gct工程硕士数学讲义1

一般复习过程：了解考试要求、复习考试内容、熟悉试题类型、掌 握应试技巧。 第一部分 算术 内容综述 1数的概念：整数、分数、小数、百分数等等 2数的运算 （1）整数的四则运算；（2）小数的四则运算；（3）分数的四则运 算* 3数的整除 ：整除（ ） 、倍数、约数、奇数、偶数、质mlkn （素）数*、合数、质因数、公倍数、最小公倍数（ ） 、公约数、最大公约数、互质数、最简分数11nmn 4比和比例：比例、 ，正比例关系、 ，反比例关系等dcbakba kab 典型例题 一、算术平均数（平均值）问题 例：某书店二月份出售图书 3654册，比一月份多出售 216册，比三 月份少出售 714册，第二季度的出售量是第一季度出售量的 倍，5.1 求书店上半年平均每月出售图书多少册？ 分析： 2 .4756)12354( 6)714365(4)2134()3(6)6( （又如前 10个偶数、奇数、素数、合数等的平均值问题） 二、植树问题* （1）全兴大街全长 1380米，计划在大街两旁每隔 12米栽一棵梧桐 树，两端都栽求共栽梧桐多少棵？ 分析： 23)180(2 （2）将一边长为 2米的正方形木板沿其边用钉子固定在墙上，为了 安全，钉子的间距不能超过 30厘米，且四角必须固定，求需要的最 少钉子数 分析：根据要求，每边至少需要 7个空，所以至少需要 个钉2874 子 三、运动问题 1相遇与追及问题 （ ， ， ）vts2121,vv21s 例：某部队以每分钟 100米的速度夜行军，在队尾的首长让通信员 以 3倍于行军的速度将一命令传到部队的排头，并立即返回队 尾已知通信员从出发到返回队尾，共用了 9分钟，求行军部队队 列的长度？ 分析：设队伍长度为 ，则l ，91030l 解得 120l 清华在线 62781166 3 2顺流而下与逆流而上问题 例：两个码头相距 352千米，一艘客轮顺流而下行完全程需要 11小 时，逆流而上行完全程需要 16小时求此客轮的航速与这条河的水 流速度 分析：因为 ，所以163521352水水 ， vv,23水水 解得 5,27水v 3列车过桥与通过隧道问题 例：一列火车全长 270米，每秒行驶 18米，全车通过一条隧道需要 50秒求这条隧道的长 分析：设隧道长为 ，则 ，所以 l 501827l 630l 四、分数与百分数应用问题* 例：某工厂二月份产值比一月份的增加 ，三月份比二月份的减0 少 ，那么 01 A三月份与一月份产值相等 B一月份比三月份产值 多 *9 C一月份比三月份产值少 D一月份比三月份产值多 91 10 分析：设一月份的产值为 ，则三月份的产值为 ，所以一月aa9. 份比三月份产值多 91.0a 五、简单方程应用问题 4 1比和比例应用题 例 1有东西两个粮库，如果从东库取出 放入西库，东库存粮的吨51 数是西库存粮吨数的 已知东库原来存粮 5000吨，求西库原来的21 存粮数 分析：设西库原来的存粮数为 ，则x ，)50(2150 所以 70x 例 2.一件工程，甲独做 30天可以完成，乙独做 20天可以完成，甲 先做了若干天后，由乙接着做，这样甲、乙二人合起来共做了 22 天问甲、乙两人各做了多少天？ 分析：设甲、乙两人分别做了 天和 天根据题意得xy,1203 解得 16,yx 2.求单位量与求总量的问题 例：搬运一堆渣土，原计划用 8辆相同型号的卡车 15天可以完成， 实际搬运 6天后，有两辆卡车被调走求余下的渣土还需要几天才 能运完？ 分析：设要运完余下的渣土还需要 天，则x ，)28(6158 所以 12x 3和倍、差倍与和差问题 清华在线 62781166 5 例：把 324分为 A,B,C,D四个数，如果 A数加上 2，B 数减去 2，C 数乘以 2，D 数除以 2之后得到的四个数相等，求这四个数各是多少？ 分析：根据题意得 ,21234DCBA 解得 14,36,74,0DCBA 样题与真题 一、数的运算 1设直线方程 ，且 的截距是 的截距的 倍，则0,abxyxy)2( 与 谁大？(C)a2 (A) (B) (C) 一样大 (D) 无法确定21 分析：因为 ，所以 。ba21a 2方程 的根的个数为(A)012xx (A) (B) (C) (D)023 分析：因为 ，所以 的根1312xx 01212xx 的个数为 0。 3设 均为大于零的实数，且 ，则 与 谁大？(A)mba, abmba (A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定 分析：因为 ，所以 比 大。0)(mbabb 注：特殊值代入法。 