2017年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（一）含答案解析

2017 年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（一） 一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分 . 1已知集合 A=0， 1， 2，则 A 的子集的个数为 2设复数 + i（其中 a 0， i 为虚数单位），若 |则 a 的值为 3运行如图所示的流程图，则输出的结果 S 是 4若直线 y= x+b（ e 是自然对数的底数）是曲线 y=一条切线，则实数 5某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一 个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 6已知一组数据 方差为 3，若数据 b， b， ， b（ a，b R）的方差为 12，则 a 的所有的值为 7我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1： 4，类比该命题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为 8在平面直角坐标系 ，设双曲线 =1（ a 0， b 0）的焦距为 2c（ c 0），当 a， b 任意变化时， 的最大值为 9已知函数 ，若方程 f（ x） =x+2）（ 0 a 1）有且仅有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为 10设函数 f（ x） =2x 公差为 的等差数列， f（ +f（ +f（ =5，则 f（ 2 11在平面直角坐标系 ，若直线 l 与圆 x2+ 和圆 x 5 ） 2+（ y 5 ） 2=49 都相切，且两个圆的圆心均在直线 l 的下方，则直线 l 的斜率为 12设实数 n 6，若不等式 2 2 x） n 8 0 对任意 x 4， 2都成立，则 的最 小值为 13已知角 ， 满足 = ，若 +） = ，则 ）的值为 14将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星如图所示的正六角星的中心为点O，其中 x， y 分别为点 O 到两个顶点的向量若将点 O 到正六角星 12 个顶点的向量都写成 ax+形式，则 a+b 的最大值为 二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分 明过程或演算步骤 .） 15在平面直角坐标系中，已知点 A（ 0， 0）， B（ 4， 3），若 A， B， C 三点按顺时针方向排列构成等边三角形 直线 x 轴交于点 D （ 1）求 值； （ 2）求点 C 的坐标 16如图，四棱柱 ，平面 平面 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 17两县城 A 和 B 相距 20计划在两县城外以 直径的半圆弧上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和， 记 C 点到城 A 的距离为 在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y，统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k，当垃圾处理厂建在的 中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 （ 1）将 y 表示成 x 的函数； （ 2）讨论（ 1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离；若不存在，说明理由 18已知椭圆 C： （ m 0）的长轴长为 ， O 为坐标原点 （ 1）求椭圆 C 的方程和离心率 （ 2）设点 A（ 3， 0），动点 B 在 y 轴上，动点 P 在椭圆 C 上，且点 P 在 y 轴的右侧若 P，求四边形 积的最小值 19已知函数 f（ x） =cx+b a（ a 0） （ 1）设 c=0 若 a=b，曲线 y=f（ x）在 x=的切线过点（ 1， 0），求 值； 若 a b，求 f（ x）在区间 0， 1上的最大值 （ 2）设 f（ x）在 x=x=处取得极值，求证： f（ =f（ = 同时成立 20设数列 项数均为 m，则将数列 距离定义为 | （ 1）给出数列 1， 3， 5， 6 和数列 2， 3， 10， 7 的距离； （ 2）设 A 为满足递推关系 = 的所有数列 集合， A 中的两个元素，且项数均为 m，若 ， ， 距离小于 2016，求 （ 3）记 S 是所有 7 项数列 n 7， 或 1的集合， T S，且 T 中任何两个元素的距离大于或等于 3，证明： T 中的元素个数小于或等于 16 选修 4何证明选讲 21如图， 别于圆 O 相切与点 D， C，且 过圆心 O， 证： 选修 4阵与变换 22在平面直角坐标系 ，已知 A（ 0， 0）， B（ 2， 0）， C（ 2， 2）， D（ 0， 2），先将正方形 原点逆时针旋转 90，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵 M 