2017年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

2017 年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的 A、 B、C、 D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卷相应位置 1已知集合 A=x|2x 0， B= 1， 0， 1， 2，则 A B=（ ） A 1 B 0 C 0， 2 D 0， 1， 2 2已知 z 满足 （ i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A B C 2 D 1 3若 a， b， c R，且 a b，则下列不等式一定成立的是（ ） A a+c b c B 0 D（ a b） 0 4函数 的图象大致是（ ） A B C D 5已知向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 3），则（ ） A B C （ ） D （ ） 6已知等差数列 前 n 项和为 4， 3，则 ） A 4 B 5 C 6 D 7 7如图所示的程序框图中，如输入 m=4， t=3，则输出 y=（ ） A 61 B 62 C 183 D 184 8在射击训练中， 某战士连续射击了两次，设命题 p 是 “第一次射击击中目标 ”，命题 q 是 “第二次射击击中目标 ”，则命题 “两次射击至少有一次没有击中目标 ”可表示为（ ） A（ p） （ q） B p （ q） C（ p） （ q） D p q 9已知双曲线 ，以原点 O 为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A， B， C， D 四点，这四点围成的四边形面积为 b，则双曲线的离心率为（ ） A B 2 C 3 D 10已知函数 f（ x） = （ 0）， x R，若 f（ x）在区间（ ，2）内没有零点，则 的取值范围是（ ） A（ 0， B（ 0， ， ） C（ 0， D（ 0， ， 11某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ） A 3 B 2 C D 4 12已知函数 f（ x） =x（ a e x），曲线 y=f（ x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与 y 轴垂直，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ + ） B（ 0） C（ e 2， + ） D（ e 2， 0） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案填在答题卷相应横线上 13某变速车厂生产变速轮盘的特种零件，该特种零件的质量均匀分布在区间（ 60， 65）（单位： g），现随机抽取 2 个特种零件，则这两个特种零件的质量差在 1g 以内的概率是 14设 m 1，当实数 x， y 满足不等式组 ，目标函数 z=x+最大值等于 3，则 m 的值是 15已知直线 l 平面 ，垂足为 O，三角形 三边分别为 ， ，若 A l， C ，则 最大值为 16已知数列 足， ，数列 等差数列， 且 =an+5，则 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分 解答须写出说明、证明过程和演算步骤 17在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 2A B） = （ ）求 的值； （ ）若 c=2， ，求 面积 18如图，四棱锥 P ，平面 平面 ， 0 （ ）证明： （ ）若 C= ，求三棱锥 B 体积 19某学校高一、高二、高三三个年级共有 300 名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了 20 名教师一周的备课时间，数据如下表（单位：小时）； 高一年级 7 高二年级 7 8 9 10 11 12 13 高三年级 6 1 7 ）试估计该校高三年级的教师人数； （ ）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级班选出的人记为乙，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率； （ ）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是 8， 9， 10（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 ，表格中的数据平均数记为 ，试判断 与 的大小（结论不要求证明） 20如图，已知椭圆 （ a b 0）的左右顶点分别是 A（ ， 0）， B（ ， 0），离心率为 设点 P（ a， t）（ t 0），连接 椭圆于点 C，坐标原点是 O （ ）证明： （ ）若三角形 面积不大于四边形 面积，求 |t|的最小值 21已知函数 的图象在点 处 的切线斜率为 0 （ ）讨论函数 f（ x）的单调性； （ ）若 在区间（ 1， + ）上没有零点，求实数 m 的取值范围 请考生在第 22， 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 选修 4标系与参数方程 22在极坐标系中，曲线 =2线 =（ ） 极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 线 C 的参数方程为（ t 为参数） （ ）求 直角坐标方程； （ ） C 与 于不同四点，这四点在 C 上的排列 顺次为 H， I， J， K，求| |的值 选修 4等式证明选讲 23已知 x， y R， m+n=7， f（ x） =|x 1| |x+1| （ ）解不等式 f（ x） （ m+n） x； （ ）设 ，求 F=4y+m|， |2x+n|的最小值 2017 