6 4某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘 加上右手3 中石子数乘 之和为 ，则左手中石子数为奇数，还是偶数？(A)429 (A)奇数 (B)偶数 (C)无法确定 (D)无石子 分析：因为 ，所以 为奇数。3yxx 5 （2003）已知 ，则 2043,201cba A B cbaa C D *bc 注：考虑 。xxf1)( 6 （2003） 1)(ii A B * C D 01213 注： 。6121 7设 ，则 （B ） nSn1)(43 2054S A2 B1 C0 D 分析：由于 ，1)3()(2204 ，5205S 所以 1051204 8 （2005）1 12345678900.0的 值 是 （ ） 。 A. B. C. D. 819281 清华在线 62781166 7 分析：分子 ，分母 ，9187654321 29108765432 所以正确选项为 A 9 （2006） （ C ）6473216584321 A . B . C . D.65308008128730 分析： 64308218721 )2121()7543( 647168216 543 10 （2006）某型号的变速自行车主动轴有 3个同轴的齿轮，齿数分 别为 48、36 和 24，后轴上有 4个同轴的齿轮，齿数分别是 36、24、16 和 12，则这种自行车共可获得（A）种不同的变速比。 A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 分析：（本题是算术题。考查两个数的比的大小） 由于 ，所以这种自行车共可获得16243,6,124,3614 种不同的变速比。82 二、平均值问题 1从生产的一批灯泡中任意抽取 个，测的寿命（小时）分别为5 ，若用它们来估计这批灯泡的平均寿命应为(C)95,107,3 (A) (B) (C) (D)410106 分析： 。559 2张某以 元/股的价格买进股票 手，又以 元/股买进 手，1.028.930 8 又以 元/股买进 手，他要不赔钱，至少要卖到什么价钱（元/47.150 股）？（ 手 股）(D) (A) (B) (C) (D)02. 32.198. 78.10 分析： 。7100547.8951 3 （2003）记不超过 10的素数的算术平均数为 ，则与 最接近M 的整数是 A B C * D 2345 分析： 。25.47 三、植树问题 1 （2003）1000 米大道两侧从起点开始每隔 10米各种一棵树，相 邻两棵树之间放一盆花，这样需 要 A树 200课，花 200盆 B树 202课，花 200盆* C树 202课，花 202盆 D树 200课，花 202盆 分析：共需树 ，共需花 20)1(2201 2 （2004）在一条长 3600 米的公路一边，从一端开始等距竖立电 线杆，每隔 40 米原已挖好一个坑，现改为每隔 60 米立一根电线杆， 则需重新挖坑和填坑的个数分别是（ D ） A . 50 和 40 B . 40 和 50 C . 60 和 30 D . 30 和 60 分析：40 和 60的最小公倍数是 120，在 120米的距离内需挖一个新 坑和填掉原来的两个坑，故需重新挖坑和填坑的个数分别是 30 和 清华在线 62781166 9 60 四、运动问题 （2004）在一条公路上，汽车 A 、B 、C 分别以每小时 80 、70 、50 公里的速度匀速行驶，汽车 A 从甲站开向乙站，同时车 B 、 车 C 从乙站出发与车 A 相向而行开往甲站，途中车 A 与车 B 相遇 两小时后再与车 C 相遇，那么甲乙两站相距（ D ）. A . 2010 公里 B . 2005 公里 C . 1690 公里 D . 1950 公里 分析：设甲乙两站相距 公里，则 ，解得 l 5082708ll 1950l 五、简单方程应用问题 1单位量与总量问题、 （1） （2004）某校有若干女生住校，若每间房住 4 人，则还剩 20 人未住下，若每间住 8人，则仅有间未住满，那么该校有女生宿 舍的房间数为（ C ） A . 4 B . 5 C . 6 D . 7 分析：设女生宿舍的房间数为 ，则 ，解得 xx8204)1(86 注：选项验证法。 （2） （2005）某项工程 8个人用 35天完成了全工程量的 ，如果再31 增加 6个人，那么完成剩余的工程还需要的天数是（ ） A.18 B.35 C.40 D.60 10 分析：设完成剩余的工程还需要的天数是 ，则 ，故xx)68(2135 ，即正确选项为 C40x 2和倍、差倍、和差问题 小明今年一家四口人，全家年龄之和为 岁，父亲比母亲大一岁，69 姐姐比小明大两岁，四年前全家年龄之和为 岁，则父亲今年多少54 岁？