万有引力、天体运动高考复习资料

第五章 万有引力、天体运动 第一部分 五年高考题荟萃 2009 年高考新题 一、选择题 1.（09全国19）天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的 4.7 倍，是地球的 25 倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为 1.4 小时，引力常量 G=6.6710-11Nm2/kg2,由此估算该行星的 平均密度为 （ D ） A.1.8103kg/m3 B. 5.6103kg/m3 C. 1.1104kg/m3 D.2.9104kg/m3 解析：本题考查天体运动的知识.首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供 224TRmMG,可 求出地球的质量.然后根据 34RM,可得该行星的密度约为 2.9104kg/m3。 2.（09上海物理8）牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律。 在创建万有引力定律的过程中，牛顿 （ AB ） A接受了胡克等科学家关于 “吸引力与两中心距离的平方成反比 ”的猜想 B根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即 Fm 的结 论 C根据 Fm 和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出 Fm1m2 D根据大量实验数据得出了比例系数 G 的大小 解析：题干要求“在创建万有引力定律的过程中” ，牛顿知识接受了平方反比猜想，和物体受地球的引力与其 质量成正比，即 Fm 的结论，而提出万有引力定律后，后来利用卡文迪许扭称测量出万有引力常量 G 的大小， 只与 C 项也是在建立万有引力定律后才进行的探索，因此符合题意的只有 AB。 3.（09广东物理5）发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道 的地方，如图这样选址的优点是，在赤道附近 （ B ） A地球的引力较大 B地球自转线速度较大 C重力加速度较大 D地球自转角速度较大 解析：由于发射卫星需要将卫星以一定的速度送入运动轨道，在靠进赤道处的地面上 的物体的线速度最大， 发射时较节能，因此 B 正确。 2 4.（09江苏物理 3）英国新科学家（New Scientist） 杂志评选出了 2008 年度世界 8 项科学之最，在 XTEJ1650-500 双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径 R约 45km，质量 M和半径 R的关系满 足 2McRG （其中 为光速， G为引力常量） ，则该黑洞表面重力加速度的数量级为 （ C ） A 8210m/s B 102m/s C D 4 解析：处理本题要从所给的材料中，提炼出有用信息，构建好物理模型，选择合适的物理方法求解。黑洞实际 为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为 m 物体有： mgRMG2，又有 2cRG ，联立解得 Rcg2，带入数据得重力加速度的数量级为 120/s， C 项正确。 5.（09广东理科基础10）关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是 （ A ） A第一宇宙速度又叫环绕速度 B第一宇宙速度又叫脱离速度 C第一宇宙速度跟地球的质量无关 D第一宇宙速度跟地球的半径无关 解析：第一宇宙速度又叫环绕速度 A 对，B 错；根据定义有 RVmMG22 可知与地球的质量和半径有关，CD 错。 6.（09重庆17）据报道， “嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为 200Km 和 100Km，运动速率分别为 v1 和 v2， 那么 v1 和 v2 的比值为（月球半径取 1700Km） （ C ） A. 198 B. 98 C, 89 D. 7.（09四川15）据报道，2009 年 4 月 29 日，美国亚利桑那州一天文观测机构发现一颗与太阳系其它行星 逆向运行的小行星，代号为 2009HC82。该小行星绕太阳一周的时间为 3.39 年，直径 23 千米，其轨道平面 与地球轨道平面呈 155的倾斜。假定该小行星与地球均以太阳为中心做匀速圆周运动，则小行星和地球绕太 阳运动的速度大小的比值为 （ A ） A. 13.9 B. 123.9 C. 32.9 D. 23.9 解析：小行星和地球绕太阳作圆周运动，都是由万有引力提供向心力，有 2GMmR 2()T，可知小行星和 3 地球绕太阳运行轨道半径之比为 R1:R2 321T ，又根据 V GMR，联立解得 V1:V2 31T ，已知 1213.9 ，则 V1:V2 3.9 。 8.（09安徽15）2009 年 2 月 11 日，俄罗斯的“宇宙-2251”卫星和美国的“铱-33 ”卫星在西伯利亚上空约 805km 处发生碰撞。这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件。碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太 空环境。假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大，则下列说法中正确的是 （ D ） A. 甲的运行周期一定比乙的长 B. 