2017年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年天津市部分区高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知集合 A=x|0 x 3， x N， B=x|y= ，则集合 A （ =（ ） A 1， 2 B 1， 2， 3 C 0， 1， 2 D（ 0， 1） 2设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x y 的最大值为（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 3阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 4在 ， A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若 B= ， b=6， 2，则 a=（ ） A 3 B 2 C 4 D 12 5已知 p： 4x+3 0， q： f（ x） = 存在最大值和最小值，则 p 是 q 的（ ） A充分而不必要条件 B充要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 6已知抛物线 0x 的焦点 F 恰好为双曲线 =1（ a b 0）的一个焦点，且点 F 到双曲线的渐近线的距离是 4，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 7在 ， ， 20， O 是 中点， M 是 一点，且 =3 ，则 的值是（ ） A B C D 8已知函数 f（ x） = ，若函数 g（ x） =f（ x） +2x 实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， + ） B（ ， 1） C（ ， 3） D（ 0， 3） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） . 9已知 a， b R， i 是虚数单位，若复数 = a+b= 10 （ ） 7 的展开式中， x 1 的系数是 （用数字填写答案） 11某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为 12直线 y=4x 与曲线 y=4第一象限内围成的封闭图形的面积为 13在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数， a R），曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），设直线 l 与曲线 C 交于 A、 B 两点，当弦长 |短时，直线 l 的普通方程为 14已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间 0， + ）上单调递增，若实数 x 满足 f（ x+1|） f（ 1），则 x 的取值范围是 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 15已知函数 f（ x） =x ） （ ）求函数 f（ x）的最小正周期； （ ）当 x ， 时，求函数 f（ x）的最大值和最小值 16某校高三年级准备举行一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如表所示： 班级 高三（ 1） 高三（ 2） 高三（ 3） 人数 3 3 4 （ ）若从这 10 名学生中随机选出 2 名学生发言，求这 2 名学生不属于同一班级的概率； （ ）若从这 10 名学生 中随机选出 3 名学生发言，设 X 为来自高三（ 1）班的学生人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 17如图，五面体 ， 平面 直角梯形， ，C= （ ）若 E 为 中点，求证： 平面 （ ）求二面角 P C 的余弦值； （ ）若点 Q 在线段 ，且 平面 成角为 ，求 长 18已知正项数列 足 + = 2（ n 2， n N*），且 1，前 9 项和为 81 （ ）求数列 通项公式； （ ）若数列 前 n 项和为 2n+1），记 ，求数列 前 n 19已知椭圆 C： + =1（ a b 0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为 b （ ）求椭圆 C 的离心率； （ ）若点 M（ ， ）在椭圆 C 上，不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，与直线 交于点 N，且 N 是线段 中点，求 积的最大值 20已知函数 f（ x） = x2+a R） （ ）当 a=1 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）求函数 f（ x） 的单调区间； （ ）若函数 f（ x）有两个极值点 求证： 4f（ 2f（ 1+3 2017 年天津市部分区高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 1已知集合 A=x|0 x 3， x N， B=x|y= ，则集合 A （ =（ ） A 1， 2 B 1， 2， 3 C 0， 1， 2 D（ 0， 1） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分 析】 先分别求出集合 A 和 B，从而得到 此能求出集合 A （ 【解答】 解： 集合 A=x|0 x 3， x N=1， 2， 3， B=x|y= =x|x 3 或 x 3， x| 3 x 3， 集合 A （ =1， 2 故选： A 2设变量 x， y 