(D) (A) (B) (C) (D)28293031 六、分数（比） 、百分数应用问题 1 （2003）某工厂产值三月份比二月的增加 ，四月份比三月的0 减少 ，那么 0 A四月份与二月份产值相等 B四月份比二月份产 值增加 91 C四月份比二月份产值减少 D四月份比二月份产值减91 少 *10 分析：设二月份的产值为 ，则四月份的产值为 ，所以四月aa9.0 份比二月份产值少 109.a 2 （2004）甲、乙两种茶叶以 x : y （重量比）混合配制成一种成 品茶，甲种茶每斤 50 元，乙种每斤 40 元，现甲种茶价格上涨 10 % ，乙种茶价格下降 10 % 后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则 等于（ C ）. yx： A . 1 : 1 B . 5 : 4 C . 4 : 5 D . 5 : 6 清华在线 62781166 11 分析：由于 ，所以 yxyx )1.04()1.05(405 54x 3 （2005）2005 年，我国甲省人口是全国人口的 %，其生产总值占c 国内生产总值的 %；乙省人口是全国人口的 %，其生产总值占国内de 生产总值的 %，则 2005年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值f 之比是（ ） A. B. C. D. cdefefcfdecf 分析：设全国人口为 p，国内生产总值为 h，则甲省人均生产总值为 ，乙省人均生产总值为 ，所以甲省人均生产总值与乙省人均生cpdhefh 产总值之比是 ，即正确选项为 D。cfde 4 （2006）一个容积为 10升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出 升酒a 精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出 升溶液后，再 用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为 49%， 则每次的倒出量 为（B）升。a A. 2.55 B. 3 C. 2.45 D.4 分析：根据题意， ，即 ，解得 。 49.010a49)1(2a3a 七、其他问题 1一顾客去甲商店买价格为 元的鞋子，给了甲店主一张 元钞4850 票，因甲没有零钱，所以到乙商店换钱，然后将鞋子和 元钱一起2 给了该顾客，顾客走后，乙店主发现那张 元钞票为假币，索要甲50 12 店主一张 元真币问甲店主赔了多少钱？(A)50 (A) 元 (B) 元 (C) 元 (D) 元481098 2相同表面积的立方体和球，谁的体积大？(B) (A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定 3 （2003） 五支篮球队相互进行循环赛，现已知 队已赛EDCBA, A 过 4场， 队已赛过 3场， 队已赛过 2场， 队已赛过 1场，则此D 时 队已赛过 E A1 场 B2 场* C3 场 D4 场 A B C D E A T T T T B T T T C D E 注：排除法，利用奇、偶数性质。 4 （2006）100 个学生中，88 人有手机，76 人有电脑，其中有手机 没电脑的共 15人，则这 100个学生中有电脑但没有手机的共有 （D）人。 A .25 B.15 C.5 D.3 分析：根据题意，既有电脑又有手机的人数为 ，所以有73158 电脑但没有手机的人数是 。376 解法 2：根据题意，24 个没有电脑的人中 15个人有手机，因此既没 清华在线 62781166 13 手机又没有电脑的人只有 9人，从而在 12个没有手机的人中只有 3 人有电脑。 