一元二次方程1

1（2013郴州）已知关于 x 的一元二次方程 x2+bx+b1=0 有两个相等的实数根，则 b 的值 是 2（2013衡阳）某药品经过两次降价，每瓶零售价由 168 元降为 128 元已知两次降价的 百分率相同，每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得（ ） A 168（1+x） 2=128 B 168（1x） 2=128 C 168（12x）=128 D 168（1x 2）=128 3 （ 2013，娄底）已知：一元二次方程 .022kx （1 ）求证：不论 为何实数时，此方程总有两个实数根；k 4 方程 x29x+18=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 5（2013，成都）一元二次方程 x2+x-2=0 的根的情况是（ ） （A）有两个不相等的实数根 （B）有两个相等的实数根 （C）只有一个实数根 （D）没有实数根 6（ 2013达州）若方程 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围在数轴2360xm 上表示正确的是（ ） 7（ 2013达州）今年， 6 月 12 日为端午节。在端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进 价为 2 元的粽子的销售情况。请根据小丽提供的信息，解答小华和小明提出的问题。 8（2013广安）方程 x23x+2=0 的根是 9 （ 2013乐山） 已知一元二次方程 x2-(2k+1)x+k2+k=0 . (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若ABC 的两边 AB、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边 BC 的长为 5. 当ABC 是等腰三角形时，求 k 的值. 10（ 2013泸州）若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实x210x 数 的取值范围是k A. B. 且 C. 且 D. 且1k0k1k0 11（ 2013泸州）设 是方程 的两个实数根，则 的值为12,x230x21x A.5 B.-5 C.1 D.-1 12（ 2013眉山）已知关于 x 的一元二次方程 032x的两个实数根分别为 、， 则(+3)(+3)=_ 132013自贡）已知关于 x 的方程 x2（a+b）x+ab1=0，x 1、x 2 是此方程的两个实数根，现 给出三个结论：x 1x2；x 1x2ab； 则正确结论的序号是 （填上你认为正确结论的所有序号） 3 14 （2013自贡）用配方法解关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 15（2013 鞍山）已知 b0，关于 x 的一元二次方程（x1） 2=b 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D有两个实数根 16（ 2013大连） 若关于的方程 x-x没有实数根，则实数的 取值范围是( ) .-4 .m-4 .m4 .M4 17（2013铁岭）如果三角形的两边长分别是方程 x28x+15=0 的两个根，那么连接这个三 角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ） A 5.5 B 5 C 4.5 D 4 18 （2013鄂州）下列计算正确的是（ ） A a4a3=a12 B C （x 2+1） 0=0 D 若 x2=x，则 x=1 19（2013鄂州）已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x23x+a=0 的两个解，若（m1） （n1） =6，则 a 的值为（ ） A 10 B 4 C 4 D 10 20（ 2013黄冈）已知一元二次方程 062cx有一个根为 2，则另 一根为（ ）来源:Z_xx_k.Com A.2 B.3 C.4 D.8 21（2013荆门）设 x1，x 2 是方程 x2x2013=0 的两实数根，则 = 22 （2013荆州）已知：关于 x 的方程 kx2 (3k 1)x+2(k 1)=0 （1 ）求证：无论 k 为何实数，方程总有实数根； （2 ）若此方程有两个实数根 x1，x 2,且x 1 x2=2, 求 k 的值 . 