2017年湖南省永州市高考数学二模试卷（理科）含答案解析

2017 年湖南省永州市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A= 1， 1， 4， B=y|y=x|+1， x A，则 A B=（ ） A 1， 1， 3， 4 B 1， 1， 3 C 1， 3 D 1 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足（ 1+i） z=（ 1 i） 2，则 |z|为（ ） A B 1 C D 3已知 ， 均为单位向量，它们的夹角为 ，则 | + |=（ ） A 1 B C D 2 4四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（ ） A 10 种 B 14 种 C 20 种 D 24 种 5阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A 3 B C D 6在等差数列 ， 2a7=，则数列 前 9 项和 ） A 21 B 35 C 63 D 126 7设 双曲线 的两个焦点，若点 P 在双曲线上，且 0， |2，则 b=（ ） A 1 B 2 C D 8在四棱锥 P ，底面 正方形， 底面 B，E， F， H 分别是棱 中点，且过 E， F， H 的平面截四棱锥 P 则四棱锥 P 体积为（ ） A B 8 C D 9有四人在海边沙滩上发现 10 颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序 ，再由 号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的 号淘汰，不再参与分配，接下来由 号提出分配方案，三人表决 ，依此类推 假设： 1四人都守信用，愿赌服输； 2提出分配方案的人一定会赞成自己的方案； 3四人都会最大限度争取个人利益易知若 都淘汰，则 号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（ 10， 0）（表示 、 号分配珍珠数分别是 10 和 0）问 号的最佳分配方案是（ ） A（ 4， 2， 2， 2） B（ 9， 0， 1， 0） C（ 8， 0， 1， 1） D（ 7， 0， 1， 2） 10某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ） A 12 B 16 C 20 D 24 11已知数列 n的前 n 项和 n（ n） 6，若数列 调递减，则 的取值范围是（ ） A（ ， 2） B（ ， 3） C（ ， 4） D（ ， 5） 12如图是 f（ x） = x+）（ 0）的部分图象，下列说法错误的是（ ） A函数 f（ x）的最小正周期是 B函数 g（ x） = x 的图象可由函数 f（ x）的图象向右平移 个单位得到 C函数 f（ x）图象的一个对称中心是（ ， 0） D函数 f（ x）的一个递减区间是（ 5， ） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 的展开式中各项系数 的和为 256，则该展开式的二项式系数的最大值为 14已知实数 x， y 满足 ，则 x+3y 的最大值为 15 圆 C： y 1） 2=1 的直径， P 是椭圆 E： 上的一点，则的取值范围是 16已知 f（ x） = ，若函数 g（ x） =f（ x） t 有三个不同的零点则 的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（ 12 分）在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c，已知且 c b （ ）求角 C 的大小； （ ）若 b=4，延长 D，使 D，且 ，求 面积 18（ 12 分）已知三棱柱 ， C=，侧面 面 D 是 中点， 20o， （ ）求证： 面 （ ）求二面角 C 的余弦值 19（ 12 分）某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销 10 天两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利 70 元，且每卖出一件产品厂家再返利 2 元；乙厂家无固定返利，卖出 40 件以内（含 40件）的产品，每件产品厂家返利 4 元，超出 40 件的部分每件返利 6 元经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下： 甲 乙 8 9 9 8 9 9 3 8 9 9 2 0 1 0 4 2 1 1 1 0 1 0 （ ）现从甲厂家试销的 10 天中抽取两天，求这两天的销售量都大于 40 的概率； （ ）若将频率视作概率，回答以下问题： （ ）记乙厂家的日返利额为 X（单位：元），求 X 的分布列和数学期望； （ ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计 学知识为商场作出选择，并说明理由 20（ 12 分）如图抛物线 C： x 的弦 中点 P（ 2， t）（ t 0），过点 B 垂直的直线 l 与抛物线交于 C、 D，与 x 轴交于 Q （ ）求点 Q 的坐标； （ ）当以 直径的圆过 A， B 时，求直线 l 的方程 21（ 12 分）已知函数 ， ，其中 a 1 （ ） f（ x）在（ 0， 2）上的值域为（ s， t），求 a 的取值范围； （ ）若 a 3，对于区间 2， 3上的任意两个不相等的实数 有 |f（ f（ | |g（ g（ |成立，求实数 a 的 取值范围 请考生在 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 .选修4标系与参数方程 （共 1 小题，满分 10 分） 22 （ 10 分）在直角坐标系 ，曲线 C 的参数方程为：，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （ ）求曲线 C 的极坐标方程； （ ）已知直线 ，射线 与曲线 ， 直线 交点为 Q，求线段 长 选修 4等式选讲 （共 1 小题，满分 0 分） 23已知函数 f（ x） =|1| （ ）若 f（ x） 3 的解集为 2， 1， 求实数 k 的值； （ ）当 k=1 时，若对任意 x R，不等式 f（ x+2） f（ 2x+1） 3 2m 都成立，求实数 m 的取值范围 2017 年湖南省永州市高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 A= 1， 1， 4， B=y|y=x|+1， x A，则 A B=（ ） A 1， 1， 3， 4 B 1， 1， 3 C 1， 3 D 1 【考点】 交集及其运算 【分析】 分别让 x 取 1， 1， 4，然后求出对应的 y，从而得出集合 B，然后进行交集运算即可 【解答】 解： x= 1，或 1 时， y=1； x=4 时， y=3； B=1， 3； A B=1 故选 D 【点评】 考查列举法、描述法表示集合的概念，元素与集合的关系，对数式的运算，以及交集的运算 2已知 i 为虚数单位，复数 z 满足（ 1+i） z=（ 1 i） 2，则 |z|为（ ） A B 1 C D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出 【解答】 解：（ 1+i） z=（ 1 i） 2， （ 1 i）（ 1+i） z= 2i（ 1 i）， 2z= 2 2i，即 z=1 i 则 |z|= = 故选： A 【点评】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3已知 ， 均为单位向量，它们的夹角为 ，则 | + |=（ ） A 1 B C D 2 【考点】 数量积表示两个向量的夹角；向量的几何表示 【分析】 根据 | + |2= ，而 ， 均为单位向量，它们的夹角为 ，再结合向量数量积的公式可得答案 【解答】 解：由题 意可得： | + |2= ， ， 均为单位向量，它们的夹角为 ， | + |2= =1+1+2 1 1 3， | + |= ， 故选 C 【点评】 本题主要考查向量模的计算公式与向量数量积的公式，解决此类问题的关键是熟练记忆公式并且细心认真的运算即可得到全分属于基础题 4四个大学生分到两个单位，每个单位至少分一个的分配方案有（ ） A 10 种 B 14 种 C 20 种 D 24 种 【考点】 排列、组合的实际应用 【分析】 根据题意，假设 2 个单位为甲单位和乙单位，按照分配在甲单位的人数分 3 种情况讨论：即 、甲单位 1 人而乙单位 3 人， 、甲乙单位各 2 人， 、甲单位 3 人而乙单位 1 人，由组合数公式求出每一种情况的分配方法数目，由分类计数原理计算可得答案 【解答】 解：根据题意，假设 2 个单位为甲单位和乙单位，分 3 种情况讨论： 、甲单位 1 人而乙单位 3 人，在 4 人中任选 1 个安排在甲单位，剩余 3 人安排在甲乙单位即可，有 种安排方法； 、甲乙单位各 2 人，在 4 人中任选 2 个安排在甲单位，剩余 2 人安排在甲乙单位即可，有 种安排方法； 、甲单位 3 人而乙单位 1 人，在 4 人中任选 3 个安排在甲单位，剩余 1 人安排在甲乙单位即可，有 种安排方法； 则一共有 4+6+4=14 种分配方案； 故选： B 【点评】 本题考查排列、组合的应用，注意根据题意进行分类讨论时，一定要做到不重不漏 5阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A 3 B C D 【考点】 程序框图 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算 S 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案 【解答】 