2017年江西省七校联考高考数学理科模拟试卷(二)含答案解析

2017 年江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考高考数学模拟试卷（理科）（ 2） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知 i 为虚数单位， a R，若（ a+1）（ a 1+i）是纯虚数，则 a 的值为（ ） A 1 或 1 B 1 C 1 D 3 2已知全集 U=R，集合 A=x|x2+x 6 0， B=y|y=2x 1， x 2，则（ B=（ ） A 3， 3 B 1， 2 C 3， 2 D（ 1， 2 3已知 函数 f（ x） =，则 “0 a 2”是 “函数 f（ x）在（ 1， + ）上为增函数 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4设 a， b 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则（ ） A若 a ， b ，则 a b B若 a ， a ，则 C若 a b， a ，则 b D若 a ， ，则 5运行如图所示框图的相应程序，若输入 a， b 的值分别为 输出 M 的值是（ ） A 0 B 1 C 3 D 1 6如图，正方形中，点 E 是 中点，点 F 是 一个三等分点那么 =（ ） A B C D 7中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅制造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若 取 3，其体积为 方寸），则图中 x 的为（ ） A 3 C 4 8设 x， y 满足约束条件 ，若目标函数 2z=2x+n 0）， z 的最大值为 2，则 y=）的图象向右平移 后的表达式为（ ） A y=2x+ ） B y=x ） C y=2x ） D y=直线 l： y 1=0 与 x， y 轴的交点分别为 A， B，直线 l 与圆 O： x2+的交点为 C， D给出下列命题： p： a 0， S ， q： a 0， | |则下面命题正确的是（ ） A p q B p q C p q D p q 10函数 y= （其中 e 为自然对数的底）的图象大致是（ ） A B C D 11已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的左右焦点分别为 e， 0）， e， 0），以线段 直径的圆与双曲线在第二象限的交点为 P，若直线 ：（ x ） 2+相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） A y= x B y= x C y= x D y= 2x 12已知函数 f（ x） = （ e 为自然对数的底）若函数 g（ x） =f（ x） 好有两个零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A（ 1， e） B（ e， 10 C（ 1， 10 D（ 10， + ） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知直线 x+2y 1=0 与直线 2x+=0 平行，则它们之间的距离是 14对于函数 g（ x） = ，若关于 x 的方程 g（ x） =n（ n0）有且只有两个不同的实根 x1+ 15将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有 1 12， 2 6， 3 4 三种，其中 3 4 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 3 4 为 12 的最佳分解当p q（ p q 且 N*，）是正整数 n 的最佳分解时，我们定义函数 f（ n） =q p，例如 f（ 12） =4 3=1数列 f（ 3n） 的前 100 项和为 16已知双曲线 C： =1 的离心率为 ，实 轴为 行于 直线与双曲线 C 交于点 M， N，则直线 斜率之积为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知由实数组成的等比数列 前项和为 满足 8a4=54 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）对 n N*， ，求数列 前 n 项和 18在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且（ c 2a） =c （ 1）求 B 的大小； （ 2）已知 f（ x） =2+1，若对任意的 x R，都有 f（ x） f（ B），求函数 f（ x）的单调递减区间 19已知三棱台 ，平面 平面 0，1， ， （ 1）求证： 平面 2）点 D 是 中点，求二面角 余弦值 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的离心率 e= ，右顶点、上顶点分别为 A， B，直线 圆 O： x2+ 截得的弦长为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设过点 B 且斜率为 k 的动直 线 l 与椭圆 C 的另一个交点为 M， =（ ），若点 N 在圆 O 上，求正实数 的取值范围 21已知 f（ x） =） +在两个极值点 （ 1）求证： |x1+ 2； （ 2）若实数 满足等式 f（ +f（ +a+b=0，试求 的取值范围 选修 4标系与参数方程 22在直角坐标系 ，曲线 ，曲线 参数方程为：，（ 为参数），以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系 （ 1）求 极坐标方程； （ 2）射线 与 异于原点的交点为 A，与 交点为 B，求 | 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x a|+|x+5 a| （ 1）若不等式 f（ x） |x a| 2 的解集为 5， 1，求实数 a 的值； （ 2）若 R，使得 f（ 4m+实数 m 的取值范围 2017 年江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考高考数学模拟试卷（理科）（ 2） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知 i 为虚数单位， a R，若（ a+1）（ a 1+i）是纯虚数，则 a 的值为（ ） A 1 或 1 B 1 C 1 D 3 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出 【解答】 解： （ a+1）（ a 1+i） =（ 1） +（ a+1） i 是纯虚数， 1=0 且 a+1 0， a=1， 故选： B 2已知全集 U=R，集合 A=x|x2+x 6 0， B=y|y=2x 1， x 2，则（ B=（ ） A 3， 3 B 1， 2 C 3， 2 D（ 1， 2 【考点】 交、并 、补集的混合运算 【分析】 求解 x2+x 6 0 的解集得出集合 A，解出 y=2x 1， x 2 的值域可得集合 B，再根据集合的基本运算即可求（ B； 【解答】 解：全集 U=R， 由不等式 x2+x 6 0，解得： x 2 或 x 3 集合 A=x|x 2 或 x 3， 3， 2 由函数 y=2x 1， x 2，是增函数， 可得值域为（ 1， 3 集合 B=（ 1， 3 那么（ B=（ 1， 2 故选 D 3已知函数 f（ x） =，则 “0 a 2”是 “函数 f（ x）在（ 1， + ）上为增函数 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 求出函数的导数，问题转化为 2a 在区间（ 1， + ）上恒成立，求出 a 的范围，结合集合的包含关系判断即可 【解答】 解： f（ x） =2x 0， 即 2a 在区间（ 1， + ）上恒成立， 则 a 2， 而 0 a 2a 2， 故选： A 4设 a， b 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则（ ） A若 a ， b ，则 a b B若 a ， a ，则 C若 a b， a ，则 b D若 a ， ，则 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 由线面平行的性质即可判断 A；由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断 B；由线面垂直的性质：两条平行线中一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面，可判断 C；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断 D 【解答】 解： A若 a ， b ，则 a b，或 a， b 异面或 a， b 相交，故 A 错； B若 a ， a ，则 ，或 =b，故 B 错； C若 a b， a ，则 b ，故 C 正确； D若 a ， ，则 a或 a 或 a ，故 D 错 故选： C 5运行如图所示框图的相应程序，若输入 a， b 的值分别为 输出 M 的值是（ ） A 0 B 1 C 3 D 1 【考点】 程序框图 【分析】 确定 得 M=2，计算可得结论 【解答】 解： 1， 0 1， M=2= 1， 故选： D 6如图，正方形中，点 E 是 中点，点 F 是 一个三等分点那么 =（ ） A B C D 【考点】 向量数乘的运算及其几何意义 【分析】 利用向量的数乘运算和向量加减法的几何意义，结合正方体进行求解 【解答】 解： ， ， ， ， ， = = ， = ， ， = 故选 D 7中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅制造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若 取 3，其体积为 方寸），则图中 x 的为（ ） A 3 C 4 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成 【解答】 解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，由题意得： （ x 1+ =3 解得 x=3， 故选： B 8设 x， y 满足约束条件 ，若目标函数 2z=2x+n 0）， z 的最大值为 2，则 y=）的图象向右平移 后的表达式为（ ） A y=2x+ ） B y=x ） C y=2x ） D y=考点】 简单线性 规划 【分析】 画出约束条件的可行域，利用 z 的最大值求出 