北京市西城区2017届高考一模考试数学试题（文）含答案解析

西城区高三统一测试 数学（文科） 卷 （选择题 共 40 分） 一、 选择 题 ：本大题 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1 已知全集 1, 2 , 3, 4 , 5 , 6U ，集 合 1,3,5A ， 1,4B ，那么（ A） 3,5 （ B） 2,4,6 （ C） 1,2,4,6 （ D） 1,2,3,5,6 2在复平面内，复数 1对应点位于 （ A）第一象限 （ B）第二象限 （ C）第三象限 （ D）第四象限 3 双曲线 22 13的焦点坐标是 （ A） (0, 2) ， (0, 2) （ B） ( 2,0) ， ( 2,0) （ C） (0,2) ， (0, 2) （ D） (2,0) ， ( 2,0) 4函数21( ) ( ) lo g2 xf x x的零点个数为 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 5 函数 () , ) 上 则 “曲线 ()y f x 过原点 ” 是“ ()的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 6在 中 ， 点 D 满足 3D ，则 （ A） 1233A D A B A C （ B） 1233A D A B A C （ C） 2133A D A B A C （ D） 2133A D A B A C 7在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示如果小 正 方形网格的边长为 1，那么该 四面体 最长棱的棱长为 （ A） 43 （ B） 6 （ C） 42 （ D） 25 8 函数 () , )Ax y 的坐标满足条件 | | | |，称函数 ()质 P 下列函数中， 具有性质 P 的是 （ A） 2()f x x （ B）21() 1fx x （ C） ( ) x x （ D） ( ) 1)f x x 第卷 （非选择题 共 110 分） 二、填空题 ：本大题 共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9 函数 ()1x 的定义域为 _ 10 执行如图所示的程序框图 . 当输入 1， 输出的 y 值为 _ 11 圆 22: 2 2 1 0C x y x y 的圆心坐标是 _； 直线 :0l x y 与圆 C 相交于 , |_ 12 函数 s ()1 c o s 4x 的最小正周期是 _ 13 实数 ,2,2 2 0 ,则 22的最大值是 _；最小值是 _ 14 如图， 正方体 1 1 1 1A B C D A B C D 的棱长为 2，点 P 在正方形 边界及其内部运动 平面区域 W 由所有满足 1 5的点 P 组成 ，则 W 的面积是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 13 分） 已知 3a，4 24a 数列 b，4 8b ， 且 等差 数列 （ ） 求数列 （ ） 求数列 n 项和 16 （本小题满分 13 分） 在 ，角 ,对边分别为 ,且 c A （ ） 求角 C 的大小； （）求 的最大值 17 （本小题满分 13 分） 在测试中，客观题难度的计算公式为P N， 其中i 题的难度，N 为参加测试的总人数 现对某校高三年级 120名学生进行一次测试，共 5道客观题 测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示： 题号 1 2 3 4 5 试后，从中随机抽取了 10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“ ”表示答对，“”表示答错 ）： 学生编号 题号 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （） 根据题中数据，将抽样的 10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计 这 120名学生中第 5题的实测答对人数； 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 实测难度 （ ） 从编号为 1到 5的 5人中随机抽取 2人，求恰好有 1人答对第 5题的概率； （ ） 定义 统计量 2 2 21 1 2 21 ( ) ( ) ( ) P P P P ， 其中 第 i 题的实测难度 ，i 题的预估难度 ( 1, 2, , ) 规定： 若 ， 则称 该 次测试的难度预估合理 ，否则为不合理 判断本次测试的难度预估是否合理 . 18 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P 中，底面 正方形， 底面 C 过点 A 的平面 与棱 ,C 别交于点 ,E F G （ ,E F G 三点均不在棱的端点处） （ ）求证： 平面 平面 （ ） 若 平面 求 （ ） 直线 否可能与平面 行？证明你的结论 19 （本小题满分 14 分） 如图，已知椭圆 22: 1 ( 0 )a 的 离心率为 12， F 为 椭圆 C 的右焦点 ( ,0)， | | 3 （ ） 求 椭圆 C 的方程； （ ） 设 O 为原点， P 为椭圆上一点 ， 中点为 M 直线 直线 4x 交于点D ，过 O 作 F ，交直线 4x 于点 E 求证： /P 20 （本小题满分 13 分） 已知函数 21( ) x x 设 l 为曲线 ()y f x 在点 00( , ( )P x f x 处的切线，其中0 1,1x （ ） 求 直线 l 的方程（用 0x 表示）； （ ） 求直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围； （） 设直线 分别与曲线 ()y f x 和射线 1 ( 0 , ) )y x x 交于 , |最小值及此时 a 的值 西城区高三统一测试 高三数学 （文科） 参考答案及评分标准 、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 1 A 2 D 3 C 4 B 5 B 6 C 7 B 8 C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9 | 0，且 1x 10 1211 (1,1) ； 2 12 213 5 ； 4514 44注：第 11， 13 题第一空 2 分，第二空 3 分 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分 . 