2017年衡水金招生高考数学一模试卷（理科）含答案解析

2017 年全国普通高等学校招生高考数学一模试卷（理科）（衡水金卷） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分） 1已知集合 A=x|y= ， B=x|3x 0，则集合 A B=（ ） A 0， 2 B 0， 3 C 0， 2） D（ ， 0 2已知复数 z= （其中 i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A B C D 3若 a 1， 6，则函数 y=x+ 在区间 2， + ）内单调递增的概率是（ ） A B C D 4中国古代数学名著九章算术中记载： 今有大夫、不更、簪襃、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？意思是：今有大夫、不更、簪襃、上造、公士凡五人，他们共猎获 5 只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少，若五只鹿的鹿肉共 500 斤，则不更、簪襃、上造这三人共分得鹿肉斤数为（ ） A 200 B 300 C D 400 5已知双曲线 M 的实轴长为 2，且它的一条渐近线方程为 y=2x，则双曲线 ） A 4 B =1 C D 4 6已知一几何体的三视 图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 14+6 +10 B 14+6 +20 C 12+12 D 26+6 +10 7函数 f（ x） =（ 1） 图象的大致形状是（ ） A B C D 8设 a=b= c= a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B a c b C b c a D c b a 9执行如图所示的程序框图，输出的 n 的值为（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 10如图所示为函数 f（ x） =2x+）（ 0， | ）的部分图象，其中A， B 两点之间的距离为 5，则函数 g（ x） =2x+）图象的对称轴为（ ） A x=12k 8（ k Z） B x=6k 2（ k Z） C x=6k 4 （ k Z ）D x=12k 2（ k Z） 11已知 O 为坐标原点， F 为抛物线 p 0）的焦点，若抛物线与直线 l：x y =0 在第一、四象限分别交于 A， B 两点则 的值等于（ ） A 97+56 B 144 C 73+40 D 42不超过实数 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作 x，已知 f（ x） =x x），给出下列结论： f（ x）是偶函数； f（ x）是周期函数，且最小正周期为 ； f（ x）的单调递减区间为 k， k+1）（ k Z）； f（ x）的值域为 1 其中正确的结论是（ ） A B C D 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分） 13已知向量 =（ 1）， =（ 0）， =（ 1），且（ 2 ） ，则 14若 （ 2x 1） （其中 m 1） ，则二项式（ x ） m 展开式中含 x 项的系数为 15已知正项等比数列 前 n 项和为 16， 4，若不等式 1+一切 n N*恒成立，则实数 的最大值为 16如图是两个腰长均为 10等腰直角三角形拼成的一个四边形 将四边形 成直二面角 A C，则三棱锥 A 外接球的体积为 三、解答题 17已知 三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且满足 （ ）求角 B 的大小 ； （ ）若点 D 在 外接圆上，且 ， 面积为 5 ，求 18如图（ 1），在五边形 ， 0， C=1， ， 以 斜边的等腰直角三角形，现将 起，使平面 平面 图（ 2），记线段 中点为 O （ ）求证：平面 平面 （ ）求平面 平面 成的锐二面角的大小 19团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高效的消费方式，不少商家同时加入多家团购网，现恰有三个 团购网站在 A 市开展了团购业务， A 市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了 50 家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示 （ ）从所调查的 50 家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率； （ ）从所调查的 50 家商家中任选两家，用 表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量 