n，利用三角函数的图象变换化简求解即可 【解答】 解：作出 x， y 满足约束条件 下的可行域，目标函数 2z=2x+n 0）可化为： y= + ，基准线 y= ， 由线性规划知识，可得当直线 z=x+ 过点 B（ 1， 1）时， z 取得最大值，即 1+ =2，解得 n=2； 则 y=）的图象向右平移 个单位后得到的解析式为 y=（ x ）+ =2x ） 故选： C 9直线 l： y 1=0 与 x， y 轴的交点分别为 A， B，直 线 l 与圆 O： x2+的交点为 C， D给出下列命题： p： a 0， S ， q： a 0， | |则下面命题正确的是（ ） A p q B p q C p q D p q 【考点】 命题的真假判断与应用；直线与圆的位置关系 【分析】 利用已知条件求出三角形的面积，判断 p 的真假；求出 | |差，判断大小，推出真假，然后判断选项即可 【解答】 解：直线 l： y 1=0 与 x， y 轴的交点分别为 A（ ， 0）， B（ 0， a）， S = ， p 是真命题； 直线 l： y 1=0 与 x， y 轴的交点分别为 A（ ， 0）， B（ 0， a）， | ， 直线 l 与圆 O： x2+ 的交点为 C， D d= ， |2 ， | |= 0， | | 所以 q 假， 故选： C 10函数 y= （其中 e 为自然对数的底）的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 利用导数研究函数的极值；函数的图象 【分析】 利用函数的导数，求出函数的极大值，判断函数的图形即可 【解答】 解：当 x 0 时，函数 y= = ， y= ，有且只有一个极 大值点是 x=2， 故选： A 11已知双曲线 =1（ a 0， b 0）的左右焦点分别为 e， 0）， e， 0），以线段 直径的圆与双曲线在第二象限的交点为 P，若直线 ：（ x ） 2+相切，则双曲线的渐近线方程是（ ） A y= x B y= x C y= x D y= 2x 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出 |4r=b，所以 |2a+b，因此 2a+b） 2=4可求出双曲线的渐近线方程 【解答】 解：设切点为 M，则 = ，所以 |4r=b，所以|2a+b，因此 2a+b） 2=4 所以 b=2a，所以渐近线方程为 y= 2x 故选： D 12已知函数 f（ x） = （ e 为自然对数的底）若函数 g（ x） =f（ x） 好有两个零点，则实数 k 的取值范围是（ ） A（ 1， e） B（ e， 10 C（ 1， 10 D（ 10， + ） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 令 g（ x） =0 得出 f（ x） =出 y= y=f（ x）的函数图象，则两图象有两个交点，求出 y=f（ x）的过原 点的切线的斜率即可得出 k 的范围 【解答】 解：令 g（ x） =0 得 f（ x） = g（ x）有两个零点， 直线 y= y=f（ x）有两个交点， 做出 y= y=f（ x）的函数图象，如图所示： 设 y=曲线 y=切，切点为（ 则 ，解得 y= y=f（ x）有两个交点， k 的取值范围是（ e， 10 故选 B 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13已知直线 x+2y 1=0与直线 2x+=0平行，则它们之间的距离是 【考点】 直线 的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 由直线平行易得 m 值，可得方程，代入平行线间的距离公式可得 【解答】 解：由直线 x+2y 1=0 与直线 2x+=0 平行，可得 ， m=4， 直线 2x+4y+4=0 可化为 x+2y+2=0， d= = 故答案为 14对于函数 g（ x） = ，若关于 x 的方程 g（ x） =n（ n0）有且只有两个不同的实根 x1+1 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 作出 g（ x）的函数图象，根据函数图象的对称性得出 x1+ 【解答】 解：作出函数 y=g（ x）的图象如图所示： 关于 x 的方程 g（ x） =n（ n 0）有且只有两个不同的实根 于直线 x= 对称， x1+ 故答案为 1 15将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有 1 12， 2 6， 3 4 三种，其中 3 4 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 3 4 为 12 的最佳分解当p q（ p q 且 N*，）是正整数 n 的最佳分解时，我们定义函数 f（ n） =q p，例如 f（ 12） =4 3=1数列 f（ 3n） 的前 100 项和为 350 1 【考点】 数列的求和 【分析】 当 n 为偶数时， f（ 3n） =0；当 n 为奇数时， f（ 3n） = =2 ，再利用等比数列的求和公式即可得出 【解答】 解：当 n 为偶数时， f（ 3n） =0； 当 n 为奇数时， f（ 3n） = =2 ， （ 30+31+ +349） = =350 1 故答案为： 350 1 16已知双曲线 C： =1 的离心率为 ，实轴为 行于 直线与双曲线 C 交于点 M， N，则直线 斜率之积为 2 