2017年四川省巴蜀黄金大联考高考数学模拟试卷（理）含答案

2017 年四川省巴蜀黄金大联考高考数学模拟试卷（理科）（ 3月份） 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1集合 A=x|x 6 0， B=x|x 1，则 A （ 于（ ） A x|x 1 B x|x 1 C x| 1 x 3 D x| 2 x 1 2设 a， b 为实数，若复数 =1 i（ i 为虚数单位），则（ ） A a= 1， b= 2 B a= 1， b=2 C a=1， b=2 D a=1， b= 2 3已知向量 =（ 1， 2）， =（ m， 4），若 | | |+ =0，则实数 m 等于（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 4设 a=b=c= a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B c b a C c a b D b c a 5执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ） A B C D 6已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图 1 和图 2 所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样 的方法抽取 20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ） A 100， 8 B 80， 20 C 100， 20 D 80， 8 7已知双曲线 =1 的实轴长为 10，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ） A B C D 8已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 9已知函数 f（ x） =（ 0）的周期为 ，若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（ a 0），所得图象关于原点对称，则实数 a 的最小值为（ ） A B C D 10若实数 x， y 满足 ，且 z=y（ m 2）的最小值为 ，则 ） A B C 1 D 11体积为 的球有一个内接正三棱锥 P 球的直径， 0，则三棱锥 P 体积为（ ） A B C D 12函数 y=f（ x）图象上不同两点 A（ B（ 的切线的斜率分别是 定 （ A， B） = 叫做曲线在点 A 与点 B 之间的 “弯曲度 ”设曲线 y=不同的两点 A（ B（ 且 ，若t（ A， B） 3 恒成立，则实数 t 的取值范围是（ ） A（ ， 3 B（ ， 2 C（ ， 1 D 1， 3 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知（ 2x+ ） n 的展开式中的二项式系数之和为 64，则展开式中的常数项为 （数字回答） 14已知点 A（ 1， B（ 9， 抛物线 p 0）上的两点， y20，点 F 是它的焦点，若 |5|则 值为 15我国古代数学著作九章算 术有如下问题： “今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤问本持金几何 ”其意思为 “今有人持金出五关，第 1 关收税金 ，第 2 关收税金 ，第 3 关收税金 ，第 4 关收税金 ，第 5 关收税金 ， 5 关所收税金之和，恰好 1 斤重，设这个人原本持金为 x，按此规律通过第 8 关， ”则第 8关需收税金为 x 16在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别是 a， b， c， ，且 ，则 积的最大值为 三、解答题（本大题共 5 小 题，共 70 分） 17（ 12 分）在数列 ， ， 前 n 项为 足 +（ ）n+1= ） n（ n N*）， 2n+1） 前 n 项和为 （ 1）求数列 通项公式 及 （ 2）若 3， 3（ 3）成等差数列，求实数 m 的值 18（ 12 分）如图，四棱锥 P 底面 正方形， 平面 为 的点，且 2P （ 1）证明： （ 2）若 二面角 E P 的余弦 值 19（ 12 分）在高中学习过程中，同学们经常这样说 “如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题 ”某班针对 “高中生物理对数学学习的影响 ”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取 5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表： 编号 成绩 1 2 3 4 5 物理（ x） 90 85 74 68 63 数学（ y） 130 125 110 95 90 （ 1）求数学 y 成绩关于物理成绩 x 的线性回归方程 = x+ （ b 精确到 若某位学生的物理成绩为 80 分时，预测他 的物理成绩 （ 2）要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以 X 表示选中的学生的数学成绩高于 100 分的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 （参考公式： b= ， = b ，）参考数据： 902+852+742+682+632=29394 90 130+85 125+74 110+68 95+63 90=42595 20（ 12 分）设椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 顶点为 A，过 A 与 直的直线交 x 轴负半轴于 Q 点，且 好是线段中点 （ 1）若过 A、 Q、 点的圆恰好与直线 3x 4y 7=0 相切，求椭圆 C 的方程； （ 2）在（ 1）的条件下， B 是椭圆 C 的左顶点，过点 R（ ， 0）作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆 C 于 E、 F 两点，直线 别交直线 x= 于 M、 N 两点，若直线 斜率分别为 问： 否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 