第二部分 代数 内容综述 一、数和代数式 1实数的运算 （1）乘方与开方（乘积与分式的方根，根式的乘方与化简） xyxxyxyxyx abaa )(,)(, （2）绝对值 a,0, 2复数的运算及其几何意义 （虚数单位、实部、虚部、共轭复数、 模、幅角） ， ， ，ibaz2bazabtn ；)()(, 212121211 biazibazibaz ， ；),(1i 14 ，111sincoz222sincoz ；)si()(2121212 )sin()cos(212121 z0z 3几个常用公式（和与差的平方、和与差的立方、平方差、立方和、 立方差等） ； ；22)(baba 323)( baab ； ；33 )(2 ； )(2 23 二、集合与函数（微积分） 1集合运算（交集、并集、补集、全集、运算律、摩根律） BACBACCI ),()()( ),(, 2函数 （1）概念（定义、两要素、图形、反函数） ，),(),(Dxfyx)(1xfy （2）简单性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性） )(,)(,;)(,)(,)(, xfxfxfxfxf aTgbaTbag （3）幂函数、指数函数、对数函数（含义、性质、常用公式） xyxyxyaxa ln,lg,lo, axbalogl,l,ln,lnl 三、代数方程： 清华在线 62781166 15 1二元一次方程组解的存在性 2一元二次方程 （1）求根公式（判别式） ；（2）根与系数的关系 ， ；02cbxaacb4 acxbxacbx 21212,4 3二次函数的图像（开口、对称轴、顶点坐标） 、abcxacbaxy4)2(22 四、不等式 1不等式的基本性质及基本不等式（算术平均数与几何平均数、绝 对值不等式） 性质： ;0,;0, kbakbakba cdcdc 基本不等式： ，)(21 2几种常见不等式的解法 绝对值不等式、一元二次不等式、分式不等式、指数不等式、对数 不等式等 ， ；02cbxaa axffaxf )(,)(0)( 五、数列 1数列的概念（数列、通项、前 项的和、各项的和、数列与数集n 的区别） ， ,21nankaaS121 2等差数列 16 （1）概念（定义、通项、前 项的和） ；（2）简单性质：中项公式、n 平均值 )(21,2 ,1(,)(,211 nnnkn aaa dSdd 3等比数列 （1）概念（定义、通项、前 项的和） ；（2）简单性质：中项公式 2111 ,0, nknnnnn aqaSqaa 六、排列、组合、二项式定理 1分类求和原理与分步求积原理 2排列与排列数 （1）定义；（2）公式 )1()2(1mnnPm 注 阶乘（全排列） ! 3组合与组合数 （1）定义；（2）公式； mnmnPCP, （3）基本性质： nknmnC2, 011 4二项式定理： kknbaba0)( 七、古典概率问题 1基本概念：必然事件、不可能事件、和事件、积事件、互不相容 事件、对立事件 2概率的概念与性质 清华在线 62781166 17 （1）定义（非负性、规范性、可加性） ； （2）性质： ， ，1)(0AP0)()()()( BAPBAP 3几种特殊事件发生的概率 （1）等可能事件（古典概型） nm)( （2）互不相容事件 ；对立事件 )(BPAP1)(BPA （3）相互独立事件 )( （4）独立重复试验 如果在一次试验中某事件发生的概率为 ，那么在 此独立重复pn 试验中这个事件恰好发生 次的概率为 k kknpCP)1()( 典型例题 一、数和代数式 1若 且 12iz，则 iz2的最小值是 B C (A) (B) (C) (D)2345 分析： 表示复数 对应的点在以点 为圆1)2(2iziz z)2,( 心、半径是 的圆周上， 最小，是指复数 对应1)2(iz 的点到点 的距离最短，此最短距离为 ),( 3 2如果 整除 123axx，则实数 D x a 18 (A)0 (B)-1 (C)2 (D) 2或 1 分析： 能够整除 123axx说明 是 123axx的)1(x )( 一个因子，因此当 时， 的值应为 ，即10 ，02 解得 或 2a 二、集合和函数 1已知 ，函数 的图像关于原点对称的充0dcxbaxf23)( 分必要条件是 D (A) (B) (C) (D) 0bbc0 分析：函数 的图像关于原点对称的充分必要条dcxbaxf23)( 件是函数 为奇函数，故其偶次项的系数为 ，即 d 注：也可利用 求得 0db，再说明当 时，)1(,0)ff 0b 的图像关于原点对称.)