bs期权定价与二叉树期权定价

第三节 Black-Scholes 期权定价模型 一 与期权定价有关的基本假设: （一）.关于金融市场的基本假设 假设一:市场不存在摩擦.这就是说金融市场没有交易成本(包括佣金 费用,买卖价差,税赋,市场冲击等),没有保证金要求,也没有买空的限制.提 出市场无摩擦的假设在于简化金融资产定价的分析过程,其主要理由 有以下两点:第一,对于大的金融机构来说,这一假设是一个较好的近 似,因为他们的交易成本很低,他们在保证金要求和卖空方面受的约束 很少,他们能够以买卖差的中间价进行交易等.由于金融机构是市场价 格的制定者,所以从描述性角度出发,上述假设是一个较为现实的假设.第 二,对于小的市场参与者来说,他们首先需要了解的是无摩擦条件下金 融市场将如何运作.在此基础上,才能对复杂场合下的市场规律进行进 一步深入分析.因此,从规范性角度出发,上述假设也是绝对必要的. 假设二:市场参与者不承担对家风险.这就是说,对于市场参与者所涉 及的任何一个金融合同交易,合同对家不存在违约的可能. 假设三:市场是完全竞争的这就是说,金融市场上任何一位参与者都是 价格的承受者,而不是价格的制定者.此假设被现代财务金融学普遍采 纳,相当于一条标准的公理.任何参与者都可以根据自己的愿望买入和 卖出任何数量的证券,而不至于影响该证券的市场价格.显然市场规模 越大,竞争性市场假设就越接近于现实. 假设四:市场参与者厌恶风险,而且希望财富越多越好. 假设五:市场不存在套利机会.如果市场上存在套利的机会,价格会迅 速准确的进行调整,使得这种套利机会很快消失. （二）.关于股利的假设 股利是影响期权价值的一个重要因素.不过,在研究期权定价问题时, 股利是一个广义概念.首先,这一概念包含了通常意义上的股利,即发 行标的股票公司向其股东定期支付的现金股利,我们称之为离散股利 对于标的资产为股票的合同其大小一般用 D 表示.一般来说,离散股 利的支付发生在期权有效期内某些特定的时刻,它们往往是可以预先 知道的.例如,公司将在每个季度末或每隔半年发放一定的股利.另一 方面,对于标的资产为货币,股票指数,期货等的非股票期权来讲,所谓 的的股利是指标的资产所有者在一段时间内,按一定的收益率所得到 的报酬,如利息收入,因此它是一种连续的支付,我们称之为连续股利, 其大小通常用股利支付率 二 模型假设与概述 （一）模型假设 Black 和 Scholes 在推导 B-S 模型时做了以下假设: (1)无风险利率 已知,且为一个常数,不随时间变化.r (2)标的资产为股票,其价格 的变化为一几何布朗运动,即ts tttdsdz 或者说, 服从正态分布t 由(18)式容易得到21/20exp(.5),0t tsteT 其中 为标准正态分布 N(0,1),且不同时刻的 相互独立.t te (3)标的股票不支付股利. (4)期权为欧式期权 (5)对于股票市场,期权市场和资金借贷市场来说,不存在交易费用,且 没有印花税. (6)投资者可以自由借入或贷出资金,借入利率与贷出的利率相等,均 为无风险利率.而且,所有证券交易可以无限制细分,即投资者可以购 买任意数量的标的股票. (7)对卖空没有任何限制( 如不设保证金),卖空所得资金可由投资者自 由使用. （二）模型的概述 在上述假设下,若记 为定价日标的股票的价格, 为看涨期权合同的ts X 执行价格, 是按连续复利计算的无风险利率, 为到期日, 为当前定r Tt 价日, 是定价日距到期日的时间(单位为年), 是标的股票价格的Tt 波动率,则可得到 B-S 模型如下: (1)在定价日 ( ),欧式看涨期权的价值 为ttc .(22)()12)rTttcsNdXed 式中: .(23)21/21ln(/)(/)(/()tsrtTt (24)1/2dT 而 是标准正态变量的累积分布函数,即()Nx pXx 其中 服从 .(0,1) (2)由看涨期权-看跌期权平价公式: ,且注意到 的()rTtttpcsXe()Nx 性质 + ,()Nx)1 欧式看跌期权在定价日 的价值 为ttp (25)tp()12()rTttsdXeNd 三 模型的推导与推广 （一） Black 和 Scholes 的推导 假设期权当前时刻的价值为 ,显然 是标的股票当前市场价格 的tFt ts 函数. Black 和 Scholes 首先构造了如下套期组合 :即在当前 时刻,以 买入标的股票 股,同时以 卖空一份期权.显然,该组合的构造ts/ttst 成本 .当时间变化一个微小区间 (即从 到 ),(/)ttttAFtAttA 可近似看成是一个常数,则该组合价值 的变动 为:/tts ttd (26)tttdsdF 注意到,由 B-S 模型的假设 tttdssdz 又由伊藤引理(11)式,期权价值 作为 的函数,应满足以下公式tFts 2(0.5)tt ttt tFFdsdz 将上述两式代入(26)式得 (27) 20.5t tt tdAsd 在(27) 式中随机项 已经不存在,这说明在 这段时间上,该套期tdz,tA 组合价值的变动是确定的,不存在风险.