21（ 12 分）已知函数 f（ x） =e 自然对数的底数） （ 1）求 f（ x）的单调区间； （ 2）讨论关于 x 的方程 f（ x） =a 的根的个数； （ 3）若 a 1，当 x） 1+m 对任意 x 0， + ）恒成立时， m 的最大值为 1，求实数 a 的取值范围 选修 4标系与参数方程 22（ 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐标系 原点，极轴为 z 轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同，己知圆 极坐标方程为 p=4（ P 是 一动点，点 Q 在射线 且满足 Q 的轨迹为 （ I）求曲线 极坐标方程，并化为直角坐标方程； （ 知直线 l 的参数方程为 （ t 为参数， 0 ）， l 与曲线且只 有一个公共点，求 的值 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x 3| 2|x+1|的最大值为 m （ 1）求 m 的值和不等式 f（ x） 1 的解集； （ 2）若 a， b （ 0， + ）， b2+c2=m，求 ab+最大值 2017 年四川省巴蜀黄金大联考高考数学模拟试卷（理科）（ 3 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1集合 A=x|x 6 0， B=x|x 1，则 A （ 于（ ） A x|x 1 B x|x 1 C x| 1 x 3 D x| 2 x 1 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 解不等式求出 A，根据补集与交集的定义计算即可 【解答】 解： A=x|x 6 0=x| 2 x 3， B=x|x 1， x|x 1， A （ =x| 1 x 3 故选： C 【点评】 本题考查了解不等式与集合的基本运算问题，是基础题 2设 a， b 为实数，若复数 =1 i（ i 为虚数单位），则（ ） A a= 1， b= 2 B a= 1， b=2 C a=1， b=2 D a=1， b= 2 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、复数相等即可得出 【解答】 解：复数 =1 i（ i 为虚数单位），则 1+3i=（ a 1 i） =ab（ a+b） i， a b=1， a b=3，解得 a= 1， b= 2 故选： A 【点评】 本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3已知向量 =（ 1， 2）， =（ m， 4），若 | | |+ =0，则实数 m 等于（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据 | | |+ =0 得出 1， 、 的方向相反，由此求出 m 的值 【解答】 解：向量 =（ 1， 2）， =（ m， 4）， 且 | | |+ =0， | | |+| | |， 1， 、 的方向相反， = 2 ， m= 2 故选： C 【点评】 本题考查了平面向量数量积的定义与运算问题，是基础题目 4设 a=b=c= a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B c b a C c a b D b c a 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出 【解答】 解： a=1， b=（ 0， 1）， c=0， a b c 故选： B 【点评】 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 5执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析 】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行，不难得到输出结果 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 i=0， S=1 满足条件 i 4，执行循环体， i=1， S= 满足条件 i 4，执行循环体， i=2， S= 满足条件 i 4，执行循环体， i=3， S= 满足条件 i 4，执行循环体， i=4， S= 不满足条件 i 4，退出循环，输出 S 的值为 故选： C 【点评】 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型， 其处理方法是： 分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）， 建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型， 解模，本题属于基础题 6已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图 1 和图 2 所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取 20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为（ ） A 100， 8 B 80， 20 C 100， 20 D 80， 8 【考点】 频率分布直方图 【分析】 利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数 【解答】 解：样本容量为：（ 150+250+100） 20%=100， 抽取的户主对四居室满意的人数为： 100 故选： A 【点评】 本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用 7已知双曲线 =1 的实轴长为 10，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ） A B C D 【考 点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用双曲线 =1 的实轴长为 10，求出 m，即可求出该双曲线的渐近线的斜率 【解答】 解：由题意 6=25， 4m 3 0， m=3， =3， 该双曲线的渐近线的斜率为 ， 故选 D 【点评】 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础 8已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图知该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体， 结合图中数 据即可求出它的体积 【解答】 解：根据几何体的三视图知， 该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体， 画出直观图如图所示； 则几何体的体积为 V 几何体 =V 三棱柱 +V 三棱锥 = 2+ 2 = 故选： C 【点评】 本题考查了空间几何体三视图的应用问题，是基础题目 9已知函数 f（ x） =（ 0）的周期为 ，若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（ a 0），所得图象关于原点对称，则实数 a 的最小值为（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+） 的图象变换；三角函数的周期性及其求法 【分析】 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得 的值，可得函数的解析式，利用函数 y=x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得 a 的最小值 【解答】 解： f（ x） =x） = = = ，解得： =2， f（ x） = 将函数 f（ x）图象沿 x 轴向右平移 a 个单位（ a 0），得到的新函数为 g（ x）= 4x 4a）， ， 4a=， k Z， 当 k=0 时， a 的最小值为 故选： D 【点评】 本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数 y=x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题 10若实数 x， y 满足 ，且 z=y（ m 2）的最小值为 ，则 ） A B C 1 D 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的最小值，判断目标函数的最优解，求解 a 即可 【解答】 解：变量 x， y 满足约束条件的可行域如图， z=y（ m 2）的最小值为 ， 可知目标函数的最优解过点 A， 由 ，解得 A（ ， 3）， = a 3，解得 m=1； 故选： C 【点评】 本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的最优解是解题的关键，考查计算能力 11体积为 的球有一个内接正三棱锥 P 球的直径， 0，则三棱锥 P 体积为（ ） A B C D 【考点】 球内接多面体 【分析】 先确定球的半径，计算 面积，再计算三棱锥 P 一 体积 【解答】 解：由题意可得球 O 的半径为 2，如图， 因为 球的直径，所 以 0， 0，可得 ， 在小圆圆心为 O，可由射影定理 O以 1， ， 因为 O为 中心，所以可求出 边长为 3，面积为 ， 因此，三棱锥 P 体积为 V= = 故选： C 【点评】 本题考查球的内接正三棱锥，考查三棱锥体积的计算，正确计算 12函数 y=f（ x）图象上不同两点 A（ B（ 的切线的斜率分别是 定 （ A， B） = 叫做曲线在点 A 与点 B 之间 的 “弯曲度 ”设曲线 y=不同的两点 A（ B（ 且 ，若t（ A， B） 3 恒成立，则实数 t 的取值范围是（ ） A（ ， 3 B（ ， 2 C（ ， 1 D 1， 3 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数 y=导数，可得切线的斜率，运用 （ A， B），由分离参数法，可得 t 恒成立，求得右边的范围或最值，即可得到 t 的范围 【解答】 解： y=导数为 y= （ A， B） = = = 0， 可得 = = 1， t（ A， B） 3 恒成立，则 t 恒成立， 由 3， 即有 t 3 故选： A 【点评】 本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：求切线的斜率，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，求最值，考查运算能力，属于中档题 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13已知（ 2x+ ） n 的展开式中的二项式系数之和为 64，则展开式中的常数项为 60 （数字回答） 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 由题意可得： 2n=64，解得 n=6再利用通项公式即可得出 【解答】 解：由题意可得： 2n=64， 解得 n=6 的通项公式为： = （ 2x） 6 r =26 r ， 令 6 =0，解得 r=4 展开式中的常数项 = =60 故答案为： 60 【点评】 本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14已知点 A（ 1， B（ 9， 抛物线 p 0）上的两点， y20，点 F 是它的焦点，若 |5|则 值为 10 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 由抛物线的定义： |9+ ， |1+ ，根据题意可 知求得 p，代入椭圆方程，分别求得 值，即可求得 值 【解答】 解：抛物线 p 0）焦点在 x 轴上，焦点（ ， 0）， 由抛物线的定义可知： |9+ ， |1+ ， 由 |5|即 9+ =1+ ，解得： p=2， 抛物线 x， 将 A， B 代入，解得： ， ， 0， 故答案为： 10 【点评】 本题考查抛物线的性质，考查抛物线方程的应用，属于中档题 15我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤问本持金几何 ”其意思为 “今有人持金出五关，第 1 关收税金 ，第 2 关收税金 ，第 3 关收税金 ，第 4 关收税金 ，第 5 关收税金 ， 5 关所收税金之和，恰好 1 斤重，设这个人原本持金为 x，按此规律通过第 