宁夏银川市2017届高三数学一模试卷（文科）含答案解析

2017 年宁夏银川高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1集合 P=y|y= ， Q=x|y= x+2则 P Q 是（ ） A（ 0， 2），（ 1， 1） B （ 0， 2），（ 1， 1） C D y|y 2 2在复平面内，复数 z= 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 =（ 3， 1）， =（ 1， 2），则 与 的夹角 为（ ） A B C D 4设等差数列 前 n 项和为 4，则 a2+a4+ ） A 9 B 15 C 18 D 36 5某人从甲地去乙地共走了 500m，途经一条宽为 河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为 ，则河宽为（ ） A 80m B 100m C 40m D 50m 6若 x= ，则 值为（ ） A B C D 7某空间几何体 的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） A 10 B 15 C 20 D 30 8图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入 m=209，n=121，则输出 m 的值等于（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 9已知命题 p： R，使 f（ x） =x+）为偶函数；命题 q： x R， 3 0，则下列命题中为真命题的是（ ） A p q B（ p） q C p （ q） D（ p） （ q） 10设函数 f（ x） = ， x表示不超过 x 的最大整数，则 y=f（ x） 的值域是（ ） A 0， 1 B 0， 1 C 1， 1 D 1， 1 11抛物线 x 和圆 x 1） 2+，直线 l 经过 焦点 F，依次交 A， B， C， D 四点，则 的值为（ ） A B 1 C 2 D 4 12设奇函数 f（ x）在 1， 1上是增函数，且 f（ 1） = 1，若函数 f（ x） 2 对所有的 x 1， 1都成立，则当 a 1， 1时， t 的取值范围是（ ） A 2 t 2 B C t 2 或 t 2 或 t=0 D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知 P（ x， y）满足 ，则 z=x y 最小值是 14双曲线 =1 一条渐近线方程是 y= x，则其离心率为 15设 x， y 为正数，且 x， y 成等差数列， x， y 成等比数列，则 的最小值是 16图形的对称，正弦曲线的流畅都能体现 “数学美 ” “黄金分割 ”也是数学美得 一种体现，如图，椭圆的中心在原点， F 为左焦点，当 时，其离心率为 ，此类椭圆被称为 “黄金椭圆 ”，类比 “黄金椭圆 ”，可推算出 “黄金双曲 线 ”的离心率e 等于 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 面积 S 2 （ 1）求 A 的取值范围； （ 2）求函数 f（ x） =+ ） 的最大值 18如图，三棱锥 P ， 底面 等边三角形， D， E 分别是 中点 （ 1）证明：平面 平面 （ 2）如何在 找一点 F，使 平面 说明理由； （ 3）若 B=2，对于（ ）中的点 F，求三棱锥 P 体积 19某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在 （精确到 ）以上的为合格把所得数据进行整理后，分成 6 组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5 个小组的频率分别为 6 小组的频数是 7 （ 1）求这次铅球测试成绩合格的人数； （ 2）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由； （ 3）若参加此次测试的学生中，有 9 人的成绩为优秀 ，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出 2 人参加 “毕业运动会 ”，已知 a、 b 的成绩均为优秀，求两人至少有 1 人入选的概率 20已知椭圆 C： （ a b 0）的离心率 ，左、右焦点分别为 2，点 满足： 线段 中垂线上 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若斜率为 k（ k 0）的直线 l 与 x 轴、椭圆 C 顺次相交于点 A（ 2， 0）、 M、N，且 k 的取值范围 21已知函数 f（ x） =g（ x） =a、 b 为常数） （ 1）求函数 f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程 ； （ 2）当函数 g（ x）在 x=2 处取得极值 2求函数 g（ x）的解析式； （ 3）当 时，设 h（ x） =f（ x） +g（ x），若函数 h（ x）在定义域上存在单调减区间，求实数 b 的取值范围 选修 4标系与参数方程 22在直角坐标系 ，以原点为 O 极点，以 x 轴正半轴为极轴，圆 C 的极坐标方程为 =4 （ 1）将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）过点 P（ 2， 0）作斜率为 1 直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，试求的值 