因此,根据无套利定价原则,不 考虑交易成本等因素,在该时间段组合的收益应当是无风险利率 ,即r (28)()ttt tFdArsd 将(27),(28) 结合化简得 : (29) 20.5tt tttFFrssr 此式就是著名的 B-S 微分方程 ,它构成的包括期权在内的任何一种衍 生工定价模型的基础.这就是说,B-S 方程可以用于任何一种衍生工具 的定价,只要该衍生工具的标的资产价格变化服从几何布朗运动.对于 不同类型的衍生工具来说,其价值 有不同的边界条件.给定这些特定tF 的边界条件,就可以通过求解上述偏微分方程,得到该衍生工具的定价 模型. 对于欧式看涨期权来说,其价值 在到期日 的边界条件为:tFtcT max(0,)TTFcsX 而对于欧式看跌期权来说,其价值 a(,)TTps 根据上述边界条件,Black 和 Scholes 得到了 B-S 方程的解,它们就是 B-S 期权定价模型。 （二）Black-scholes 期权定价公式的拓展 （1）无收益资产的欧式看跌期权的定价公式 Black-Scholes 期权定价模型给出的是无收益资产的欧式看涨期 权的定价公式根据欧式看涨期权和看跌期权之间的评价关系，可以 得到无收益资产的欧式看跌期权的定价公式： .（30()()21()rTtrTtt t tpcXeSeNdS ） （2）无收益资产的美式期权的定价公式 在标的资产无收益的情况下，由于 ，所以式（22）也给出ttCc 了无收益资产的美式看涨期权的价值。 美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，因此美 式看跌期权的定价还没有一个精确的解析公式，但可以用数值的方 法以及解析近似方法求出。 （3）有收益资产的期权的定价公式 到现在为止，我们一直假设期权的标的资产没有现金收益。那 么，对于有收益资产，其期权定价公式是什么呢？实际上，如果收 益可以准确的预测到，或者说是已知的，那么有收益资产的欧式期 权定价并不复杂。 在收益已知的情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分： 期权有效期内已知现金手一点现值部分和一个有风险部分。当期权 到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此， 我们只要用 表示有风险部分的证券价格， 表示风险部分遵循随tS 机过程的波动率，就可以直接套用公式（22）和（30）分别计算出 有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。 当标的证券已知收益的现值为 时，我们只要用（ ）代替ItSI 式（22）和式（30）中的 即可求出固定收益证券欧式看涨期权和tS 看跌期权的价格。 当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率 （单位：q 年）时，我们只要将 代替式（22）和式（30）中的 就()qTttSe tS 可以求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨期权和看跌期权 的价格，在各种期权中，股票指数期权，外汇期权，和期货期 权的标的资产可以看做是支付连续红利率的，因而它们适用于 这一定价公式。 另外对于有收益资产的美式期权，由于有提前执行的可能， 我们无法得到精确的解析解，仍然需要用数值方法以及解析近 似方法求出。 （三）Black-Scholes 期权定价公式的计算 （1）Black-Scholes 期权定价模型的参数 我们已经知道，Black-Scholes 期权定价模型中的期权价格取 决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、 无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准 差） 。在这些参数当中，前三个都是很容易获得的确定数值，但 是无风险利率和标的资产价格波动率则需要通过一定的计算求 得估计值。 估计无风险利率 在发达的金融市场上，很容易获得无风险利率的估计值，但 是在实际应用的时候仍然需要注意几个问题。首先，我们需要 选择正确的利率。一般来说，在美国，人们大多选择美国国库 券利率作为无风险利率的估计值。美国国库券所报出的利率通 常为贴现率（即利率占票面价值的比例） ，因此需要转化为通常 的利率，并且用连续复利的方式表达出来，才可以在 Black- Scholes 公式中应用。其次，要小心的选择国库券的到期日。如 果利率期限结构曲线倾斜严重，那么不同的到期日的收益率很 可能相差很大，我们必须选择距离期权到期日最近的那个国库 券的利率作为无风险利率。 我们用一个例子来说明无风险利率的计算。