(xfy 2设 0,ba，且 ，那么 )(31lnba B ab72 (A) (B) )l()ln(1 (C) (D)3ban31ab 分析：由于 ，所以选项(A)(C)不正确0, 根据 及 可知92ln21)(3ln21)(3ln abbaba ab72 )(1l)l( 清华在线 62781166 19 三、代数方程和简单的超越方程 1设 ，若 是方程 的两个根，求0c21,x02cbx ， 2,x 31 分析：根据韦达定理可知 ，所以cxbx212,)(121 ； ；cbxxxx 4212 c2112)(23xxx 2指数方程组 624y的解 A (A)只有一组 (B)只有两组 (C)有无穷多组 (D)不存在 分析：在方程组 中每个方程的两端取对数，得63214yx,6ln32l14y 由于 与 的系数不成比例，所以此方程组只有一组解xy 四、不等式 已知集合 ，集合 ，若 ，32xA 0)1(2axxBAB 求 得取值范围a 分析： 2124)1(2,1 aax 当 时， ；当 时， axB1axB 20 所以当 时，不会有 ；当 时，若 ，则 1aAB1aAB5a 五、数列 1设 是一等差数列，且 ，求n 641032 和 76a12S 分析：由于 ，所以76a12103a ；32103 9)(672121aaaS 2设 是一等比数列，且 ，求 和 na 48,5310,62a 分析：设数列 的公比为 ，则 ，所以nq2qa ；3412 或 ；5362910qa 1536)2(9910qa 57682a 六、排列、组合、二项式定理 15 个男生和 2个女生拍成一排照相 （1）共有多少种排法？（ ）7P （2）男生甲必须站在一端，且两女生必须相邻，有多少种排法？（ ）)(5P 2100 件产品中，只有 3件次品，从中任取 3件， （1）恰有一件次品的取法有多少种？ 2971C （2）至少有一件次品的取法有多少种？ 30 （3）至多有两件次品的取法有多少种？ 1 清华在线 62781166 21 3求 展开式中所有无理项系数之和9)21(x 分析：无理项指的是 的指数是非整数的项，根据二项式定理可知x 要求的和为 9759319222CCS 七、古典概率问题 1在 100件产品中，只有 5件次品从中任取两件， （1）两件都是合格品的概率是多少？ 21095C （2）两件都是次品的概率是多少？ （3）一件是合格品，一件是次品的概率是多少？ 21095C 2甲、乙两人各投篮一次，如果两人投中的概率分别是 和 6 （1）两人都投中的概率是多少？ 5.06 （2）恰有一人投中的概率是多少？ .4 （3）至少有一人投中的概率是多少？ .1 3将 10个球等可能地放到 15个盒子中去，求下列事件的概率： （1）某指定的 10个盒子中各有 1个球； 105 ! （2）正好有 10个盒子中各有 1个球 10 !C 样题与真题 一、基本概念 1求阶乘不超过 的最大整数 20 (A) (B) (C) (D)3456 22 2 （2004）实数 在数轴上的位置如下图表示，cba, 图中 O为原点，则代数式 （ A ） caba A B C Dca23c2b2a3 分析：因为 ，所以b0 cacbac)()()( 3 （2004） 表示 的幅角，今又 ，则zarg )21arg(,2rgii （ D ） )sin( A B C D5453453 分析：由于 ，所以51cos,52sin,cos,51sin 3ii)sin( 注：排除法。 4 （2005）复数 2(1)( )ziz的 模 。 A.4 B.2 C.2 D. 2 分析：因为 ，所以 ，即正确选项为 C2i 1)(ii O b a c 清华在线 62781166 23 5。 （2006）复数 的共轭复数 是（ A ）. iz1z A. B. C. 1 D. i 分析：由于 ，所以 。iziz 二、函数运算 1设函数 ， ，则 A 1)(xf 1,0x)(xf (A) (B) (C) (D)x 11x 分析： ， xxfxf 1)()(1 ,0 三、乘方运算 1在连乘式 展开式中， 前面的系数为 )5(4)3(2)1( xxx 4x C (A) (B) (C) (D)34116 分析： 4545 1)532()()(2)1( xxxxx 2 （2003）已知实数 和 满足条件 和 ，则y9y)(0y 的值是 10y A * B C D 12 根据条件，得 或 1,yx,1yx 解得 或 1,0yx,0 24 3 （2005）设 为正数，则p29( )xp。 A. B. 9(1)x（ ） (1（ ） C. D. （ ） )（ ） 分析：选项验证法。由于 ，920)(9xx ， ，2)1(9xx 1 ，根据题意便知正确选项为 C0 4 （2005）已知 ，则50yz且22( )xyzx。 