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用双曲线的离心率求出 a， b 关系，设出 M， N， 利用斜率公式，转化求解即可 【解答】 解：双曲线 C： =1 的离心率为 ，可得 = ， = ， 设点 M（ x， y），则 N（ x， y）则 =1， A（ a， 0）， B（ a， 0）； 可得 ，所以 = = = 2 故答案为： 2 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知由实数组成的等比数列 前项和为 满足 8a4=54 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）对 n N*， ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和 【分析】 （ 1）设等比数列 公比为 q，由 8a4=得 8= =得 q由54， =254，解得 （ 2） = = ，利用 “裂项求和 ”方法即可得出 【解答】 解：（ 1）设等比数列 公比为 q， 由 8a4=得 8= =得 q=2 54， =254，解得 n （ 2） = = ， + + + =1 18在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且（ c 2a） =c （ 1）求 B 的大小； （ 2）已知 f（ x） =2+1，若对任意的 x R，都有 f（ x） f（ B），求函数 f（ x）的单调递减区间 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 （ 1）根据向量的数量积定义和三角恒等变换化简即可求出 出 （ 2）化简 f（ x）的解析式，根据 f（ B）为 f（ x）的最大值求出 f（ x）的解析式，利用正弦函数的单调区间列不等式解出 【解答】 解：（ 1） （ c 2a） =c ，即（ c 2a） B） = 2 2 2B+C） = ， B= （ 2） f（ x） =2+1= 2x ）， 对任意的 x R，都有 f（ x） f（ B） =f（ ）， ） =1， = ， f（ x） = 2x ）， 令 ，解得 x +k Z 函数 f（ x）的单调递减区间是 ， + k Z 19已 知三棱台 ，平面 平面 0，1， ， （ 1）求证： 平面 2）点 D 是 中点，求二面角 余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）证明 可证明 平面 2）以 在直线分别为 x 轴， y 轴，点 C 为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求二面角 余弦值 【解答】 （ 1 ）证明：梯形 ， 1 ， 得：，从而 因为平面 平面 所以 平面 此 因为 ，所以 平面 （ 2）解：如图，以 在直线分别为 x 轴， y 轴，点 C 为原点建立空间直角坐标系，则 A（ 6， 0， 0）， B（ 0， 4， 0）， C（ 0， 0， 0）， 0， 1， ），0， 3， ）， D（ 0， 2， ）， 3， 1， ）， 平面 法向量 =（ 1， 0， 0）， 设平面 法向量为 =（ x， y， z）， 则 ， 令 z= ，得 （ ， ）， 所以所求二面角的余弦值是 = 20已知椭圆 C： =1（ a b 0）的离心率 e= ，右顶点、上顶点分别为 A， B，直线 圆 O： x2+ 截得的弦长为 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设过点 B 且斜率为 k 的动直线 l 与椭圆 C 的另一个交点为 M， =（ ），若点 N 在圆 O 上，求正实数 的取值范围 【考点】 直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）由题意离心率可得 a=2b，设出 在直线方程，由 圆心到直线的距离求得 b，则椭圆方程可求； （ 2）设点 M 的坐标为（ 0），由已知向量等式得点 N 的坐标为（ （ ），结合 N 在圆上， M 在椭圆上，分离参数 求解 【解答】 解：（ 1）由 ，得 ， a=2b， 直线 方程为 ，即 x+2y 2b=0， 圆心 O（ 0， 0）到直线 距离为 d= ， ，得 b=1， 椭圆 C 的方程为 ； （ 2）设点 M 的坐标为（ 0），则点 N 的坐标为（ （ ）， ，得 ， 又 ， ， （ 1， 1），得 ， 正 实数 的取值范围是 ） 21已知 f（ x） =） +在两个极值点 （ 1）求证： |x1+ 2； （ 2）若实数 满足等式 f（ +f（ +a+b=0，试求 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）由 f（ x）的导数，可设 g（ x） =f（ x），即有方程 g（ x） =0 有两个不同的非零实根 得 1，结合韦达定理可得结论； （ 2）若实数 满足等式 f（ +f（ +a+b=0，化简整理可得 = ，设 t= 2，则 =t，求出右边函数的导数，判断单调性，进而可得 的取值范围 【解答】 证明：（ 1）由 f（ x） =） +导数为 f（ x） = +b= ， 令 g（ x） =ax+b，由题意可得 g（ x） =0 有两个不同的非零实根， 得 =440， 因此 a b 0， 所以 1； 所以 x1+ 2， 即 |x1+ 2； 解：（ 2）由（ 1）知 ， f（ +f（