2017年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科） 一、选择题： 1计算： =（ ） A 2 B 2 C 2i D 2i 2若 3a 1） 0，则 a 的取值范围是（ ） A a B a C a 1 D a 或 a 1 3设 、 、 是三个互不重合的平面， l 是直线，给出下列命题 若 ， ，则 ； 若 l 上两点到 的距离相等，则 l ； 若 l ， l ，则 ； 若 ， l ， l，则 l 其中正确的命题是（ ） A B C D 4已知一个半径为 的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（ ） A 18 B 16 C 12 D 8 5已知函数 y=f（ x）图象如图甲，则 y=f（ x） 区间 0， 上大致图象是（ ） A B C D 6 已 知 两 个 集 合 ，若 A B ，则实数 的取值范围是（ ） A 2， 5 B（ ， 5 C D 7 a 0， a 1，函数 f（ x） = 在 3， 4上是增函数，则 a 的取值范围是（ ） A 或 a 1 B a 1 C D 或 a 1 8设函数 y=f（ x）在 可导， f（ =a，若点（ 0）即为 y=f（ x）的图象与 x 轴的交点，则 ） 等于（ ） A + B a C a D以上都不对 9已知椭圆 E 的离心率为 e，两焦点分别为 物线 C 以 顶点， P 为这两条曲线的一个交点，若 e| |=| |，则 e 的值为（ ） A B C D不能确定 10已知抛物线 O 是坐标原点， F 是焦点， P 是抛物线上的点，使得 直角三角形，则这样的点 P 共有 （ ） A 0 个 B 2 个 C 4 个 D 6 个 11掷一个骰子的试验，事件 A 表示 “小于 5 的偶数点出现 ”，事件 B 表示 “小于4 的点数出现 ”，则一次试验中，事件 A+ 发生的概率为（ ） A B C D 12三个学校分别有 1 名、 2 名、 3 名学生获奖，这 6 名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（ ） A 36 种 B 72 种 C 108 种 D 120 种 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请将答案填在题中横线上） 13在二项式（ 1+x） n 的展开 式中，存在着系数之比为 5： 7 的相邻两项，则指数 n（ n N*）的最小值为 14若函数 ，（ a 0 且 a 1）的值域为 R，则实数 a 的取值范围是 15已知抛物线 x 的准线是圆 x2+216+ 的一条切线，则圆的另一条垂直于 x 轴的切线方程是 16下列命题中 A+B= 是 立的充分不必要条件 的展开式中的常数项是第 4 项 在数列 ， ， 其前 n 项和且满足 = +2，则数列 等比数列 设过函数 f（ x） =x（ 1 x 1）图象上任意一点的切线的斜率为 K，则K 的取值范围是（ 3， 1） 把你认为正确的命题的序号填在横线上 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 74 分第 17每题 12 分，第 22 题 14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知向量 =（ 1 且与向量 =（ 2， 0）所成角为 ，其中 A，B， C 是 内角 （ ）求角 B 的大小； （ ）求 取值范围 18 、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次规定每场比赛必须 决出胜负，其中胜方积 2 分，负方积 1 分，已知球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为 ，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为 ，且各场次胜负情况彼此没有影响 （ 1）甲队至少胜一场的概率； （ 2）求球队甲赛后积分 的概率分布和数学期望 19设 a R，函数 f（ x） = （ a+1），其中 e 是自然对数的底数 （ 1）判断 f（ x）在 R 上的单调性； （ 2）当 1 a 0 时，求 f（ x）在 1， 2上的最小值 20如图，四棱锥 P 底面是矩形，侧面 正三角形，且侧面 底面 E 为侧 棱 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： 平面 （ 3）若 B，试求二面角 A D 的正切值； （ 4）当 为何值时， 21设 f（ x） = （ a 0）为奇函数，且 |f（ x） |，数列 足如下关系： ， ， （ 1）求 f（ x）的解析表达式； （ 2）证明：当 n N+时，有 22 已知方向向量为 的直线 l 过点 A （ ）和椭圆的焦点，且椭圆 C 的中心 O 和椭圆的右准线上的点 ， | |=| | （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设 M、 N 是椭圆 C 上两个不同点，且 M、 N 的纵坐标之和为 1，记 u 为 M、N 的横坐标之积问是否存在最小的常数 m，使 u m 恒成立？