2017年甘肃省高考数学一诊试卷（文科）含答案解析

2017 年甘肃省高考数学一诊试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知集合 A=0， 1， 2， B=1， m，若 A B=B，则实数 m 的取值集合是（ ） A 0 B 2 C 0， 2 D 0， 1， 2 2设 i 为虚数单位，则 =（ ） A 1 3i B 1 3i C 1+3i D 1+3i 3 “ “是 “=30”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不 充分也不必要条件 4已知直线 l 与平面 相交但不垂直， m 为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（ ） A m l， m B m l， m C m l， m D m l， m 5三次函数 f（ x） =x+1 的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线与 x 轴平行，则实数 a=（ ） A B C 1 D 2 6我国古代数学名著九章算术有 “米谷粒分 ”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1536 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 224 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ） A 169 石 B 192 石 C 1367 石 D 1164 石 7当双曲线 M： =1（ 2 m 0）的焦距取得最小值时，双曲线 ） A y= B y= x C y= 2x D y= x 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 4+2 B 8+2 C 4+ D 8+ 9如果执行如图所示的程序框图，则输出的数 S 不可能是（ ） A 0一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个 三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积 V=2，表面积 S=3，则该三棱锥内切球的体积为（ ） A 81 B 16 C D 11已知等比数列 公比 q=2， ， 前 a=b=c=），则 a， b， c 大小关系是（ ） A a b c B b a c C c b a D b c a 12已知函数 f（ x） = f（ +f（ ，则实数 ） A（ 0， 2 B（ 0， 1， + ） C（ 0， 2， + ） D ， 2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 13若向量 满足 ，则 x= 14若实数 x， y 满足 ，则 z=2x y 的最小值为 15已知等差数列 公差 d 0，且 等比数列，若 a2+，则数列 前 n 项和 16设 m， n R，若直线（ m+1） x+（ n+1） y 4=0 与圆（ x 2） 2+（ y 2） 2=4相切，则 m+n 的取值范围是 三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17已知 面积为 S，且 =S （ ）求 值； （ ）若 ，且 | |=2，求 中线 长 18持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一为此，某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市区公众对 “车辆限行 ”的态度，随机选取了 30 人进行调查，将他们的年龄（单位：岁）数据绘制成频率分布直方图（图 1），并将调查情况进行整理后制成表 2： 表 2： 年龄（岁） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75 频数 3 6 6 3 赞成人数 2 4 5 4 2 1 （ ）由于工作人员粗心，不小心将表 2 弄脏，遗失了部分数据，请同学们将表2 中的数据恢复，并估计该市公众对 “车辆限行 ”的赞成率和被调查者的年龄平均值； （ ）把频率当作概率估计赞成车辆限行的情况，若从年龄在 55， 65）， 65，75的被调查者中随机抽取一个人进行追踪调查，求被选 2 人中至少一个人赞成车辆限行的概率 19 如图，四边形 矩形，四边形 梯形，平面 平面 0， D= （ ）若 M 为 中点，求证： 平面 （ ）若 平面 成角为 45，求点 D 到平面 距离 20在直角坐标系 ，椭圆 + =1（ a b 0）的左右焦点分别为椭圆 过点 A（ 1， ），同时 是抛物线 x 的焦点 （ ）求椭圆 方程； （ ） E， F 是椭圆 两个动点，如果直线 斜率互为相反数，证明直线 斜率为定值，并求出这个定值 21设函数 f（ x） =2k 0） （ ）当 k=4 时，求函数 f（ x）的单调区间和极值； （ ）试讨论函数 f（ x）在区间（ 1， 上的零点个数 选修 4标系与参数方程选讲 22在直角坐标系 ，曲线 参数方程为 （ 为参数， 0），曲线 参数方程为 （ t 为参数），以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求曲线 极坐标方程和曲线 普通方程； （ 