2017年江西省全国统一考试文科数学仿真试卷（六）含答案

绝密 启用前 江西省 2017年普通高等学校招生全国统一考试 仿真卷 文 科 数学（六） 本试题卷共 6页， 23题（含选考题）。全卷满分 150分。考试用时 120分钟。 祝考试顺利 第 卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 。 1复数3 ，则其共轭复数 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】 C 【解析】 i 1 2z ，其共轭复数为 1 ，对应点为 11()22， 在第三象限，故选 C 2命题 :p 甲的 数学成绩不低于 100 分，命题 :q 乙的数学成绩低于 100 分，则 表示（ ） A甲、乙两人数学成绩都低于 100分 B甲、乙两人至少有一人数学成绩低于 100分 C甲、乙两人数学成绩都不低于 100分 D甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于 100分 【答案】 D 【解析】由题设可知 q ：表示乙的数学成绩不低于 100 分，则 表示甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于 100分，应选答案 D 3若集合 22| 2 2 , | l o gA x x B x y x Z ，则 （ ） A 1,1 B 1,0,1 C 1 D 0,1 【答案】 A 【解析】因为 22| 2 2 1 , 0 , 1 , | l o g | 0 A x x B x y x x x Z ，所以 1,1 ，故选 A 4某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为 2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ） A 203 B 163 C 8 6 D 8 3 【答案】 A 【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为 2，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是 321 2 02 1 233 ，选 A 5我国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则 北乡遣（ ） A 104人 B 108人 C 112人 D 120人 【答案】 B 【解析】由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为： 8 1 0 0 8 1 0 03 0 0 3 0 0 1 0 88 1 0 0 7 4 8 8 6 9 1 2 2 2 5 0 0 ，应选答案 B 6如图是用模拟方法估计圆周率 值的程序框图， P 表示估计结果，则图中空白框内应填入（ ） A 2000 B 42000 C 2000 D 42000 【答案】 B 【解析】由题意得以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率的程序框图， M 是圆周内的点的次数，当 i 大于 2000 时，圆周内的点的次数为 4M ，总试验次数为 2000 ，所以要求的概率 42000M ，所以空白框内应填入的表达式是 42000 ，故选 B 7 , 02 4 0 ，若 z ax y取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（ ） A 1 B 2 C 12 D 2 或 1 【答案】 C 【解析】作出不等式组对 应的平面区域如图：（阴影部分）由 z ax y得 ，即直线的截距最小， z 最大若 0a ，此时 ，此时，目标函数只在 满足条件，若 0a ，目标函数 的斜率 0要使z ax y取得最大值的最优解不唯一，则直线 与直线 042 行，此时 21a ，若 0a ，不满足，故选 C 8函数 12 c o x x 的图象大致为（ ） A B C D 【答案】 C 【解析】 1 2 2 1c o s c o 2 1x x x f x ，所以 除选项 A， B又02x ， 时， 0，图像在 x 轴下方，故本题正确答案为 C 9已知在三棱锥 P 中， 1P A P B B C ， 2， C ，平面平面 若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该 球的表面积为（ ） A 32 B 3 C 23 D 2 【答案】 B 【解析】由题意得， 截面圆的直径，且 3，设球心到平面 距离为 d ，设球的半径为 R ，因为 1P A P B B C ， 2，所以 B ，因为平面 平面 所以点 P 到平面 距离为 22 ，由勾股定理可得2 2 2 2 23 1 2( ) ( ) ( )2 2 2R d d ，解得 2 30 4， ，所以球的表面积为2 34 4 3 4 ，故选 B 10已知 