若存在，求出 不存在，说明理由 2017 年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题： 1计算： =（ ） A 2 B 2 C 2i D 2i 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 先求出（ 1 i） 2 的值，代入所求式子，利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质进行化简 【解答】 解： = = =2， 故 选 A 2若 3a 1） 0，则 a 的取值范围是（ ） A a B a C a 1 D a 或 a 1 【考点】 指、对数不等式的解法 【分析】 先把 0 变成底数的对数，再讨论底数与 1 的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于 a 的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果 【解答】 解： 3a 1） 0， 3a 1） 当 a 1 时，函数是一个增函数，不等式的解是 a 0， a 1； 当 0 a 1 时，函数是一个减函数，不等式的解是 a ， a 综上可知 a 的取值是 a 1 或 a 故选 D 3设 、 、 是三个互不重合的平面， l 是直线，给出下列命题 若 ， ，则 ； 若 l 上两点到 的距离相等，则 l ； 若 l ， l ，则 ； 若 ， l ， l，则 l 其中正确的命题是（ ） A B C D 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 对各个选项分别加以判断：对 和 举出反例可得它们不正确；结合空间直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定和性质，对 和 加以论 证可得它们是真命题 【解答】 解：对于 ，若 ， ，则 或 ， 相交，故 不正确； 对于 ，若 l 上两个点 A、 B 满足线段 中点在平面内，则 A、 B 到 的距离相等，但 l 与 相交，故 不正确； 对于 ，若 l ， l ，则根据面面垂直的判定定理可知 ，故 正确； 对于 ，若 且 l ，可得 l 或 l 在 内，而条件中有 l，所以必定 l，故 正确 故选 D 4已知一个半径为 的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（ ） A 18 B 16 C 12 D 8 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 设这正三棱柱棱长为 2a，由勾股定理得 7=而求出棱长为 2a=2 由此能求出这正三棱柱的体积 【解答】 解： 一个半径为 的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱， 设这正三棱柱棱长为 2a，如图， 则 a， a a， 7= 整理，得 ， a= 棱长为 2a=2 这正三棱柱的体积： V= =18 故选： A 5已知函数 y=f（ x）图象如图甲，则 y=f（ x） 区 间 0， 上大致图象是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 分：当 0 x 时， 0， f（ x） 0，故 y 0，当 x 时， 0， f（ x） 0，故 y 0，即可判断函数的图象 【解答】 解： y=f（ x）图象如图，则 y=f（ x）的图象把 f（ x）的沿 y 轴对折，再向右平移 的单位， 当 0 x 时， 0， f（ x） 0，故 y 0， 当 x 时， 0， f（ x） 0，故 y 0， 故选： D 6 已 知 两 个 集 合 ，若 A B ，则实数 的取值范围是（ ） A 2， 5 B（ ， 5 C D 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示；集合关系中的参数取值问题 【分析】 A B ，即是说方程组 有解，两式消去 得出 4 +，移向得出 =3，根据 的取值范围 【解答】 解： A B ，即是说方程组 有解 由 得 4 +出 =3+ ） 2+ ； 1， 1， 当 时， 的最小值为 ， 当 1 时， 的最大值为 5 故选： D 7 a 0， a 1，函数 f（ x） = 在 3， 