23（ 2013潜江） 已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则05 的值为22 A-1 B. 9 C. 23 D. 27 24（ 2013张家界）若关于 x 的一元二次方程 k +4x+3=0 有实根，则的非负整数值是 .2x 25（2013宁夏）一元二次方程 x（x 2）=2 x 的根是（ ） A 1 B 2 C 1 和 2 D 1 和 2 26（2013常州）已知 x=1 是关于 x 的方程 2x2+axa2=0 的一个根，则 a= 27 （2013泰州）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A B C D230x20x210x230x 28（2013玉林）已知关于 x 的方程 x2+x+n=0 有两个实数根 2，m求 m，n 的值 29 2013包头）已知方程 x22x1=0，则此方程（ ） A 无实数根 B 两根之和为2 C 两根之积为1 D 有一根为1+ 30（2013呼和浩特）已知 ， 是关于 x 的一元二次方程 x2+（2m+3）x+m 2=0 的两个不 相等的实数根，且满足 + =1，则 m 的值是（ ） A 3 或1 B 3 C 1 D 3 或 1 点评： 1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力一元 二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 2、一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系为：x 1+x2= ，x 1x2= （2013遵义）已知 x=2 是方程 x2+mx6=0 的一个根，则方程的另一个根是 3 考点： 根与系数的关系3718684 5 专题： 计算题 分析： 根据根与系数的关系得到2x 1=6，然后解一次方程即可 解答： 解：设方程另一个根为 x 1，根据题意得2 x1=6， 所以 x1=3 故答案为 3 点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根与系数的关系：若方程两个为 x1，x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= 2013北京）已知关于 的一元二次方程 0422kx有两个不相等的实数根 （1 ）求 k的取值范围； （2 ）若 为正整数，且该方程的根都是整数，求 的值。 解析： （2013天津）一元二次方程 x（x 6）=0 的两个实数根中较大的根是 6 考点： 解一元二次方程-因式分解法 3718684 专题： 计算题 分析： 原方程转化为 x=0 或 x6=0，然后解两个一次方程即可得到原方程较大的根 解答： 解： x=0 或 x6=0， x1=0，x 2=6， 原方程较大的根为 6 故答案为 6 点评： 本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程右边变形为 0，再把方程左边分 解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即 可得到一元二次方程的解 (2013 山东滨州，10，3 分)对于任意实数 k，关于 x 的方程 x22(k+1)xk 2+2k1=0 的根 的情况为 A有两个相等的实数根 B没有实数根 C有两个不相等的实数根 D无法确定 【答案】 C. (2013 山东滨州，16，4 分)一元二次方程 2x23x+1=0 的解为_ 【答案】x 1=1，x 2= . （2013 东营）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场） ，计划安 排 21 场比赛，则参赛球队的个数是（ C ） A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 （2013 菏泽） （1）已知 m 是方程 x2x2=0 的一个实数根，求代数式 的值 分析：（1）根据方程的解得出 m2m2=0，m 22=m，变形后代入求出即可； 解答：解：（1）m 是方程 x2x2=0 的根， m2m2=0，m 22=m， 原式 =（m 2m） （ +1） =2（ +1）=4 （2013 菏泽）已知：关于 x 的一元二次方程 kx2（4k+1）x+3k+3=0 （k 是整数） （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为 x1，x 2（其中 x1x 2） ，设 y=x2x1，判断 y 是否为变量 k 的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由 7 考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法 专题：证明题 分析：（1）根据一元二次方程定义得 k0，再计算 =（4k+1） 24k（3k+3） ，配方得 =（2k1 ） 2，而 k 是整数，则 2k10，得到=（2k1） 20，根据 的意义即可得到方程有 两个不相等的实数根； （2）先根据求根公式求出一元二次方程 kx2（4k+1）x+3k+3=0 的解为 x=3 或 x=1+ ，而 k 是整数，x 1x 2，则有 x1=1+ ，x 2=3，于是得到 y=3（1+ ）=2 解答：（1）证明：k 0， =（4k+1） 24k（3k+3） =（2k1 ） 2， k 是整数， k ，2k 10， =（2k 1） 20， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：y 是 k 的函数 解方程得，x= = ， x=3 或 x=1+ ， k 是整数， 1， 1+ 23 又 x1 x2， x1=1+ ，x 2=3， y=3（1+ ）=2 点评：本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当 0，方 程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数 根也考查了利用公式法解一元二次方程 （2013 聊城）若 x1=1 是关于 x 的方程 x2+mx5=0 的一个根，则方程的另一个根 x2= 考点：根与系数的关系 分析：设方程的另一根为 x2，由一个根为 x1=1，利用根与系数的关系求出两根之积，列出 关于 x2 的方程，求出方程的解得到 x2 的值，即为方程的另一根 解答：解：关于 x 的方程 x2+mx5=0 的一个根为 x1=1，设另一个为 x2， x2=5， 解得：x 2=5， 则方程的另一根是 x2=5 故答案为：5 点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0） ，当 b24ac0 时方程有解，此时设方程的解为 x1，x 2，则有 x1+x2= ，x 1x2= （2013青岛）某企业 2010 年底缴税 40 万元，2012 年底缴税 48.4 万元，设这两年该企业 缴税的年平均增长率为 x，根据题意，可得方程_ 答案：40（1x） 248.4 解析：2010 年为 40，在年增长率为 x 的情况下，2011 年应为 40（1x） ， 2012 年为 40（1x ） 2，所以，40（1x） 248.4 （2013 日照）已知一元二次方程 03的较小根为 1,则下面对 1的估计正确的 是 A 12x B 21x C 3 D 0 答案：A 解析：用求根公式，得： 132x， 16 132 9，即 1.5x， 只有 A 是正确的。 （2013 日照）已知，关于 x 的方程 xmx22的两个实数根 1x、 2满足12x ，求实数 m的值. 解：原方程可变形为： 0)1(22xx. 5 分 1x、 2是方程的两个根， 9 0, 即：4（m +1） 2-4m20, 8m+40, m 21. 又 1x、 2满足 12x, 1= 2x或 1=- 2 , 即=0 或 1x+ 2=0, 8 分 由=0, 即 8m+4=0,得 m= . 由 1x+ 2=0,即:2(m+1)=0,得 m=-1,(不合题意，舍去) 所以,当 时，m 的值为 21 （2013 泰安）某商店购进 600 个旅游纪念品，进价为每个 6 元，第一周以每个 10 元的价 格售出 200 个，第二周若按每个 10 元的价格销售仍可售出 200 个，但商店为了适当增加销 量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1 元，可多售出 50 个，但售价不得低于进 价） ，单价降低 x 元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个 4 元的价格 全部售出，如果这批旅游纪念品共获利 1250 元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多 少元？ 考点：一元二次方程的应用 专题：销售问题 分析：根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即 可 解答：解：由题意得出：200（10 6）+ （10 x6） （200+50x）+（46） （600200 （200+50x）=1250， 即 800+（4 x） （200+50x）2（200 50x）=1250 ， 整理得：x 22x+1=0， 解得：x 1=x2=1， 101=9， 答：第二周的销售价格为 9 元 点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键 （2013威海）已知关于 x 的一元二次方程（x+1） 2m=0 有两个实数根，则 m 的取值范围 是（ ） A m B m0 C m1 D m2 考点： 解一元二次方程-直接开平方法 分析： 首先移项把m 移到方程右边，再根据直接开平方法可得 m 的取值范围 解答： 解；（x+1） 2m=0， （x+1） 2=m， 一元二次方程（x+1 ） 2m=0 有两个实数根， m0， 故选：B 点评： 本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已 知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正 负，分开求得方程解”来求解 （2013 潍坊）已知关于 的方程 ，下列说法正确的是（ ）.x012xk A.当 时，方程无解0k B.当 时，方程有一个实数解1 C.当 时，方程有两个相等的实数解 D.