8 关， ”则第 8关需收税金为 x 【考点】 数列的应用 【分析】 第 1 关收税金： x；第 2 关收税金： （ 1 ） x= x；第 3 关收税金： （ 1 ） x= x； ，可得第 8 关收税金 【解答】 解：第 1 关收税金： x；第 2 关收税金： （ 1 ） x= x；第 3关收税金： （ 1 ） x= x； ，可得第 8 关收税金： x，即 x 故答案为： 【点评】 本题考查了数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 16在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别是 a， b， c， ，且 ，则 积的最大值为 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 利用余弦定理分别表示出 入到已知的等式中， 化简后即可求出 c 的值，然后利用余弦定理表示出 c2=a2+2 c 及 值代入后，利用基本不等式即可求出 最大值，然后由 值，及 C 的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出 值，利用三角形的面积公式表示出三角形 面积，把 最大值及 值代入即可求出面积的最大值 【解答】 （本题满分为 12 分） 解： ， a +b =2， c=2， （ 6 分） 4=a2+2 22= （当且仅当 a=b= 时等号成立） （ 8 分） 由 ，得 ， （ 10 分） S = ， 故 面积最大值为 故答案为： （ 12 分） 【点评】 此题考查了基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17（ 12 分）（ 2017新乡二模）在数列 ， ， 前 n 项为足 +（ ） n+1= ） n（ n N*）， 2n+1） 前 n 项和为 （ 1）求数列 通项公式 及 （ 2）若 3， 3（ 3）成等差数列，求实数 m 的值 【考点】 数列的求和；等差数列的性质；数列递推式 【分析】 （ 1）由 +（ ） n+1= ） n（ n N*），可得 = 可得 ， 2n+1） 2n+1） 利用 “错位相减法 ”与等比数列的求和公式即可得出 （ 2）由（ 1）可得： ， ， 利用 3， 3（ 3）成等 差数列，即可得出 【解答】 解：（ 1） +（ ） n+1= ） n（ n N*）， = = n 2 时， ，又 ，因此 n=1 时也成立 ， 2n+1） 2n+1） + + + + ， = + + + ， = = +2 ， （ 2）由（ 1）可得： ， ， 3， 3（ 3）成等差数列， + +3 （ + ） =2 ， 解得 m= 【点 评】 本题考查了 “错位相减法 ”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18（ 12 分）（ 2017四川模拟）如图，四棱锥 P 底面 正方形， 平面 E 为 的点，且 2P （ 1）证明： （ 2）若 二面角 E P 的余弦值 【考点】 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ 1）由线面垂直的定义，得到 正方形 ，证出据线面垂直判定定理证出 平面 而得到 （ 2）建立空间直角坐标系，如图所示得 D、 A、 C、 P、 E 的坐标，从而得到 、 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出 =（ 1， 1， 1）是平面 一个法向量， =（ 1， 1， 1）是平面 一个法向量，利用空间向量的夹角公式即可算出二面角 E P 的余弦值 【解答】 解：（ 1） 平面 平面 底面 正方形， 平面 的相交直线， 平面 面 2）分别以 在直线为 x、 y、 z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示 设 ，则 ， ，结合 2P 可得 D（ 0， 0， 0）， A（ 0， 3， 0）， C（ 0， 0， 3）， P（ 3， 0， 0）， E（ 1， 2， 2） =（ 0， 3， 3）， =（ 3， 0， 3）， =（ 1， 2， 1） 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z），可得 ，取 x=1 得 =（ 1， 1， 1） 同理求得平面 一个法向量为 =（ 1， 1， 1） ， = = ， 二面角 E P 的余 弦值等于 【点评】 本题在特殊四棱锥中求证线面垂直，并求二面角的大小着重考查了空间线面垂直的定义与判定、空间向量的夹角公式和利用空间坐标系研究二面角的大小等知识，属于中档题 19（ 12 分）（ 2017四川模拟）在高中学习过程中，同学们经常这样说 “如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题 ”某班针对 “高中生物理对数学学习的影响 ”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取 5 名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表： 编号 成绩 1 2 3 4 5 物理（ x） 90 85 74 68 63 数学（ y） 130 125 110 95 90 （ 1）求数学 y 成绩关于物理成绩 x 的线性回归方程 = x+ （ b 精确到 若某位学生的物理成绩为 80 分时，预测他的物理成绩 （ 2）要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以 X 表示选中的学生的数学成绩高于 100 分的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望 （参考公式： b= ， = b ，）参考数据： 902+852+742+682+632=29394 90 130+85 125+74 110+68 95+63 90=42595 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ 1）根据表中数据计算 、 ，求出回归系数 、 ，写出回归方程， 利用回归方程计算 x=80 时 的值即可； （ 2）抽取的五位学生中成绩高于 100 分的有 3 人， X 的可以取 1， 2， 3， 计算对应的概率值，写出 