丛文龙教师版2015年高考(理)试题分类汇编之13圆锥曲线

/ （2015 年安徽理）4、下列双曲线中，焦点在 y轴上且渐近线方程为 2yx的是（ ） （A） 21yx （B） 214x （C） 14 （D ） 214xy 【答案】C 【解析】 （2015 年安徽理）20.（本小题 13 分） 设椭圆 E 的方程为 210xyab ，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 0a， ，点 B 的坐标为 0b， ， 点 M 在线段 AB 上，满足 BMA，直线 OM 的斜率为 510. （I）求 E 的离心率 e； （II）设点 C 的坐标为 0b， ，N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 72，求 E 的方程. 【答案】 （1） 25；（3） 2149xy 【解析】 （2015 年安徽理）10.已知双曲线 的一条渐近线为 ，则 210xya30xya 【答案】 3 考点：双曲线的几何性质 丛文龙 3（2015 年安徽理）19.（本小题 14 分） 已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 和点 都在椭圆 上，直线C 210xyab201P， Amn， 0 C 交 轴于点 PAM （）求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 ， 表示） ；mn （）设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 问： 轴上是否存在点 ，使得OBAxPBxNyQ ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由QNQ 【答案】 【解析】 试题分析：椭圆 ： 的离心率为 ，点 在椭圆上，利用条件列方程组，解C 210xyab201P， 出待定系数 ，写出椭圆方程；由点 和点 ，写出 PA 直线方程，令2,a， Amn， 0 求出 x 值，写出直线与 x 轴交点坐标；由点 ，写出直线 的方程，令0y (,),)BPB 求出 x 值，写出点 N 的坐标，设 ， 求0(,)QytatnOMNQOMNQ 出 和 ，利用二者相等，求出 ，则存在点 使得tanOQMt 2（ 0， 2） . 试题解析：（）由于椭圆 ： 过点 且离心率为 ， C 210xyab1P， 221,b ， ，椭圆 的方程为 . 2cea221b2C2xy ,直线 的方程为： ，令 ， ；(0,1)PAmnP1nyxm0,1mn(,0)M 考 点：1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题. （2015 年广东理）7已知双曲线 C： 12byax的离心率 54e，且其右焦点 25,0F，则双曲线 C的方 程为 A 1342yx B. 1962yx C. 1692yx D. 1432yx 【答案】 B 【解析】因为所求双曲线的右焦点为 25,0F且离心率为 5cea，所以 c， a，229bca 所以所求双曲线方程为 2169xy ，故选 B 【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题 （2015 年福建理）3若双曲线 2:196xyE 的左、右焦点分别为 12,F，点 P在双曲线 E上，且1PF ，则 2 等于（ ） A11 B9 C5 D 3 丛文龙 5【答案】B 【解析】 试题分析：由双曲线定义得 126PFa，即 236PF，解得 29，故选 B 考点：双曲线的标准方程和定义 （2015 年福建理）18.已知椭圆 E： 21(a0)xyb+= 过点 (,） ，且离心率为 2 ()求椭圆 E 的方程； ()设直线 1xmyR=-， ()交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 G 9(4-,)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系， 并说明理由 【答案】() 24+ ；( ) G 9(4-,0)在以 AB 为直径的圆外G 在圆上 试题解析：解法一：()由已知得 22,bca=+ 解得 2abc= 所以椭圆 E 的方程为 214xy= 故 2 2222012|AB553(m+1)57|GHmy(+)y 046()6()+-=-= 所以 |，故 G 9-,在以 AB 为直径的圆外 解法二：()同解法一. ()设点 12(y),B),Ax，则 1299A(,)GB(,).44xyxy=+=+ 由 22(m)30,4y =- +-得 所以 12123,m， 从而 1212121295GAB()()(y)44x=+ 21212225535(+)y6()6=+- 270()+= 所以 cos,0,GAB 又 ， 不共线，所以 AGB为锐角. 