2009年全国高考全国卷2答案(文数)

2009 年普通高等学校招生全国统一考试试卷题全国 2卷 文科数学 第卷（选择题） 本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件 互斥，那么 球的表面积公式AB，()()PPB 24SR 如果事件 相互独立，那么 其中 表示球的半径， 球的体积公式()()A 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 34V 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径nkR()(1)(01,2)knknPCPn， ， ， 一选择题 （1）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，M =1 ，3，5，7，N =5，6，7，则 Cu( M N)= (A) 5， 7 （B） 2，4 （C）2.4.8 （ D）1，3，5，6，7 （2）函数 y= (x 0)的反函数是x （A） （x 0） （B） （x 0）2y2y （B） （x 0） （D） （x 0） （3） 函数 y= 的图像2logy （A） 关于原点对称 （B）关于主线 对称y （C） 关于 轴对称 （D）关于直线 对称x （4）已知 ABC 中， ，则1ct5AcosA (A) (B) (C) (D) 1233513123 （5） 已知正四棱柱 中， = ， 为 重点，则异面直线1BCD2BE1ABE 与 所形成角的余弦值为1 （A） (B) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 0530135 （6） 已知向量 a = (2,1)， ab = 10， a + b = ，则 b =2 （A） （B） （C ）5 （D ）25510 （7）设 则2lg,(l),lg,aebce （A） （B） （C） （D）abcabcba （8）双曲线 的渐近线与圆 相切，则 r=1362yx )0()3(22ryx （A） （B）2 （C）3 （D）6 （9）若将函数 的图像向右平移 个单位长度后，与函数 的图像重合，)0(4tanxy )6tan(xy 则 的最小值为 (A) (B) (C) (D) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 6 113121 （10）甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 （A）6 种 （B）12 种 （C）24 种 （D）30 种 （11）已知直线 与抛物线 C: 相交 A、B 两点，F 为 C 的焦点。若 ,则 k=)0(kxy xy82 FBA2 (A) (B) (C) (D)313233 （12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方 体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是 （A）南 （B）北 （C）西 （D）下 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 第卷（非选择题） 本卷共 10 小题，共 90 分。 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填写在答题卡上相应位置的横线上. （13）设等比数列 的前 n 项和为 。若 ，则 = ans3614,sa4a （14） 的展开式中 的系数为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4)(xy3yx （15）已知圆 O： 和点 A（1，2） ，则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 52 （16）设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45角的平面截球 O 的表面得到圆 C。若圆 C 的 面积等于 ，则球 O 的表面积等于 47 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。解答过程写在答题卡的 相应位置。 （17） （本小题满分 10 分） 上 东 已知等差数列 中， 求 前 n 项和 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m na,0,166473as （18） （本小题满分 12 分） 设ABC 的内角 A、B 、C 的对边长分别为 a、b、c ， , ，求 B.23co)s(BCAacb （19） （本小题满分 12 分）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABAC,D 、E 分别为 AA1、B 1C 的中点，DE平面 BCC1 （）证明：AB=AC w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）设二面角 A-BD-C 为 60,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 （20） （本小题满分 12 分） 某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 10 名工人，其中有 6 名女工人。现采用分层抽样（层 内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核。 （）求从甲、乙两组各抽取的人数； （）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率； （）求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （21） （本小题满分 12 分） axaxf 24)1(3)(2 ()讨论 f(x)的单调性; ()若当 x0 时，f(x)0 恒成立，求 a 的取值范围。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A C B A1 B1 C1 D E 设函数 ，其中常数 a1 （22） （本小题满分 12 分） )0(12bayx 32 （）求 a,b 的值； （）C 上是否存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 OBAP 成立？ 若存在，求出所有的 P 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由。 