X 的分布列，计算数学期望值 【解答】 解：（ 1）根据表中数据计算 = （ 90+85+74+68+63） =76， = （ 130+125+110+95+90） =110， =902+852+742+682+632=29394， 0 130+85 125+74 110+68 95+63 90=42595， = = = = =110 76= 4； x、 y 的线性回归方程是 =4， 当 x=80 时， =80 4=116， 即某位同学的物理成绩为 80 分，预测他的数学成绩是 116； （ 2）抽取的五位学生中成绩高于 100 分的有 3 人， X 表示选中的同学中高于 100 分的人数，可以取 1， 2， 3， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ； 故 X 的分布列为： X 1 2 3 p X 的数学期望值为 E（ X） =1 +2 +3 = 【点评】 本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列和期望问题，是基础题 20（ 12 分）（ 2017新乡二模）设椭圆 C： + =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 顶点为 A，过 A 与 直的直线交 x 轴负半轴于 Q 点，且 好是线段 中点 （ 1）若过 A、 Q、 点的圆恰好与直线 3x 4y 7=0 相切，求椭圆 C 的方程； （ 2）在（ 1）的条件下， B 是椭圆 C 的左顶点，过点 R（ ， 0）作与 x 轴不重合的直 线 l 交椭圆 C 于 E、 F 两点，直线 别交直线 x= 于 M、 N 两点，若直线 斜率分别为 问： 否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）由题意可知 据点到直线的距离公式，即可求得 c 的值，求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程； （ 2）设直线 程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，求得M 和 N 点的纵坐标，利用斜率公式求得 用韦达定理即可求得 【解答】 解：（ 1）由题意可知 A（ 0， b）， 线段 中点， 设 c， 0）， c， 0），则 Q（ 3c， 0）， 0， 由题意 接圆圆心为斜边的 点 c， 0），半径等于 2c， 由 A， Q， 点恰好与直线 3x 4y 7=0 相切， c， 0）到直线的距离等于半径 2c， 即 =2c， 解得： c=1， ， ， 椭圆的标准方程： ； （ 2）设 E（ F（ 直线 方程为 x=，代入椭圆方程 ， 4（ 4+3621=0， y1+ ， ， 由 B， E， M，三点共线，可知： = ，即 ， 同理可得： ， = = ， 由 4（ ）（ ） =（ 2）（ 2） =44m（ y1+49， = ， 否为定值 【点评】 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，属于中档题 21（ 12 分）（ 2017四川模拟）已知函数 f（ x） =e 自然对数的底 数） （ 1）求 f（ x）的单调区间； （ 2）讨论关于 x 的方程 f（ x） =a 的根的个数； （ 3）若 a 1，当 x） 1+m 对任意 x 0， + ）恒成立时， m 的最大值为 1，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1） f（ x） =a，对 a 分类讨论，即可得出函数 f（ x）的单调区间 （ 2）由（ 1）可得：对 a 分类讨论，利用其单调性即可得出：方程 f（ x） =a 的根的个数 （ 3） a 1 时， x） 1+m，化为 ： x（ 3 m，令 g（ x） =x（ 3， x 0， + ） g（ x） =（ 1+x） 3（ x+a） ，令 h（ x） =3（ x+a），可得 h（ x） =3，可得：函数 h（ x）存在唯一零点 g（ x） =0，可得 =3a利用 g（ 1，化为： a 3，即可得出 【解答】 解：（ 1） f（ x） =a， 当 a 0 时， f（ x） 0，此时函数 f（ x）在 R 上单调递增 当 a 0 时，令 f（ x） =0，解得 x= x （ ， ，此时函数 f（ x）单调递减； x （ + ）时，此时函数 f（ x）单调递增 综上可得：当 a 0 时，函数 f（ x）在 R 上单调递增 当 a 0 时，函数 f（ x）的单调递减区间是（ ， 函数 f（ x）单调递增区间是 + ） （ 2）由（ 1）可得： 当 a 0 时，函数 f（ x）在 R 上单调递增 x + 时， f（ x） + ； x 时， f（ x） 因此此时方程 f（ x） =a 的根的个数为 1 a=0 时， f（ x） =0，此时方程 f（ x） =a 的根的个数为 0 当 a 0 时，函数 f（ x）的单调递减区间是（ ， 函数 f（ x）单调递增区间是 + ） 可得函数 f（ x）的极小值即最小值为： f（ x） f（ =a 因此 a=1 时， f（ x） f（ 0） =1， 此时方程 f（ x） =a 的根的个数为 1 a 1 时， f（ x） f（ =a a， 此时方程 f（ x） =a 的根的个数为 2 0 a 1 时， f（ x） f（ =a a， 此时方程 f（ x） =a 的根的个数为 0 综上可得： 当 a 0 时，此时方程 f（ x） =a 的根的个数为 1 a=0 时，此时方程 f（ x） =a 的根的个数为 0 当 a 0 时， a=1 时，此时方程 f（ x） =a 的根的个数为 1 a 1 时，此时方程 f（ x） =a 的根的个数为 2 0 a 1 时，此时方程 f（ x） =a 的根的个数为 0 （ 3） a 1 时， x） 1+m，化为： x（ 3 m， 令 g（ x） =x（ 3， x 0， + ） g（ x） =（ 1+x） 3（ x+a） ， 令 h（ x） =3（ x+a），可得 h（ x） =3， 因此 当 x=， h（ x）取得极小值，即最小值， h（ =3 3（ a） 0， 且 h（ 0） =1 3a 0； x + 时， h（ x） + 因此函数 h（ x）存在唯一零点 令 g（ x） =0，可得 =3a 可得：当 x=，函数 g（ x）取得极小值，即最小值 g（ = + 3 1， 化为： a 3