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），现以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程 选修 4等式选讲 24设 a， b 为互不相等的正实数，求证： 4（ a3+ （ a+b） 3 七、解答题（共 1 小题，满分 10 分） 25集合 M=1， 29中抽取 3 个不同的数构成集合 （ 1）对任意 i j，求满足 | 2 的概率； （ 2）若 等差数列，设公差为 （ 0），求 的分布列及数学期望 八、解答题（共 1 小题，满分 10 分） 26已知数列 前 n 项和为 项公式为 （ ）计算 f（ 1）， f（ 2）， f（ 3）的值； （ ）比较 f（ n）与 1 的大小，并用数学归纳法证明你的结论 2017 年江苏省南通市高考数学全真模拟试卷（一） 参考答案与试题解析 一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分 . 1已知集合 A=0， 1， 2，则 A 的子集的个数为 8 【考点】 子集与真子集 【分析】 由集合 A 中的元素有 3 个，把 n=3 代入集合的子集的公式 2n 中，即可计算出集合 A 子集的个数 【解答】 解：由集合 A 中的元素有 0， 1， 2 共 3 个，代入公式得： 23=8， 则集合 A 的子集有 ： 0， 1， 2， 0， 1， 2， 0， 1， 1， 2， 0， 2， 共 8 个 故答案为： 8 2设复数 + i（其中 a 0， i 为虚数单位），若 |则 a 的值为 1 【考点】 复数求模 【分析】 根据复数的模长公式进行求解即可 【解答】 解： + i， | ， 即 =5， 则 ，解得 a=1 或 a= 1（舍）， 故答案为： 1 3运行如图所示的流程图，则输出的结果 S 是 【考点】 程序框图 【 分析】 变量 i 的值分别取 1， 2， 3， 4， 时，变量 S 的值依次为 ， 1， 2， ，从而变量 S 的值是以 3 为周期在变化，由此可得结论 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=2， i=1 不满足条件 i 2015，执行循环体， S= ， i=2 不满足条件 i 2015，执行循环体， S= 1， i=3 不满足条件 i 2015，执行循环体， S=2， i=4 观察规律可知，变量 S 的值是以 3 为周期在变化， 由于： 2014=671 3+1，从而，有 i=2014，不满足条件 i 2015，执行循环体， S= ， i=2015 满足条件 i 2015，退出循环，输出 S 的值为 故答案为： 4若直线 y= x+b（ e 是自然对数的底数）是曲线 y=一条切线，则实数 0 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程，建立方程组关系即可 【解答】 解：函数的导数为 y=f（ x） = ， 设切点为（ 则切线斜率 k=f（ = ， 则对应的切线方程为 y （ x 即 y= x 1+ 直线 y= x+b（ e 是自然对数的底数）是曲线 y=一 条切线， = 且 b=1， 解得 x0=e， b=1=1 1=0， 故答案为： 0 5某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 【考点】 相互独立事件的概率乘法公式 【分析】 由于学校有两个食堂，不妨令他们分别为食堂 A、食堂 B，则甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为 ，代入相互独立事件的概率乘法公式，即可求出他们同在食堂 A 用餐的概率，同理，可求出他们同在食堂 B 用餐的概率，然后结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案 【 解答】 解：甲、乙、丙三名学生选择每一个食堂的概率均为 ， 则他们同时选中 A 食堂的概率为： = ； 他们同时选中 B 食堂的概率也为： = ； 故们在同一个食堂用餐的概率 P= + = 故答案为： 6已知一组数据 方差为 3，若数据 b， b， ， b（ a，b R）的方差为 12，则 a 的所有的值为 2 【考点】 极差、方差与标准差 【分析】 根据数据 方差与数据 b， b， ， b 的方差关系，列出方程，求出 a 的值 【解答】 解：根 据题意，得； 数据 方差为 3， 数据 b， b， ， b（ a， b R）的方差为 =12， a= 2 故答案为： 2 7我们知道，以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1： 4，类比该命题得，以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由题意画出图形，结合三角形中位线、三角形重心的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案 【解答】 解：如图， 设 正四面体 个面的中心分别为 E、 F、 G、 H， 四面体 面 的高，交面 H， 则 ，又 ， ，则 ， 同理可得 ， 正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为 故答案为： 8在平面直角坐标系 ，设双曲线 =1（ a 0， b 0）的焦距为 2c（ c 0），当 a， b 任意变化时， 的最大值为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由于 c2=a2+出 c，代入所求式子，再由 a2+2可得到最大值 【解答】 解：由于 c2=a2+ 即有 c= 则 = = = = 当且仅当 a=b，取得等号 则有 的最大值为 故答案为： 9已知函数 ，若方程 f（ x） =x+2）（ 0 a 1）有且仅有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为 ） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 作出 f（ x）与 y=x+2）的函数图象，根据交点个数判断函数值的大小关系，列出不等式组解出 【解答】 解： 当 x 0 时， f（ x） =f（ x 1）， f（ x）在（ 0， + ）上是周期为 1 的函数， 做出 y=f（ x）与 y=x+2）的函数图象，则两函数图象有 2 个交点， ，解得 故答案为： 10设函数 f（ x） =2x 公差为 的等差数列， f（ +f（ +f（ =5，则 f（ 2 【考点】 等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和 【分析】 由 f（ x） =2x 公差为 的等差数列，可求得 f（ +f（ +f（ =10题意可求得 而进行求解 【解答】 解： f（ x） =2x 可 令 g（ x） =2x+ 公差为 的等差数列， f（ +f（ +f（ 5 g（ ） +g（ ） +g（ ） =0，则 ， ， f（ 2 2 = ， 故答案为： 11在平面直角坐标系 ，若直线 l 与圆 x2+ 和圆 x 5 ） 2+（ y 5 ） 2=49 都相切，且两个圆的圆心均在直线 l 的下方，则直线 l 的斜率为 7 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 设两切点分别为 A， B，连接 D，则直角三角形 ，利用和角的正切公式，即可求出直线 l 的斜率 【解答】 解：设两切点分别为 A， B，连接 D，则直角三角形 ， ， ） = =7 故答案为： 7 12设实数 n 6，若不等式 2 2 x） n 8 0 对任意 x 4， 2都成立，则 的最小值为 【考点】 函数恒成立问题 【分析 】 先确定 m， n 的范围，再得出 m=2， n=6 时， 取最小值即可 【解答】 解：设 y=2 2 x） n 8，整理可得 y= 2m n x+ 2n 8 当 2m n 0 时，因为 x 4， 2，所以 2m n 4 + 2n 8= 8m+6n 8 当 2m n 0 时，因为 x 4， 2，所以 2m n 2+ 2n 8 =4m 8 不等式 2 2 x） n 8 0 对任意 x 4， 2都成立， m， n 满足 或 可行域如图 或 当且仅当 m=2， n=6 时， 又 = ， 的最 小值为 = 33= 故答案为： 13已知角 ， 满足 = ，若 +） = ，则 ）的值为 【考点】 两角和与差的正弦函数 【分析】 设 ） =x，由条件利用两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系求出 x 的值，即为所求 【解答】 解：设 ） =x，即 x ， 则由 +） = ，可得 ， 由 求得 + ， 再由 = = = ，求得 x= ， 故答案为： 14将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星如图所示的正六角星的中心为点O，其中 x， y 分别为点 O 到两个顶点的向量若将点 O 到正六角星 12 个顶点的向量都写成 ax+形式，则 a+b 的最大值为 5 【考点】 平面向量的基本定理及其意义 【分析】 根据题意，画出图形，结合图形，得出求 a+b 的最大值时只需考虑图中 6 个顶点的向量即可，分别求出即得结论 【解答】 解：欲求 a+b 的最大值只需考虑右 图中 6 个顶点的向量即可，讨论如下 （ 1） （ a， b） =（ 1， 0）； （ 2） ，所以（ a， b） =（ 3， 1）； （ 3） ，所以（ a， b） =（ 2， 1）； （ 4） ，所以（ a， b） =（ 3， 2）； （ 5） ，所以（ a， b） =（ 1， 1）； （ 6） ，所以（ a， b） =（ 0， 1）； 因此 a+b 的最大值为 3+2=5 故答案为： 5 二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分 明过程或演算步骤 .） 