年安徽省蚌埠市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的 A、 B、C、 D 的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题 卷相应位置 1已知集合 A=x|2x 0， B= 1， 0， 1， 2，则 A B=（ ） A 1 B 0 C 0， 2 D 0， 1， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 化简集合 A、根据交集的定义求出 A B 即可 【解答】 解：集合 A=x|2x 0=x|0 x 2， B= 1， 0， 1， 2， A B=0， 1， 2 故选： D 2已知 z 满足 （ i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A B C 2 D 1 【考点】 复数求模 【分析】 求出复数 z，再求出复 数的模即可 【解答】 解： ， z= = = + i， 故 |z|= = ， 故选： A 3若 a， b， c R，且 a b，则下列不等式一定成立的是（ ） A a+c b c B 0 D（ a b） 0 【考点】 两角和与差的正弦函数；正弦定理 【分析】 A、令 a= 1， b= 2， c= 3，计算出 a+c 与 b c 的值，显然不成立； B、当 c=0 时，显然不成立； C、当 c=0 时，显然不成立； D、由 a 大于 b，得到 a b 大于 0，而 非负数，即可判断此选项一定成立 【解答】 解： A、 当 a= 1， b= 2， c= 3 时， a+c= 4， b c=1，显然不成立，本选项不一定成立； B、 c=0 时， ac=选项不一定成立； C、 c=0 时， =0，本选项不一定成立； D、 a b 0， （ a b） 2 0， 又 0， （ a b） 2c 0，本选项一定成立， 故选 D 4函数 的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 由题意，函数在（ 1， 1）上单调递减，在（ ， 1），（ 1， + ）上单调递减，即可得出结论 【解答】 解：由题意，函数在（ 1， 1）上单调递减，在（ ， 1），（ 1， + ）上单调递减， 故选 A 5已知向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 3），则（ ） A B C （ ） D （ ） 【考点】 平面向量的坐标运算 【分析】 根据题意，结合关键掌握向量平行、垂直的坐标公式依次分析选项，即可得答案 【解答】 解：根据题意，依次分析选项： 对于 A、向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 3），有 1 （ 1） （ 2） 3，即 不成立，故 A 错误； 对于 B、向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 3），有 =（ 2） （ 1） +1 3=6，即 不成立，故 B 错误； 对于 C、向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 3），则 =（ 1， 2），有（ 2） 3 1 （ 1），即 （ ）不成立，故 A 错误； 对于 D、向量 =（ 2， 1）， =（ 1， 3），则 =（ 1， 2），有 （ ）=（ 1） （ 2） +1 （ 2） =0，即 （ ），故 C 正确； 故选： D 6已知等差数列 前 n 项和为 4， 3，则 ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列前 n 项和公式列出方程组，求出 1， d=2，由此能求出 值 【解答】 解： 等差数列 前 n 项和为 4， 3， ， 解得 1， d=2， 1+2 3=5 故选： B 7如图所示的程序框图中，如输入 m=4， t=3，则输出 y=（ ） A 61 B 62 C 183 D 184 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 y 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变 化情况，可得答案 【解答】 解： m=4， t=3， y=1， 第一次循环， i=3 0， y=6； 第二次循环， i=2 0， y=20； 第三次循环， i=1 0， y=61； 第四次循环， i=0 0， y=183， 第五次循环， i= 1 0，输出 y=183， 故选： C 8在射击训练中，某战士连续射击了两次，设命题 p 是 “第一次射击击中目标 ”，命题 q 是 “第二次射击击中目标 ”，则命题 “两次射击至少有一次没有击中目标 ”可表示为（ ） A（ p） （ q） B p （ q） C（ p） （ q） D p q 【考点】 容斥原理；复合命题的真假 【分析】 由已知，结合容斥定理，可得答案 【解答】 解： 命题 p 是 “第一次射击击中目标 ”， 命题 q 是 “第二次射击击中目标 ”， 命题 “两次射击至少有一次没有击中目标 ”（ p） （ q）， 故选： A 9已知双曲线 ，以原点 O 为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A， B， C， D 四点，这四点围成的四边形面积为 b，则双曲线的离心率为（ ） A B 2 C 3 D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得圆得方程，则双曲线的两条渐近线方程为 y= 利用四边形 b，求得 A 点坐标，代入圆的方程，即可求得 b 得值， 【解答】 解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为 x2+，双曲线的两条渐近线方程为 y= 设 A（ x， 四边形 面积为 b， 2x2bx=b， x= ，将 A（ ， ）代入 x2+，可得 + =1， b= 故选 A 