假设一个还有 84 天到期的国库券，其买入报价为 8.83，卖出报价为 8.77。由 于短期国库券市场报价为贴现率，我们可以推算出其中间报价 对应的现金价格（面值为 100 美元）为： 100- （8.838.77 ）/2*(84/360)=97.947(美元)TBP 进一步应用连续复利利率的计算公式得到相应的利率： 100/ 100/97.947()rTteTBP0.23re0.92r 估计标的资产价格的波动率 估计标的资产价格的波动率要比估计无风险利率困难的多， 也更为重要。正如第十章所述，估计标的资产价格波动率有两 种方法：历史波动率和隐含波动率。 1. 历史波动率。所谓历史波动率，就是从标的资产价格 的历史数据中计算出价格收益率的标准差。以股票的 价格为例，表(1)列出了计算股票价格波动率的一个简 单说明。很显然，计算波动率的时候，我们运用了统 计学中计算样本均值和标准差的简单方法。其中， 为股票价格百分比收益率， (或者 )则为连续复利tRR 收益率（估计方差） ， 就是相应的（估计）标准差 （波动率） ，即 Black-Scholes 公式计算时所用的参数。 在表(1) 中，共有 11 天的收盘价信息，因此得到 10 个 收益率信息。 =tR1/tp()lnTtt21var()/()ttR 表(1) 历史波动率计算 天数 tptRln()tR2ln()tR 0 100.00 1 101.50 1.0150 0.0149 0.000154 2 98.00 0.9655 -0.0351 0.001410 3 96.75 0.9872 -0.0128 0.000234 4 100.50 1.0388 0.0380 0.001264 5 101.00 1.0050 0.0050 0.000006 6 103.25 1.0223 0.0220 0.000382 7 105.00 1.0169 0.0168 0.000205 8 102.75 0.9786 -0.0217 0.000582 9 103.00 1.0024 0.0024 0.000000 10 102.50 0.9951 -0.0049 0.000053 总计 0.0247 0.004294 样本均值 =0.0247/10=0.00247 样本方差 =0.004294/9=0.0004772 样本标准差 =0.021843 在 Black-Scholes 公式所用的参数中，有三个参数与时间有 关：到期期限、无风险利率和波动率。值得注意的是，这三个 参数的时间单位必须相同，或者同为天、周、或者同为年。年 是经常被用到的时间单位，因此我们常常需要将天波动率转化 成年波动率。在考虑年波动率时，有一个问题需要加以重视： 一年的天数究竟按照日历天数还是按照交易天数计算。一般认 为，证券价格的波动主要来自交易日。因此，在转换年波动率 时，应该按照一年 252 个交易日进行计算。这样，表(1)中的 天波动率相应的年波动率 *250.3467yeardy 在我们的例子中，我们使用的是 10 天的历史数据。在实际 计算时，这个天数的选择往往很不容易。从统计的角度来看， 时间越长，数据越多，获得的精确度一般越高。但是，资产价 格收益率的波动率却又常常随时间的变化，太长的时间段反而 可能降低波动率的精确度。因此，计算波动率时，要注意选取 距离今天较近的时间，一般的经验法则则是设定度量波动率的 时期等于期权的到期期限。因此，如果要为 9 个月的期权定价， 可使用 9 个月的历史数据。 2.隐含波动率 从 Black-Scholes 期权定价模型本身来说，公式中的波动率 指的是未来的波动率数据，这使得历史波动率始终存在较大的 缺陷。为了回避这一缺陷，一些学者将目光转向隐含波动率计 算。所谓隐含波动率，即根据 Black-Scholes 期权定价公式，将 公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价待入，计算 得到的波动率数据。显然，这里计算得到的波动率可以看做是 市场对未来波动率的预期。当然，由于 Black-Scholes 期权定价 公式比较复杂，隐含波动率的计算一般需要通过计算机完成。 （2）利用 Black-Scholes 期权定价公式的一个例子 为了使广大读者进一步理解 Black-Scholes 期权定价模 型，我们下面用一个简单的例子来说明这一模型的计算过程。 例 3.1 假设某种不支付红利股票的市价为 20 元， 无风险利率为 6，该股票的年波动率 为 50，求该股票协议价格为 20 元、 期限 1 年的欧式看涨期权和看跌期权的 价格。 在本题中，可以将相关参数表达如下： =20 =20 =0.06 =0.5 =1tSXrT 计算过程分为三步： 第一步，先算出 和 。1d21=ln(50/)+.0/)*.sqrt(1)=.25d =2-.