15在平面直角坐标系中，已知点 A（ 0， 0）， B（ 4， 3），若 A， B， C 三点按顺时针 方向排列构成等边三角形 直线 x 轴交于点 D （ 1）求 值； （ 2）求点 C 的坐标 【考点】 两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数 【分析】 （ 1）由题意画出图象，设 、 ，由三角函数的定义求出值，由 =60 和两角差的余弦函数求出 值，可得答案； （ 2）设点 C（ x， y），由（ 1）和两角差的正弦函数求出 三角函数的定义求出 x 和 y，可得答案 【解答】 解：（ 1）设 ， ，且 ， 由三角函数的定义得 ， ， 故 60 ） ， 即 （ 2）设点 C（ x， y） 由（ 1）知 60 ） = ， 因为 B=5， 所以 ， ， 故点 16如图，四棱柱 ，平面 平面 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 【考点】 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）根据 面 面 据线面平行的判定定理推断出 平面 （ 2）平面 平面 面 平面 断出平面 平面 平面 平面 1面据面面垂直的性质推断出平面 平面 【解答】 证明：（ 1） 面 面 平面 （ 2） 平面 平面 面 平面 平面 平面 平面 平面 1 面 平面 平面 17两县城 A 和 B 相距 20计划在两县城外以 直径的半圆弧上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y，统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k，当垃圾处理厂建在的 中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 （ 1）将 y 表示成 x 的函数； （ 2）讨论（ 1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离；若不存在，说明理由 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法 【分析】 （ 1）先利用 出 00 利用 圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k，得到 y 和 x 之间的函数关系，最后利用垃圾处理厂建在的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 出 k 即可求出结果 （ 2）先求出导函数以及导数为 0 的根，进而求出其单调区间，找到函数的最小值即可 【解答】 解（ 1）由题意知 00 其中当 时， y= 所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 （ 2） ， ， 令 y=0 得 182， 所以 60，即 ， 当 时， 1882，即 y 0 所以函数为单调减函数， 当 时， 1882，即 y 0 所以函数为单调增函数 所以当 时，即当 C 点到城 A 的 距 离 为 时，函数有最小值 （注：该题可用基本不等式求最小值） 18已知椭圆 C： （ m 0）的长轴长为 ， O 为坐标原点 （ 1）求椭圆 C 的方程和离心率 （ 2）设点 A（ 3， 0），动点 B 在 y 轴上，动点 P 在椭圆 C 上，且点 P 在 y 轴的右侧若 P，求四边形 积的最小值 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）将椭圆方程化为标准方程，由题意可得 a，可得 b，即可得到椭圆方程，再由离心率公式计算即可得到所求值； （ 2）设 点为 D，由 |所以 得 斜率，进而得到 斜率和中点，可得直线 方程，即有 B 的坐标，求得四边形 =S 简整理，运用基本不等式即可得到最小值 【解答】 解：（ 1）由题意知椭圆 C： ， 所以 ， ， 故 ，解得 ， 所以椭圆 C 的方程为 因为 ，所以离心率 （ 2）设线段 中点为 D 因为 P，所以 由题意知直线 斜率存在， 设点 P 的坐标为（ 0）， 则点 D 的坐标为 ，直线 斜率 ， 所以直线 斜率 ， 故直线 方程为 令 x=0，得 ，故 由 ，得 ，化简得 因此， S 四边形 = = = 当且仅当 时，即 时等号成立 故四边形 积的最小值为 19已知函数 f（ x） =cx+b a（ a 0） （ 1）设 c=0 若 a=b，曲线 y=f（ x）在 x=的切线过点（ 1， 0），求 值； 若 a b，求 f（ x）在区间 0， 1上的最大值 （ 2）设 f（ x）在 x=x=处取得极值，求证： f（ =f（ =同时成立 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1） 计算 f（ 1），得出切线方程，代入点（ 1， 0）列方程解出 求出 f（ x）的极值点，判断两极值点的大小及与区间 0， 1的关系，从而得出f（ x）在 0， 1上的单调性，得出最大值； （ 2）使用反证法证明 【解答】 解：（ 1）当 c=0 时 ， f（ x） =b a 若 a=b，则 f（ x） = 从而 f（ x） =32 故曲线 y=f（ x）在 x=的切线方程为 = 将点（ 1， 0）代入上式并整理得 =1 32）， 解得 或 若 a b，则令 f（ x） =32，解得 x=0 或 （ ）若 b 0，则当 x 0， 1时， f（ x） 0， f（ x）为区间 0， 1上的增函数， f（ x）的最大值为 f（ 1） =0 （ b 0，列表： x 0 （ 0， ） （ ， 1） 1 f（ x） 0 0 + f（ x） b a 0 减函数 极小值 增函数 0 所以 f（ x）的最大值为 f（ 1） =0 综上， f（ x）的最大值为 0 （ 2）假设存在实数 a， b， c，使得 f（ = f（ =时成立 不妨设 f（ f（ 因为 x=x= f（ x）的两个极值点， 所以 f（ x） =32bx+c=3a（ x x 因为 a 0，所以当 