的分布列和数学期望； （ ）将频率视为概率，现从 A 市随机抽取 3 家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为 ，试求事件 “ 2”的概率 20已知点 M 是圆心为 E 的圆（ x+ ） 2+6 上的动点，点 F（ ， 0），线段 垂直平分线交 点 P （ ）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （ ）过原点 O 作直线 l 交（ ）中的轨迹 C 于点 A， B，点 D 满足 = + ，试求四边形 面积的取值范围 21已知函数 f（ x） =a（ a R）， g（ x） = e（ e 为自然对数的底数） （ ）讨论函数 f（ x）的零点个数； （ ）求证：当 x 0 时， f（ x） g（ x） +a 选修 4标系与参数方程 22已知直线 l 的参数方程为 （ t 为参 数），圆 C 的参数方程为 （ （ ）若直线 l 与圆 C 的相交弦长不小于 ，求实数 m 的取值范围； （ ）若点 A 的坐标为（ 2， 0），动点 P 在圆 C 上，试求线段 中点 Q 的轨迹方程 选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x+1| |x 3| （ ）画出函数 f（ x）的图象； （ ）若不等式 f（ x） 对任意实数 m 1，求实数 x 的取值范围 2017 年全国普通高等学校招生高考数学一模试卷（理科）（衡水金卷） 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分） 1 已知集合 A=x|y= ， B=x|3x 0，则集合 A B=（ ） A 0， 2 B 0， 3 C 0， 2） D（ ， 0 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 A 中 x 的范围确定出 A，求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出A 与 B 的交集即可 【解答】 解：由 A 中 y= ，得到 2 x 0， 解得： x 2，即 A=（ ， 2， 由 B 中不等式变形得： x（ x 3） 0， 解得： 0 x 3，即 B=0， 3， 则 A B=0， 2， 故选： A 2已知复数 z= （其中 i 为虚数单位），则 |z|=（ ） A B C D 【考点】 复数求模 【分析】 化简复数 z，求出 z 的模即可 【解答】 解： z= = = i， 故 |z|= = ， 故选： B 3若 a 1， 6，则函数 y=x+ 在区间 2， + ）内单调递增的概率是（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 求出函数 y=x+ 在区间 2， + ）内单调递增时， a 的范围，以长度为测度，即可求出概率 【解答】 解： 函数 y=x+ 在区间 2， + ）内单调递增， 2， a 1， 6， a 1， 4， 函数 y=x+ 在区间 2， + ）内单调递增的概率是 = ， 故选 C 4中国古代数学名著九章算术中记载：今有大夫、不更、簪襃、上造、公士凡五人，共猜得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？意思是：今有大夫、不更、簪襃、上造、公士凡五人，他们共猎获 5 只鹿，欲按其爵级高低依次递减相同的量来分配，问各得多少，若五只鹿的鹿肉共 500 斤，则不更、簪襃、上造这三人共分得鹿肉斤数为（ ） A 200 B 300 C D 400 【考点】 数列的应用 【分析】 由题意可得该数列以公差为 d 的等差数列，设簪襃得 a，则 大夫、不更、簪襃、上造、公士凡以此为 a 2d， a d， a， a+d， a+2d，问题得以解决 【解答】 解：按其爵级高低依次递减相同的量来分配，故该数列以公差为 d 的等差数列，设簪襃得 a， 则大夫、不更、簪襃、上造、公士凡以此为 a 2d， a d， a， a+d， a+2d， 故 a 2d+a d+a+a+d+a+2d=500， 解得 a=100 则不更、簪襃、上造可得 a d+a+a+d=3a=300， 故选： B 5已知双曲线 M 的实轴长为 2，且它的一条渐近线方程为 y=2x，则双曲线 ） A 4 B =1 C D 4 【考点】 双曲线的简单性质；双曲线的标准方程 【分析】 利用已知条件求出双曲线的实半轴的长，虚半轴的长，即可写出方程 【解答】 解：双曲线 M 的实轴长为 2，可知 a=1，它的一条渐近线方程为 y=2x，双曲线的焦点坐标在 x 轴时可得 b=2，双曲线的焦点坐标在 y 轴时 b= 所求双曲线方程为： 或 4 故选： D 6已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A 