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x a| （ ）若不 等式 f（ x） m 的解集为 1， 5，求实数 a， m 的值； （ ）当 a=2 且 0 t 2 时，解关于 x 的不等式 f（ x） +t f（ x+2） 2017 年宁夏银川高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1集合 P=y|y= ， Q=x|y= x+2则 P Q 是（ ） A（ 0， 2），（ 1， 1） B （ 0， 2），（ 1， 1） C D y|y 2 【考点】 交集及其运算 【分 析】 先分别求出集合 P， Q，由此利用交集定义能求出 P Q 【解答】 解： 集合 P=y|y= =y|y 2， Q=x|y= x+2=R， P Q=y|y 2 故选： D 2在复平面内，复数 z= 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，求出在复平面内，复数 答案可求 【解答】 解： z= = ， 在复平面内，复数 z= 对应的点的坐标为：（ ， 1），位于第三象限 故选： C 3已知 =（ 3， 1）， =（ 1， 2），则 与 的夹角为（ ） A B C D 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 利用向量夹角公式即可得出 【解答】 解： =3+2=5， = = ， = = = = = ， 与 的夹角为 ， 故选： B 4设等差数列 前 n 项和为 4，则 a2+a4+ ） A 9 B 15 C 18 D 36 【考点】 等差数列的性质 【分析】 由等差数列的求和公式和性质可得 ，而要求的式子可化为 3入可得答案 【解答】 解：由等差数列的求和公式可得： （ a1+=54， 又由等差数列的性质可得 a1+ 94， 解得 ，而 a2+a4+a9=a5+a4+8 故选： C 5某人从甲地去乙地共走了 500m，途经一条宽为 河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，若物品不掉在河里，则能找到，已知该物品能被找到的概率为 ，则河宽为（ ） A 80m B 100m C 40m D 50m 【考点】 几何概型 【分析】 本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出找到该物品的点对应的图形的长度，并将其和整个事件的长度代入几何概型计算公式进行求解 【解答】 解：由已知易得： l 从甲地到乙 =500 l 途中涉水 =x， 故物品遗落在河里的概率 P= =1 = x=100（ m） 故选 B 6若 x= ，则 值为（ ） A B C D 【考点】 二倍角的余弦 【分析】 利用平方差公式、二倍角的余弦公式，把要求的式子化为 而利用条件求得结果 【 解答】 解： x= ， ， 故选： C 7某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） A 10 B 15 C 20 D 30 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体，分别求出棱柱和棱锥的体积，相减可得答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体 ， 底面面积 S= 4 3=6， 高 h=5， 故组合体的体积 V=0， 故选： C 8图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入 m=209，n=121，则输出 m 的值等于（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 【考点】 程序框图 【分析】 先求出 m 除以 n 的余数，然后利用辗转相除法，将 n 的值赋给 m，将余数赋给 n，进行迭代，一直算到余数为零时 m 的值即可 【解答】 解：当 m=209， n=121， m 除以 n 的余数是 88 此时 m=121， n=88， m 除以 n 的余数是 33 此时 m=88， n=33， m 除以 n 的余数是 22 此时 m=33， n=22， m 除以 n 的余数是 11， 此时 m=22， n=11， m 除以 n 的余数是 0， 此时 m=11， n=0， 退出程序，输出结果为 11， 故选： B 9已知命题 p： R，使 f（ x） =x+）为偶函数；命题 q： x R， 3 0，则下列命题中为真命题的是（ ） A p q B（ p） q C p （ q） D（ p） （ q） 【考点】 复合命题的真假 【分析】 首先，判断命题 P 和命题 q 的真假，然后，结合复合 命题的真值表进行判定即可 【解答】 解： 当 = 时， f（ x） =x+） =时 f（ x）为偶函数， 所以命题 p 为真命题； y=3 =1 23 = 22 = 2（ 1） 2， 当 时 y=0， 所以 y 0 即 3 0 所以命题 q 为假命题； q 为真命题； 所以 p q 为真命题 故选 C 10设函数 f（ x） = ， x表示不超过 x 的最大整数，则 y=f（ x） 的值域是（ ） A 0， 1 B 0， 1 C 1， 1 D 1， 1 【考点】 函数的值域 【分析】 对 f（ x）进行化简，可得 f（ x） = = ，分析讨论求出其值域，再根据定义， x表示不超过 x 的最大整数，进行求解； 【解答】 解：函数 f（ x） = ， x表示不超过 x 的最大整数， f（ x） = ， 