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： x y z 是否继续循环 循环前 1 1 0 第一圈 1 3 7 是 第二圈 3 7 17 否 则输出的结果为 故选 C 【点评】 本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法 6在等差数列 ， 2a7=，则数列 前 9 项和 ） A 21 B 35 C 63 D 126 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 由已知得 d=，从而利用 数列 前 9项和 ，能求出结果 【解答】 解： 在等差数列 ， 2a7=， 2（ d） =d+7， d=， 数列 前 9 项和 =63 故选： C 【点评】 本题考查等差数列的前 9 项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 7设 双曲线 的两个焦点，若点 P 在双曲线上，且 0， |2，则 b=（ ） A 1 B 2 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【 分析】 设 |m， |n，则 ， m2+|m n|=2a，由此，即可求出 b 【解答】 解：设 |m， |n，则 ， m2+|m n|=2a， 44， b2=， b=1， 故选 A 【点评】 本题考查双曲线的方程与性质，考查勾股定理的运用，属于中档题 8在四棱锥 P ，底面 正方形， 底面 B，E， F， H 分别是棱 中点，且过 E， F， H 的平面截四棱锥 P 则四棱锥 P 体积为（ ） A B 8 C D 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 取 点 M，连结 导出平面 过 E， F， H 的平面截四棱锥 P 得 截 面 ， 设 B=a ，则 S 梯形= ，求出 a=2，由此能求出四棱锥 P 体积 【解答】 解：取 点 M，连结 在四棱锥 P ，底面 正方形， 底面 B， E， F， H 分别是棱 中点， 平面 过 E， F， H 的平面截四棱锥 P 得截面， 设 B=a， 过 E， F， H 的平面截四棱锥 P 得截面面积为 ， S 梯形 = = ， 解得 a=2， 四棱锥 P 体积 V= = = 故选： A 【点评】 本题考查柱、锥、台体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题 9有四人在海边沙滩上发现 10 颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序 ，再由 号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成 票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的 号淘汰，不再参与分配，接下来由 号提出分配方案，三人表决 ，依此类推假设： 1四人都守信用，愿赌服输； 2提出分配方案的人一定会赞成自己的方案； 3四人都会最大限度争取个人利益易知若 都淘汰，则 号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（ 10， 0）（表示 、 号分配珍珠数分别是 10 和 0）问 号的最佳分配方案是（ ） A（ 4， 2， 2， 2） B（ 9， 0， 1， 0） C（ 8， 0， 1， 1） D（ 7， 0， 1， 2） 【考点】 进行简单的合情推理 【分析】 若 都淘汰，则 号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（ 10， 0）（表示 、 号分配珍珠数分别是 10 和 0），可得结论 【解答】 解：根据若 都淘汰，则 号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（ 10， 0）（表示 、 号分配珍珠数分别是 10 和 0），可知 号的最佳分配方案是（ 9， 0， 1， 0）， 故选 B 【点评】 本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 10某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ） A 12 B 16 C 20 D 24 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，进而可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥， 底面两直角边长分别为 2， 2 ， 故斜边长为 2 ， 过斜边的侧面与底面垂直，且为高为 3 的等腰三角形， 设其外接球的半径为 R， 则 ， 解得： R=2， 故它的外接球表面积 S=46， 故选： B 【点评】 本题考查的知识点是球的表面积和体积，球内接多面体，空间几何体的三视图，难度中档 