安徽省合肥市2017届高三第二次教学质量数学试题（理）含答案

合肥市 2017 年高三第二次教学质量检测 数学试题（理） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 虚数单位，若复数 12mi i是纯，则实数 m （ ） A 1 B 1 C 12D 2 1,A ， 1| 2 12B x x a R，若 ，则实数 a 的取值范围是（ ） A 1, B 1,12C 2,3D 1, x ， y 满足约束条件 241 ，则目标函数 2z x y 的最小值为（ ） A 1 B 1 C 3 D 7 n ，执行如图所示的程序框图，输出的 s （ ） A 10 B 16 D 35 点在 y 轴上的双曲线离心率为 3 ，则此双曲线的渐近线方程为（ ） A B 22C. 2 D 12n 项和为3 6S ，6 3S ，则10S （ ） A 110B 0 C. 10 D 15 该几何体的体积为（ ） A 283B 28 23C. 28 D 22 6 3 果存在0 0x 使得 00f x f x ，则称 00,x f 00,x f x为函数图像的一组奇对称点 xf x e a（ e 为自然数的底数）存在奇对称点，则实数 a 的取值范围是（ ） A ,1 B 1, C. e, D 1, 截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面 平行的棱有（ ） A 0 条 B 1 条 D 1 条或 2 条 件产品中有 2 件次品，现逐一检 测，直至 能确定 所有次品为止，记检测的次数为 ，则 E （ ） A 3 B 4 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足 s i n s i n s i na b A B c b C ，若 3a ，则 22的取值范 围是（ ） A 3,6 B 3,5 C. 5,6 D 5,6 ln xf x x x a e（ e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数 a 的取值 范围是（ ） A 10,eB 0,e C. 1,D ,e 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） ，且284则2 1 2 2 2 3 2 9l o g l o g l o g l o ga a a a a ， b 满足 ，且 2a a b ，则 a 与 b 的夹角为 1 1的展开式中，常数项为 x 的方程 1 c o s s i n 2t x t x t 在 0, 上有实根，则实数 t 的最大值是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） s 3 c o x x， c o s , c o sb x x，函数 32f x a b . （）求函数 y f x 图像的对称轴方程； （）若方程 13 0, 上的解为1x，2x，求 12值 . 18. 某校 计划面向高一年级 1200 名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了 180 名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有 105 人 80 名学生中选择社会科学类的男生、女生均为 45人 . （）分别计算抽取的样本中男生及 女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数； （）根据抽取的 180 名学生的调查结果，完成下列列联表 前提下认为科类的选择与性别有关？ 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 女生 合计 附： 22 n a b b cK a b c d a c b d ，其中 n a b c d . 2 0P K k 矩形 ， 1， 2，点 E 为 点，沿 折起至 ，如右图所示，点 P 在面 射影 O 落在 . （）求证： E ； （）求二面角 B 的余弦值 . 20. 如图，抛物线 E ： 2 20y px p与圆 O ： 228相交于 A ， B 两点，且点 A 的横坐标为 2 B 上动点 00,P x 的切线交抛物线 E 于 C ， D 两点，分别以 C ，D 为切点作抛物线 E 的切线 1l ， 2l ， 1l 与 2l 相交于点 M . （）求 p 的值； （）求动点 M 的轨迹方程 . 21. 已知 x x m m x . （）求 （）设 1m ，1x，2 证：120. 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在直角坐标系 ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 4 . （）求出圆 C 的直角坐标方程； （）已知圆 C 与 x 轴相交于 A ， B 两点，直线 l ： 2关于点 0 , 0M m m 对称的直线为 l l 上存在点 P 使得 90，求实数 m 的最大值 . 