当 时，方程总有两个不相等的实数解 （2013 枣庄）若关于 x的一元二次方程 20xm有两个不相等的实数根，则m 的取 值范围是 A. 1 B. 1 C. D. （2013 淄博）关于 x 的一元二次方程 有实根.2(6)890ax （1 ）求 a 的最大整数值； （2 ）当 a 取最大整数值时， 求出该方程的根；求 的值.23781x （2013 杭州）当 x 满足条件 时，求出方程 x22x4=0 的根 考点：解一元二次方程-公式法；解一元一次不等式组 分析：通过解一元一次方程组求得 2x4然后利用求根公式 x= 求得 方程程 x22x4=0 的根，由 x 的取值范围来取舍该方程的根 解答：解：由 求得 ， 则 2x4 11 解方程 x22x4=0 可得 x1=1+ ，x 2=1 ， 2 3， 3 1+ 4，符合题意 x=1+ 点评：本题考查了解一元二次方程公式法，解一元一次不等式组要会熟练运用公式法求 得一元二次方程的解 （2013 丽水）一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一16)(2x 次方程是 ，则另一个一元一次方程是46x A. B . C. D. 4x46x （2013温州）方程 的根是_012 （2013佛山）方程 的解是_x 2013广东）雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐 款活动.第一天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100 元. （1 ）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2 ）按照（1 ）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ . （1 ） 10%；（2）12100（1+0.1）=13310（元）. （2013广州）若 50k，则关于 x 的一元二次方程 240xk的根的情况是（ ） A 没有实数根 B 有两个相等的实数根 C 有两个不相等的实数根 D 无法判断 （2013广州）解方程： .0912x （2013珠海）已知一元二次方程： x2+2x+3=0，x 22x3=0下列说法正确的是（ ） A 都有实数解 B 无实数解，有实数解 C 有实数解，无实数解 D 都无实数解 考点： 根的判别式3481324 分析： 求出、的判别式，根据： 当0 时，方程有两个不相等的两个实数根； 当=0 时，方程有两个相等的两个实数根； 当0 时，方程无实数根 即可得出答案 解答： 解：方程的判别式=4 12=8，则 没有实数解； 方程的判别式=4+12=20，则 有两个实数解 故选 B 点评： 本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握跟的判别式与方程根的关系 （2013珠海）某渔船出海捕鱼，2010 年平均每次捕鱼量为 10 吨，2012 年平均每次捕鱼量 为 8.1 吨，求 2010 年2012 年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率 考点： 一元二次方程的应用3481324 专题： 增长率问题 分析： 解答此题利用的数量关系是：2010 年平均每次捕鱼量（1每次降价的百分率） 2=2012 年平均每次捕鱼量，设出未知数，列方程解答即可 解答： 解：设 2010 年2012 年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率 x，根据题意列方程得， 10（1x） 2=8.1， 解得 x1=0.1，x 2=1.9（不合题意，舍去） 答：2010 年2012 年每年平均每次捕鱼量的年平均下降率为 10% 点评： 本题考查的下降的百分率也就是增长率问题，两年前是 10 吨，下降后现在是 8.1 吨， 求每年的下降的百分率，可列式求解 （2013哈尔滨）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，则平 均每次降价的百分率为 （2013牡丹江）若关于 x 的一元二次方程为 ax2+bx+5=0（a0）的解是 x=1，则 2013ab 的值是（ ） A 2018 B 2008 C 2014 D 2012 考点： 一元二次方程的解3718684 分析： 将 x=1 代入到 ax2+bx+5=0 中求得 a+b 的值，然后求代数式的值即可 解答： 解： x=1 是一元二次方程 ax2+bx+5=0 的一个根， a12+b1+5=0， a+b=5， 13 2013ab=2013（a+b）=2013（5）=2018 故选 A 点评： 此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得 到待定系数的方程即可求得代数式 a+b 的值 （2013河南）方程(x-2)(x+3)=0 的解是 A. x=2 B. x= C. x1= ，x 2=3 D. x1=2，x 2=33 （2013 兰州）用配方法解方程 x22x1=0 时，配方后得的方程为（ ） A （x+1） 2=0 B （x 1） 2=0 