故点 G 9(4-)在以 AB 为直径的圆外 考点：1、椭圆的标准方程； 2、直线和椭圆的位置关系； 3、点和圆的位置关系 （2015 年湖北理）8将离心率为 1e的双曲线 1C的实半轴长 a和虚半轴长 ()ba同时增加 (0)m个单位长 度，得到离心率为 2e的双曲线 2，则（ ） A对任意的 ,ab， 1B当 b时， 12e；当 时， 12e C对任意的 ， 2D当 ab时， 12e；当 a时， 丛文龙 7【答案】D 考点：1.双曲线的性质，2.离心率. （2015 年湖北理）21 （本小题满分 14 分） 一种作图工具如图 1 所示 O是滑槽 AB的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接， MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 1DN， 3M当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 O转动一周（ D 不动时， N 也不动） ， M 处的笔尖画出的曲线记为 C以 为原点， AB所在的直线为x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系 （）求曲线 C 的方程； （）设动直线 l与两定直线 1:20lxy和 2:0lxy分别交于 ,PQ两点若直线 l 总与曲线 有且只有一个公共点，试探究： OPQ 的面积是否存在最小值？若 存在，求出该最小值；若不存在，说明理由 【答案】 （） 2164xy ；（）存在最小值 8. 【解析】 试题解析：（）设点 (,0)|2Dt， 0(,)(,)NxyM，依题意，2MDN ，且 |1ON， 所以 0(,)(,)txyty，且 200()1,.xty 即 02,.tt且 0(2). 由于当点 D不动时，点 N也不动，所以 t不恒等于 0， 于是 02tx，故 00,42xy，代入 201xy，可得 2164xy ， 即所求的曲线 C的方程为 .16 （） （1）当直线 l的斜率不存在时，直线 l为 4x或 ，都有 1482OPQS. （2）当直线 l的斜率存在时，设直线 1:()2lykm， 由 2,416ykxm 消去 y，可得 2(14)8460x. 因为直线 l总与椭圆 C有且只有一个公共点， 所以 22(4)6)0kk，即 21mk. 又由 ,0yxm 可得 ,1Pk；同理可得 (,)2Qk. 由原点 O到直线 Q的距离为 2|d和 |1|PQPx，可得211|2 4PQPQmSdmxkk . 将代入得， 224811OPQSk . 当 214k时， 22()()844Pk ； 丛文龙 9当 2104k时， 22418()()4OPQkSk . 因 2，则 20， 2，所以 28(1)84OPQSk， 当且仅当 k时取等号. 所以当 时， OPQS的最小值为 8. 综合（1） （2）可知，当直线 l与椭圆 C在四个顶点处相切时， OPQ 的面积取得最小值 8. 考点：1 椭圆的标准方程、几何性质,2.直线与圆、椭圆的位置关系，最值，. （2015 年山东理）(15)平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与抛物线xOy 21:(0,)xyCab 交于点 ，若 的垂心为 的焦点，则 的离心率为 .2:(0)Cxpy,AB21 解析： 的渐近线为 ，则 21:,)abbyxa22(,),(,)pbpbABaa 的焦点 ，则 ，即2:(0)Cxpy(,)2pF 2AFkpba22593,.442cce （2015 年山东理）20.(本小题满分 13 分)平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心xOy2:1(0)xyCab 率为 ，左、右焦点分别是 ,以 为圆心，以 3 为半径的圆与以 为圆心，以 1 为半径的圆相交，交3212F1 2F 点在椭圆 C 上. （）求椭圆 C 的方程； （）设椭圆 ，P 为椭圆 C 上的任意一点，过点 P 的直线 交椭圆 E 于 A,B 两点， 2:14xyEab ykxm 射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. （）求 的值；（）求 面积最大值.|OQPABQ 解析：（）由椭圆 的离心率为 可知 ，而 则 2:1(0)xyCab3232cea22bc ，左、右焦点分别是 ,2,3abc123,(0)Fb 圆 ： 圆 ： 由两圆相交可得 ，即 ，交点1F2(3)9,xby2F2(3)1,xby234b132b ，在椭圆 C 上，则 ，22(,()22 (3)41b 整理得 ，解得 （舍去）42510b21,b 故 椭圆 C 的方程为 .2,a24xy （） （）椭圆 E 的方程为 ， 216 设点 ，满足 ，射线 ，0(,)Pxy204xy0:()yPOx 代入 可得点 ，于是 . 