解：双曲线 ， 可得虚轴的一个端点 M（ 0， b）， c， 0）， c， 0）， 设 20，得 c= b， 平方得 （ 可得 3 即 c= a， 得离心率 e= = 故选： B 9若函数 y=x 在 R 上有小于零的极值点，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 3， + ） B（ ， 3） C（ ， + ） D（ ， ） 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 由题意可知：则 y=0 有负根，则 在 y 轴的右侧有交点，由函数的性质即可求得实数 a 的取值范围 【解答】 解： y=x，求导， y=， 由若函数 y=x 在 R 上有小于零的极值点， 则 y=0 有负根， 则 a 0， 则 在 y 轴的左侧有交点， 0 1，解得： a 3， 实数 a 的取值范围（ ， 3） 故选 B 10函数 y=）在 ， 上的图象大致为（ ） A B CD 【考点】 函数的图象 【分析】 根据函数值的特点即可判断 【解答】 解：当 0 x 时， 0， ） 0， y 0，故排除 B， C， D， 故选： A 11设函数 y= 0）的最小正周期是 T，将其图象向左平移 T 后，得到的图象如图所示，则函数 y= 0）的单增区间是（ ） A ， + （ k Z） B ， + （ k Z） C ， + （ k Z） D + ， + （ k Z） 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 由题意和图象求出函数的周期，由周期公式求出 的值，由整体思想和正弦函数的单调性求出递增区间 【解答】 解：由图象得， T= ，则 T= ， 由 得， = ， 所以 y=x， 由 得， ， 所以函数的递增区间是 ， 故选： A 12已知实数 x， y 满足条件 ，则 的取值范围是（ ） A 0， 1 B ， 1 C ， D ， 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，求出 的范围，把 化为 求解 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 令 t= ，则 t 的最小值为 0， 联立 ，解得 B（ 2， 2）， t 的最大值为 1， = = ， 故选： C 二、填空题 13若抛物线 x 的准线和圆 x2+x+m=0 相切，则实数 m 的值是 8 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 抛物线 x 的准线为 x= 2，由方程组 只有一解 m 【解答】 解：抛物线 x 的准线为 x= 2，由方程组 只有一解m=8， 故答案为： 8 14已知向量 | |= ， | |=2，且 （ ） =0，则 的模等于 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据平面向量的数量积运算与模长公式，求出 =3，再求 的值，即可得出 | |的值 【解答】 解：向量 | |= ， | |=2，且 （ ） =0， =3 =0， =3； = 2 + =3 2 3+22=1， | |=1 故答案为： 1 15设 A、 B 是球 O 的球面上两点，且 0，若点 C 为该球面上的动点，三棱锥 O 体积的最大值为 立方米，则球 O 的表面积是 36 平方米 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 当点 C 位于垂直于面 直径端点时，三棱锥 O 体积最大，由此求出球 O 的半径，进而能求出球 O 的表面积 【解答】 解：如图所示，当点 C 位于垂直于面 直径端点时， 三棱锥 O 体积最大， 设球 O 的半径为 R，此时 = ， 解得 R= ， 球 O 的表面积为 S=4 =36 故答案为： 36 16已知数列 各项均不为零的等差数列， 其前 n 项和，且 1=a （ n N*），若不等式 + + + 对任意 n N*恒成立，则实数 的最大值是 【考点】 数列与不等式的综合 【分析】 数列 各项均不为零的等差数列，设公差为 d，又 1=a （ nN*）， n=1 时， ，解得 n=2 时， ，解得 d可得 n 1利用 “裂项求和 ” 方 法 可 得 ： + + + = 代入不等式+ + + ，化简利用数列的单调性、对数函数的单调性即可得出 【解答】 解： 数列 各项均不为零的等差数列，设公差为 d，又 1=a（ n N*）， n=1 时， ，解得 n=2 时， ，即 3+3d=（ 1+d） 2，解得 d=2 或 d= 1（舍去） +2（ n 1） =2n 1 = = + + + = + + = = 不等式 + + + ，即： ，化为： 不等式 + + + 对任意 n N*恒成立， ， 0 = 则实数 的最大值是 故答案为： 三、解答题 17在 ，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，其外接圆的半径是 1，且满足 2（ =（ a b） （ ）求角 C 的大小； （ ）求 积的最大值 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）用正弦定理化简已知等式，整理后再用余弦定理变形，求出 而求出 C 的度数； （ ）由 C 的度数求出 A+B 的度数，用 A 表示出 B，用三角形的面积公式列出关系式，用正弦定理化简后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，根据正弦函数的图象与性质求出最大值 【解答】 解：（ ） ，其外接圆的半径是 1， = = =2R=2， ， ， ； 又 2（ =（ a b） 2（ ） =（ a b） ， 即 a2+ = ； 又 C （ 0， ）， C= ； （ ） C= ， A+B= ，即 B= A， = =2，即 a=2b=2 S = A） = = （ 1 = （ + = 2A ） + ， 当 2A = ，即 A= 时， 面积取得最大值为 + 18在矩形 ，将 其对角线 起来得到 顶点平面 的射影 O 恰好落在边 （如图所示） （ ）证明： 