2017挑战中考数学压轴试题1.1因动点产生的相似三角形问题

1 1 因动点产生的相似三角形问题 课前导学 相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等 判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验 如果已知 A D，探求 似，只要把夹 A 和 D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分 F和 E两种情况列方程 应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等 应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题 求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解记忆比较好 如图 1，如果已知 A、 B 两点的坐标，怎样求 A、 B 两点间的距离呢？ 我们以 斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边 长了水平距离 长就是 A、 B 两点间的水平距离，等于 A、 B 两点的横坐标相减；竖直距离 是 A、 B 两点间的竖直距离，等于 A、 B 两点的纵坐标相减 图 1 例 1 2014 年湖南省衡阳市中考第 28 题 二次函数 y c（ a 0）的图象与 x 轴交于 A( 3, 0)、 B(1, 0)两点，与 y 轴交于点 C(0, 3m)（ m 0），顶点为 D （ 1）求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示）； （ 2）如图 1，当 m 2 时，点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设 面积为 S，试求 出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值； （ 3）如图 2，当 m 取何值时，以 A、 D、 C 三点为顶点的三角形与 似？ 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 衡阳 28”，拖动点 P 运动，可以体验到，当点 P 运动到 面积最大拖动 y 轴上表示实数 m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到， 可以成为直角 思路点拨 1用交点式求抛物线的解析式比较简便 2连结 以割补为： 和，再减去 3讨论 似，先确定 直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似 4直角三角形 在两种情况 图文解析 （ 1）因为抛物线与 x 轴交于 A( 3, 0)、 B(1, 0)两点，设 y a(x 3)(x 1) 代入点 C(0, 3m)，得 3m 3a解得 a m 所以该二次函数的解析式为 y m(x 3)(x 1) 23m （ 2）如图 3，连结 当 m 2 时， C(0, 6)， y 24x 6，那么 P(x, 24x 6) 由于 S 1 ()2 y 32(24x 6) 36x 9， S 1 ()2 x 3x， S 9， 所以 S S S S S 39x23 2 73( )24x 所以当 32x时， S 取得最大值，最大值为 274 图 3 图 4 图 5 （ 3）如图 4，过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为 E过点 A 作 x 轴的垂线交 F 由 y m(x 3)(x 1) m(x 1)2 4m，得 D( 1, 4m) 在 ， 1 3m 如果 似，那么 直角三角形，而且两条直角边的比为 1 3m 如图 4，当 90时， D所以 331解得 m 1 此时 3C A O ， 3所以 B所以 如图 5，当 90时， C所以 421m m解得 22m 此时 2 22D A F E C m ， 而 3232OC 因此 相似 综上所述，当 m 1 时， 考点伸展 第（ 2）题还可以这样割补： 如图 6，过点 P 作 x 轴的垂线与 于点 H 由直线 y 2x 6，可得 H(x, 2x 6) 又因为 P(x, 24x 6)，所以 26x 因为 公共底边 的和为 A、 ，所以 S S S S 32( 26x) 23 2 73( )24x 图 6 例 2 2014 年湖南省益阳市中考第 21 题 如图 1， 在直角梯形 ， B 60， 10， 4，点 B 从点 A 向点 B 运动，设 x 21cnjy （ 1）求 长； （ 2）点 P 在运动过程中，是否存在以 A、 P、 D 为顶点的三角形与以 P、 C、 B 为顶点的三角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由 ； （ 3）设 外接圆的面积分别为 S S 的最小 值 . 