11已知数列 n的前 n 项和 n（ n） 6，若数列 调递减，则 的取值范围是（ ） A（ ， 2） B（ ， 3） C（ ， 4） D（ ， 5） 【考点】 数列的函数特性 【分析】 由已知求出 用为单调递减数列，可得 ，化简解出即可得出 【解答】 解： n（ n） 6， 1=3n 1（ n+1） 6， n 1， 得数列 n 1（ 2 2n 1）（ n 1， n N*）为单调递减数列， ，且 3n 1（ 2 2n 1） 3n（ 2 2n 3），且 2 化为 n+ ，（ n 1），且 2， 2， 的取值范围是（ ， 2） 故选： A 【点评】 本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力 12如图是 f（ x） = x+）（ 0）的部分图象，下列说法错误的是（ ） A函数 f（ x）的最小正周期是 B函数 g（ x） = x 的图象可由函数 f（ x）的图象向右平移 个单位得到 C函数 f（ x）图象的一个对称中心是（ ， 0） D函数 f（ x）的一个递减区间是（ 5， ） 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 根据图象过（ 0， 1），（ 2， 0）求出 和 ，即可求函数 f（ x）的解析式；根据函数解析式之间的关系判断各选项即可得结论 【解答】 解：根据图象可知， f（ x） = x+）（ 0）的图象过（ 0，1），（ 2， 0） 可得： f（ 0） = ） =1，解得： = +2= +2 k Z） f（ 2） = 2+ ） =0，解得 = += + 当 k= 1 时， |为： ，周期 T= = 故 A 对此时可得 f（ x） = ） 函数 g （ x ） = x 的图象图象向右平移 个单位可得：= ）故 B 对 当 x= 时，函数 f（ ） = ） = =1，故 由 f（ x） = ） = ） 令 0+2） +2 可得： ，（ k Z） 当 k=2 时，可得 是单调递减故 D 对 故选 C 【点评】 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键要求熟练掌握函数图象之间的变化关系 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13 的展开式中各项系数的和为 256，则该展开式的二项式系数的最大值为 6 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 由题意可得：令 x=1，则（ 5 1） m=256，解得 m=4该展开式的二项式系数的最大值为 【解答】 解：由题意可得：令 x=1，则（ 5 1） m=256，解得 m=4 该展开式的二项式系数的最大值为 =6 故答案为： 6 【点评】 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 14已知实数 x， y 满足 ，则 x+3y 的最大值为 10 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等 式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 【解答】 解：作出不等式组 对应的平面区域如图：（阴影部分）由 z=x+3y 得 y= x+ z， 平移直线 y= x+ z， 由图象可知当直线 y= x+ z 经过点 B 时，直线 y= x+ z 的截距最大， 此时 z 最大 由 ，解得 B（ 1， 3）， 代入目标函数 z=x+3y 得 z=1+3 3=10 故答案为： 10 【点评】 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法 15 圆 C： y 1） 2=1 的直径， P 是椭圆 E： 上的一点，则的取值范围是 1， 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由 ， ， 得 =（ ） （ = = = y 1） 2 1=x2+2y= 32y+4 再结合 y 的范围即可求出结论 【解答】 解：设 P（ x， y）， ， ， =（ ） （ = = = y 1） 2 1=x2+2y= 32y+4 y 1， 1， 32y+4 ， 的取值范围是： 1， 故答案为： 1， 【 点评】 本题主要考查椭圆的基本性质，向量数量积的基本运算技巧，选好基底是解决向量问题的基本技巧之一，及二次函数的值域问题，属于中档题， 16已知 f（ x） = ，若函数 g（ x） =f（ x） t 有三个不同的零点则 的取值范围是 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 画出函数的图象，求出 x 0 时 f（ x）的最大值，判断零点的范围，然后推出结果 【解答】 解：函数 f（ x） = ，图象如图， 函数 g（ x） =f（ x） t 有三个不同的零点 且 方程 