2009年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案和评分参考 一选择题 （1）C （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C （7）B （8）A （9）D （10）C （11）D （12）B 二填空题 （13）3 （14）6 （15） （16）82 三解答题 17 解： 设 的公差为 ，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m nad1126350 即 22184ad 解得 11,2d或 因此 89819n nSnSn， 或 （18）解： 已知椭圆 C: 的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B2 两点，当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为 由 cos（A C）+cosB= 及 B= （A+C）得32 cos（A C） cos（A+C）= ， cosAcosC+sinAsinC （cosAcosC sinAsinC）= ,32 sinAsinC= .34 又由 =ac 及正弦定理得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2b sinisn,BAC 故 ，234 或 （舍去） ，sin3sin2B 于是 B= 或 B= .3 2 又由 知 或2baccb 所 以 B= 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （19）解法一：（）取 BC 中点 F，连接 EF，则 EF ，从而 EF DA。12B 连接 AF，则 ADEF 为平行四边形，从而 AF/DE。又 DE平面 ，故 AF平面 ，从而 AFBC，即 AF1BC1BC 为 BC 的垂直平分线，所以 AB=AC。 （）作 AGBD，垂足为 G，连接 CG。由三垂线定理知 CGBD，故AGC 为二面角 A-BD-C 的平面角。由题设知， AGC=60 0 设 AC=2，则 AG= 。又 AB=2，BC= ，故 AF= 。2322 由 得 2AD= ，解得 AD= 。ABD 2.AD 故 AD=AF。又 ADAF，所以四边形 ADEF 为正方形。 因为 BCAF，BCAD，AFAD=A，故 BC平面 DEF，因此平面 BCD平面 DEF。 连接 AE、DF，设 AEDF=H，则 EHDF，EH平面 BCD。 连接 CH，则ECH 为 与平面 BCD 所成的角。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1BC 因 ADEF 为正方形，AD= ，故 EH=1，又 EC= =2，212BC 所以ECH=30 0，即 与平面 BCD 所成的角为 300.1 解法二： （）以 A 为坐标原点，射线 AB 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的 直角坐标系 A xyz。 设 B（1，0，0） ， C（0，b，0） ，D（0，0，c） ，则 （1，0，2c）,E（ ， ，c）.B12b 于是 =（ ， ，0） ， =（-1 ，b,0）.由 DE平面 知 DEBC， =0，求得 b=1，所以 E12bC1BCDEC AB=AC。 （）设平面 BCD 的法向量 则 又 =（-1，1，(,)ANxyz0,.ANB 0 0） ， =（-1，0，c ）,故BD czx 令 x=1, 则 y=1, z= , =(1,1, ).1cAN 又平面 的法向量 =（0，1，0）BC 由二面角 为 60知， =60，DA， 故 ，求得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 60cosANA21c 于是 ， ），（ 21），(1CB ，2cos11AN， 601， 所以 与平面 所成的角为 30CB1D （20）解： （I）由于甲、乙两组各有 10 名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核， 则从每组各抽取 2 名工人。 （II）记 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人，则A w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 15 8)(2064CP （III） 表示事件：从甲组抽取的 2 名工人中恰有 名男工人，i i210，i 表示事件：从乙组抽取的 2 名工人中恰有 名男工人，jBj210j， 表示事件：抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人。 与 独立， ，且iAj 10， ji 0210BABA 故 )() 02120BP )() 021BPAA w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 210 628461042104 CC 753 （21）解： （I） )2(4)1(2)( axaxxf 由 知，当 时， ，故 在区间 是增函数；a0(ff),( 当 时， ，故 在区间 是减函数；x)x)x, 当 时， ，故 在区间 是增函数。2(f(f)2(a 综上，当 时， 在区间 和 是增函数，在区间 是减函数。1a)x), )2,(a （II）由（I）知，当 时， 在 或 处取得最小值。0(xf0x aaaf 24)21)2(3 44 f)0( 由假设知 即 解得 1a6 ,0)(21fa.024,0)6(3,1a 故 的取值范围是（1，6）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （22）解： （）设 当 的斜率为 1 时，其方程为 到 的距离为,0cFl Ocyx,0l 2 故 ， 2c1c 由 3ae 得 ， =2cb （）C 上存在点 ，使得当 绕 转到某一位置时，有 成立。PlFOBAP 由 （）知 C 的方程为 + =6. 设2x3y).,(),(21yxBA () kll的 方 程 为轴 时 ， 设不 垂 直当 C 成立的充要条件是 ， 且OP使上 的 点 ）点 的 坐 标 为 （ 2121,yxP6)(3)(22121yx 整理得 643212122 yxx3,1yCBA上 ， 即在、又 故 02211x 将 并 化 简 得代 入 ,6)(2yxky36322kx 于是 , = ,2211x2k 22121 34)(ky