汉中市2017届高三第二次教学质量检测数学（理）试题含答案

汉中市 2017届高三年级教学质量第二次检测考试 数学（理科） 注意事项： 1、选择题请按题号用 2B 铅笔填涂方框，非选择题，除作图可使用 2B 铅笔外，其余各题按题号用 米黑色签字笔书写，否则作答无效。 2、按照题号在对应的答题区域内作答，超出各题区域的答案无效，在草稿纸、试题上答题无效。 第卷（选择题 共 60分） 一、选择题：本题共 12 题，每小题 5分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项符合题目要求 。 1、已知全集 ， 2 4 3 0 A x x x ， 3lo g 1B x x，则 （ ） A 3 B 1 | 12C | 1 D | 0 1 2、 已知复数 412iz i ，则 ）象限 A 一 B 二 C 三 D 四 3、 汉中最美油菜花节期间， 5 名游客到四个不同景点游览，每个景点至少有一人，则不同的游览方法共有（ ）种。 A 120 B 625 C 240 D 1024 4、 设向量 ( 1, )a ， ( 2 , 4 )b x x ，则 “ ” 是 “ 2x ” 的 ( )条件 A 充分不必要 B 必要不充分 C 充要 D 既不充分也不必要 5、平面直角坐标系中，在直线 x=1， y=1与坐标轴围成的正方形内任取一点，则此点落在曲线 2下方区域的概率为（ ） A 13B 23C 49D 596、 如图所示，三个直角三角形是一个体积为 320几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积（单位： 2等于 ( ) A 75 B 77 C 65 D 55 7、 公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术 就是著名的徽率 输出的 n 为 （ ） （参考数据： 3 , s 5 0 8 8 ） A 12 B 4 C 36 D 24 8、 在 中， ,别为内角 , 3,3，则 的最大值为 ( ) A 4 B 33 C 23 D 2 9、 如图， 1(a0， b0)的左、右焦点，过 l 与双曲线的 两支分别交于点 A、 双曲线的离心率为 ( ) A 7 B. 4 3 D. 3 10、 已知函数 f(x) 3x x m 在 0， 2 上有两个零点 值为 ( ) A 3 B 33 C 32 D 22 11、已知实数 x， y 满足 2 4 02 2 03 4 0 ，则 22z x y 的的最小值为（ ） A 1 B 255C 45D 4 12、 已知函数 l n ( 1 ) , 0()1 1 , 02 ， 若 ， 且 ( ) ( )f m f n ， 则 的取值范围是（ ） A 1,2)e B 3 2 , 2 C 1,2e D 3 2 , 2) 第 卷（ 非 选择题 共 90分） 第 9 题图 第 7 题图 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，将答案填写在答题卡中的横线上） 13、 为了研究某种细菌在特定环境下 ,随时间变化繁殖规律 ,得如下实验数据 ,计算得回归直线方程为 0 0 . 由以上信息 ,得到下表中 c 的值为 天数 x（天） 3 4 5 6 7 繁殖个数 y（千个） 4 4.5 c 14、 51+2的展开式中整理后的常数项为 15、 已知直线 l： y k(x 2) 与抛物线 C： 8x 交于 A， B 两点， F 为抛物线 C 的焦点，若 | 3|则 直线 l 的倾斜角为 16、已知偶函数 )0)( 导函数为 )(，且满足 0)1( f ，当 0x 时，)(2)( ，则使 0)( 立的 x 的取值范围为 三、解答题（解答题应写出必要的文字说明 、 证明过程或演算步骤） 17、 （本小题满分 12 分）某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间 2,4的有 8 人 0乙12108642频率 / 组距2 4 6 8 10 12甲0（ 1）求直方图中 a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间 10,12 的人数； （ 2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试，设 4人中甲班学生的人数为 ，求 的分布列和数学期望 18、 （本小题满分 12 分）已知数列 n 项和为对任意正整数 n ，都有B 1 C 1A 13 24成立记 2 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设11n ，数列 n 项和 为证 ： 1115 6 19、 （本小题满分 12 分） 已知直三棱柱1 1 1A B C A B C中， 等腰直角三角形， 90，且1A， D、 E、 F 分别为1中点（ 1）求证： 直线 面 2）求锐二面角1B 的余弦值 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 2222: 1 0a 的 离心率为 22，其右焦点为 F（ 1,0）。（ 1）求椭圆 E 的方程；（ 2）若 P、 Q、 M、 N 四点都在椭圆 E 上，已知 线， 线，且 0F ，求四边形 面积的最小值和最大值 21、（本小题满分 12 分） 已知函数 21 , l x x g x e x (1) 设函数 F x f x g x， 求 ； (2) 若存 在常数 k， m 使得 ()f x kx m对任意 恒成立，且 ()g x kx m对 任意 (0, )x 恒成立，则称直线 y kx m为函数 分界线”， 试问： “分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由 请考生在第 22、 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用 2 22、（本小题满分 10分）选修 4标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为21222 （ t 为参数） ， 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 2 . （ I）求直线 l 的普通方程与圆 ）点 P、 Q 分别在直线 l 和圆 C 上运动， 求 的最小值。 