f（ x） =t 有三个不同的实数根 当 x 0 时， f（ x） = ，因为 x+ 2（ x 0）， 所以 f（ x） ，当且仅当 x=1 时取得最大值 当 y= 时， 2； x2=， 此时 = ， 由 =t（ 0 ），可得 =0， x2+， + = 2， =t+ 0 ， 的取值范围是 故答案为 【点评】 本题考查函数的零点个数的判断与应用，基本不等式的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用 三、解答题：解答应写出 文字说明，证明过程或演算步骤 17（ 12 分）（ 2017永州二模）在 ，角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、b、 c，已知 且 c b （ ）求角 C 的大小； （ ）若 b=4，延长 D，使 D，且 ，求 面积 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）由正弦定理化 ，即可求出 值，从而求出 C； （ ）根据图形设 BC=x，利用余弦定理求出 x 的值，再求出 值， 利用正弦定理求出 计算 面积 【解答】 解：（ ） ， ， 由正弦定理得， ， ， 又 c b， ； （ 6 分） （ ）如图所示， 设 BC=x，则 x， 在 ，由余弦定理得 ， 求得 ，即 ， 所以 ， （ 8 分） 在 ，由正弦定理得 ， ， （ 10 分） 面积为 = （ 12 分） 【点评】 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题 18（ 12 分）（ 2017永州二模）已知三棱柱 ， C=，侧面 底面 D 是 中点， 20o， （ ）求证： 面 （ ）求二面角 C 的余弦值 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）取 点 O，连接 导出 而 面 而 求出 此能证明 面 （ ）以 O 为坐标原点，分别以 向为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 C 的余弦值 【解答】 （本小题满分 12 分） 证明：（ ）取 点 O，连接 ， ， ， 0，故 等边三角形， 又 交于 面 故 以 又 侧面 底面 底面 ， 面 （ 6 分） 解：（ ）以 O 为坐标原点，分别以 向为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系， C（ 1， 2， 0）， A（ 1， 0， 0）， D（ 0， 1， 0）， B（ 1， 0， 0）， 0， 0，）， ， ， ， ， 设面 法向量为 ， 依题意有： ，令 x=1 ，则 y= 1 ， ， ， （ 9 分） 又面 法向量为 ， （ 10 分） ， 二面角 C 的余弦值为 （ 12 分） 【点评】 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用 19（ 12 分）（ 2017永州二模）某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销 10 天两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利 70 元，且每卖出一件产品厂家再返利 2 元；乙厂家无固定返利，卖 出40 件以内（含 40 件）的产品，每件产品厂家返利 4 元，超出 40 件的部分每件返利 6 元经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下： 甲 乙 8 9 9 8 9 9 3 8 9 9 2 0 1 0 4 2 1 1 1 0 1 0 （ ）现从甲厂家试销的 10 天中抽取两天，求这两天的销售量都大于 40 的概率； （ ）若将频率视作概率，回答以下问题： （ ）记乙厂家的日返利额为 X（单位：元），求 X 的分布列和数学期望； （ ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的 统计学知识为商场作出选择，并说明理由 【考点】 离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）记 “抽取的两天销售量都大于 40”为事件 A，利用等可能事件概率计算公式能求出这两天的销售量都大于 40 的概率 （ ）（ ）设乙产品的日销售量为 a，推导出 X 的所有可能取值为： 152， 156，160， 166， 172，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 （ ）求出甲厂家的日平均销售量，从而得到甲厂家的日平均返利，由（ ）得乙厂家的日平均返利额，由此推荐该商场选择乙厂家长期销售 【解答】 （本小题满分 12 分） 解：（ ）记 “抽取的两天销售量都大于 40”为事件 A， 则 （ 4 分） （ ）（ ）设乙产品的日销售量为 a，则 