甲距地面的高度一定比乙的高 C. 甲的向心力一定比乙的小 D. 甲的加速度一定比乙的大 解析：由 rGMv可知，甲的速率大，甲碎片的轨道半径小，故 B 错；由公式 GMR2T3可知甲的周期 小故 A 错；由于未知两碎片的质量，无法判断向心力的大小，故 C 错；碎片的加速度是指引力加速度由maR2 得 2，可知甲的加速度比乙大，故 D 对。 9.（09安徽16）大爆炸理论认为，我们的宇宙起源于 137 亿年前的一次大爆炸。除开始瞬间外，在演化至 今的大部分时间内，宇宙基本上是匀速膨胀的。上世纪末，对 1A 型超新星的观测显示，宇宙正在加速膨胀， 面对这个出人意料的发现，宇宙学家探究其背后的原因，提出宇宙的大部分可能由暗能量组成，它们的排斥作 用导致宇宙在近段天文时期内开始加速膨胀。如果真是这样，则标志宇宙大小的宇宙半径 R 和宇宙年龄的关 系， 大致是下面哪个图像 （ C ） 解析：图像中的纵坐标宇宙半径 R 可以看作是星球发生的位移 x，因而其切线的斜率就是宇宙半径增加的快慢 程度。由题意，宇宙加速膨胀，其半径增加的速度越来越大。故选 C。 10.（09山东18）2008 年 9 月 25 日至 28 日我国成功实施了“神舟”七号载入航天飞行并实现了航天员首 次出舱。飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点 343 千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为 343 千米的圆轨道， 在此圆轨道上飞船运行周期约为 90 分钟。下列判断正确的是 （ BC ） A飞船变轨前后的机械能相等 B飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态 P A 地球 Q 轨道 1 轨道 2 4 C飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度 D飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度 解析：飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以 A 不正确。飞船在圆轨道上时万有引力来提供向心力，航 天员出舱前后都处于失重状态，B 正确。飞船在此圆轨道上运动的周期 90 分钟小于同步卫星运动的周期 24 小 时，根据 2T可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C 正确。飞船变轨前 通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所 以相等，D 不正确。 考点：机械能守恒定律，完全失重，万有引力定律 提示：若物体除了重力、弹性力做功以外，还有其他力(非重力、弹性力) 不做功，且其他力做功之和不为零， 则机械能不守恒。 根据万有引力等于卫星做圆周运动的向心力可求卫星的速度、周期、动能、动量等状态量。由 22MmvGr 得 Gr，由 22()MmrrT得 3rGM ，由 22mr得 3GMr，2na 可求向心加速度。 11.（09福建14） “嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为 r，运行速 率为 v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时 （ C ） A.r、v 都将略为减小 B.r、v 都将保持不变 C.r 将略为减小，v 将略为增大 D. r 将略为增大， v 将略为减小 解析：当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时，引力变大，探测器做近心运动，曲率半径略 为减小，同时由于引力做正功，动能略为增加，所以速率略为增大。 12.（09浙江19）在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道。已 知太阳质量约为月球质量的 710.2倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的 400 倍。关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是 （ AD ） A太阳引力远大于月球引力 B太阳引力与月球引力相差不大 C月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D月球对不同区域海水的吸引力大小有差异 解析： 2RMF、，代入数据可知，太阳的引力远大于月球的引力；由于月心到不同区域海水的 距离不同，所以引力大小有差异。 5 13. (09广东文科基础59)关于万有引力及其应用，下列表述正确的是 （ D ） A人造地球卫星运行时不受地球引力作用 B两物体间的万有引力跟它们质量的乘积成反比 C两物体间的万有引力跟它们的距离成反比 D人造卫星在地面附近绕地球作匀速圆周运动所必须具有的速度，称为第一宇宙速度 二、非选择题 14.（09海南物理11）在下面括号内列举的科学家中，对发现和完善万有引力定律有贡献的是 。 （安培、牛顿、焦耳、第谷、卡文迪许、麦克斯韦、开普勒、法拉第） 答案：第谷（1 分） ；开普勒（1 分） ；牛顿（1 分） ；卡文迪许 （1 分） 评分说明：每选错 1 个扣 1 根，最低得分为 0 分。 15.（09上海45）小明同学在学习了圆周运动的知识后，设计了一个课题，名称为：快速测量自行车的骑行 速度。