14+6 +10 B 14+6 +20 C 12+12 D 26+6 +10 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据几何体的三视图知该几何体是半圆柱体与三棱柱的组合体， 结合图中数据求出它的表面积 【解答】 解：根据几何体的三视图知，该几何体是半圆柱体与三棱柱的组合体， 如图所示， 则该几何体的表面积为 S=S 三棱柱 +S 半圆柱 =（ 2 3+ 3+2 2 4） +（ 22+23） =14+6 +10 故选： A 7函数 f（ x） =（ 1） 图象的大致形状是（ ） A B C D 【 考点】 函数的图象 【分析】 先判断函数的奇偶性，再根据特殊值，判断即可 【解答】 解： f（ x）的函数的定义域为 R， f（ x） =（ 1） x） =（ 1） （ 2 1） 1） f（ x）， f（ x）为偶函数， f（ x）关于 y 轴对称， 当 x=0 时， f（ 0） =0， 当 x=1 时， f（ 1） =（ 1） 0， 故选： B 8设 a=b= c= a， b， c 的大小关系是（ ） A a b c B a c b C b c a D c b a 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用对数函数与指数函数的单调性即可得出 【解答】 解： a=（ 0， 1）， b=（ 1， 2）， c=2， c b a 故选： D 9执行如图所示的程序框图，输出的 n 的值为（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序框图，求出 s= 时 n 的值是 11，得到 n=12 时， s ，输出 n 的值为 12 【解答】 解：第一次循环， s= ， n=2， 第二次循环， s= + ， n=3， 第三次循环， s= + + ， n=4， ， 第 m 次循环， s= + + + + = （ 1 ） = ， 解得： m=10， n=m+1=11， 第 m+1 次循环， s ， n=12，输出 n=12； 故选： C 10如图所示为函数 f（ x） =2x+）（ 0， | ）的部分图象，其中A， B 两点之间的距离为 5，则函数 g（ x） =2x+）图象的对称轴为（ ） A x=12k 8（ k Z） B x=6k 2（ k Z） C x=6k 4 （ k Z ）D x=12k 2（ k Z） 【考点】 正弦函数的对称性 【分析】 由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由特殊法的坐标作图求出 的值，可得 g（ x）的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性，求得函数 g（ x） =2x+）图象的对称轴 【解答】 解：根据函数 f（ x） =2x+）（ 0， | ）的部分图象，可得 A=2， 且 2， ， = 再根据 5=42+ ， = ， f（ x） =2x+ ）， 故函数 g（ x） =2x+） =2x+ ） 令 x+ =k Z，求得 x=6k 2， 故选： B 11已知 O 为坐标原点， F 为抛物线 p 0）的焦点，若抛物线与直线 l：x y =0 在第一、四象限分别交于 A， B 两点则 的值等于（ ） A 97+56 B 144 C 73+40 D 4考点】 抛物线的简单性质 【分析】 设出 A、 B 坐标，利用焦半径公式求出 |结合 ，求出 A、B 的坐标，然后求其比值 【解答】 解：由题意，直线过焦点，设 A（ B（ 则|x1+x2+p= =8p， x1+p， ， p， p = =97+56 ， 故选 A 12不超过实数 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作 x，已知 f（ x） =x x），给出下列结论： f（ x）是偶函数； f（ x）是周期函数，且最小正周期为 ； f（ x）的单调递减区间为 k， k+1）（ k Z）； f（ x）的值域为 1 其中正确的结论是（ ） A B C D 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 作函数 f（ x） =x x）的图象， 结合图象逐一核对四个命题得答案 【解答】 解：作函数 f（ x） =x x）的图象如下， y=f（ x）不是偶函数，故 不正确； y=f（ x）为周期函数，周期为 1，故 不正确； 当 x k， k+1）时， f（ x）是单调递减函数，故 正确； y=f（ x）的最小值不存在，最大值为 1，故 不正确； 正确结论的序号是 ， 故选： A 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分） 13已知向量 =（ 1）， =（ 0）， =（ 1），且（ 2 ） ，则 【考点】 平行向量与共线向量 【分析】 2 =（ 32），利用向量共线定理即可得出 【解答】 解： 2 =（ 32）， （ 2 ） ， 32， 解得 故答案为： 14若 （ 2x 1） （其中 m 1），则二项式（ x ） m 展开式中含 x 项的系数为 3 【考点】 二项式系数的性质 【分析】 根据微积分基本定理首先求出 m 的值，然后再根据二项式的通项公式求出 m 的值，问题得以解决 【解答】 解：由于 （ 2x 1） x） | =m（ 1 1） =6，解得m=3 或 m= 2（舍去） （ x ） 3 的通项公式为 =（ 1） 2r， 令 3 2r=1，求得 r=1，故含 x 项的系数为 3 故答案为： 3 15已知正项等比数列 前 n 项和为 16， 4，若不等式 1+一切 n N*恒成立，则实数 的最大值为 4 【考点】 数列的应用；数列与不等式的综合 【分析】 求出数列的公比，求出前 n 项和，利用不等式求解最值即可 【解答】 解：正项等比数列 前 n 项和为 16， 4， 可得 16可得 q=2 =3 2n 3 不等式 1+ 2n 2 对一切 n N*恒成立， 可得 4 则实数 的最大值为： 4 故答案为： 4 16如图是两个腰长均为 10等腰直角三角形拼成的一个四边形 将四边形 成直二面角 A C，则三棱锥 A 外接球的体积为 500 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 先确定三棱锥 A 外接球直径为 根据图中数据求出外接球的半径 R，从而求得体积 【解答】 解：四边形 ， 0， 沿 成直二面角 A C，如图所示； 平面 平面 三棱锥 A 外接球的直径为 且 |=|+|+|=102+102+102=300 外接球的半径为 R=5 ，它的体积为 =500 故答案为： 500 三、解答题 17已知 三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且满足 （ ）求角 B 的大小； （ ）若点 D 在 外接圆上，且 ， 面积为 5 ，求 【考点】 余弦定理；正弦定理 【 分 析 】 （ ） 利 用 诱 导 公 式 ， 正 弦 定 理 化 简 已 知 等 式 可 得，由于 0，可求 ，结合范围 0 B ，可求 B 的值 （ ）由点 D 在 外接圆上，可得 D= B= ，或 B=D= ，利用三角形面积公式可求 而利用余弦定理即可解得 值 【解答】 （本 题满分为 12 分） 解：（ ） ， ，由正弦定理可得： ， 3 分 0 C ， 0， ，可得： ， 0 B ， B= 6 分 （ ） 由点 D 在 外接圆上，可得： D= B= ，或 B=D= ， 7分 S D=5 ，解得： ， 在 ，由余弦定理，可得： 2D1或 61， 或 12 分 18如图（ 1），在五边形 ， 0， C=1， ， 以 斜边的等腰直角三角形，现将 起，使平面 平面 图（ 2），记线段 中点为 O （ ）求证：平面 平面 （ ）求平面 平面 成的锐二面角的大小 【考点】 二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）推导出四边形 平行四边形， 而平面 此能证明平面 平面 （ ）以 O 为坐标原点，以 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 平面 成的锐二面角的大小 【解答】 证明：（ ） O 是线段 中点， D， 又 四边形 平行四边形， 又 0， 又 O 是等腰直角 边上的中点， ， 平面 面 平面 平面 解：（ ） 平面 平面 平面 两垂直， 以 O 为坐标原点，以 在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， 等腰直角三角形，且 C=1， B=E=1， O（ 0， 0， 0）， A（ 1， 0， 0）， B（ 1， 0， 0）， C（ 1， 1， 0）， D（ 0， 1， 0）， E（ 0， 0， 1）， =（ 1， 0， 0）， =（ 0， 1， 1）， 设平面 一个法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 y=1，得 =（ 0， 1， 1）， 平面 是平面 一个法向量， 设平面 平面 成的锐二面角为 ， 则 |= = ， 平面 平面 成的锐二面角的大小为 45 19团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高效的消费方式，不少商家同时加入多家团购网，现恰有三个团购网站在 A 市开展了团购业务， A 市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了 50 家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示 （ ）从所调查的 50 家商 家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率； （ ）从所调查的 50 家商家中任选两家，用 表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量 的分布列和数学期望； （ ）将频率视为概率，现从 A 市随机抽取 3 家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为 ，试求事件 “ 2”的概率 【考点】 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 【分析】 （ I）设 “从所调查的 50 家商家中任选两家，他们加入团购网站的数量不相等 ”为事件 A，则 表示事件 “从所调查的 50 家商家中任选两家 ，他们加入团购网站的数量相等 ”，则 P（ A） =1 P （ 的取值为 0， 1， 2 P（ =0） = ， P（ X=1） = ，P（ X=2） = 即可得出 的分布列与数学期望 （ 调查的 50 家商家中加入两个团购网站的商家有 25 家，将频率视为概率，则从 A 市任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率P= = ，可得 B ，事件 “ 2”的概率 P（ 2） =P（ =2） +P（ =3），即可得出 【解答】 解：（ I）设 “从所调查的 50 家商家中任选两家，他们加入团购网站的数量不相等 ”为事件 A，则 表示事件 “从所调查的 50 家商家中任选两家，他们加入团购网站的数量相等 ”，则 P（ A） =1 P =1 = （ 的取值为 0， 1， 2 P（ =0） = = ， P（ X=1） = = ，P（ X=2） = = 的分布列为： 0 1 2 P E（ X） =0 +1 +2 = （ 调查的 50 家商家中加入两个团购网站的商家有 25 家，将频率视为概率，则从 A 市任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率P= = ，可得 B ，事件 “ 2”的概率 P（ 2） =P（ =2） +P（ =3） = + = 20已知点 M 是圆心为 E 的圆（ x+ ） 2+6 上的动点，点 F（ ， 0），线段 垂直平分线交 点 P （ ）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （ ）过原点 O 作直线 l 交（ ）中的轨迹 C 于点 A， B，点 D 满足 = + ，试求四边形 面积的取值范围 【考点】 轨迹方程 【分析】 （ ）得到 |求出点 P 的轨迹是椭圆，其中 2a=4， c= ，求出椭圆方程即可； （ ）求出 S 过讨论 短轴、 长轴的情况，求出四边形的面积即可 【解答】 解：（ ）由于点 P 为线段 垂直平分线， 故 | 故 |4 2 ， 故点 P 的轨迹是椭圆，其中 2a=4， c= ， 因此 P 点的轨迹 C 的方程是： +； （ ）由 = + ，知四边形 平行四边形， 故 S （ 1） 短轴时， S | 2 = 即 ； （ 2） 长轴时，易知 是四边形，故 率不是 0； （ 3）直线 斜率存在且不是 0 时，设其 斜率为 k， 则直线 方程是： y=k 0）， 设 A（ B（ 联立方程组 ，消去 x 得： （ 1+44， 故 y1+， ， S | = = ， 而 +4 4，故 0 =2 ， 综上，四边形 面积的取值范围是（ 0， 2 21已知函数 f（ x） =a（ a R）， g（ x） = e（ e 为自然对数的底数） （ ）讨论函数 f（ x）的零点个数； （ ）求证：当 x 0 时， f（ x） g（ x） +a 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 （ I）求出 y= 单调性和极值，得出 y= 值域，根据单调性和极值讨论 a 的范围得出 f（ x）零点的个数； （ 出 f（ x）的最小值和 g（ x）的最大值，使用作差法即可得出结论 【解答】 解：（ I）令 f（ x） =0 得 a= 令 h（ x） = h（ x） = 1， 当 0 x 时， h（ x） 0，当 x 时， h（ x） 0， h（ x）在（ 0， ）上单调递增，在（ ， + ）上单调递减， x） =h（ ） = ， 又 x0 时， h（ x） 0，当 x + 时， h（ x） ， h（ x）在（ ， + ）上存在唯一一个零点 x=1， 作出 h（ x）的大致函数图象如图所示： 当 a 0 或 a= 时， f（ x）有 1 个零点， 当 0 a 时， f（ x）有 2 个零点， 当 a 时， f（ x）没有零点 （ 明： f（ x） g（ x） +ag（ x）， g（ x） = = ， 当 0 x 1 时， g（ x） 0，当 x 1 时， g（