2）射线 = 与曲线 交点为 P，与曲线 交点为 Q，求线段 长 选修 4等式选讲 23设函数 f（ x） =|x+2|+|x 1| （ 1）求 f（ x）的最小值及取得最小值时 x 的取值范围； （ 2）若集合 x|f（ x） +1 0=R，求实数 a 的取值范围 2017 年甘肃省高考数学一诊试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知集合 A=0， 1， 2， B=1， m，若 A B=B，则实数 m 的取值集合是（ ） A 0 B 2 C 0， 2 D 0， 1， 2 【考点】 集合的包含关系判断及应 用 【分析】 由 A B=B，得 B A，然后利用子集的概念求得 m 的值 【解答】 解： A B=B， B A 当 m=0 时， B=1， 0，满足 B A 当 m=2 时， B=1， 2，满足 B A m=0 或 m=2 实数 m 的值为 0 或 2 故选： C 2设 i 为虚数单位，则 =（ ） A 1 3i B 1 3i C 1+3i D 1+3i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的运算性质化简即可 【解答】 解： = = i（ 3 i） = 1 3i， 故选： A 3 “ “是 “=30”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 【解答】 解：当 =150，满足 ，但 =30不成立 若 =30，满足 ， “ “是 “=30”的必要不充分条件 故选： B 4已知直线 l 与平面 相交但不垂直， m 为空间内一条直线，则下列结论一定不成立的是（ ） A m l， m B m l， m C m l， m D m l， m 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 对 4 个选项分别进行判断，即可得出结论 【解答】 解：设过 l 和 l 在平面 内的射影的平面为 ，则当 m 时，有 m l，m 或 m，故 A， B 正确 若 m l，则 m 与平面 所成的夹角与 l 与平面 所成的夹角相等，即 m 与平面斜交，故 C 正确 若 m ，设 l 与 m 所成的角为 ，则 0 即 m 与 l 不可能垂直，故 故选： D 5三次函数 f（ x） =x+1 的图象在点（ 1， f（ 1）处的 切线与 x 轴平行，则实数 a=（ ） A B C 1 D 2 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出 f（ x）的导数，可得 x=1 处切线的斜率，由切线与 x 轴平行，可得切线的斜率为 0，解方程可得 a 的值 【解答】 解：函数 f（ x） =x+1 的导数为 f（ x） =33x+2， 由 f（ x）的图象在点（ 1， f（ 1）处的切线与 x 轴平行， 可得 f（ 1） =0，即 3a 3+2=0， 解得 a= 故选： A 6我国古代数学名著九章算术有 “米谷粒分 ”题：粮仓开仓收粮，有人送 来米 1536 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 224 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ） A 169 石 B 192 石 C 1367 石 D 1164 石 【考点】 简单随机抽样 【分析】 根据 224 粒内夹谷 28 粒，可得比例，即可得出结论 【解答】 解：由题意，这批米内夹谷约为 1536 =192 石， 故选： B 7当双曲线 M： =1（ 2 m 0）的焦距取得最小值时，双曲线 ） A y= B y= x C y= 2x D y= x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意可得 c2=m+4=（ m+1） 2+3，可得 m= 1 取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率 【解答】 解：由题意可得 c2=m+4=（ m+1） 2+3， 可得当 m= 1 时，焦距 2c 取得最小值， 双曲线的方程为 =1， 即有渐近线方程为 y= x 故选 A 8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 4+2 B 8+2 C 4+ D 8+ 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体 【解答】 解：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个圆锥，下面是一个正方体 该几何体的体积 V= =8+ 故选： D 9如果执行如图所示的程序框图，则输出的数 S 不可能是（ ） A 考点】 程序框图 【分析】 模 拟 执 行 程 序 ， 可 得 此 程 序 框 图 的 功 能 是 计 算 并 输 出S= + 的值，结合选项，只有当 S 的值为 ， n 不是正整数，由此得解 【解答】 解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数 n， 求 + 的值 S，并输出 S， 由于 S= + =1 + + =1 = ， 令 S=得 n= ，不是正整数，而 n 分别输入 2， 3， 8 时，可分别输出 故选： A 