满足约束条件 ，则目标函数 z=x y 的最大值为（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标， 代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ 3， 3）， 化目标函数 z=x y 为 y=x z 由图可知，当直线 y=x z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小， z 有最大值为 0 故选： B 3阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 【考点】 程序框图 【分析】 利用循环结构可知道需要循环 4 次，根据条件求出 i 的值即可 【解答】 解：第一次循环， s= 2 5， s= 1， i=2， 第二次循环， s= 1 7， s=1， i=4， 第三次循环， s=1 9， s=5， i=6， 第四次循环， s=5 11， s=13， i=8， 第五次循环， s=13 13，此时输出 i=8， 故选： C 4在 ， A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若 B= ， b=6， 2，则 a=（ ） A 3 B 2 C 4 D 12 【考点】 正弦定理 【分析】 由已知及正弦定理可得： c= ，进而利用余弦定理即可求得 a 的值 【解答】 解： 2， 由正弦定理可得： c= ， B= ， b=6， 由余弦定理 b2=a2+2得： 62= a） 2 2a ，整理可得：a=4 ，或 4 （舍去） 故选： C 5已知 p： 4x+3 0， q： f（ x） = 存在最大值和最小值，则 p 是 q 的（ ） A充分而不必要条件 B充要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 解不等式，求出关于 p 的 x 的范围，根据函数的性质求出关于 q 的 据集合的包含关系判断充分必要条件即可 【解答】 解：由 4x+3 0，解得： 1 x 3， 故命题 p： 1 x 3； f（ x） = =x+ ， x 0 时， f（ x）有最小值 2， x 0 时， f（ x）有最大值 2， 故命题 q： x 0， 故命题 p 是命题 q 的充分不必要条件， 故选： A 6已知抛物线 0x 的焦点 F 恰好为双曲线 =1（ a b 0）的一个焦点，且点 F 到双曲线的渐近线的距离是 4，则双曲线的方程为（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 【考点】 圆锥曲线的综合 【分析】 确定抛物线 0x 的焦点坐标、双曲线 =1（ a 0， b 0）的一条渐近线的方程，利用抛 物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 4，求出 b， a，即可求出双曲线的方程 【解答】 解：抛物线 0x 的焦点坐标为（ 5， 0），双曲线 =1（ a 0，b 0）的一条渐近线的方程为 bx+， 抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 4， =4，即 b=4， c=5， a=3， 双曲线方程为： =1 故选： D 7在 ， ， 20， O 是 中点， M 是 一点，且 =3 ，则 的值是（ ） A B C D 【考点】 向量在几何中 的应用 【分析】 利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积 【解答】 解：建立如图所示的直角坐标系： 在 ， ， 20， O 是 中点， M 是 一点，且 =3 ， 则 A（ 0， 0）， B（ 1， 0）， C（ 1， ）， O（ 0， ）， M（ 0， ）， =（ 1， ）， =（ 1， ） = 1 = 故选： D 8已知函数 f（ x） = ，若函数 g（ x） =f（ x） +2x 实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， + ） B（ ， 1） C（ ， 3） D（ 0， 3） 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 由题意可得需使指数函数部分与 x 轴有一个交点，抛物线部分与 x 轴有两个交点，判断 x 0，与 x 0 交点的情况，列出关于 a 的不等式，解之可得答案 【解答】 解： g（ x） =f（ x） +2x a= ，函数 g（ x） =f（ x） +2x a 有三个零点， 可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分， 函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为 x= a 1，最多两个零点， 如上图，要满足题意，函数 y=2x+2x 是增函数， x 0 一定 与 x 相交，过（ 0， 1），g（ x） =2x+2x a，与 x 轴相交， 1 a 0，可得 a 1 还需保证 x 0 时，抛物线与 x 轴由两个交点，可得： a 1 0， =4（ a+1） 2 4（ 1 a） 0， 解得 a 3，综合可得 a 3， 故选： C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） . 