4上是增函数，则 a 的取值范围是（ ） A 或 a 1 B a 1 C D 或 a 1 【考点】 对数函数图象与性质的综合应用 【分析】 对 a 分 a 1 与 0 a 1，利用复合函数的单调性结合函数 g（ x） =|x|的图象列出符合条件的不等式组，解之即可 【解答】 解： a 0， a 1，令 g（ x） =|x|作出其图象如下： 函数 f（ x） = 在 3， 4上是增函数， 若 a 1，则 或 ，解得 a 1； 若 0 a 1，则 ，解得 a ； 故选 A 8设函数 y=f（ x）在 可导， f（ =a，若点（ 0）即为 y=f（ x）的图象与 x 轴的交点，则 ） 等于（ ） A + B a C a D以上都不对 【考点】 极限及其运算 【分析】 根据 f （ =0 可将 ） 等 价变 形 为，再结合 f（ x）在 可导即可求解 【解答】 解 f（ =0， ） = ， f（ x）在 可导， ） = = = f（ = a， 故选： C 9已知椭圆 E 的离心率为 e，两焦点分别为 物线 C 以 顶点， P 为这两条曲线的一个交点，若 e| |=| |，则 e 的值为（ ） A B C D不能确定 【考点】 抛物线的简单性质；椭圆的简单性质 【分析】 利用椭圆的第二定义及 e| |=| |，求得丨 =丨 ，则（c）（ ） =c（ c），即可求得 a 与 c 的关系，即可求得 e 的值 【解答】 解：作 直椭圆准线 l 于 T，则由椭圆第二定义：丨 ：丨 e 又 =e， 故丨 =丨 ， 由抛物线定义知 l 为抛物线准线 故 l 的距离等于 距离， 即（ c）（ ） =c（ c），整理得： a= c， e= = ， 故选 C 10已知抛物线 O 是坐标原点， F 是焦点， P 是抛物线上的点，使得 直角三角形，则这样的点 P 共有（ ） A 0 个 B 2 个 C 4 个 D 6 个 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 如图所示，过焦点 F 作 x 轴，交抛物线于点 P， P则 是直角三角形而 = =2 1， 可得 45即 90于是 是直角三角形即可得出符合条件的点 P 的个数 【解答】 解：如图所示， 过焦点 F 作 x 轴，交抛物线于点 P， P则 是直角三角形 而 = =2 1， 45 90 是直角三角形 综上可知：使得 直角三角形的抛物线上的点 P 有且只有 2 个 故选 B 11掷一个骰子的试验，事件 A 表示 “小于 5 的偶数点出现 ”，事件 B 表示 “小于4 的点数出现 ”，则一次试验中，事件 A+ 发生的概 率为（ ） A B C D 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 基本事件总数 n=6，利用列举法求出一次试验中，事件 A+ 发生包含的基本事件个数，由此能求出一次试验中，事件 A+ 发生的概率 【解答】 解：掷一个骰子的试验， 基本事件总数 n=6， 事件 A 表示 “小于 5 的偶数点出现 ”，事件 B 表示 “小于 4 的点数出现 ”， 则一次试验中，事件 A+ 发生包含的基本事件有： 1， 2， 3， 4，共有 4 个元素， 一次试验中，事件 A+ 发生的概率为： p= = 故选： C 12三个学校分 别有 1 名、 2 名、 3 名学生获奖，这 6 名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（ ） A 36 种 B 72 种 C 108 种 D 120 种 【考点】 计数原理的应用 【分析】 分两类，第一类， A、 B 两个学校的三个学生分别被 C 学校的三个学生分别隔开，第二类，是 A、 B 两个学校中其中一名学生相邻，根据分类计数原理可得 【解答】 解：设三个学校分别为 A， B， C，对应的学生为 1， 2， 3 名， 分两类：第一类是 A、 B 两个学校的三个学生分别被 C 学校的三个学生分别隔开有 2 =72 种； 第二类是 A、 B 两 个学校中其中一名学生相邻有 =48 根据分类计数计数原理得共有 72+48=120 种 故选： D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分请将答案填在题中横线上） 13在二项式（ 1+x） n 的展开式中，存在着系数之比为 5： 7 的相邻两项，则指数 n（ n N*）的最小值为 11 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 利用二项式定理的展开式写出满足题意的表达式，然后求出 n 的最小值 【解答】 解：二项式（ 1+x） n 的展开式中，存在系数之比为 5： 7 的相邻两项， = ， = ， k= ， 当 k=5 时， 1， 故答案为： 11 14若函数 ，（ a 0 且 a 1）的值域为 R，则实数 a 的取值范围是 （ 0， 1） （ 1， 4 【考点】 对数函数的值域与最值 【分析】 函数 ，（ a 0 且 a 1）的值域为 R，则其真数在实数集上恒为正，将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可 【解答】 解：函数 ，（ a 0 且 a 1）的值域为 R，其真数在实数集上恒为正， 即 恒成立，即存在 x R 使得 4，又 a 0 且 a 1 故可求 的最小值，令其小于等于 4 4，解得 a 4， 故实数 a 的取值范围是（ 0， 1） （ 1， 4 故应填（ 0， 1） （ 1， 4 15已知抛物线 x 的准线是圆 x2+216+ 的一条切线，则圆的另一条垂直于 x 轴的切线方程是 x= 9 或 x=7 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求得抛物线的准线方程，将（ 1， 0）代入圆的方程，求得 P 的值，即可求得圆的另一条垂直于 x 轴的切线方程 【解答】 解：抛物线 x 的准线方程为 x= 1，而圆方程为（ x P） 2+6，又（ 1， 0）在圆上， （ P+1） 2=16，即 P= 5 或 P=3， 另一条切线方程为 x= 9 或 x=7， 故答案为： x= 9 或 x=7 16下列命题中 A+B= 是 立的充分不必要条件 的展开式中的常数项是第 4 项 在数列 ， ， 其前 n 项和且满足 = +2，则数列 等比数列 设过函数 f（ x） =x（ 1 x 1）图象上任意一点的切线的斜率为 K，则K 的取值范围是（ 3， 1） 把你认为正确的命题的序号填在横线上 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 对 4 个命题分别进行判断，即可得出结论 【解答】 解： A+B= ， 可得 A= B， 之 +B= +2k Z）， A+B= 是 立的充分不必要条件，正确 的展开式，通项为 ，令 r 3=0，可得 r=2，常数项是第 3 项，不正确 在数列 ， ， 其前 n 项和且满足 = +2，可得 1+2，两式相减可得 = 数列 等比数列，正确； f（ x） =x（ 1 x 1），则 f（ x） =2x 1 3， 1， K 的取值范围是 3， 1，不正确 故答 案为 三、解答题（本大题共 6 小题，满分 74 分第 17每题 12 分，第 22 题 14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17已知向量 =（ 1 且与向量 =（ 2， 0）所成角为 ，其中 A，B， C 是 内角 （ ）求角 B 的大小； （ ）求 取值范围 【考点】 两角和与差的正弦函数；数量积表示两个向量的夹角 【分析】 （ I）由 与 的夹角为 ，根据锐角三角函数定义列出关系式，利用半角公式及特殊角的三角函数值化简，求出 值，由 B 的范围，求 出 的范围，利用特殊角的三角函数值求出 的度数，进而确定出 B 的度数，得到 A+ （ A+C 的度数，表示出 C，代入 ，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，合并整理再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由 A 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的值域，确定出 范围即可 【解答】 解：（ I） =（ 1 且与向量 =（ 2， 0）所成角为 ， = ， ， 又 0 B ， 0 ， = ，即 B= ， A+C= ； （ （ 1）可得 A） = A+ ）， 0 A ， A+ ， A+ ） （ ， 1， 则 （ ， 1，当且仅当 A=C= 时， 18 、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积 2 分，负方积 1 分，已知球队甲与球队乙对阵 ，甲队取胜的概率为 ，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为 ，且各场次胜负情况彼此没有影响 （ 1）甲队至少胜一场的概率； （ 2）求球队甲赛后积分 的概率分布和数学期望 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ 1）甲队至少胜一场的对立事件是甲三场比赛全负，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲队至少胜一场的概率 （ 2）由题意知球队甲赛后积分 的可能取值为 3， 4， 5， 6，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学期望 【解答】 解：（ 1） 球队甲与球队乙对阵，甲队取 胜的概率为 ， 与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为 ， 且各场次胜负情况彼此没有影响 甲队至少胜一场的对立事件是甲三场比赛全负， 甲队至少胜一场的概率 p=1（ 1 ）（ 1 ）（ 1 ） = （ 2）由题意知球队甲赛后积分 的可能取值为 3， 4， 5， 6， P（ =3） =（ 1 ）（ 1 ）（ 1 ） = ， P（ =4） = （ 1 ）（ 1 ） +（ 1 ） （ 1 ） +（ 1 ） （ 1 ） = ， P（ =5） = （ 1 ） +（ 1 ） + （ 1 ） = ， P（ =6） = ， 的分布列为： 3 4 5 6 P 19设 a R，函数 f（ x） = （ a+1），其中 e 是自然对数的底数 （ 1）判断 f（ x）在 R 上的单调性； （ 2）当 1 a 0 时，求 f（ x）在 1， 2上的最小值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）对函数 f（ x）进行求导然后整理成 f（ x） = e x（ a1）的形式，因为 e x 0，根据导函数大于 0 原函数单调递增，导函数小于 0原函数单调递减通过讨论函 数 g（ x） = a 1 值的情况来确定原函数的单调性 （ 2）先根据 a 的范围确定导函数等于 0 的两根的范围，进而可判断函数在区间1， 2上的单调性，最后可得到最小值 【解答】 解：（ 1）由已知 f（ x） = e x（ a+1） + e x2 e x（ a 1） 因为 e x 0，以下讨论函数 g（ x） = a 1 值的情况： 当 a=0 时， g（ x） = 1 0，即 f（ x） 0，所以 f（ x）在 R 上是减函数 当 a 0 时， g（ x） =0 的判别式 =44（ a2+a） = 4a 0，所以 g（ x） 0， 即 f（ x） 0，所以 f（ x）在 R 上是减函数 当 a 0 时， g（ x） =0 有两个根 2= ，并且 ， 所以在区间（ ， ）上， g（ x） 0，即 f（ x） 0， f（ x）在此区间上是增函数； 在区间（ ， ）上， g（ x） 0，即 f（ x） 0， f（ x）在此区间上是减函数 在区间（ ， + ）上， g（ x） 0，即 f（ x） 0， f（ x）在此区间上是增函数 综上，当 a 0 时， f（ x）在 R 上是减函数； 当 a 0 时， f（ x）在（ ， ）上单调递增，在（ ， ）上单调 递减， 在（ ， + ）上单调递增 （ 2）当 1 a 0 时， =1+ 1， =1+ 2， 所以在区间 1， 2上，函数 f（ x）单调递减 所以函数 f（ x）在区间 1， 2上的最小值为 f（ 2） = 20如图，四棱锥 P 底面是矩形，侧面 正三角形，且侧面 底面 E 为侧棱 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证： 平面 （ 3）若 B，试求二面角 A D 的正切值； （ 4）当 为何值时， 【考点】 直线与平面平行的判定 ；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题 【分析】 （ 1）连 ，面 的直线 面外直线 行，即可证明 平面 2）要证 平面 以证明面 面 利用面面垂直的性质定理，证明 平面 （ 3）在 取点 M 使得 证出 二面角 A D 的平面角，在 解即可 （ 4）设 N 为 点，连接 使 且只需 矩形，设 ， AB=x 列方程并解即可 【解答】 解：（ 1）证明： 连 ，则在矩形 ， O 为 连 为 E 为 点，所以， 又因为 面 面 所以， 平面 （ 2） 正三角形 ， E 为 中点，所以， 又面 面 D，所以， 平面 （ 3）在 取点 M 使得 由于正三角形 矩形 B，所以 D=C 所以，在等腰直角三角形 ， 连接 为 平面 以， 所以， 二面角 A D 的平面角 在 ， 即二面角 A D 的正切值为 （ 4）设 N 为 点，连接 又面 底面 以， 底面 所以， 面 的射影 要使 且只需 矩形 ，设 ， AB=x 则 ， 解之得： 所以，当 = 时， 21设 f（ x） = （ a 0）为奇函数，且 |f（ x） |，数列 足如下关系： ， ， （ 1）求 f（ x） 的解析表达式； （ 2）证明：当 n N+时，有 【考点】 函数奇偶性的性质；数列递推式 【分析】 （ 1）利用 f（ x）为奇函数，且 |f（ x） |，求出 a， b， c 即可的 f（ x）的解析表达式 （ 2）先有 f（ x）的解析表达式，求得 的关系，在求出 通项公式，来证明 【解答】 解：由 f（ x）是奇函数，得 b=c=0， 由 |f（ x） ，得 a=2，故 f（ x） = （ 2） = ， = = bn=12=24 ，而 当 n=1 时， ，命题成立， 当 n 2 时 2n 1=（