的外接圆半径为 2， D 为该圆上的一点，且 A B A C A D，则的面积的最大值为 （ ） A 3 B 4 C 33 D 43 【答案】 B 【解析】解析：由题设 A B A C A D可知四边形 平行四边形，由圆内接四边形的性 质可知 90 ，且当 C 时，四边形 面积最大，则 面积的最大值为 2m a x 11s i n 9 0 2 2 422S A B A C ，应选答案 B 11函数 内可导，若 2f x f x，且当 1x ， 时， 10x f x ，设 0， 12 ， 3，则（ ） A B c a b C c b a D b c a 【答案】 B 【解析】由 2f x f x可知， x 对称，根据题意又知 1x ， 时， 0 ，此时 1x ， 时， 0 ， 以 13 1 02f f f f ，即 c a b ， 故选 B 12已知函数 定义域为 R ； xR ，都有 2f x f x ；当 11x， 时， 1f x x ，则方程 21 lo x x 在区间 35， 内解的个数是（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 【答案】 A 【解析】依题意 画出图像如下图所示，由图可知，解的个数为 5 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分 。 第 (13)(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答 。第 (22)(23)题为选考题，考生根据要求作答 。 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。 13 s i n 6 3 c o s 1 8 c o s 6 3 c o s 1 0 8 _ 【答案】22 【解析】原式2s i n 6 3 c o s 1 8 c o s 6 3 s i n 1 8 ) s i n ( 6 3 1 8 ) s i n 4 52 （ 14我国南北朝时代的数学家祖恒提出体积的计算原理（祖恒原理）：“幂势既同，则积不容异”“势”即是高，“幂”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等 类比祖恒原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图 1 是一个形状不规则的封闭图形，图 2 是一个矩形，且当实数 t 取 0,4 上的任意值时，直线 被图 1 和图 2 所截得的两线段长始终相等，则图 1 的面积为 _ 【答案】 8 【解析】类比祖恒原理，可得两个图形的面积相等，图 2矩形面积为 842 S ，所以图 1的面积为： 8 15已知数列 等差数列， 前 n 项和，若 215a ， 324a ，则4S 的取值范围是 【答案】 6,18 【 解 析 】 由 215a ，324a 2339 234 2 34 22a a 4 6,18S 16已知双曲线221（ 00， ）上一点 C ，过双曲线中心的直线交双曲线于 两点， 设直线 C， 的斜率分别为 12，则当 12122 ln 最小时，双曲线的离心率为 _ 【答案】 3 【解析】设 1 1 1 1C x y A x y B x y， ， ， ， ，显然 12x x x x， 点 在双曲线上，221122222211 ，两式相减得22212 2 21x a ， 22 21 1 212 2 2 21 1 1A C B Cy y y y y y bk k k kx x x x x x a 由 12122 l n l ny k 12122 ln ， 设 12t ， 则 2 ，求导得 221y ，由 2 2 0ty t 得 2t 2 在 02， 单调递减，在 2 ， 单调递增， 2t 时即 122时2 取最小值， 22 2 ， 2213be a 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（本小题满分 12 分）已知向量 ， ，13 s i ， ，函数 2f x a b a （ 1）求函数 （ 2）在 中，三内角 A ， B ， C 的对边分别为 a b c， ， ，已知函数 ， ， b a c、 、 成等差数 列，且 9，求 a 的值 【答案】（ 1） 2 2T ， 36k k k Z， ；（ 2） 32a 【解析】 2 13 2 | | 2 c o s 2 s i n 2 s i n 22 2 6f x a b a a a b x x x （ 1）最小正周期： 2 2T ， 由 2 22 2 6 2k x k k Z 得： 36k x k k Z ， 所以 36k k k Z， （ 2）由 1s i n 262f A A 可得： 2266 或 5 2 6 Z， 所以 3A ， 又因为 b a c， ， 成等差数列，所以 2a b c ， 而 1c o s 92A B A C b c A b c ， 18， 2 2 2 2 2214c o s 1 12 2 3 6 1 2b c