他的设想是：通过计算踏脚板转动的角速度，推算自行车的骑行速度。经过骑行，他得到如下的数据： 在时间 t 内踏脚板转动的圈数为 N，那么脚踏板转动的角速度 = ;要推算自行车的骑行速度， 还需要测量的物理量有 ；自行车骑行速度的计算公式 v= . 答案： ;2tN牙盘的齿轮数 m、飞轮的齿轮数 n、自行车后轮的半径 R(牙盘的半径 r1、飞轮的半径 r2、自行车 后轮的半径 R); )2(21RwrtNntRw或或 16.（09全国卷26） (21 分) 如图，P、Q 为某地区水平地面上的两点， 在 P 点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度 为 ；石油密度远小于 ，可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔， 则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加 速度的大小和方向会与正常情况有微小偏高。重力加速度在原坚直方向（即 PO 方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常” 。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利 用 P 点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为 G。 （1）设球形空腔体积为 V，球心深度为 d（远小于地球半径） ， PQ=x，求空腔所引起的 Q 点处的重力加速度 反常 （2）若在水平地面上半径 L 的范围内发现：重力加速度反常值在 与 k（k1）之间变化，且重力加速度反 6 常的最大值出现在半为 L 的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔 球心的深度和空腔的体积。 答案：（1） 23/2()GVdx；（2） 13/2kL, )1(3/2kGLV 解析：本题考查万有引力部分的知识. （1）如果将近地表的球形空腔填满密度为 的岩石,则该地区重力加速度便回到正常值.因此,重力加速度反常 可通过填充后的球形区域产生的附加引力 gmrM2来计算,式中的 m 是 Q 点处某质点的质量,M 是填充后球形区域的质量, V 而 r 是球形空腔中心 O 至 Q 点的距离 2xdrg 在数值上等于由于存在球形空腔所引起的 Q 点处重力加速度改变的大小.Q 点处重力加速度改变的方向沿 OQ 方向,重力加速度反常 g是这一改变在竖直方向上的投影 grd 联立以上式子得 2/32)(xdVGg , （2）由式得,重力加速度反常 g的最大值和最小值分别为 2maxdVGg2/32min)(Ldg 由提设有 kax、 ming 联立以上式子得,地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为 13/2kLd , )1(3/2kGLV 17.（09北京22） （16 分）已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，不考虑地球自转的影响。 （1）推导第一宇宙速度 v1 的表达式； （2）若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为 h，求卫星的运行周期 T。 解析：（1）设卫星的质量为 m,地球的质量为 M, 在地球表面附近满足 mgR MG2 得 g2 卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力 7 21RMmGv 式代入式，得到 Rgv1 （2）考虑式，卫星受到的万有引力为 22)()(hRmgMGF 由牛顿第二定律 42T 、联立解得 ghR)( 18.（09天津12） （20 分）2008 年 12 月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座 A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体 S2 绕人马座 A*做椭圆运动，其轨道半长轴为 9.50 102 天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位） ，人马座 A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到 S2 星的运行周期为 15.2 年。 （1）若将 S2 星的运行轨道视为半径 r=9.50102 天文单位的圆轨道，试估算人马座 A*的质量 MA 是太阳质量 Ms 的多少倍(结果保留一位有效数字)； （2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的 引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为 m 的粒子具有势能为 Ep=-G mR(设粒子在离黑洞无限远处的 势能为零)，式中 M、R 分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量 G=6.710-11Nm2/kg2，光速 c=3.0108m/s，太阳质量 Ms=2.01030kg，太阳半径 Rs=7.0 108m，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经 典力学范围内求人马座 A*的半径 RA 与太阳半径 g之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数） 。 