分析可得， f（ x） ， f（ x） =0， 1， 故选 B； 11抛物线 x 和圆 x 1） 2+，直线 l 经过 焦点 F，依次交 A， B， C， D 四点，则 的 值为（ ） A B 1 C 2 D 4 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 当直线过焦点 F 且垂直于 x 轴时， |2p=4， |2r=2，由抛物线与圆的对称性知： |1，所以 |1 【解答】 解：由特殊化原则， 当直线过焦点 F 且垂直于 x 轴时， |2p=4， |2r=2， 由抛物线与圆的对称性知： |1， 所以 =|1； 故选 B 12设奇函数 f（ x）在 1， 1上是增函数，且 f（ 1） = 1，若函数 f（ x） 2 对所有的 x 1， 1都成立，则当 a 1， 1时， t 的取值范围是（ ） A 2 t 2 B C t 2 或 t 2 或 t=0 D 【考点】 奇偶性与单调性的综合 【分析】 奇函数 f（ x）在 1， 1上是增函数，且 f（ 1） = 1，在 1， 1最大值是 1，由此可以得到 1 2，因其在 a 1， 1时恒成立，可以改变变量，以 a 为变量，利用一次函数的单调性转化求解 【解答】 解：奇函数 f（ x）在 1， 1上是增函数，且 f（ 1） = 1，在 1，1最大值 是 1， 1 2， 当 t=0 时显然成立 当 t 0 时，则 20 成立，又 a 1， 1 令 r（ a） = 2ta+a 1， 1 当 t 0 时， r（ a）是减函数，故令 r（ 1） 0，解得 t 2 当 t 0 时， r（ a）是增函数，故令 r（ 1） 0，解得 t 2 综上知， t 2 或 t 2 或 t=0 故选 C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13已知 P（ x， y）满足 ，则 z=x y 最小值是 1 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意，首先画出平面区域，根据目标函数的几何意义，求 z 的最值 【解答】 解：不等式组表示的平面区域如图， 根据目标函数 z=x y，即 y=x z，当直线 y=x z 经过 A 时 z 最小， 由 得到 A（ 0， 1）， 所以 z=x y 的最小值是 0 1= 1 故答案为： 1； 14双曲线 =1 一条渐近线方程是 y= x，则其离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据渐近线的方程，得到 a， b 之间的关系， ，根据 c2=a2+到 ，从而离心率 【解答】 解：双曲线 =1 一条渐近线方程是 y= x，故 ，由于双曲线中 c2=a2+到 ，从而离心率 故答案为： 15设 x， y 为正数，且 x， y 成等差数列， x， y 成等比数列，则 的最小值是 4 【考点】 等差数列与等比数列的综合 【分析】 先利用条件得到 a1+a2=x+y 和 对所求都转化为用 x， y 表示后，在用基本不等式可得结论 【解答】 解：由等差数列的性质知 a1+a2=x+y； 由等比数列的性质知 所以 ， 当且仅当 x=y 时取等号 故答案为： 4 16图形的对称，正弦 曲线的流畅都能体现 “数学美 ” “黄金分割 ”也是数学美得 一种体现，如图，椭圆的中心在原点， F 为左焦点，当 时，其离心率为 ，此类椭圆被称为 “黄金椭圆 ”，类比 “黄金椭圆 ”，可推算出 “黄金双曲线 ”的离心率e 等于 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 由勾股定理求得 |+|=|，代入由双曲线的离心率公式即可求得离心率 e 【解答】 解：在黄金双曲线中， |a， |b， |c， 由题意可知， |+|=|， b2+c2+c2=a2+ b2=理得 c2=a2+ e 1=0，解得 e= ，或 e= ， 由 e 1，则 e= ， 故黄金双曲线的离心率 e= ， 故答案为： ， 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17已知 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且 面积 S 2 （ 1）求 A 的取值范围； （ 2）求函数 f（ x） =+ ） 的最大值 【考点】 三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ 1）根据 面积公式，结合题意求 出 S 1，即可求出 （ 2）利用诱导公式化简函数 f（ x），根据 A 的取值范围求出 f（ A）的最大值 【解答】 解：（ 1） 面积为 S= S； 又 ， ； S 1， A 的取值范围是 ； （ 2）函数 f（ x） =+ ） = = = ， A ， 0 ， ，即 A= 时， f（ A）取 得最大值为 + 18如图，三棱锥 P ， 底面 等边三角形， D， E 分别是 中点 （ 1）证明：平面 平面 （ 2）如何在 找一点 F，使 平面 说明理由； （ 3）若 B=2，对于（ ）中的点 F，求三棱锥 P 体积 【考点】 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质 【分析】 （ 1）证明平面 的直线 直平面 的两条相交直线 A，即可证明平面 平面 （ 2）取 中点 F，连接 明 行平面 的直线 可证明结论； （ 3） B=2，利用 求三棱锥 P 体积 【解答】 （ ）证明： 底面 底面 又 正三角形，且 E 为 中点， 又 ， 平面 平面 平面 平面 （ ）解：取 中点 F，连接 