动感体验 图 1 请打开几何画板文件名“ 14 益阳 21”，拖动点 P 在 运动，可以体验到，圆心 C 的垂直平分线上的一条线段观察 S 随点 P 运动的图象，可以看到，S 有最小值，此时点 P 看上去象是 中点， 其实离得很近而已 思路点拨 1第（ 2）题先确定 直角三角形，再验证两个三角形是否相似 2第（ 3）题理解 外接圆的圆心 O 很关键，圆心 O 在确定的 垂直平分线上，同时又在不确定的 垂直平分线上而 相关的，这样就可以以 自变量，求 S 的函数关系式 图文解析 （ 1）如图 2，作 H，那么 在 ， B 60， 4，所以 2， 23所以 23 （ 2）因为 直角三角形，如果 似，那么 定是直角三角形 如图 3，当 90时， 10 2 8 所以 823 433， 而 3 此时 相似 图 2 图 3 图 4 如图 4，当 90时， 28所以 2 所以 223 33所以 60此时 综上所述，当 x 2 时， （ 3）如图 5，设 外接圆的圆心为 G，那么点 G 是斜边 中点 设 外接圆的圆心为 O，那么点 O 在 的 垂直平分线上，设这条直线与 ，与 于点 F 设 2m作 M，那么 5 m 在 ， 2， B 60，所以 4 在 ， 4 (5 m) m 1， 30， 所以 3 ( 1)3 m 所以 21( 5 ) ( 1 )3 在 ， 12 4以 3 于是 S (2 2 213 ( 5 ) ( 1 )3m m m 2( 7 3 2 8 5 )3 所以当 167m时， S 取得最小值，最小值为 1137 图 5 图 6 考点伸展 关于第（ 3）题，我们再讨论个问题 问题 1，为什么设 2m 呢？这是因为线段 210 这样 5 m，后续可以减少一些分数 运算这不影响求 S 的最小值 问题 2，如果圆心 O 在线段 延长线上， S 关于 m 的解析式是什么？ 如图 6，圆心 O 在线段 延长线上时，不同的是 (5 m) 4 1 m 此时 21( 5 ) (1 )3 这并不影响 S 关于 m 的解析式 例 3 2015 年湖南省湘西市中考第 26 题 如图 1， 已知直线 y x 3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，抛物线 y 、 B 两点，点 P 在线段 ，从 点 O 出发，向点 A 以 每 秒 1 个单位的速度匀速运动；同时，点 Q 在线段 ，从点 A 出发，向点 B 以 每 秒 2 个单位的速度匀速运动，连结 运动时间为 t 秒 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）问：当 t 为何值时， 直角三角形； （ 3）过点 P 作 y 轴，交 点 E，过点 Q 作y 轴，交抛物线于点 F，连 结 ，求点 F 的坐标； （ 4）设抛物线顶点为 M，连 结 ：是否存在 t 的值，使以 B、 Q、 M 为顶点的三角形与以 O、B、 P 为顶点的三角形相似？若存在， 请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名 “15 湘西 26”，拖动点 P 在 运动，可以体验到， 两个时刻可以成为直角三角形，四边形 一个时刻可以成为平行四边形， 一次机会相似 思路点拨 1在 ， A 45，夹 A 的两条边 可以用 t 表示，分两种情况讨论直角三角形 2 先用含 t 的式子表示点 P、 Q 的坐标，进而表示点 E、 F 的坐标，根据 方程就好了 3 是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论 图文解析 （ 1） 由 y x 3，得 A(3, 0)， B(0, 3) 将 A(3, 0)、 B(0, 3)分别代入 y c，得 9 3 0 , 解得 2,所以抛物线的解析式为 y 2x 3 （ 2） 在 ， 45， 3 t， 2 t 分两种情况讨论 直角三角形 当 90时， 2 方程 3 t 2t，得 t 1（如图 2） 当 90时， 2 方程 2 t 2 (3 t)，得 t 图 3） 图 2 图 3 （ 3）如图 4，因为 当 ，四边形 平行四边形 所以 以 因为 t， 3 t，所以 3 t， t， (3 t)2 2(3 t) 3 4t 因为 方程 3 t ( 4t) t，得 t 1，或 t 3（舍去）所以点 2, 3) 图 4 图 5 （ 4） 由 y 2x 3 (x 1)2 4，得 M(1, 4) 由 A(3, 0)、 B(0, 3)，可知 A、 直距离相等， 3 2 由 B(0, 3)、 M