答案：（1） 6104， （2） 7 解析：本题考查天体运动的知识。其中第 2 小题为信息题，如“黑洞” “引力势能”等陌生的知识都在题目中 给出，考查学生提取信息，处理信息的能力，体现了能力立意。 （1）S2 星绕人马座 A*做圆周运动的向心力由人马座 A*对 S2 星的万有引力提供，设 S2 星的质量为 mS2，角速度 为 ，周期为 T，则 rmrMGSA22 设地球质量为 mE，公转轨道半径为 rE，周期为 TE，则 Sr22 8 综合上述三式得 23TrMESA 式中 TE=1 年 rE=1 天文单位 代入数据可得 6104SAM （2）引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时料子的势能为零。 “处于黑洞表面的粒子即使以光速运动， 其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚” ，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中 克服引力做功，粒子在到达无限远之前，其动能便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和小于零，则 有 021RMmGc 依题意可知 A， A 可得 2cGMRA 代入数据得 m102.AR 7S 2008 年高考题 一、选择题 1.(08 全国17)已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为 390,月球绕地球旋转的周期约为 27 天,利用上 述数据以及日常的天文知识,可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为 ( ) A.0.2 B.2 C.20 D.200 答案 B 解析 估算太阳对月球的万有引力时,地、月 间距忽略不 计,认为月球处于地球公转的轨道上.设太阳、地球、 月球的质量分别为 M、m 地 、m 月 ,日、地间距为 r1,地、月间距为 r2,地球、月球做匀速圆周运动的周期分别为 T1、T2,根据万有引力定律、牛顿第二定律得: 9 对于月球:F 地月 =m 月 22,Tr、 对于地球: 12121,rGM、 由式得 21214T 所以 F 日月 = 2121rmrG、 由、两式得:F 日月 : F 地月 = 1.2)3657(9021Tr 2.(08 北京理综 17)据媒体报道,“嫦娥一号”卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度 200 km,运行周期 127 分 钟.若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是 （ ） A.月球表面的重力加速度 B.月球对卫星的吸引力 C.卫星绕月运行的速度 D.卫星绕月运行的加速度 答案 B 解析 设月球质量为 M,平均半径为 R,月球表面的重力加速度为 g,卫星的质量为 m,周期为 T,离月球表面的高 度为 h,月球对卫星的吸引力完全提供向心力,由万有引力定律知 22)(4)(ThmRG g2 由 可 得 2 3)(4RTh ,故 选 项 A 不 正 确 ;因 卫 星 的 质 量 未 知 ,故 不 能 求 出 月 球 对 卫 星 的 吸 引 力 ,故 选 项 B 正 确 ;卫 星 绕 月 运 行 的 速 度 )(v,故 选 项 C错 误 ;卫 星 绕 月 运 行 的 加 速 度 hRa2v,故 选 项 D错 误 . 3.(08 四川理综 20)1990 年 4 月 25 日,科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约 600 km 的高空,使得人类对 宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展.假设哈勃天文望远镜沿圆轨道绕地球运行.已知地球半径为 6.4106 m,利用地球同步卫星与地球表面的距离为 3.6107 m 这一事实可得到哈勃天文望远镜绕地球运行 的周期.以下数据中最接近其运行周期的是 ( ) A. 0.6 小时 B.1.6 小时 C.4.0 小时 D.24 小时 答案 B 10 解析 由万有引力公式 222 4,4TrTmrGM3G、. 所以 、3、Tr32,代入相关数据,可估算出 T 哈 与 1.6 小时较接近. 4.(08 山东理综 18)据报道,我国数据中继卫星“天链一号 01 星”于 2008 年 4 月 25 日在西昌卫星发射中心发 射升空,经过 4 次变轨控制后,于 5 月 1 日成功定点在东经 77赤道上空的同步轨道.关于成功定点后的“天 链一号 01 星”,下列说法正确的是 ( ) A.运行速度大于 7.9 km/s B.离地面高度一定,相对地面静止 C.绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大 D.向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等 答案 BC 解析 由题中描述知“ 天链一号 01 星” 是地球同步卫星 ,所以它运行速度小于 7.9 km/s,离地高度一定,相对地 面静止.由于运行半径比月球绕地球运行半径小,由 = 3rGM得绕行的角速度比月球绕地球运行的角速度大.由 于受力情况不同,所以向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小不相等. 5.