当 a=38 时， X=38 4=152； 当 a=39 时， X=39 4=156； 当 a=40 时， X=40 4=160； 当 a=41 时， X=40 4+1 6=166； 当 a=42 时， X=40 4+2 6=172； X 的所有可能取值为： 152， 156， 160， 166， 172， X 的分布列为 X 152 156 160 166 172 p （ 9 分） （ ）依题意，甲厂家的日 平均销售量为： 38 9 0 1 2 甲厂家的日平均返利额为： 70+2=149 元， 由（ ）得乙厂家的日平均返利额为 162 元（ 149 元）， 推荐该商场选择乙厂家长期销售 （ 12 分） 【点评】 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用 20（ 12 分）（ 2017永州二模）如图抛物线 C： x 的弦 中点 P（ 2， t）（ t 0），过点 P 且与 直的直线 l 与抛物线交于 C、 D，与 x 轴交于 Q （ ）求点 Q 的坐标； （ ）当以 直径的圆过 A， B 时，求直线 l 的方程 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ ）设 线方程，与抛物线 C： x 联立，利用韦达定理，求出直线 l 的方程，即可求点 Q 的坐标； （ ）（方法一） A， B， C， D 四点共圆，有 ，即可求直线 l 的方程 （方法二）利用参数方程求 【解答】 解：（ ）易知 与 x 轴垂直，设 线方程为： y=k（ x 2）+t， 与抛物线 C： x 联立，消去 y 得： 244） x+（ t 2k） 2=0， =（ 4 22 4（ t 2k） 2 0（ i） 设 A（ B（ 则 上述方程两根， x1+， 即 ，代入（ i）中，求得 且 t 0， 直线 l 的方程为： y t= （ x 2）， 令 y=0，得 x=4，知定点坐标为（ 4， 0）； （ ）（方法一） | = = ， （ 7 分） 线： ，与抛物线 x 联立，消去 y 得： 86） x+16， 设 C（ D（ x3+， 6， （ 8 分） 设 中点为 M（ ， ， | ， | = = = ， A， B， C， D 四点共圆，有 ， 代入并整理得 122=0，求得 或 （舍去）， t= 2 直线 l 的方程为 y=x 4 或 y= x+4 （ 12 分） （方法二）利用参数方程求： 设 线的参数方程为： ， 代入抛物线 C： x 得， 48=0， ， 则直线 参数方程为： ， 或 有 ， ， 依题意有： | 有 或 ， 直线 l 的方程为 y=x 4 或 y= x+4 （ 12 分） 【点评】 本题考查直线过定点，考查直线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 21 （ 12 分）（ 2017永州二模）已知函数 ，其中 a 1 （ ） f（ x）在（ 0， 2）上的值域为（ s， t），求 a 的取值范围； （ ）若 a 3，对于区间 2， 3上的任意两个不相等的实数 有 |f（ f（ | |g（ g（ |成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ ） f（ x） = a+1） x+a，令 f（ x） =0 得 ， x2=a，由题意函数 f（ x）在区间（ 0， 2）无最值，知 f（ x）在（ 0， 2）上要么有两个极值点或者没有极值点，即可求 a 的取值范围； （ ）不妨设 2 3，由（ ）知：当 a 3 时， f（ x）在区间 2， 3上恒单调递减，有 |f（ f（ |=f（ f（ 分类讨论，构造函数，即可求实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ ） f（ x） = a+1） x+a，令 f（ x） =0 得 ， x2=a， （ 1分） 依题意函数 f（ x）在区间（ 0， 2）无最值， 知 f（ x）在（ 0， 2）上要么有两个极值点或者没有极值点， 知 1 a 2， （ 3 分） ， ， f（ 0） = 1， ， （ i）若 a=1，函数 f（ x）在区间（ 0， 2）上恒单调递增，显然符合题意； （ 4分） （ 1 a 2 时，有 ， 即 ， ， 得 ； 综上有 （ 6 分） （ ）不妨设 2 3， 由（ ）知：当 a 3 时， f（ x）在区间 2， 3上恒单调递 减， 有 |f（ f（ |=f（ f（ （ 7 分） （ i）若 3 a 4 时， 在区间 2， 3上恒单调递减， |g（ g（ |=g（ g（ 则 |f（ f（ | |g（ g（ |等价于 f（ g（ f（ g（ 令函数 F（ x） =f（ x） g（ x）， 由 F（ F（ F（ x）在区间 2， 3上单调递减， F（ x） = a+1）x+a（ a 4） x= 2a 3） x+a， 当 a 3 时， 2a 3） x+a 0， 即 ，求得 ； （ 10 分） （ a 4 时， 单调递增， |g（ g（ |=g（ g（ 则