A.50 B.75 C.100 D.105 分析：由于 ，所以 ，从而10,5yzx 5xz ，故正确选项75)()()(222 zyxzyx 为 B 四、代数方程、一元二次函数 1设 ，则函数 的最大值为 C 30x2)(xy (A) (B) (C) (D)213 分析： -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3x -2 -1 1 y 如图：最大值只可能在端点取到 2 （2003）函数 在 上单调增的充要条件是 )0(2acbxy), A ，且 B ，且 0abb 清华在线 62781166 25 C ，且 * D ，且 0ab0ab 分析：根据题意，抛物线 的开口朝上、对称轴在)(2cxy 轴左侧，故 ，所以 ，且 y2,a0 3 （2004）已知 ，且满足 和 ，1b328a0282b 则（ B ） A B C D02a032a0b3a 分析：由于 ，且 ，62482,482 1b 所以 当 时， ，42082a 624082, b 当 时， ， 2, 2 从而有 032ba 或根据 ，也可以推出有 0)32(8942ba 032ba 4 （2006）方程 ，所有实数根的和等于（ C ） 。76x A.2006 B.4 C.0 D. 6 分析： 当 时， ；0x207460 当 时， 。2)( 所以方程 的所有实数根的和等于 。20762x 0 5 （2006）设二次函数 的对称轴为 ，其图像过cbxaf2)( 1x 26 点（2，0） ，则 （ D ） 。)1(f A. 3 B. 2 C. -2 D. -3 分析：根据题意 ，所以 ，从而024,cba2,0abc 。31)1(abf 五、幂、指、对函数 比较 与 谁大？ B 6.044.0 (A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定 分析：考虑函数 则 ；,6.0)(,)(6.xgxf6.0.4)4.0().(ff .4.0)6.()4.0(g 六、函数简单性质 1函数 是 B )1ln()2xxf (A)周期函数 (B)奇函数 (C)偶函数 (D)单 调减少函数 分析： )(1ln(1ln)1ln()( 222 xfxxxf 注：排除法与特殊值代入法。 。0)1ln(),0)l() ff 2 （2003）函数 与 的图形关于 0(1axfy2xafy A直线 对称 B直线 对称0ax C 轴对称 D 轴对称*y 分析：记 ，由于)(),()xafhxfg ，所以曲线 上的点 关()afx)(xgy)(,xg 清华在线 62781166 27 于直线 的对称点 在曲线 上0x )(,)(,xhxg)(xhy 注：特殊值代入法。取特殊函数 进行判定f 七、不等式 （2004）设 均为正数，若 ，则( A).cba, acbbac A B C Dc abc 分析：选项验证法。当 时，正分数 的分子依cb, 次增大、分母依次减小，所以 acba 八、数列 1 （2005）三个不相同的非 0实数 成等差数列，又 恰成等, bca, 比数列，则 等于（ ） ab A.4 B.2 C. D.42 分析：根据条件可知 ，从而 ，abc,22)(bc ，由于 ，所以 ， ，即正确选项为bcba)(214a A 注：本题根据 ， 及 可直接用排除法得到正确选项0acbca2 A 2 （2006）设 n为正整数，在 1与 n+1之间插入 n个正数，使这 n+2个数成等比数列，则所插入的 n个正数之积等于（A ） 。 A. B. C. D. 2)1(nn)1(n2)1(n3)1( 分析：（本题是代数题。考查了乘方运算的性质、等比数列的概念 和通项公式） 28 设此等比数列的公比为 ，则 ，即 ，所以q1n1nq 。2)1(232 nnqq 九、排列组合 15 棵大小不同的柳树，6 棵大小不同的杨树，载到 5坑内，一坑 一棵，5 个坑内至多载两棵柳树，5 个坑都载了，有多少种载法？1208)(5362461PC (A) 281 (B) 200 (C) 81 (D)275 十、古典概率 1现有三张密封的奖券，其中一张有奖，共有三个人按顺序且每人 只能抓走一张，问谁抓到奖的概率最大？ (A)第一个人 (B)第二个人 (C)第三个人 (D)一 样大 2袋中有 3个黄球,2 个红球，1 个兰球，每次取一个球，取出后不 放回，任取两次， （都）取得红球的概率是（ ） (A) (B) (C) (D)1530332 分析： ，或 26C1562 3 （2003）一批产品的次品率为 ，每件检测后放回，在连续三件.0 检测中至少有一件是次品的概率为 A * B C D 271.0243.01.081. 