(08 广东理科基础 5)人造卫星绕地球做匀速圆周运动,卫星所受万有引力 F 与轨道半径 r 的关系是 ( ) A.F 与 r 成正比 B.F 与 r 成反比 C.F 与 r2成正比 D.F 与 r2成反比 答案 D 解析 由 F 21rmG得 F 与 r2成反比. 6.(08 广东理科基础 8)由于地球的自转,使得静止在地面的物体绕地轴做匀速圆周运动.对于这些做匀速圆周运 动的物体,以下说法正确的是 ( ) A.向心力都指向地心 B.速度等于第一宇宙速度 C.加速度等于重力加速度 D.周期与地球自转的周期相等 答案 D 解析 随地球自转的物体的周期与地球自转周期相同,向心力垂直地轴,指向地轴的相应点,速度远小于第一宇 宙速度,加速度远小于重力加速度. 7.(08 江苏 1)火星的质量和半径分别约为地球的 10和 2,地球表面的重力加速度为 g,则火星表面的重力加速 度约为 ( ) A.0.2 g B.0.4 g C.2.5 g D.5 g 11 答案 B 解析 在星球表面万有引力近似等于所受的重力. 由 .40,222 gRMgRGgmRGM、 8.(08 广东 12)如图是“嫦娥一号”奔月示意图,卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨,进入地月转移轨道, 最终被月球引力捕获,成为绕月卫星,并开展对月球的探测.下列说法正确的是 ( ) A.发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度 B.在绕月圆轨道上,卫星周期与卫星质量有关 C.卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比 D.在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力大于受月球的引力 答案 C 解析 “嫦娥一号”要想脱离地球的束缚而成为月球的卫星,其发射速度必须达到第二宇宙速度,若发射速度达 到第三宇宙速度,“嫦娥一号” 将脱离太阳系的束缚,故选项 A错误;在绕月球运动时,月球对卫星的万有引力完全 提供向心力,则 ,2,432GMrTrmrMG即卫星周期与卫星的质量无关,故选项 B错误;卫星所受月球 的引力 F,故选项 C 正确;在绕月圆轨道上,卫星受地球的引力小于受月球的引力,故选项 D 错误. 二、非选择题 9.(08 山东基本能力测试 32)人造卫星发射、载人航天和深空探测是航天技术的三大领域.从第一颗人造地球卫 星发射升空,到“神舟五号” 、 “神舟六号”载人航天以及月球探测卫星“嫦娥一号”的相继成功,表明我国逐 步迈进了世界航天大国的行列. (1)2007 年 4 月,我国成功发射了第五颗北斗导航卫星.该卫星受 作用,在距离地面 2.15 万千米的轨道上 绕地球运动 (2)“神舟七号”航天员将进行第一次太空行走,即出舱活动,航天员在太空中通常靠手、机械臂或载人机动装 置(关键部件是可以控制的小火箭)移动身体,其中载人机动装置的运动原理是 (3)我国的新一代通信卫星“东方红三号”,是相对于地球静止、位于赤道上空的同步卫星.与地面通信装置相 比,关于卫星通信的说法正确的是 ( ) A.通信覆盖范围大 B.受地理因素影响 C.受大气层的影响 D.不能实现全球通信 (4)“嫦娥一号”为探测月球和月球以外的深空奠定了基础,例如我国建立月球基地天文台将成为可能,与地球 相比,月球上有利于光学天文观测的条件是 ( ) A.存在大气散射 B.没有大气的影响 C.温度变化悬殊 D.太阳辐射强烈 答案 (1)万有引力或地球引力 12 (2)作用力与反作用力或反冲运动或动量守恒 (3)A (4)B 解析 (3)通信卫星位于赤道上空,与地面通信装置相比,站得高,看得远,通信覆盖范围大.由于位于大气层之上,不 受大气层的影响,不受地面状况的影响. (4) 影响天文观测的因素主要是大气状况,月球上没有大气 ,非常有利于观测. 10.(08 全国25)我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行.为了获得月球表面全貌的信 息,让卫星轨道平面缓慢变化.卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球.设地球和月球的质量分别为 M 和 m,地球和月球的半径分别为 R 和 R1,月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为 r 和 r1,月球绕 地球转动的周期为 T.假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面,求在该周期内卫星 发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间(用 M、m、R、R 1、r、r 1和 T 表示,忽略月球绕地球转动对 遮挡时间的影响). 答案 )arcos(arcos1311RmMTt 解析 如右图所示,O 和 O分别表示地球和月球的中心.在卫星轨道 平面上,A 是地月连心线 OO与地月球面的公切线 ACD 的交点,D、C 和 B 分别是该公切线与地球表面、月球表面和 卫星圆轨道的交点 .根据对称性,过 A 点在另一侧作地月球面的 公切线,交卫星轨道于 E 点.卫星在 说上运动时发出的信号被遮挡.设探月卫星的质量为 m0,万有引力常量为 G, 根据万有引力定律有 rTmrMG22)( 1201 式中,T 1 是探月卫星绕月球转动的周期. 由式得 3121)()(rm 设卫星的微波信号被遮挡的时间为 t,则由于卫星绕月球做匀速圆周运动,应有1Tt 式中,=COA,=COB. 