23、（本小题满分 10分）选修 4等式选讲 设函数 ( ) | 1 | | |f x x x a ，（ 1）若 1a ，解不等式 ( ) 3； （ 2）如果 ， ( ) 2，求 a 的取值范围 汉中市 2017届高三年级教学质量第二次检测考试 数学（理科）参考答案 一、选择题：本题共 12 题，每小题 5分，在每小题给出的四个选择项中，只有一项符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C B A B D C A B C D 二、填空题（本大题 4 小题，每小题 5分，共 20分，将答案填写在答题卡中的横线上） 13、 6 ； 14、 252 ； 15、3或 23； 16、 （ 0）（ 0,1） 三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17、 解析 ：（ 1）由 直方图知 ， （ a） 2=1， 解得 a= 2 分 因为 甲班学习时间在区间 2,4的 有 8 人 ，所以甲班的学生人数为 8 ，所以甲 、乙两班人数均为 40 人 。 3 分 所以 甲班学习时间在区间 10,12的 人数为 40=3（ 人） 5 分 （ 2） 乙 班学习时间在区间 10,12的 人数为 40=4（ 人） 6 分 由 （ 1）知 甲班学习时间在区间 10,12的 人数为 3 人 ， 在两班中每天平均学习时间大于 10 小时 的学生共 7 人 。 的 所 有可能取值为 0,1,2,3. 则 ： 0434471( 0 )35 , 13344712( 1 )35 , 22344718( 2 )35 , 3134474( 3 )35 . 8 分 所以随机变量 的分布列为 0 1 2 3 P 13512351835435所以 1 1 2 1 8 4 1 20 1 2 33 5 3 5 3 5 3 5 7E . 12 分 18、 【解析】（ 1）在 3 24中 ， 令 1n 得1 8a. 2 分 因为对任意正整数 n ，都有 3 24成立， 2n 时，113 24， 得 ，1134n n na a a，所以1 4， 4 分 又1 0a ，所以数列 a为首项 ， 4 为公比 的 等比数列， 即 1 2 18 4 2 ，所以 212l o g 2 2 1 . 7 分 （ 2）由题意及 （ 1）知 1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 3 ) 2 2 1 2 3nc n n n n ， 9 分 所以 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )2 3 5 5 7 2 1 2 3 2 3 2 3 3 ( 2 3 )n nT n n n n . 由于，则1111 5 6 故 1115 6 12 分 19、【解析】 （ 1） 方法一：设 中点为 G，连接 G，则112D G A A E C,四边形 , 平面 6 分 方法 二：（ 空间向量法）如图建立空间直角坐标系 O 4，则 A（ 0， 0，0）， E（ 0， 4， 2）， F（ 2， 2， 0）， B（ 4， 0， 0）， 4， 0， 4）， D（ 2， 0， 2） . 2分 ( 2 , 4 , 0 ) ，平面 法向量为1 (0, 0, 4). 1 0A ， 1A，又 ， 平面 6 分 （ 2 ）1 ( 2 , 2 , 4 ) , ( 2 , 2 , 2 ) , (2, 2, 0 ) , 1 0B F ,1 0B F 1B F 1B F F F 面 平面 一个法向量为1 ( 2 , 2 , 4 ) . 8分 设平面 法向量为 ( , , )n x y z ，则由1 0n A E n A B，即 200. 令 x 2，则 z=-2,y=1 ( 2 ,1, 2 )n o s ,6n B F 12 分 20 、 【 解 析 】 （ 1 ） 2 22 121c ， 故 椭 圆 方 程 为2 2 12x y 4 分 （ 2）如图，由条件知 椭圆的两条弦，相交于焦点 F(1,0)，且 直线斜率为 k（ k 0），则 方程为 y=k(此式代入椭圆方程得 212 22 2 2 2212 24121 2 4 2 2 02 ( 1 )12x k x ，于是 2228 (1 )112 ， 7 分 同理： 22222218 1 ( ) 8 ( 1 )11 ( ) 11 21 2 ( ) 则 22224 (1 ) 1 6 , 2 )(1 2 ) ( 2 ) 9P M N 10 分 当 1k 时，四边形 面积取最小值 169 当直线 斜率为 0 或不存在时，四边形 面积为 2 综上：四边形 面积的最小值和最大值分别为 169和 2 12 分 21、 【解析】 (1)由于函数 ， ， 因此 F x f x g x 21 x e x则 . 3分 当 时， 0，所以 在（ 0， ）上是减函数； 当 时， 0，所以 在（ ， ）上是增函数 . 5分 因此，函数 的单调减区间是（ 0， ），单调增区间是（ ， ） . (2)由 ( )可知，当 时， 取得最小值 （ ） 0， 则 与 的图象在 处有公共点（ ， ） . 假设 与 存在“分界线”，则其必过点（ ， ） 6 分 故设其方程为： ，即 ， 由 对 恒成立，得 对 恒成立， 所以 恒成立， 因此 ，“分界线”的方程为： . 9 分下面证明 对 恒成立 . 设 ，则 ， 所以当 时， ，当 时， 0， 当 时， 取得最大值 0，则 对 恒成立 . 故所求“分界线”的方程为： . 12分 22、 【解析】 (I)直线 l 的普通方程为 =0, 圆 C 的直角坐标方程易求得：22( 1) 1 5 分 ( ) 由平面几何知识知：最小值为圆心 C 到 l 的距离减半径， 11 22d 的最小值为 21 。 10 分 23、【 解析】 （ 1）当 1a 时， ( ) | 1 | | 1 |f x x x ，由 ( ) 3得： | 1 | | 1 | 3 ， （法一）由绝对值的几何意义知不等式的解集为 33 | 22x x x 或。 5 分 （法二）不等式可化为 123或 1123x 或 123， 不等式的解集为 3