10已知函数 f（ x） = （ 0）， x R，若 f（ x）在区间（ ，2）内没有零点，则 的取值范围是（ ） A（ 0， B（ 0， ， ） C（ 0， D（ 0， ， 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可 【解答】 解：函数 f（ x） = = x+ ）， 可得 T= ， 0 2， f（ x）在区间（ ， 2）内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得： 或 ， 解得 （ 0， ， ） 故选： B 11某棱锥的三视图如图所示， 则该棱锥的外接球的表面积为（ ） A 3 B 2 C D 4 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图知几何体是三棱锥为棱长为 1 的正方体一部分，并画出直观图，由正方体的性质求出外接球的半径，由球的表面积公式求出该棱锥的外接球的表面积 【解答】 解：根据三视图知几何体是： 三棱锥 P 棱长为 1 的正方体一部分， 直观图如图所示： 则三棱锥 P 外接球是此正方体的外接球， 设外接球的半径是 R， 由正方体的性质可得， 2R= ，解得 R= ， 所以该棱锥的外接球的表面积 S=4， 故选 A 12已知函数 f（ x） =x（ a e x），曲线 y=f（ x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与 y 轴垂直，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ + ） B（ 0） C（ e 2， + ） D（ e 2， 0） 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 由曲线 y=f（ x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与 f（ x） =a+（ x 1） e x=0 有两个不同的解，即得 a=（ 1 x） e x 有两个不同的解，即可解出 a 的取值范围 【解答】 解 ： 曲线 y=f（ x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与 y 轴垂直， f（ x） =a+（ x 1） e x=0 有两个不同的解，即得 a=（ 1 x） e x 有两个不同的解， 设 y=（ 1 x） e x，则 y=（ x 2） e x， x 2， y 0， x 2， y 0 x=2 时，函数取得极小值 e 2， 0 a e 2 故选 D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请将答案填在答题卷相应横线上 13某变速车厂生产变速轮盘的特种零件，该特种零件的质量均匀分布在区间（ 60， 65）（单位： g），现随机抽取 2 个特种零件，则这两个特种零件的质量差在 1g 以内的概率是 【考点】 几何概型 【分析】 设取出的两个数为 x、 y，则有 60 x 65， 60 y 65，其面积为 25，60 x 65， 60 y 65， x y 1 表示的区域面积为 25 4 4=9，由几何概型的计算公式可得答案 【解答】 解：设取出的两个数为 x、 y 则有 60 x 65， 60 y 65，其面积为 25， 而 60 x 65， 60 y 65， x y 1 表示的区域面积为 25 4 4=9 则这两个特种零件的质量差在 1g 以内的概率是 ， 故答案为 14设 m 1，当实数 x， y 满足不等式组 ，目标函数 z=x+最大值等于 3，则 m 的值是 4 【考点】 简单线性规划 【分析】 画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于 可得出答案 【解答】 解：由 z=x+ y= x+ ， m 1， 目标函数的斜率 k= （ 1， 0）， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由平移可知当直线 y= x+ ， 经过点 A 时，目标函数取 得最大值，此时 z=x+， 由 ，解得 ，即 A（ ， ）， 同时， A 也在直线 x+ 上， 代入得 + m=3，解得 m=4， 故答案为： 4 15已知直线 l 平面 ，垂足为 O，三角形 三边分别为 ， ，若 A l， C ，则 最大值为 1+ 【考点】 直线与平面垂直的判定 【分析】 先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以 O 为原点， x 轴建立直角坐标系， B、 O 两点间的距离表示处理，结合三角函数的性质求出其最大值即可 【解答】 解：将原问 题转化为平面内的最大距离问题解决， 以 O 为原点， y 轴， x 轴建立直角坐标系，如图 设 ， B（ x， y），则有： x=y= x2+=2 =2 2+ ） +3， 当 2+ ） =1 时， x2+大，为 2 +3， 则 B、 O 两点间的最大距离为 1+ 故答案为 1+ 16已知数列 足， ，数列 等差数列 ，且 =an+5，则 225 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 由已知得 =b1+b2+ +而 =15（ 由此能求出结果 【解答】 解： 数列 足， ，数列 等差数列，且 =an+5， =b1+b2+ + b1+b2+ + =15（ =15 15=225 故答案为： 225 三、解答题：本大题共 5 小题 ，共 70 分 解答须写出说明、证明过程和演算步骤 17在 ，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 2A B） = （ ）求 的值； （ ）若 c=2， ，求 面积 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ ）根据三角形内角和定理 A+B），打开化解，根据正弦定理，可得 的值； （ ） c=2， ，由余弦定理求出 