由几何关系得 rcos=R-R1 r1 cos =R1 由式得 )arcos(arcos1131 RmMTt 13 )arcsin(rsi1131 RmMTt、 11.(08 宁夏理综 23)天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星.双星系统在银河系 中很普遍.利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量.已知某双星系统中两颗恒星围绕它 们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动,周期均为 T,两颗恒星之间的距离为 r,试推算这个双星系统的 总质量.（万有引力常量为 G） 答案 324rT 解析 设 两 颗 恒 星 的 质 量 分 别 为 m1、m2,做 圆 周 运 动 的 半 径 分 别 为 r1、r2,角 速 度 分 别 为 1、2.根 据 题 意 有 1=2 r1+r2=r 根据万有引力定律和牛顿运动定律,有 1221rmrG 221 联立以上各式解得 Grm/)(2121 根据角速度与周期的关系知 T21 联立式解得 m1 + m2 = 34rGT 2004-2007 年高考题 题组一 一、选择题 1.(07 江苏 10)假设太阳系中天体的密度不变,天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半,地球绕太阳公转 近似为匀速圆周运动,则下列物理量变化正确的是 ( ) A.地球的向心力变为缩小前的一半 B.地球的向心力变为缩小前的 16 C.地球绕太阳公转周期与缩小前的相同 D.地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半 答案 BC 14 解析 设地球的直径、太阳的直径、太阳与地球间的距离分别由 d1、d2、r变为 21rd,地球的向心力由 万有引力提供,则 231rdMmGF 2312)(rr 联立两式得 :F=16 由万有引力提供向心力,则 F=m 24Tr F=m 2 代入数据联立 得:T =T 2.(07 广东理科基础 11)现有两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星 A 和 B,它们的轨道半径分别为 rA和 rB.如 果 rArB,则 （ ） A.卫星 A 的运动周期比卫星 B 的运动周期大 B.卫星 A 的线速度比卫星 B 的线速度大 C.卫星 A 的角速度比卫星 B 的角速度大 D.卫星 A 的加速度比卫星 B 的加速度大 答案 A 解析 由万有引力提供向心力 G marTrmrM22224v知,432 BABArGMT、 A对;v= BArG、,B 错; = 3rGM,则 A r2,Ek1 Ek2 D.r1 r2,Ek1 Ek2 答案 B 解析 做匀速圆周运动的物体,满足 rv 22mMG ,由于阻力作用,假定其半径不变,其动能减小,则rv22mMG ,由上式可知,人造卫星必做向心运动,其轨迹半径必减小,由于人造卫星到地心距离慢慢变 化, 其运动仍可看作匀速运动, 由 rv可知,其运动的动能必慢慢增大. 8.(05 天津理综 21)土星周围有美丽壮观的“光环”,组成环的颗粒是大小不等、线度从 1m 到 10 m 的岩石、 尘埃,类似于卫星,它们与土星中心的距离从 7.3104 km 延伸到 1.4105 km.已知环的外缘颗粒绕土星做圆 周运动的周期约为 14 h,引力常量为 6.6710-11 Nm2/kg2,则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的 相互作用） ( ) A.9.01016 kg B.6.41017 kg C.9.01025 kg D.6.41026 kg 答案 D 解析 由万有引力作用提供向心力得 224TrmrGM 24 所以 M= 21 38223 )604(0674GTr =6.41026kg 9.(05 北京理综 20)已知地球质量大约是月球质量的 81 倍,地球半径大约是月球半径的 4 倍.不考虑地球、月 球自转的影响,由以上数据可推算出 （ ） A.地球的平均密度与月球的平均密度之比约为 98 B.地球表面重力加速度与月球表面重力加速度之比约为 94 C.靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器的周期与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的周期之比约为 89 D.靠 近 地 球 表 面 沿 圆 轨 道 运 行 的 航 天 器 线 速 度 与 靠 近 月 球 表 面 沿 圆 轨 道 运 行 的 航 天 器 线 速 度 之 比 约 为 81 4 答 案 C 解 析 334rmrm、V 681)()(33、r 由 mg= 22MG 168)4()(、r 由 mg=mr gT24 9816、rT 由 rMvr22mG 29418、v 10.(04 江 苏 4)若 人 造 卫 星 绕 地 球 做 匀 速 圆 周 运 动 ,则 下 列 说 法 正 确 的 是 （ ） A.卫 星 的 轨 道 半 径 越 大 ,它 的 运 行 速 度 越 大 B.卫 星 的 轨 道 半 径 越 大 ,它 的 运 行 速 度 越 小 C.卫 星 的 质 量 一 定 时 ,轨 道 半 径 越 大 ,它 需 要 的 向 心 力 越 大 D.