x ， f（ x） 0， 故 f（ x）为区间 的减函数， 从而 f（ f（ 这与 f（ f（ 盾， 故假设不成立 既不存在实数 a， b， c，使得 f（ =f（ =时成立 20设数列 项数均为 m，则将数列 距离定义为 | （ 1）给出数列 1， 3， 5， 6 和数列 2， 3， 10， 7 的距离； （ 2）设 A 为满足递推关系 = 的所有数列 集合， A 中的两个元素，且项数均为 m，若 ， ， 距离小于 2016，求 （ 3）记 S 是所有 7 项数列 n 7， 或 1的集合， T S，且 T 中任何两个元素的距离大于或等于 3，证明： T 中的元素个数小于或等于 16 【考点】 数列的应用 【分析】 （ 1）由数列距离的定义即可求得数列 1， 3， 5， 6 和数列 2， 3， 10， 7的距离； （ 2）由数列的递推公式，即可求得 a， 得 A 中数列的项周期性重复，且间隔 4 项重复一次，求得数列 律，可知随着项数 m 越大，数列 距离越大，由 = ，根据周期的定义，得 |bi | 864=2016，求得 m 的最大值； （ 3）利用反证法，假设 T 中的元素个数大于等于 17 个，设出 最总求得 | 2 和 | 2 中必有一个成立，与数列的距离大于或等于 3 矛盾，故可证明 T 中的元素个数小于或等于 16 【解答】 解：（ 1）由题意可知，数列 1， 3， 5， 6 和数列 2， 3， 10， 7 的距离为1+0+5+1=7， （ 2）设 a1=p，其中 p 0，且 p 1， 由 = ，得 ， ， ， a5=p， a1= 因此 A 中数列的项周期性重复，且间隔 4 项重复一次， 所数列 ， 3=2， 2= 3， 1= ， ， k N*， 所以 ， 3=3， 2= 2， 1= ， ， k N*， | |得项数 m 越大，数列 距离越大， 由 = ， 得 | | 864=2016， 所以 m 3456 时， | 2016， 故 m 的最大值为 3455， （ 3）证明：假设 T 中的元 素个数大于等于 17 个， 因为数列 ， 或 1， 所以仅由数列前三项组成的数组（ 且仅有 8 个，（ 0， 0， 0），（ 1，0， 0），（ 0， 1， 0），（ 0， 0， 1），（ 1， 1， 0）， （ 1， 0， 1），（ 0， 1， 1），（ 1， 1， 1）， 那么这 17 个元素（即数列）之中必有三个具有相同的 设这个数列分别为 d5， 其中 c1=d1=c2=d2=c3=d3= 因为这三个数列中每两个的距离大于等于 3， 所以， ， ci= i=4， 5， 6， 7）中至少有三个成立， 不妨设 由题意， 一个等于 0，而另一个等于 1， 又因为 或 1， 所以 f4= f4=必有一个成立， 同理，得 f5= f5=必有一个成立， f6= f6=必有一个成立， 所以 “fi=i=3， 4， 5）中至少有两个成立 ”或 ”fi=i=4， 5， 6）中至少有两个成立 “中必有一个成立， 所以 | 2 和 | 2 中必有一个成立 与题意矛盾， T 中的元素个数小于或等于 16 选修 4何证明选讲 21如图， 别于圆 O 相切与点 D， C，且 过圆心 O， 证： 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 先证明 得 ，利用 得结论 【解答】 证明：因为 别与圆 O 相切于点 D， C，所以 0 又因为 A= A，所以 所以 ， 因为 所以 选修 4阵与变换 22在平面直角坐标系 ，已知 A（ 0， 0）， B（ 2， 0）， C（ 2， 2）， D（ 0， 2），先将正方形 原点逆时针旋转 90，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵 M 【考点】 几种特殊的矩阵变换 【分析】 求出将正方形 原点逆时针旋转 90所对应的矩阵，将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵，利用矩阵的乘法可得连续两次变换所对应的矩阵 M 【解答】 解：设将正方形 原点逆时针旋转 90所对应的矩阵为 A， 则 A= = ， 设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵为 B，则B= ， 连续两次变换所对应的矩阵 M= 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），现以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线 C 的极坐标方程 【考点】 参数方程化成普通方程 【分析】 首先把曲线的参数方程转化成直角坐标方程，进一步把直角坐标方程转化成极坐标方程 【解答】 解：曲线 C 的参数方程为 （ 为参数）， 转化成直角坐标方程为：（ x 1） 2+， 进一步转化成极坐标方程为： 2=2 整理得： =2 选修 4等式选讲 24设 a， b 为互不相等的正实数，求证： 4（ a3+ （ a+b） 3 【考点】 综合法与分析法 (选修） 【分析】 利用分析法，从结论入手，寻找结论成立的条件，即可得到证明 【解答】 证明：因为 a 0， b 0，所以要证 4（ a3+ （ a+b） 3， 只要证 4（ a+b）（ ab+ （ a+b） 3， 即 要证 4（ ab+ （ a+b） 2， 只需证 3（ a b） 2 0， 而 a b，故 3（ a b） 2 0