平面 （ ）若 ， ，求三棱锥 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）利用线面垂直的判定证明 ，可得 平面 （ ）根据体积公式，由已知求得 面积，而高即为 易证 ，则斜边 的高 求，则三棱锥 体积可求 【解答】 （ ）证明：如图， 矩形， 在三棱锥 ， 面 又 ， 平面 又 ， 平面 （ ）解：由于 平面 面 ， ， 又由 D=1D，得 = ， S 1O= 1 = 19为响应阳光体育运动的号召，某县中学生足球活动正如火如荼的开展，该县为了解本县中学生的足球运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全县 24000名中学生（其中男生 14000 人，女生 10000 人）中抽取 120 名，统计他们平均每天足球运动的时间，如表：（平均每天足球运动的时间单位为小时，该县中学生平均每天足球运动的时间范围是 0， 3） 男生平 均每天足球运动的时间分布情况： 平均每天足球运动的时间 0， ） 1， ） 2， 人数 2 3 28 22 10 x 女生平均每天足球运动的时间分布情况： 平均每天足球运动的时间 0， ） 1， ） 2， 人数 5 12 18 10 3 y （ ）请根据样本估算该校男生平均每天足球运动的时间（结果精确到 （ ）若称平均每天足球运动的时间不少于 2 小时的学 生为 “足球健将 ”低于 2小时的学生为 “非足球健将 ” 请根据上述表格中的统计数据填写下面 2 2 列联表，并通过计算判断，能否有 90%的把握认为是否为 “足球健将 ”与性别有关？ 足球健将 非足球健将 总 计 男 生 女 生 总 计 若在足球活动时间不足 1 小时的男生中抽取 2 名代表了解情况，求这 2 名代表都是足球运动时间不足半小时的概率 参考公式： ，其中 n=a+b+c+d P（ 考点】 独立性检验的应用；频率分布表 【分析】 （ ）先求出 x， y 的值，再计算该校男生平均每天足球运动的时间； （ ） 求出 临界值比较，即可得出结论； 确定基本事件的公式，即可求出概率 【解答】 解：（ ）由分层抽样得，男生抽取的人数为 =70 人，女生抽取人数为 120 70=50， x=5， y=2， 该校男生平均每天足球运动的时间= 时； （ ） 由表格可知 足球健将 非足 球健将 总 计 男 生 15 55 70 女 生 5 45 50 总 计 20 100 120 能有 90%的把握认为是否为 “足球健将 ”与性别有关； 记不足半小时的两人为 a， b，足球运动时间在 1）内的 3 人为 1， 2， 3，则总的基本事件有 10 个，取值 2 名代表足球运动时间不足半小时的是（ 故概率为 20已知椭圆 E： （ a b 0）的离心率是 ， 椭圆的左、右焦点，点 A 为椭圆的右顶点，点 B 为椭圆的上顶点，且 S = （ ） 求椭圆 E 的方程； （ ）若直线 l 过右焦点 交椭圆 E 于 P、 Q 两点，点 M 是直线 x=2 上的任意一点，直线 斜率分别为 是否存在常数 ，使得 k1+立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）求利用三角形的面积公式 （ a+c） b= ，根据椭圆的离心率及 a， b 和 c 的关系，求得 a 与 b 的值，求得椭圆方程； （ ）当斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式可知 k1+ ，代入即可求得 k1+t，则 =t，即可求得的值 【解答】 解：（ ）由 c， 0）， A（ a， 0）， B（ 0， b）， 则 S = （ a+c） b= ， 则（ a+c） b= +1，即（ a+c） = +1， 由 e= = ， a= c， 则（ c+c） = +1， 解得： c=1，则 a= ， b=1， 椭圆的标准方程： ； （ ）由（ ）可知： 坐标为 1， 0），设 P（ Q（ M（ 2， t）， 当直线 l 的斜率不为 0 时，设 l 的方程为 x=， ，消去 x 得（ ） 1=0， 则 y1+ ， ， 则k1+ = = =， = ， = =2t， 由 =t，则 k1+ 当直线 l 的斜率为 0 时，显然 k1+ =2t=2 k1+立， 综上可知：存在 =2，使得 k1+立 21设函数 f（ x） =23（ a+1） a R （ ）讨论 f（ x）的导函数 f（ x）在 1， 3上的零点个数； （ ）若对于任意的 a 3， 0，任意的 0， 2，不等式 m f（ f（ |恒成立，求实数 m 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理 【分析】 （ ）求出函数 f（ x）的解析式，通过讨论 a 的范围，求出方程 f（ x）=0 的零点个数即可； （ ）对于任意的 0， 2，不等式 m |f（ f（ |恒成立，等价于 m |f（ f（ |（ I）易求 f（ x）的最大值、最小值，从而可得 |f（ f（ |而问题转化为对于任意的 a 3， 0， m5 3a 恒成立，构造关于 a 的一次函数 g（ a） =（ 3） a m+5， a 3， 0，只需 ，解出即可 【解答】 解：（ ） f（ x） =66（ a+1） x+6a=6（ x 1）（ x a）， a 1 时，令 f（ x） =0，解得： x=1， f（ x）有 1 个零点， 1 a 1 时，令 f（ x） =0，解得： x=a， 1， f（ x） 2 个零点， a=1 时，令 f（ x） =0，解得： x=1， f（ x）有 1 个零点， 1 a 3 时，令 f（ x） =0，解得： x=a， 1， f（ x） 2 个零点， a 3 时，令 f（ x） =0，解得： x=1， f（ x）有 1 个零点； （ ）对于任意的 0， 2， 不等式 m |f（ f（ |恒成立， 等价于 m |f（ f（ | f（ x） =66（ a+1） x+6a=6（ x 1）（ x a）， 当 a 0 时，由 f（ x） 0，得 x a 或 x 1，由 f（ x） 0，得 a x a， f（ x）的增区间为（ ， a），（ 1， + ），减区间为（ a， 1）； 故 f（ x）在 0， 1上单调递减， 在 1， 2上