分析： ，或 71.9.3 27.9903232 4 （2004）将 5个相同的球放入位于一排的 8个格子中，每格至多 清华在线 62781166 29 放一个球，则 3个空格相连的概率是（C ） A B C * D565283285 分析：将 5个相同的球放入位于一排的 8个格子中，共有 种放法，58C 3个空格相连的放法有 6种（ ） ，所求概率为 123658 5 （2005）任取一个正整数，其平方数的末位数字是 4的概率等于 （ ） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 分析：当所取正整数的个位数是 2或 8时，其平方数的末位数字就 是 4，所有正整数的个位数只有 1，2，3，4，5，6，7，8，9，0 等 十种可能，所以要求的概率是 ，即正确选项为 B.0 6 （2006）桌上有中文书 6本，英文书 6本，俄文书 3本，从中任 取 3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各 1本的概率是（ ） 。 A. B. C. D. 9141084510845 答：C 分析：（本题是概率题。考查了等可能事件的概率公式和简单的组 合数公式） 所求概率为 。451082315636 1Cp 第三部分 几何（与三角） 内容综述 30 一、平面几何图形 1三角形 （1）三角形的各元素（边、角、高、中线、周长、面积） cbapcbpaCabhs 2,)()(sin21 （2）几种特殊三角形（直角、等腰、等边） 2 2四边形 （1）矩形（正方形） ；（2）平行四边形（菱形） ；（3）梯形hbas)(2 3圆和扇形 （1）圆(周长、面积、弦、圆周角、圆心角) 22Rsl （2）扇形 Rls21 4平面图形的相似关系 清华在线 62781166 31 注：正多边形的内角和 、椭圆的面积)2(nab 二、空间几何体 1长方体（正方体） 2圆柱体 hRVhs22侧 3圆锥体 31侧 4球 324RVs 三、三角函数 1定义（符号，特殊角的三角函数值） 32 sin1c,os1ec,sinoct,osintai xy 2三角函数的图像和性质（微积分） 3常用的三角函数恒等式 同角恒等式： 2222csot1ean1si 两角和公式： 1cos2sin1sico2sini i)( scoisi22 诱导公式： in)(,)(,)in( 注：解斜三角形（正弦定理、余弦定理） x y ),(yx 清华在线 62781166 33 4.反三角函数 ),0(cotar);2,(arctn,s,si xyxy 四、平面直线 1直线方程（倾角、斜率，点斜式、斜截式、截距式、一般式） 0;1;,00 cbyaxybkxyxkykxy 2两条直线的位置关系（相交，平行，垂直） ； ；:cbyal 0:11cyxal 平行但不重合： ；重合： ；垂直：b1cba1ba 3点到直线的距离 ， ， 0cbyax),(0yx20bayxd 注：直线与圆等平面图形的位置关系 五、圆锥曲线 1 圆 2020)()(Ryx 34 2椭圆 （1）定义：到两定点距离之和为一常数的点的集合 （2）方程； )0,(,122cbacbyax （3）图像；（4）离心率； 1e （5）准线 cx2 3双曲线 （1）定义：到两定点距离之差的绝对值为一常数的点的集合 （2）方程； )0,(,12cbacbyax （3）图像；（4）离心率； 1ae （5）渐近线； （6）准线 xabycx2 4抛物线 （1）定义：到一定点与到一定直线的距离相等的点的集合 （2）方程； ， pxy,2,)0(px （3）图像；（4）离心率 ；（5）准线1e 清华在线 62781166 35 0,022baedycxbax 典型例题 1已知 ，求 sinta,20,cosin xxBxxABA 分析：由于 ，452,0cosin xxxA ，)1(2)32()1()12(sitan kxkorkkxB 所以 Ax 2设 ， ，求0,2 ba xbaxfcossin)( （1） 的最大值；)(xf （2） 时的 值x 分析：由于 36 ,)sin(cossicosi)(2 22 xba xbaxxf 所以 的最大值为 ；)(xf 当 时，有 ，即 0kx)(1kx 3设三角形的三条边分别为 ，面积为 ，已知cba,S ，求 35,4Sbac 分析：根据 及 可得 ，所以Cabsin2135,4Sb23sinC 21cos 当 时，有 ；21cos22ab 当 时，有 C61csCc 4如果 与 均是锐角，且 ，那么4 41)sin(,52)in( )sin(2015 分析： .20154152)4sin()co()cos()sin( i4）（）（ 5已知直线 ，求点 关于 的对称点。