C （x+1） 2=2 D （x1） 2=2 考点：解一元二次方程-配方法 分析：在本题中，把常数项1 移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数 2 的一半的平 方 解答：解：把方程 x22x1=0 的常数项移到等号的右边，得到 x22x=1， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 x22x+1=1+1 配方得（x1） 2=2 故选 D 点评：考查了解一元二次方程配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右 边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的 倍数 （2013 兰州）据调查，2011 年 5 月兰州市的房价均价为 7600/m2，2013 年同期将达到 8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为 x，根据题意，所列方程为（ ） A7600（1+x%） 2=8200 B7600（1 x%） 2=8200 C7600（1+x） 2=8200 D7600（1x） 2=8200 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 专题：增长率问题 分析：2013 年的房价 8200=2011 年的房价 7600（1+年平均增长率） 2，把相关数值代入即 可 解答：解：2012 年同期的房价为 7600（1+x） ， 2013 年的房价为 7600（1+x） （1+x）=7600 （1+x） 2， 即所列的方程为 7600（1+x） 2=8200， 故选 C 点评：考查列一元二次方程；得到 2013 年房价的等量关系是解决本题的关键 （2013 兰州）若 ，且一元二次方程 kx2+ax+b=0 有两个实数根，则 k 的 取值范围是 考点：根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根 专题：计算题 分析：首先根据非负数的性质求得 a、b 的值，再由二次函数的根的判别式来求 k 的取值范 围 解答：解： ， b1=0， =0， 解得，b=1，a=4； 又 一元二次方程 kx2+ax+b=0 有两个实数根， =a24kb0 且 k0， 即 164k0，且 k0， 解得，k4 且 k0； 故答案为：k4 且 k0 点评：本题主要考查了非负数的性质、根的判别式在解答此题时，注意关于 x 的一元二 次方程的二次项系数不为零 （2013 兰州）解方程：x 23x1=0 利于求根公式 x= 来解方程 （2）关于 x 的方程 x23x1=0 的二次项系数 a=1，一次项系数 b=3，常数项 c=1，则 x = ， 解得，x 1= ，x 2= 点评：本题考查了解一元二次方程公式法利于公式 x= 来解方程时， 需要弄清楚公式中的字母 a、b、c 所表示的含义 （2013黔西南州）某机械厂七月份生产零件 50 万个，第三季度生产零件 196 万个 A、50 （1+x 2）=196 B、50+50（1+x 2）=196 C、50+50（1+x）+50 （1+x 2）=196 D、 50+50（1+x ）+50（1+2 x）=196 （2013黔西南州）已知 是一元二次方程 的一个根，则代数式120xab 的值是_。2ab （2013乌鲁木齐）若关于 x 的方程式 x2x+a=0 有实根，则 a 的值可以是（ ） 15 A 2 B 1 C 0.5 D 0.25 考点： 根的判别式3797161 分析： 根据判别式的意义得到=（ 1） 24a0，然后解不等式，最后根据不等式的解集进行 判断 解答： 解：根据题意得=（ 1） 24a0， 解得 m 故选 D 点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当 0，方程 有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实 数根 （2013江西）若一个一元二次方程的两个根分别是 Rt ABC 的两条直角边长，且 S ABC=3，请写出一个符合题意的一元二次方程 【答案】 x 25x +6=0. 【考点解剖】 本题是道结论开放的题（答案不唯一），已知直角三角形的面积为 3（直 角边长未定），要写一个两根为直角边长的一元二次方程，我们尽量写边长为整数的情况 （即保证方程的根为整数），如直角边长分别为 2、3 的直角三角形的面积就是 3，以 2、3 为根的一元二次方程为 ；也可以以 1、6 为直角边长，得方程为2560x .（求作一元二次方程，属“一元二次方程根与系数的关系”知识范畴，760x 这种题型在以前相对考得较少，有点偏了.） 【解题思路】 先确定两条符合条件的边长，再以它为根求作一元二次方程 【解答过程】 略. 【方法规律】 求作方程可以用根与系数的关系，也可由因式分解法解一元二次方程. 【关键词】 直角三角形 根 求作方程 （2013上海）下列关于 x 的一元二次方