a， b 的值，根据 面积可得答案 【解答】 解：（ ）由 2A B） = 可得 2A B） =A+B），可得： 2 0 得 2 由正弦定理： 2a=b，即 = （ ）已知 c=2， ， 由余弦定理：得 a2+ 又由（ ）可知： 2a=b， 从而解得： a= ， b= 那么： 面积 = 18如图，四棱锥 P ，平面 平面 ， 0 （ ）证明： （ ）若 C= ，求三棱锥 B 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ ）推导出 平面 底面 平面 此能证明 （ ）记 点 O，作 点 E，则 底面 此能求出三棱锥 B 体积 【解答】 证明：（ ） D，即 等腰三角形， 又 分 平面 底面 面 底面 C， 平面 面 解：（ ）如图，记 点 O，作 点 E， 则 底面 C=2 ， ， 0， ， 由 D1，又 D ， 得 ， 三棱锥 B 体积 = = 19某学校高一、高二、高三三个年级共有 300 名教师，为调查他们的备课时间情况，通过分层抽样获得了 20 名教师一周的备课时间，数据如下表（单位：小时）； 高一年级 7 高二年级 7 8 9 10 11 12 13 高三年级 6 1 7 ）试估计该校高三年级的教师人数； （ ）从高一年级和高二年级抽出的教师中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级班选出的人记为乙，求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率； （ ）再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师，他们该周的备课时间分别是 8， 9， 10（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 ，表格中的数据平均数记为 ，试判断 与 的大小（结论不要求证明） 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发 生的概率；频率分布表 【分析】 （ ）抽出的 20 位教师中，来自高三年级的有 8 名，根据分层抽样方法，能求出高三年级的教师共有多少人 （ ）从高一、高二年级分别抽取一人，共有 35 种基本结果，利用列举法求出该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的基本结果种数，由此能求出该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率 （ ）利用平均数定义能判断 与 的大小 【解答】 解：（ ）抽出的 20 位教师中，来自高三年级的有 8 名， 根据分层抽样方法，高三年级的教师共有 300 =120（人） （ ）从高一、高二年级分别抽取一人，共 有 35 种基本结果， 其中甲该周备课时间比乙长的结果有： （ 7），（ 8， 7），（ 7），（ 8），（ 9， 7），（ 9， 8），共 6 种， 故该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的基本结果有 35 6=29 种， 该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率 p= （ ） 20如图，已知椭圆 （ a b 0）的左右顶点分别是 A（ ， 0）， B（ ， 0），离心率为 设点 P（ a， t）（ t 0），连接 椭圆于点 C，坐标原点是 O （ ）证明： （ ）若三角形 面积不大于四边形 面积，求 |t|的最小值 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 （ ）由 a= ，椭圆的离心率 e= = ，求得 b，求得椭圆的标准方程，求得直线 方程，求得 C 点坐标，直线 斜率 ，直线斜率 ，则 1，则 （ ）分别求得三角形 面积和四边形 面积，由题意即可求得 |t|的最小值 【解答】 解：（ ）由题意可知： a= ， e= = = ，则 b=1， 椭圆的标准方程： ， 设直线 方程 y= （ x+ ）， 则 ， 整理得：（ 4+ 8=0， 解得： ， ，则 C 点坐标（ ， ）， 故直线 斜率 ，直线 斜率 ， 1， （ ）由（ ）可知：四边形 面积 丨 丨 = ， 则三角形 2 = ， 由 ，整理得： 4，则丨 t 丨 ， 丨 t 丨 ， |t|的最小值 21已知函数 的图象在点 处的切线斜率为 0 （ ）讨论函数 f（ x）的单调性； （ ）若 在区间（ 1， + ）上 没有零点，求实数 m 的取值范围 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出函数的定义域，求出 利用切线的斜率为 0，求出 a，利用导函数的符号，求函数 f（ x）的单调递增区间，单调递减区间 （ ）求出 ，求解极值点，利用函数的单调性，团购 g（ x）在区间（ 1， + ）上没有零点，推出 g（ x） 0 在（ 1， + ）上恒成立，得 ，令 ，利用导函数的单调性，求出最值，然后推出 m 的范围 【解答】 解：（ ） 的定义域为（ 0， + ）， 因为 ，所以 a=1， ， 令 f（ x） 0，得 ，令 f（ x） 0，得 ， 故函数 f（ x）的单调递增区间是 ，单调递减区间是 （ ） ，由 ，得， 设 ，所以 g（ x）在（ 0， 是减函数，在 + ）上为增函数 因为 g（ x）在区间（ 1， + ）上没有零点，所以 g（ x） 0 在（ 1， + ）上恒成立， 由 g（ x） 0，得 ，令 ，则 = 当 x 1 时， y 0，所以 在（ 1， + ）上单调递减； 所以当 x=1 时， 1，故 ，即 m 2， + ） 请考生在第 22， 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时 请写清题号 选修 4标系与参数方程 22在极坐标系中，曲线 =2线 =（ ） 极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立直