2017挑战中考数学压轴试题复习（第十版）1.3因动点产生的直角三角形问题

1 3 因动点产生的直角三角形问题 课前导学 我们先看三个问题： 1已知线段 线段 直角边的直角三角形 多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 2已知线段 线段 斜边的直角三角形 多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 3已知点 A(4,0)，如果 等腰直角三角形，求符合条件的点 B 的坐标 图 1 图 2 图 3 如图 1，点 C 在垂线上，垂足除外如图 2，点 C 在以 直径的圆上， A、 B 两点除外 如图 3，以 边画两个正方形，除了 O、 A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点 B，共 6 个 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起 如果直角边与坐标轴不平行 ， 那么过三个顶点作 与 坐标轴平行的直线 ， 可以构造两个新的相似直角三角形 ， 这样列比例方程比较 简便 如图 4，已知 A(3, 0)， B(1, 4)，如果直角三角形 顶点 C 在 y 轴上，求点 C 的坐标 我们可以用几何的方法，作 直径的圆，快速找到两个符合条件的点 C 如果作 y 轴于 D，那么 设 m，那么 341 这 个 方 程 有 两 个 解 ， 分 别 对 应 图 中 圆 与 y 轴 的 两 个 交点 图 4 例 19 2015 年 湖南省益阳市 中考第 21 题 如图 1， 已知抛物线 y 过点 A(1,m)，以原点为顶点的抛物线 过点 B(2,2)，点 A、 B 关于 y 轴的对称点分别为点 A、 B （ 1）求 m 的值及抛物线 表示的二次函数的表达式； （ 2）如图 1，在第一象限内，抛物线 是否存在点 Q，使得以点 Q、 B、 B为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （ 3）如图 2， P 为第一象限内的抛物线 与点 A 不重合的一点，连结 延长与抛物线 交于点 P，求 P面积之比 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名 “ 15 益阳 21” ，拖动点 P 在抛物线 运动， 可以体验到，点P 始终是线段 中点 还可以体验到，直角三角形 两个 思路点拨 1判断 点 P 是线段 中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点 P、P的坐标 2分别求线段 点 P 到 距离点 P到 距离，就可以比较 P面积之比 图文解析 （ 1）当 x 1 时， y 1，所以 A(1, 1)， m 1 设抛物线 表达式为 y 入点 B(2,2)，可得 a 12所以 y 12 （ 2）点 Q 在第一象限内的抛物线 ，直角三角形 在两种情况 ： 图 3 图 4 如图 3，过点 B 作 垂线交抛物线 ，那么 Q(2, 4) 如图 4，以 直径的圆 D 与抛物线 于点 Q，那么 12 2 设 Q(x, 因为 D(0, 2)，根据 4 列方程 (2)2 4 解得 x 3 此时 Q( 3,3) （ 3）如图 5，因为点 P、 P分别在抛物线 P(b, P(c, 212c) 因为 O、 P、 P三点在同一条直线上，所以 N ， 即 22 12 所以 c 2b所以 P(2b, 2 如图 6，由 A(1, 1)、 B(2,2)，可得 2， 4 由 A(1, 1)、 P(b, 可得点 P 到直线 距离 1 由 B(2,2)、 P(2b, 2可得点 P到直线 距离 PN 22 所以 P面积比 2(1) 4(22) 1 4 图 5 图 6 考 点延伸 第（ 2）中当 90时，求点 Q(x, 坐标有三种常用的方法： 方法二，由勾股定理，得 BB 所以 (x 2)2 (2)2 (x 2)2 (2)2 42 方法三，作 BB 于 H，那么 BH 所以 (2)2 (x 2) (2 x) 例 20 2015 年 湖南省湘潭市 中考第 26 题 如图 1，二次函数 y c 的图象与 x 轴 交于 A( 1, 0)、 B(3, 0)两点，与 y 轴交于点 C，连结 点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 向点 B 运动，动点 Q 以每秒 2个单位长度的速度从点 B 向点 C 运动， P、 Q 两点同时出发，连结 点 Q 到达点 C 时，P、 Q 两点同时停止运动设运动的时间为 t 秒 （ 1）求二次函数的解析式； （ 2）如图 1，当 直角三角形时，求 t 的值； （ 3）如图 2，当 t 2 时，延长 y 轴于点 M，在抛物线上是否存在一点 N，使得中点恰为 中点，若存在，求出点 N 的坐 标与 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名 “ 15 湘潭 26” ，拖动点 P 在 运动， 可以体验到， 两次机会可以成为直角三角形还可以体验到，点 N 有一次机会可以落在抛物线上 思路点拨 1分两种情况讨论等腰直角三角形 2如果 中点恰为 中点，那么 直角边可以构造全等的直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程 图文解析 （ 1）因为抛物线 y c 与 x 轴交于 A( 1, 0)、 B(3, 0)两点，所以 y (x 1)(x 3) 2x 3 （ 2）由 A( 1, 0)、 B(3, 0)、 C(0, 3)，可得 4， 45 在 ， B 45， 4 t， 2 t 直角三角形 在两种情况： 当 90时， 2 方程 2 t 2 (4 t)，得 t 2（如图 3） 当 90时， 2 方程 4 t 2t，得 t 43（如图 4） 图 3 图 4 图 5 （ 3）如图 5，设 中点为 G，当点 G 恰为 中点时， 作 y 轴于 E，作 x 轴于 F，作 x 轴于 H，那么 由已知条件，可得 P(t 1, 0)， Q(3 t, t) 由 得 3 t (t 1)解得 2 将 x 2 代入 y (x 1)(x 3)，得 y 3所