F 即为所求 E， F 分别为 中点， 又 平面 面 平面 （ ）解，根据题意可得 19某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在 （精确到 ）以上的为合格把所得数据进行整理后，分成 6 组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5 个小组的频率分别为 6 小组的频数是 7 （ 1）求这次铅球测试成绩合格的人数； （ 2）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由； （ 3）若参加此次测试的学生中，有 9 人的成绩为优秀， 现在要从成绩优秀的学生中，随机选出 2 人参加 “毕业运动会 ”，已知 a、 b 的成绩均为优秀，求两人至少有 1 人入选的概率 【考点】 频率分布直方图；众数、中位数、平均数；相互独立事件的概率乘法公式 【分析】 （ 1）利用频率和为 1 求出第六组的频率；利用频率等于频数除以样本容量求出此次测试总人数 （ 2）利用频率分布直方图中的中位数左右两边的面积相等即频率相等，判断出中位数所在的小组 （ 3）通过列举的方法计算出选出的 2 人所有可能的情况及 a、 b 到少有 1 人入选的情况；利用古典概型概率公式求出 a、 b 至少有 1 人入选的概率 【解答】 解：（ 1）第 6 小组的频率为 1（ = 此次测试总人数为 （人） 第 4、 5、 6 组成绩均合格，人数为（ 50=36（人） （ 2）直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等前三组的频率和为 四组的频率和为 中位数位于第 4 组内 （ 3）设成绩优秀的 9 人分别为 a， b， c， d， e， f， g， h， k， 则选出的 2 人所有可能的情况为： bd， ek； 共 36 种，其中 a、 b 到少有 1 人入选的情况有 15 种， a、 b 两人至少有 1 人入选的概率为 20已知椭圆 C： （ a b 0）的离心率 ，左、右焦点分别为 2，点 满足： 线段 中垂线上 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）若斜率为 k（ k 0）的直线 l 与 x 轴、椭圆 C 顺次相交于点 A（ 2， 0）、 M、N，且 k 的取值范围 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ 1）解法一：由椭圆 C 的离心率 和点 线段 中垂线上知|由此推出 ，从而可求出椭圆 C 的方程 解法二：椭圆 C 的离心率 ，得 ，先求得线段 中点为 D 的坐标，根据线段 中垂线过点 用 ，得出关于 c 的方程求出 后求得 a， b 写出椭圆方程即可； （ 2）设直线 l 的方程为 y=k（ x 2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程，再结合根系数的关系利用 出的斜率关系即可求得 k 的取值范围 【解答】 解：（ 1）解法一：椭圆 C 的离心率 ，得 ，其中 椭圆 C 的左、右焦点分别为 c， 0），、 c， 0）， 又点 线段 中垂线上， 解得 c=1， ， ， 椭圆 C 的方程为 解法二：椭圆 C 的离心率 ，得 ，其中 椭圆 C 的左、右焦点分别为 c， 0），、 c， 0）， 设线段 中点为 D， c， 0）， ， ， 又线段 中垂线过点 ，即 c=1， ， 椭圆方程为 （ 2）由题意，直线 l 的方程为 y=k（ x 2），且 k 0， 联立 ，得（ 1+282=0， 由 =8（ 1 2 0，得 ，且 k 0 设 M（ N（ 则有 ， ，（ *） 由题意 90， ， 又 1， 0）， ，即 ， ，整理得 23（ x1+4=0， 将（ *）代入得， ，知上式恒成立，故直线 l 的斜率 k 的取值范围是 21已知函数 f（ x） =g（ x） =a、 b 为常数） （ 1）求函数 f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）当函数 g（ x）在 x=2 处取得极值 2求函数 g（ x）的解析式； （ 3）当 时，设 h（ x） =f（ x） +g（ x），若函数 h（ x）在定义域上存在单调减区间，求实数 b 的取值范围 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用 【分析】 （ 1）求出函数 f（ x）的导数，求得切线的斜率和切点，运用店携手方程即可得到切线方程； （ 2）求得 g（ x）的导数，由题意可得 g（ 2） = 2， g（ 2） =0，解方程即可得到所求解析式； （ 3）若函数 h（ x）在定义域上存在单调减区间依题存在 x 0 使 h（ x） =（ x 0） h（ x） 0（ x 0）即存在 x 0 使 0，运用参数分离，求得右边的最小值，即可得到所求范围 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） =x 0），可得 f（ x） = （ x 0）， f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程是 y f（ 1） =f（ 1）（ x 1）， 即 y=x 1， 所求切线方程为 y=x 1； （ 2） 又 g（ x） =得 g（ x） =2b， 且 g（ x）在 x=2 处取得极值 2 ，可得 解得 ， b=2 所求 g（ x） = （ x R） （ 3） ， h（ x） = （ x 0） 依题存在 x 0 使 h（ x） =