9已知 a， b R， i 是虚数单位，若复数 = a+b= 4 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，再根据两个复数相等的充要条件求得 a、 b 的值 ，可得 a+b 的值 【解答】 解： = 则 = = = 2 b=0， 2+b=2a， b=2， a=2， a+b=4， 故答案为： 4 10（ ） 7 的展开式中， x 1 的系数是 280 （用数字填写答案） 【考点】 二项式定理的应用 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 1，求出 r 的值，即可求得 x 1 的系数 【解答】 解： （ ） 7 的展开式的通项公式为 = （ 2） r ，令= 1，求得 r=3， 可得 x 1 的系数为 （ 8） = 280， 故答案为： 280 11某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为 2 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三棱锥的三视图知，该三棱锥是底面为等腰直角三角形，高为 3的三棱锥， 结合图中数据，求出它的体积 【解答】 解：根据三棱锥的三视图知， 该三棱锥是底面为等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥， 结合图中数据，计算三棱锥的体积为 V= 2 2 3=2 故答案为： 2 12直线 y=4x 与曲线 y=4第一象限内围成的封闭图形的面积为 1 【考点】 定积分 【分析】 先根据题意画出区域，然 后然后依据图形得到积分上限为 1，积分下限为 0 的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可 【解答】 1 解：先根据题意画出图形，得到积分上限为 1，积分下限为 0， 曲线 y=4直线 y=4x 在第一象限所围成的图形的面积是 01（ 4x 4 而 01（ 4x 4 2|01=2 1 1=1 曲边梯形的面积是 1， 故答案为： 1 13在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数， a R），曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），设直线 l 与曲 线 C 交于 A、 B 两点，当弦长 |短时，直线 l 的普通方程为 x+y 4=0 【考点】 直线的参数方程 【分析】 普通方程为 y 1=a（ x 3），过定点 P（ 3， 1），当弦长 |短时，出 斜率，可得 斜率，即可得出结论 【解答】 解：直线 l 的参数方程为 ，普通方程为 y 1=a（ x 3），过定点 P（ 3， 1） 曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），普通方程为（ x 2） 2+， 当弦长 |短时， =1， 1 直线 l 的普通方程为 x+y 4=0， 故答案为： x+y 4=0 14已知 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间 0， + ）上单调递增，若实数 x 满足 f（ x+1|） f（ 1），则 x 的取值范围是 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 利用函数是偶函数得到不等式 f（ x+1|） f（ 1），等价为 f（ |x+1|） f（ 1），然后利用函数在区间 0， + ）上单调递增即可得到不等式的解集 【解答】 解： 函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间 0， + ）上单调递增 不等式 f（ x+1|） f（ 1），等价为 f（ |x+1|） f（ 1）， 即 |x+1| 1 1 x+1| 1， 解得 x 的取值范围是 故答案为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答写出文字说明、证明过程或演算过程 15已知函数 f（ x） =x ） （ ）求函数 f（ x）的最小正周期； （ ）当 x ， 时，求函数 f（ x）的最大值和最小值 【考点】 三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值 【分析】 （ ）利用和与差公式打开，根据二倍角公式和辅助角公式化解为 y=x+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期， （ ）当 x ， 时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可求出 f（ x）的最大值和最小值 【解答】 解：（ ） = =， 函数 f（ x）的最小正周期 （ ）由（ ）知 ， ， ， ， 故当 时，函数 f（ x）的最大值为 当 时，函数 f（ x）的最小值为 16某校高三年级准备举行一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如表所示： 班级 高三（ 1） 高三（ 2） 高三（ 3） 人数 3 3 4 （ ）若从这 10 名学生中随机选出 2 名学生发言，求这 2 名学生不属于同一班级的概率； （ ）若从这 10 名学生中随机选出 3 名学生发言，设 X 为来自高三（ 1）班的学生人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ ）从 10 名学生随机选出 2 名的方法数为 ，选出 2 人中不属于同一班级的方法数为 ，由此能求出这 2 名学生不属于同一班级的概率 （ ） X 可能的取值为 0， 1， 2， 3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望 【解答】 （本小题满 分 13 分） 解：（ ）从 10 名学生随机选出 2 名的方法数为 ， 选出 2 人中不属于同一班级的方法数为 设 2 名学生不属于同一班级的事件为 A 所以 （ ） X 可能的取值为 0， 1， 2， 3， ， ， ， 