043:yxl ),(Al 清华在线 62781166 37 分析：设所求的点为 ，则直线 与直线 垂直，且线段 的),(YXBABlAB 中点在直线 上，所以l,0124)(213,YX 解得 58,4YX 6双曲线 的右准线与两条渐近线交于 两点，)0,(12babyax BA, 若以 为直径的圆经过右焦点 ，求该双曲线的离心率ABF 分析：双曲线 的右准线为 ，两条渐近线)0,(12babyax cax2 方程为 ，所以线段 的长度为 根据题意可知yABcab2 ，cab A F 38 即 ，所以 ，从而 ，因此cbacab 22baabc22 2e 7写出抛物线 的焦点坐标和准线方程xy22 分析：将 化为标准形式为y ，)21()(2xy 所以焦点坐标为 ,准线方程为 )10( 样题与真题 一、平面几何 1一张（圆形）饼平铺，若切三刀，最多切成几块？ (A) (B) (C) (D)5678 2.如图，弦长 ，则它们所对的圆周角哪个大？ ba (A) (B) (C)一样大 (D)无法确定 3如图，一个长为 的梯子 ， 端只能在竖直墙面上滑动， 端lABBa b 清华在线 62781166 39 只能在地面上滑动，则梯子与墙面和地面所围成的面积最大时， 角应为多大？ (A) (B) (C) (D)。30。45。60。75 4如图，矩行与椭圆 相切，则椭圆面积与矩形面积之比12byax 和 相比较谁大？ (A)前者 (B)后者 (C)一样大 (D)无法确定 5一个三角形的边长分别为 ，则此三角形的面积为 7,54 (A) (B) (C) (D)63633 6两个相似三角形的相似比为 ，则它们的面积比应为 2:1 (A) (B) (C) (D)无法确定2:13:14 7 （2003）如图，正方形 的面积为 ， 和 分别是 和ABCDEFAB 的中点，则图中阴影部分的面积为 BC A B C * D 2143253 40 分析 如图，阴影部分的面积为 因为 G是三角形 BCD的中心，32 所以 ，从而三角形 DGC，DHG，DHA 的面积相等，都GCO21 是 由于三角形 GFC在底边 FC上的高是三角形 DFC在底边 FC上6 的高的 ，所以三角形 GFC的面积是三角形 GCD面积的一半综上，3 阴影部分的面积为 3261 8 （2004）如图，直角 中 为直角，点 E和 D，F 分别在直角ABC 边 AC和斜边 AB上，且 AF=FE=ED=DC=CB，则 （ ） A A B C * D89102 分析 A C B E D F CB E F G O H 清华在线 62781166 41 如图，根据条件可知，三角形 AFE，FED，DCB 都是等腰三角形根 据三角形的外角等于不相临的两个内角和及对顶角相等，可知角 EFD的大小为 2A，角 CED的大小为 3A，角 BDC的大小为 4A，所以角 A和角 B之和为 5A，从而 10A 或 9 （2004）如图，长方形 ABCD由 4个等腰直角三角形和一个正方形 EFGH构成，若长方形 ABCD的面积为 ，则正方形 EFGH的面积为（ S ） A B C * D8S10S214 A B C G H B C AE D F 2A 3A 4A4A A B C E D F2A 3A 4A4A D 42 分析 设小正方形的边长是 ，则 GC的长度是 ，HB 的长度是 ，aa2a3 AD的长度是 ，所以 ，从a22491S 而 Sa12 注： SaBCA2123 10(2004) 在圆心为 O，半径为 15的圆内有一点 P，若 OP=12，则 在过 P点的弦中，长度为整数的有（ ） A14 条 B13 条* C12 条 D11 条 分析 如图，过 P且与直径垂直的弦的长度是 ，这也是过 P1825 点的弦中长度最短的，由于直径是过 P点的弦中最长的一条，所以 过 P点的弦中长度为整数的有 条1370 注：按本题的问法，考虑到对称性，结果应为 24条但选项中没有 这个选项 11 （2004） 中，AB=5，AC=3， ，该三角形 BC边上的中ABCxA 线长是 的函数 ，则当 在 中变化时，函数 取值的x)(xfy),0()(xf 范围是（ ） A （0，5） B （1，4）* C （3，4） D （2，5） O P A 清华在线 62781166 43 分析 如图，当 在 内变化时，BC 边上的中线长 f(x)的变化范围xA),0( 是 )4,1( 12 （2005）在四边形 ABCD中对角线 AC，BD 垂直相交于 O点若 AC=30，BD=36，则四边形 ABCD的面积为（ ） A.1080 B.840 C.720 D.540 分析： 如图，易知四边形 ABCD的面积等于 与 的面积之和，其值ABDC 为 ，即正确选项为 D540362121BDAC 13 （2005）在 中，AB=10，AC=8，BC=6过 C点以 C到 AB