等式选讲 已知函数 4 2 0f x a x a . （）求函数 （）若当 0,1x 时，不等式 1恒成立，求实数 a 的取值范围 . 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 5. 5 16. 1 三、解答题 ） 33s i n , 3 c o s c o s , c o x a b x x x x 2 3 1 3s i n c o s 3 c o s s i n 2 c o s 2 s i n 22 2 2 3x x x x x x 令 232 ，得 51 2 2kx k Z 即 y f x 的对称轴方程为 512 2 ， （）由条件知12 1s i n 2 s i n 2 03 3 3 ，且12520 1 2 3 易知 11,x f 22,x f 12x 对称，则1256 1 2 1 1 1 1 15 5 1c o s c o s c o s 2 c o s 2 s i n 26 6 3 2 3 3x x x x x x x 18.（）由条件知，抽取的男生 105 人，女生 180 105 75人。男生选择社会科学类的频率为 37，女生选择社会科学类的频率为 35. 由题意，男生总数为 1051 2 0 0 7 0 0180人，女生总数为 751 2 0 0 5 0 0180人 所以，估计选择社会科学的人数为 337 0 0 5 0 0 6 0 075 人 . （）根据统计数据，可得列联表如下： 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合计 90 90 180 22 1 8 0 6 0 4 5 3 0 4 5 36 5 . 1 4 2 9 5 . 0 2 41 0 5 7 5 9 0 9 0 7K 所以，在犯错误的概率不超过 前提下认为科类的选择与性别有关 . ）由条件，点 P 在平面 射影 O 落在 平面 平面 易知 E 平面 而 平面 E （）以 O 为坐标原点，以过点 O 且平行于 直线为 x 轴，过点 O 且平行于 直线为 y 轴，直线 z 轴，建立如图所示直角坐标系 . 则 11, ,022B， 13, ,022C， 13, , 022D， 20, 0, 2P设平面 法向量为 1 1 1 1,x y z 则1100 ，即11103 2 0，令1 2z ，可得1 20, , 23 设平面 法向量为 2 2 2 2,x y z 则2200 ，即2 2 22200x y ，令2 2z ，可得 2 2, 0, 2 12121233c o s ,11 考虑到二面角 B 为钝二面角，则二面角 B 的余弦值为 3311. ）由点 A 的横坐标为 2 ，可得点 A 的坐标为 2,2 ， 代入 2 2y ，解得 1p （）设 21 1,2， 22 2,2，1 0y，2 0y 211 2yy y k x ， 代入 2 2得 22112 2 0k y y y k y ，由 0 解得11k y 1l方程为111 2，同理 2l 方程为 221 2 联立11221212 ，解得 121222 程为 008x x y y，其中 0x ， 0y 满足 22008， 0 2, 2 2x 联立方程 20028x y y 得 2002 1 6 0x y y y ，则0120120216 代入 121222 可知 ,M x y 满足 0008 代入 22008得 22 18x y考虑到0 2, 2 2x ，知 4, 2 2x 动点 M 的轨迹方程为 2 2 18x y， 4, 2 2x ） x x m m x ， 1f x 当 0m 时， 10f x ，即 ,m ，无减区间； 当 0m 时， 11 m x m mf x mx m x m ，由 0 得 1 ,x m 1,x m m m 时， 0， 1 , 时， 0， 0m时，易知 , ，单调递减区间为 1,m m （）由（）知 , ，单调递减区间为 1,m m . 不妨设12m x x ，由条件知 1122m m xx m m x ，即 1212m ex m e 构造函数 x e x， x e x与 图像两交点的横坐标为1x，2 1 0x e 可得 ， 而 2 m m m， m 知 x e x在区间 上单调递减，在区间 上单调递增 . 可知12ln mm x 欲证120，只需证122 ln m，即证212 l n l n , 考虑到 上递增，只需证 212 l n mg x g 由 21g x g x知，只需证 112 l n mg x g 令 2 l n2 l n 2 l x m m x g x g x e x e ， 则 2 l n2 l n 2 l n 2 2 2 2 2 2 2 0mm x m m m x m x x m e m e m e m e m 即 ， 结合1 ln m 知 1 0即 112 l n mg x g 成立， 即120成立 ）由 4 得 2 4 ，即 2240x y x ，即圆 C 的标准方程为 2 224 . （） l ： 2关于点 0,l 的方程为 22y x m ，而 圆 C 的直