10一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形，类比此方法，若一个三棱锥的体积 V=2，表面积 S=3，则该三棱锥内切球的体积为（ ） A 81 B 16 C D 【考点】 类比推理 【分析】 根据类似推理可以得到一个三棱锥分为以内切球半径为高，以原三角锥四个面为底的四个三角锥，利用等体积求出内切球半径，即可求出该三棱锥内切球的体 积 【解答】 解：由一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形， 可以类比一个三棱锥分为以内切球半径为高，以原三角锥四个面为底的四个三角锥， 设三棱锥的四个面积分别为： 由于内切球到各面的距离等于内切球的半径 V= （ r+r+r+r） = S r 内切球半径 r= = =2， 该三棱锥内切球的体积为 23= 故选： C 11已知等比数列 公比 q=2， ， 前 a=b=c=），则 a， b， c 大小关系是（ ） A a b c B b a c C c b a D b c a 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 由等比数列的性质得 ， 2n 1=2n 1， ， ， =2n 1，由此利用对数函数和指数函数的单调性质能判断 a， b， c 的大小关系 【解答】 解： 等比数列 公比 q=2， ， 前 n 项和， ， 8=， 解得 ， 2n 1=2n 1， ， ， =2n 1， 设 a=b= c=）， a=（ 1， ）， a=， b=（ 0， 1）， n N*， 1 2n 1 2n 1， c= 2， a， b， c 大小关系是 b a c 故选： B 12已知函数 f（ x） = f（ +f（ ，则实数 ） A（ 0， 2 B（ 0， 1， + ） C（ 0， 2， + ） D ， 2 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 判断函数是偶函数，且函数在（ 0， + ）上是增函数，不等式转化为1 1，即可得出结论 【解答】 解：由题意， f（ x） =f（ x），函数是偶函数，且函数在（ 0， + ）上是增函数， f（ +f（ ， f（ +f（ 2f（ 1）， f（ f（ 1）， 1 1， a ， 2 故选： D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 13若向量 满足 ，则 x= 1 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由已 知向量的坐标求出 的坐标，再由 列式求得 x 值 【解答】 解： ， ，又 ，且 ， x 1=0，即 x=1 故答案为： 1 14若实数 x， y 满足 ，则 z=2x y 的最小值为 6 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件作出可行域： 联立 ，解得 A（ 2， 2）， 化 z=2x y 为 y=2x z，由图可知，当直线 y=2x z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为 6 故答案为： 6 15已知等差数列 公差 d 0，且 等比数列，若 a2+，则数列 前 n 项和 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列通项公式和等比数列性质列出方程组，求出 ， d=2，由此能求出数列 前 n 项和 【解答】 解： 等差数列 公差 d 0， 且 等比数列， a2+， ， 解得 ， d=2， 数列 前 n 项和 故答案为： 16设 m， n R，若 直线（ m+1） x+（ n+1） y 4=0 与圆（ x 2） 2+（ y 2） 2=4相切，则 m+n 的取值范围是 x 2+2 或 x 2 2 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由圆的标准方程找出圆心坐标和半径 r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设 m+n=x，得到关于 x 的不等式，求出不等式的解集得到 x 的范围，即为 m+n 的范围 【解答】 解：由圆的方程（ x 2） 2+（ y 2） 2=4，得到圆心坐标为（ 2， 2），半径 r=2， 直线（ m+1） x+（ n+1） y 4=0 与圆相切， 圆心到直线的距离 d= =2， 整理得： m+n+1=（ ） 2， 设 m+n=x（ x 0），则有 x+1 ，即 4x 4 0， 解得： x 2+2 或 x 2 2 ， 则 m+n 的取值范围为 x 2+2 或 x 2 2 ， 故答案为 x 2+2 或 x 2 2 三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算过程 17已知 面积为 S，且 =S （ ）求 值； （ ）若 ，且 | |=2，求 中线 长 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 （ ）根据 面积，结合平面向量的数量积求出 值，再求 值； （ ）根据 值，求出 由 值求出 而求出 判断 等腰三角形，求出底边上的中线 长 【解答】 解：（ ） 面积为 S，且 =S； 解得 ； = ； （ ） | |=2， | |=2， 又 =2， ， ； 又 ， ， A+B） =； B=C， C=2， 