卫 星 的 质 量 一 定 时 ,轨 道 半 径 越 大 ,它 需 要 的 向 心 力 越 小 25 答 案 BD 解 析 由 牛 顿 第 二 定 律 知 rGMmrGv,22,故 A错 ,B对 . 卫 星 绕 地 球 做 匀 速 圆 周 运 动 所 需 向 心 力 为 F 向 =m 2 ,故 C错 ,D对 . 11.(04 上海 3)火星有两颗卫星,分别是火卫一和火卫二,它们的轨道近似为圆.已知火卫一的周期为 7 小时 39 分,火卫二的周期为 30 小时 18 分,则两颗卫星相比 （ ） A.火卫一距火星表面较近 B.火卫二的角速度较大 C.火卫一的运动速度较大 D.火卫二的向心加速度较大 答案 AC 解析 据 R=3 24GMT可知 A 正确.据 = T2可知 B错.据 v= RGM可知 C 正确.据 a= 2RG可知 D错. 12.(04 北京理综 20)1990 年 5 月,紫金山天文台将他们发现的第 2752 号小行星命名为吴健雄星,该小行星的半 径为 16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体,小行星密度与地球相同.已知地球半径 R= 6 400 km,地球表面重力加速度为 g.这个小行星表面的重力加速度为 ( ) A.400g B. 401g C.20g D. 201g 答案 B 解析 质量分布均匀的球体的密度 =3M/4R3 地球表面的重力加速度：g=GM/R 2= G 吴健雄星表面的重力加速度：g=GM/r 2= 34r g/g=R/r=400,故选项 B 正确. 13.(04 全国卷17)我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体 S1和 S2构成,两星 在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点 C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动周期为 T,S1到 C 点的距离为 r1,S1和 S2的距离为 r,已知引力常量为 G.由此可求出 S2的质量为 （ ） A. 21)(4GrB. 2 314GTr C. 2 34Tr D. 214Tr 答案 D 解析 双星的运动周期是一样的,选 S1为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律得 26 21214TrmrG,则 m2= 1Gr.故正确选项 D 正确. 二、非选择题 14.(06 天津理综 25)神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑 洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云 时,发现了 LMCX-3 双星系 统 ,它 由 可 见 星 A 和 不 可 见 的 暗 星 B 构 成 . 两 星 视为质点,不考虑其他天体的影响,A、B 围绕两者连线上的 O 点做匀速圆周运 动,它们之间的距离保持不变,如图所示.引力常量为 G,由观测能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期 T. (1)可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA可等效为位于 O 点处质量为 m的星体（视 为质点）对它的引力,设 A 和 B 的质量分别为 m1、m 2,试求 m(用 m1、m 2表示); （2）求暗星 B 的质量 m2与可见星 A 的速率 v、运行周期 T 和质量 m1之间的关系式； （3）恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量 ms的 2 倍,它将有可能成为黑洞.若可见星 A 的速率 v=2.7105 m/s,运行周期 T=4.710 4 s,质量 m1=6 ms,试通过估算来判断暗星 B 有可能是黑洞吗？ (G=6.6710-11 Nm2/kg2,ms=2.01030 kg) 答案 (1) 21 3)( (2) GT2)( 3132v (3)暗星 B 有可能是黑洞 解析 （1）设 A、B 的圆轨道半径分别为 r1、r 2,由题意知,A、B 做匀速圆周运动的角速度相同,设其为 .由 牛顿运动定律,有 FA=m1 2r1 FB=m2 2r2 FA=FB 设 A、B 之间的距离为 r,又 r =r1+r2,由上述各式得 r = 12 由万有引力定律,有 FA= 21rmG 将代入得 FA=G 211 3)(r 令 FA= 21r 27 比较可得 m= 21 3)( （2）由牛顿第二定律,有 1 221rmGv 又可见星 A 的轨道半径 r1= T 由式解得 2)( 3132v （3）将 m1=6 ms 代入 式,得GTs2)(32v 代入数据得 ssm5.3)6(23 设 m2=nms(n 0),将其代入式,得 sss 5.3)16()6(223 可见, 2 3)(ms 的值随 n 的增大而增大,试令 n=2, 得 sssn5.31.0)6(2 若使 式成立 ,则 n 必大于 2,即暗星 B 的质量 m2 必大于 2ms,由此得出结论：暗星 B 有可能是黑洞. 15.(04 广东 16)某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者,他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星. 试问,春分那天(太阳光直射赤道)在日落后 12 小时内有多长时间该观察者看不见此卫星?