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以 17如图，五面体 ， 平面 直角梯形， ，C= （ ）若 E 为 中点，求证： 平面 （ ）求二面角 P C 的余弦值； （ ）若 点 Q 在线段 ，且 平面 成角为 ，求 长 【考点】 二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）取 中点 F，连接 明 可； （ ）（方法一） 以 P 为坐标原点， 在直线分别为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可； （方法二） 以 D 为坐标原点， 在直线分别为 x 轴和 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可； （ ）建系同（ 用向量求解 【解答】 解：（ ）证明：取 中点 F，连接 E， F 分别是 中点， ； ， C； 又 面 面 平面 （ ）（方法一） 以 P 为坐标原点， 在直线分别为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 ， 则 ， ， 设平面 一个法向量为 n=（ x， y， z），则 从而 令 x=2，得 n=（ 2， 0， 1） 同 理 可 求 平 面 一 个 法 向 量 为 平面 平面 同一个平面， 所以二面角 P C 的余弦值为 （方法二） 以 D 为坐标原点， 在直线分别为 x 轴和 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设 ，则 ， C（ 0， 0， 1）， B（ 1， 0， 1） ， ， 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z），则 ， ，令 ，得 x=z=1，即 易求平面 一个法向量为 所以二面角 P C 的余弦值为 （ ）（方法一）建系同（ 方法一），设 Q（ 0， x， 0）， 由（ 平面 一个法向量为 ， ； 若 平面 成的角为 ，则 = =解得 ，所以 Q（ 0， ， 0）， ， （方法二）建系同（ 方法二），设 ， 则 ， ， 由（ 平面 一个法向量为 若 平 面 成 的 角 为 ，则 解得 ，则 ，从而 18已知正项数列 足 + = 2（ n 2， n N*），且 1，前 9 项和为 81 （ ）求数列 通项公式； （ ）若数列 前 n 项和为 2n+1），记 ，求数列 前 n 【考点】 数列递推式；数列的求和 【分析】 （ ）由正项数列 足 + = 2（ n 2， n N*），得 ，整理得 +1=2得 等差数列再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出 （ n=1 时， 当 n 2 时， +2n+1）， +1=2n 1）， 作差可得 ，（ n 2） = ，再利用 “错位相减法 ”与等比数列的求和公式即可得出 【解答】 解：（ ）由正项数列 足 + = 2（ n 2， n N*），得 ， 整理得 +1=2以 等差数列 由 1，前 9 项和为 81，得 d=11， d=81， 解得 ， d=2 +2（ n 1） =2n 1 （ n=1 时， 当 n 2 时， +2n+1） ， +1=2n 1） ，得 ， ，（ n 2） 满足上式，因此 ，（ n 2） = ， 数列 前 n 项和 + + + ， 又 2+ + ， 以上两式作差，得 +2 ， ， 因此， 19已知椭圆 C： + =1（ a b 0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为 b （ ）求椭圆 C 的离心率； （ ）若点 M（ ， ）在椭圆 C 上，不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，与直线 交于点 N，且 N 是线段 中点，求 积的最大值 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程 【分析】 （ ）由题意，得 ，然后求解离心率即可 （ ）由（ ）得 a=2c，则 代入椭圆方程 ，解得 c=1求出椭圆方程， 直线 方程为 当直线 l 的斜率不存在时， 中点不在直线上，故直线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为 y=kx+m（ m 0），与 联立消 y，设 A（ B（ 利用韦达定理求出 中点，推出 ，且 m 0，利用弦长公式以及三角形的面积，推出结果即可 【解答】 （本小题满分 13 分） 解：（ ）由题意，得 ， 则 ，结合 b2= ， 即 23ac+， 亦即 23e+1=0，结合 0 e 1，解得 所以椭圆 C 的离心率为 （ ）由（ ）得 a=2c，则 将 代入椭圆方程 ，解得 c=1 所以椭圆方程为 易得直线 方程为 当直线 l 的斜率不存在时， 中点不在直线 上，故直线 l 的斜率存在 设直线 l 的方程为 y=kx+m（ m 0），与 联立消 y 得（ 3+412=0， 所以 =644（ 3+4 412） =48（ 3+4 0 设 A（ B（ 则 ， 由 ，得 中点 ， 因为 N 在直线 上，所以 ，解得 k= 所以 =48（ 12 0，得 ，且 m 0， | | = = 又原点 O 到直线 l 的距离 d= ， 所以 当且仅当 12 m2=m= 时等号成立，符合 ，且 m 0 所以 积的最大值为： 20已知函数 f（ x） = x2+a R） （ ）当 a=1 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若函数 f（ x）有两个极值点 ，求证： 4f（ 2f（ 1+3 【考点】 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，计算 f（ 1）， f