中线 是 上的高， = 18持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康，汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一为此，某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市区公众对 “车辆限行 ”的态度，随机选取了 30 人进行调查，将他们的年龄（单位：岁）数据绘制成频率分布直方图（图 1），并将调查情况进行整 理后制成表 2： 表 2： 年龄（岁） 15，25） 25，35） 35，45） 45，55） 55，65） 65，75 频数 3 6 6 3 赞成人数 2 4 5 4 2 1 （ ）由于工作人员粗心，不小心将表 2 弄脏，遗失了部分数据，请同学们将表2 中的数据恢复，并估计该市公众对 “车辆限行 ”的赞成率和被调查者的年龄平均值； （ ）把频率当作概率估计赞成车辆限行的情况，若从年龄在 55， 65）， 65，75的被调查者中随机抽取一个人进行追踪调查，求被选 2 人中至少一个人赞成车辆限行的概率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图 【分析】 （ ）由频率分布图和频数分布表得填表数值分别是 9 和 3，由此能求出平均年龄和赞成率 （ ） 55， 65）中 3 人设为 A， 示赞成，利用列举法能求出被选 2 人中至少一个人赞成车辆限行的概率 【解答】 解：（ ）由频率分布图和频数分布表得填表数值分别是 9 和 3， 平均年龄是： 20 0 0 0 0 0 3（岁）， 赞成率是： p= = （ ） 55， 65）中 3 人设为 A， 示赞成， 各抽取一人所有事件为： 9 个， 设 “被选 2 人中至少有一个人赞成车辆限行 ”为事件 M， 则事件 M 包含的基本事件有 7 个， 被选 2 人中至少一个人赞成车辆限行的概率 P（ M） = 19 如图，四边形 矩形，四边形 梯形，平面 平面 0， D= （ ）若 M 为 中点，求证： 平面 （ ）若 平面 成角为 45，求点 D 到平面 距离 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）设 点 N，连结 导出 此能证明平面 （ ）推导出 平面 成角，从而 D= ，设 D 到平面 距离为 d，由 S D=S d，能求出点 D 到平面 距离 【解答】 证明：（ ）设 点 N，连结 在 ， M， N 分别为 中点， 面 面 平面 解：（ ） 平面 平面 边形 矩形， 平面 平面 成角， 平面 成角为 45， D= ， 设 D 到平面 距离为 d， S D= S d， ， d=1， 点 D 到平面 距离为 1 20在直角坐标系 ，椭圆 + =1（ a b 0）的左右焦点分别为椭圆 过点 A（ 1， ），同时 是抛物线 x 的焦点 （ ）求椭圆 方程； （ ） E， F 是椭圆 两个动点，如果直线 斜率互为相反数，证明直线 斜率为定值，并求出这个定值 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由题意求得 c=1，可得椭圆方程为 ，将点（ 1， ）代入方程求得 a 值得答案； （ ）写出 在直线方程， y=k（ x 1） + ，代入椭圆方程，求出 E 的坐标，同理求出 F 的坐标，然后代入斜率公式可得直线 斜率为定值，并求得这个定值 【解答】 解：（ ）由题意可知， 1， 0），则 c=1， b2=1，椭圆方程为 将点（ 1， ）代入方程可得 ， 椭圆方程为 ； （ ）设 方程为 y=k（ x 1） + ， 代入椭圆方程得：（ 4） 812k） x+（ 412k 3） =0 1 是方程的一个根， ， 直线 斜率互为相反数， ， ， ， = ， 将 代入可得 21设函数 f（ x） =2k 0） （ ）当 k=4 时，求函数 f（ x）的单调区间和极值； （ ）试讨论函数 f（ x）在区间（ 1， 上的零点个数 【考点】 利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性 【 分析】 （ ）由 f（ x）定义域是（ 0， + ）， ，令 f（ x）=0，得 x=1 或 x= 2（舍），列表讨论，能求出 f（ x）的单调区间和极值 （ ） f（ x）的最小值为 f（ ） =k 函数有零点，则有 f（ ） 0，解得 k e，此时函数 f（ x）在（ 1， 上有一个零点，当 k e 时，函数 f（ x）在（ 1， 上没有零点 【解答】 解：（ ） f（ x） =2k 0）， f（ x）定义域是（ 0， + ）， ， 令 f（ x） =0，得 x=1 或 x= 2（舍），列表如下： x （ 0， 2） 2 （ 2， + ） f（ x） 0 + f（ x） 极小值 f（ x）的单调递减区间为（ 0， 2），单调递增区间为（ 2， + ）， 函数在 x=2 处取得极小值 f（ 2） =4 8极大值 （ ）由（ 1）知 f（ x）的最小值为 f（ ） =k 若函数有零点，则有 f（ ） 0，解得 k e， 当 k e 时，函数 f（ x）在（ 1， 上单调递减， 又 f（ 1） =1 0， f（ ） =e k 0， 函数 f（ x）在（ 1， 上有一个零点， 当 k e 时，函数 f（ x）的最小值为正数， 函数 f（ x）在（ 1， 上没有零点 选修 4标系与参数方程选讲 22在直角坐标系 ，曲线 参数方程