* sqrt(=5 第二步，计算 和1)Nd2() =1()Nd.0.89425)7 第三步，将上述结果以及已知条件代入公式（22） ， 这样，欧式看涨期权和看跌期权的价格分别为： （美元）0.12*50*.894.795.ce （美元）0.12*(1)(84)0.27p 在本例中，标的资产执行价格和市场价格正好相等， 但是看涨期权的价格却与看跌期权的价格相差悬殊。其 中的原因在于利率和到期期限对期权价格的影响。在本 例中，利率高达 12，到期期限长达 1 年。在这种情 况下，执行价格的现值将大大的降低。对于欧式看涨期 权来说，这意味着内在价值的大幅上升，而对于欧式看 跌期权来说，却意味着内在价值的大幅降低。因此，在 计算了执行价格的现值以后，看涨期权是实值期权而看 跌期权则是一个虚值期权。事实上，实际中的市场短期 利率通常较低，期权到期期限一般不超过 9 个月，因此 如果标的资产市场价格与执行价格相等，同样条件下的 看涨期权价格和看跌期权价格一般比较接近。 （六）Black-Scholes 期权定价公式的应用 Black-Scholes 期权定价公式除了可以用来估计期权 价格，在其他一些方面也有很重要的应用，主要包括评 估组合保险成本、可转换债券定价和为认股权证估值。 （1） 评估组合保险成本 证券组合保险是指事先能够确定最大损失的投资策略，比 如在持有相关资产的同时买入看跌期权就是一种组合保险。 假设你掌管着价值 1 亿元的股票投资组合，这个股票投 资组合与市场组合十分类似。你担心类似于 1987 年 10 月 9 日 的股灾会吞噬你的股票组合，这时购买一份看跌期权也许是合 理的。显然，期权的执行价格越低，组合保险的成本越小，不 过我们需要一个确切的评估，市场上可能根本就没有对应的期 权，要准确估算成本十分困难，此时 Black-Scholes 期权定价公 式就十分有用。比如 10的损失是可以接受的，那么执行价格 就可以设为 9000 万元，然后再将利率、波动率和保值期限的数 据代入公式，就可以合理估算保值成本了。 （2） 给可转换债券定价 可转换债券是一种可有债券持有者转换成股票 的债券，因此可转换债券相当于一份普通的公司 债券和一份看涨期权的组合，即： CBCV 其中 表示可转换债券的价值， 表示从可转换债券中剥CBVB 离出来的债券的价值， 代表从可转换债券中剥离出来的期权C 的价值。 在实际中 的估计是十分复杂的，因为 对利率非常敏感，CVCV 而 Black-Scholes 期权定价公式假定无风险利率不变，对 显然C 不适用。其次，可转换债券中隐含的期权的执行与否会因为股 票股利和债券利息的问题复杂化。而且，许多可转换债券的转 换比例会随时间变化。 绝大多数可转换债券是可赎回的，可赎回债券的分解更加 复杂。对债券持有者而言，它相当于一份普通的公司债券、一 份看涨期权多头（转换权）和一份看涨期权空头（赎回权）的 组合。可赎回的可转换债券对股票价格变动很敏感，而对利率 也非常敏感。当利率下降的时候，公司可能会选择赎回债券。 当然，利率上升的时候债券价值也会上升。 （3） 为认股权证估值 认股权证通常是与债券或优先股一起发行的，它的持有人 拥有在特定的时间以特定的价格认购一定数量的普通股，因此 认股权证其实是一份看涨期权，不过两者之间还是存在细微的 差别，看涨期权执行的时候，发行股票的公司并不会受影响， 而认股权证的执行存在解释效应，在估值的时候必须考虑这一 点。 参考文献： 期权分析-理论与应用 茅宁著 南京大学出版社 数理统计与概率论王志江 陶靖轩 沈鸿 编 中国计量出版社 衍生产品 郑振龙主编 武汉大学出版社 2005 年 2 月第一版 二叉树期权定价模型 （一） 单期二叉树定价模型 （1） 一定数量的股票多头头寸 （2） 该股票的看涨期权的空头头寸 股票的数量要使头寸足以抵御资产价格在到期日的波动风险， 即该组合能实现完全套期保值，产生无风险利率。 C01rd Cu u1 r Cd ud 1+r ud 1+r 最初，投资于 0.5 股股票，需要投资 25 元；收取 6.62 元的期权费，尚需借入 18.38 元。 半年后，股价如果股价涨到 66.66 元， 0.5 股股票收入 33.33 元，借款本息 18.75（18.35*1.02） 看期权的持有人会执行期权，期权出售人补足价差 14.58（66.66-50） ， 投资人的净损益0 股价如果跌到 37.5 元， 0.5 股股票收入 18.75 元，支付借款本息 18.75 元，投资人的净损益为 0 因此该看涨期权的公平价值就是 6.62 元。 （二） 两期二叉树模型 把 6 个月的时间分为两期，每期 3 个月。现在股价 50 元，看涨期权的执行价格 52.08 元。 每期股价有两种可能：上升 22.56%或下降 18.4%；无风险利率为每 3 个月 1%。 股价： 计算 Cu 的价值：有两种办法： 1. 复制组合定价 H（23.020）（75.10 50）0.91713 借款（500.91713）1.0145.40 元 3 个月后股票上行的