a b c a a ， 32a 18（本小题满分 12 分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4局，每局射击 10次，射击命中目标得 1分，未命中目标得 0分两人 4局的得分情况如下： （ 1）已知在乙的 4局比赛中随机选取 1局时，此局得分小于 6分的概率不为零，且在 4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求 的值； （ 2）如果 10,6 从甲、乙两人的 4局比赛中随机各选取 1局，并将其得分分别记为 ，求 的概率； （ 3）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出 x 的所有可能取值（结论不要求证明） 【答案】（ 1） 15 （ 2） 12 ；（ 3） 6,7,8 【解析】（ 1）由题意得 4 9966497 即 14 在乙的 4局比赛中随机选取 1局时，此局得分小于 6分的概率不为零， 至少有一个小于 6，又 10, 10 ，且 , ， 15 ， 15 （ 2）设 “从甲、乙的 4局比赛中随机各选取 1局，且得分满足 ”为事件 M ， 记甲的 4 局比赛为 4321 , 各局的得分分别是 6， 6， 9， 9；乙的 4 局比赛为4321 , 各局的得分分别是 7， 9， 6， 10则从甲、乙的 4局比赛中随机各选取 1局，所有可能的结果有 16 种，它们是： ),( 11 ),( 21 ),( 31 ),( 41 ),( 12 ),( 22 ),( 32 ),( 42 ),( 13 ),( 23 ),( 33 ),( 43 ),( 14 ),( 24 ),( 34 ),( 44 而事件 M 的结果有 8种，它们是： ),( 31 ),( 32 ),( 13 ),( 23 ),( 33 ),( 14 ),( 24 ),( 34 事件 M 的概率 21168)( （ 3） x 的所有可能取值为 6， 7， 8 19（本小题满分 12分）如图，在四棱锥 S 中，底面 正方形， 面 2B，点 M 是 中点， C ，且交 点 N （ 1）求证 :平面 （ 2）求点 C 到平面 距离 【答案】（ 1）详见解析； （ 2） 433 【解析】（ 1）证明：连结 E ，连结 正方形， E 是 中点 M 是 中点， 的中位线 B 又 平面 平面 平面 （ 2）由条件有 D C S A D C D A， ， 平面 C 又 D M ， 是 中点， D 平面 M 由已知 N ， 平面 于是 面 则 点 C 到平面 距离， 在 中， 222 2 2 2 3S A A C S C S A A C ， ， 于是 2 433A C C N S C C N ， 点 C 到平面 距离为 433 20（本小题满分 12分）已知函数 x x a x有极小值 2e （ 1）求实数 a 的值； （ 2）若 kZ ，且 1 对任意 1x 恒成立，求 k 的最大值 【答案】（ 1） 1a ；（ 2） k 【解析】 （ 1） 1 x a x ，令 10x x ，令 10 0 e af x x ， 故 1 1 2e e ，得 1a （ 2）当 1x 时，令 ， 22 l ， 令 2 x x x ， 1110 ，故 y h x 在 1， 上是增函数由于 3 1 0h ， 4 2 0h ，存在 0 34x ， ，使得 0 0 则当 01， ， 0 ， 当 0， ， 0 ， 0 0 000m i x xg x g x ， 0，又 0 34x ， ，所以 k 21 （本小题满分 12 分）如图，点 2,0A ， 2,0B 分别为椭圆 22: 1 0a 的左右顶点， ,P M N 为椭圆 C 上非顶点的三点，直线 ,2, 12 14 ， M ， N （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）判断 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由 【答案】（ 1）2 2:14；（ 2）定值 1 【解析】（ 1）221 ,11442,A P B k ，椭圆 2 2:14 （ 2）设直线 方程为 y kx t， 11,M x y ， 22,N x y ， 2 2 22 2,4 1 8 4 4 01,4y k x tk x k t x tx y ， 12 2841k ，212 24441k ， 121 2 1 2 1 2 1 2 1 21211 4 0 4 044k y y x x k x t k x t x ， 221 2 1 24 1 4 4 0k x x k t x x t ， 22 2 2 2224 4 84 1 4 4 0 2 4 14 1 4 1t k tk k t t t ， 22221 2 1 2 1 21 1 4M N k x x k x x x x 2 222 2 2 28 4 4 11 4 2 24 1 4 1 4 1k t t kk k k k ， 2 1 ，22 2212 2 141 12 的面积为定值