15 （本小题满分 13 分） 解： （）设等比数列 公比为 q ，由题意得 3 418aq a， 解得 2q 2分 所以 111 3 2 ( 1 , 2 , )a q n 4 分 设等差数列 的公差为 d ，由题意得 4 4 1 1( ) ( ) 1 6 4 44 1 3a b a 6分 所以 11( ) ( 1 ) 4b a b n d n 8 分 从而 14 3 2 ( 1 , 2 , )n n 9分 （）由（）知 14 3 2 ( 1 , 2 , )n n 数列 4n 的前 n 项和为 2 ( 1)；数列 13 2 n 的前 n 项和为 3 (2 1)n 12分 所以，数列 前 n 项和为 22 2 3 2 3 13分 16 （本小题满分 13 分） 解： （ ） 由 c A ， 得 s s o 1分 由正弦定理得 s i n s i n 2 s i ns i n c o 3分 所以 1 4分 因为 (0,)C ， 5分 所以 3C 6分 （ ） 2 s i n s i n ( )3 7分 33s i n c o 9分 3 )6A 11分 因为 3C， 所以 203A， 12分 所以 当 3A时 ， 取得最大值 3 13分 17 （本小题满分 13 分） 解： （ ） 每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表： 题号 1 2 3 4 5 实测答对人数 8 8 7 7 2 实测难度 4分 所以，估计 120人中有 120 4人答对第 5题 5 分 （ ） 记编号为 i 的学生 为 ( 1, 2 , 3, 4 , 5 )， 从这 5人中随机抽取 2人， 不同的抽取方法有 10 种 其中恰好有 1人答对第 5题的 抽取方法 为 12( , ) 13( , ) 14( , ) 25( , ) 35( , ) 45( , )共 6 种 9分 所以，从抽样的 10 名学生中随机抽取 2 名答对至少 4 道题的学生，恰好有 1 人答对第 5题 的概率为 6310 5P 10分 （ ） 抽样的 10名学生中第 i 题的实测难度 ，用 为 这 120名学生第 i 题的实测难度 2 2 2 2 21 ( 0 . 8 0 . 9 ) ( 0 . 8 0 . 8 ) ( 0 . 7 0 . 7 ) ( 0 . 7 0 . 6 ) ( 0 . 2 0 . 4 )5S 12分 因为 ， 所以， 该次测试的难度预估是合理的 13分 18 （本小题满分 14 分） 解： （ ） 因为 平面 所以 C 1 分 因为 正方形， 所以 C ， 2 分 所以 平面 3 分 所以 平面 平面 4 分 （ ） 连接 5 分 因为 平面 所以 F 7 分 又因为 C ， 所以 F 是 中点 8分 所以 12 9分 （ ） 平面 可能平行 10分 证明如下： 假设 /面 因为 /D ， 平面 所以 /面 12 分 而 B， 平面 所以 平面 /面 这显然矛盾！ 13 分 所以假设不成立， 即 平面 可能平行 14 分 19 （本小题满分 14 分） 解： （ ）设 椭圆 C 的半焦距为 c 依题意，得 12， 3 2 分 解得 2a ， 1c 所以 2 2 2 3b a c ， 所以 椭圆 C 的 方程 是 22143 5 分 （ ） 解法一： 由（ ）得 ( 2,0)A 设 中点00( , )M x y，11( , )P x y 设直线 方程为 ： ( 2 ) ( 0 )y k x k ，将其代入 椭圆方程 ，整理得 2 2 2 2( 4 3 ) 1 6 1 6 1 2 0k x k x k ， 7分 所以 21 2162 43kx k 8 分 所以 20 2843kx k ，00 26( 2 ) 43ky k x k ， 即 22286( , )4 3 4 3 9分 所以直线 斜率是 22263438 443， 10分 所以直线 方程是 34 令 4x ， 得 3(4, ) 11 分 由 (1,0)F ，得直线 斜率是 3 141 ， 12 分 因为 F ，所以直线 斜率为 k ， 13 分 所以直线 /P 14 分 解法二： 由（ ）得 ( 2,0)A 设 1 1 1( , ) ( 2 )P x y x ，其中 22113 4 1 2 0 因为 中点为 M ，所以 112( , )22 6 分 所以直线 斜率是 11 2x ， 7分 所以直线 方程是 11 2 令 4x ， 得 114(4, )2yD x 8 分 由 (1,0)F ，得直线 斜率是 1143( 2 )x 9 分 因为 直线 斜率是 112x ， 10分 所以 21214 13 ( 4 )D F A x ， 12 分 所以 F 13分 因为 F ， 所以 /P 14分 20 （本小题满分 13 分） 解： （ ） 对 () ( ) e xf x x ， 1 分 所以 切线 l 的斜率为 00 0()e x ， 2分 由此得 切线 l 的方程为：00 0 002 (1(e 2 ) e ( )x x x x ， 即 0 000 20( e ) ( 1 ) 1e 2xx . 3分 （ ） 由（ ）得， 直线 l 在 y 轴上的截距为00 20(1 ) 1e 2xx x 4分 设 2( ) (1 ) 1x x x， 1,1x 所以 ( ) (1 e )xg x x ， 令 ( ) 0 ， 得 0x ()()的变化情况如下表： x 1 ( 1,0) 0 (0,1) 1 () 0 ()1 1 12 所以函数 () 1,1 上单调递减， 6分 所以m a x 21 ( ) ( 1 ) x g ，m i n 1 ( ) (1 ) 2g x g， 所以直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围是 1 2 1 , 2 e 2 8 分 （）过 M 作 x 轴的 垂 线，与射线 1交于点 Q ， 所以 等腰直角三角形 9 分 所以 21| | | | | ( ) (