已知地球半径为 R, 地球表面处的重力加速度为 g,地球自转周期为 T,不考虑大气对光的折射. 答案 3 12)4arcsin(TR 解析 根据 题意画出卫星接不到太阳光的几何图景,然后由牛顿第二定律及万有引力提供向心力求出卫星的 轨道半径,再由几何知识求出对应的角度,最后由周期公式求出时间即可. 设所求时间为 t,m、M 分别为卫 星、地球 质量,r 为卫星到地心的距离 ,有22)(TrG 28 春分时,太阳光直射地球赤道,如图所示,图中圆 E为赤道,S 表示卫星,A 表示观察者,O 表示地心.由图可看出,当 卫星 S转到 S位置间,卫星恰好处于地球的阴影区,卫星无法反射太阳光,观察者将看不见卫星.由图有 rsin=R t = T2 对地面上质量为 m的物体有 G gmRM2 由以上各式可知 t = 3 12)4arcsin(T 16.(04 北京春季 24)“神舟五号”载人飞船在绕地球飞行的第 5 圈进行变轨,由原来的椭圆轨道变为距地面高 度 h=342 km 的圆形轨道.已知地球半径 R=6.37103 km,地面处的重力加速度 g =10 m/s2.试导出飞船在上 述圆轨道上运行的周期 T 的公式（用 h、R、g 表示） ，然后计算周期 T 的数值（保留两位有效数字）. 答案 T=2 gRh2 3)( 5.4103 s 解析 设地球质量为 M,飞船质量为 m,速度为 v,圆轨道的半径为 r,由万有引力定律和牛顿第二定律,有rmMG22v T 地面附近 gR2 由已知条件 r=R+h 解以上各式得 T =2 g2 3)( 代入数值,T=5.410 3 s 17.(04 全国卷23)在“勇气号”火星探测器着陆的最后阶段,着陆器降落到火星表面上,再经过多次弹跳才停下 来.假设着陆器第一次落到火星表面弹起后,到达最高点时高度为 h,速度方向是水平的,速度大小为 v0,求它第 二次落到火星表面时速度的大小,计算时不计火星大气阻力.已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为 r,周期为 T,火星可视为半径为 r0的均匀球体. 答案 202 38vh 解析 以 g表示火星表面附近的重力加速度,M 表示火星的质量,m 表示火星的卫星质量,m表示火星表面 处某一物体的质量,由万有引力定律和牛顿第二定律,有 20mrG 29 rTmrMG22)( 探测器从最高点 h 到第二次落地,可看作平抛运动. 设 v 表示着陆器第二次落到火星表面时的速度,它的竖直分量为 v1,水平分量仍为 v0,有21 =2gh v= 20 由以上各式解得 v= 202 38vrTh 第二部分：三年联考题汇编 2009 万有引力、天体运动 一、选择题 1.(2009 届广东茂名市模拟)太空被称为是 21 世纪技术革命的摇篮。摆脱地球引力，在更“纯净”的环境中探 求物质的本质，拨开大气层的遮盖，更直接地探索宇宙的奥秘，一直是科学家们梦寐以求的机会。 “神州号” 两次载人飞船的成功发射与回收给我国航天界带来足够的信心，我国提出了载人飞船太空实验室空间 站的三部曲构想。某宇航员要与轨道空间站对接，飞船为了追上轨道空间站（1.A） A. 只能从较低轨道上加速 B. 只能从较高轨道上加速 C. 只能从空间站同一高度的轨道上加速 D. 无论在什么轨道上，只要加速都行 2.(2009 江苏常州中学高三月考) 2007 年 3 月 26 日，中俄共同签署了中国国家航天局和俄罗斯联邦航天局 关于联合探测火星火卫一合作的协议，双方确定 2008 年联合对火星及其卫星“火卫一”进行探测“火 卫一”在火星赤道正上方运行，与火星中心的距离为 9450km绕火星 1 周需 7h39min，若其绕行轨道简化为圆 轨道，引力常量 G 已知则由以上信息能求出（ D ） A“火卫一”的质量 B火星的质量 C“火卫一”受到火星的引力 D火星的密度 3.（2009 届上海南汇期区末）我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体 S1和 S2构 成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点 C 做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期 为 T。 S1到 C 点的距离为 r1， S1和 S2的距离为 r，已知引力常量为 G。由此可求出 S2的质量为 （ A ） A B C D 42r2r1GT2 42r13GT2 42r3GT2 42r2（ r r1）GT2 30 4. (2008 学年广东越秀区高三摸底调研测试 12)三颗人造地球卫星 A、B、C 绕地球作匀速圆周运动，如图所示， 已知 MA=MB FB FC C.角速度 A B C D.向心加速度 aA T2 T3 B.T1 a2 a3 D.a1 hB,地球 半径为 R,则这两颗人造卫星周期的比是 ( ) A. 1BTB. 1AT 43 C. 3)(BABAhRTD. BAhRT 答案 C 3.(江苏镇江 3 月)最近,科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星,并测得它围绕该恒星运行一周所用 时间为 1 200 年,它与该恒星的距离为地球到太阳距离的 100 倍,假设该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳 运行的轨道都是圆周,仅利用以上两个数据可以求出的量有 ( ) A.恒星质量和太阳质量之比 B.恒星密度和太阳密度之比 C.行星质量与地球质量之比 D.行星运行速度与地球公转速度之比 答案 AD 4.(07 昆明第一