2160(,)Q2200()| yQx （）点 到直线 距离等于原点 O 到直线 距离的 3 倍：0(,)xyABAB22| |311kmdk ，得 ，整理得264 yx224()6x22(14)84160kxm22221()()0km222| 64)4ABkm222221| |164|3164mkSdk ，当且仅当 等号成立. 264()mk222| ,8 而直线 与椭圆 C： 有交点 P，则yx 214xy 有解，即 有解，24k2222(),(4)840kmkxm 其判别式 ，即 ，则上述 不222161416)21km28k 丛文龙 11成立，等号不成立， 设 ，则 在 为增函数，2|(0,14mtk 22|1646()mkSt(0,1 于是当 时 ，故 面积最大值为 12.ax()3ABQ （2015 年陕西理）14.若抛物线 2(0)ypx的准线经过双曲线 21xy的一个焦点，则 p= 【答案】 2 考点：1、抛物线的 简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质 （2015 年陕西理）16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中 虚线表 示） ，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】 1.2 【解析】 试题分析：建立空间直角坐标系，如图所示： 原始的最大流量是 10216，设抛物线的方程为 2xpy（ 0） ，因为该抛物线过点5,2 ，所以 25p，解得 54p，所以 25xy，即 5，所以当前最大流量是 5 323532224055777xdx ，故原始的最大流量与 当前最大流量的比值是 16.403，所以答案应填： 1. 考点：1、定积分；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义 （2015 年陕西理）20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 : 21xyab （ 0a）的半焦距为 c，原点 到 经过两点 ,0c ， ,b的直线的距离为 12c （I）求椭圆 的离心率； （II）如图， A是圆 :25xy的一条直径，若椭圆 经过 A， 两点，求椭圆 的方 程 【答案】 （I） 32；（II） 213xy 【解析】 试题分析：（I）先写过点 ,0c， ,b的直线方程，再计算原点 到该直线的距离，进而可得椭圆 的离心 率；（II）先由（I）知椭圆 的方程，设 A的方程，联立 22 14ykxb ，消去 y，可得 12x和12x 的值，进而可得 k，再利用 10可得 2b的值，进而可得椭圆 的方程 试题解析：（I）过点(c,0),(0,b)的直线方程为 0xcy+-=， 则原点 O 到直线的距离 2bcda， 由 12dc=，得 2ac=-，解得离心率 32c=. (II)解法一：由（I）知，椭圆 E 的方程为 24xyb+. (1) 依题意，圆心 M(-2,1)是线段 AB 的中点，且 |AB10. 易知，AB 不与 x 轴垂直，设其直线方程为 (2)ykx=，代入(1)得 丛文龙 132 2(14)8(1)4()0kxkxb+-= 设 12,yB,A则 212128()4(1), .kkbx+- 由 124x+=-，得 28()4,k=-+解得 . 从而 2b. 于是 2212115|AB| 40()xxxb . 由 |0=，得 ()0b-=，解得 23b=. 故椭圆 E 的方程为 213xy+ . 解法二：由（I）知，椭圆 E 的方程为 224xyb+=. (2) 依题意，点 A，B 关于圆心 M(-2,1)对称，且 |AB10. 设 12(,y)(,)x则 221xy， 2xy， 两式相减并结合 124,+=-得 ()1212-4()80y+-=. 易知，AB 不与 x 轴垂直，则 12x，所以 AB 的斜率 12k.ABx- 因此 AB 直线方程为 ()y=+，代入(2)得 2480.b+= 所以 124x+-， 2128xb-. 于是 2212115|AB| 40()xxb . 由 |0=，得 ()0b-=，解得 23b=. 故椭圆 E 的方程为 213xy+ . 考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、 直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置. （2015 年上海理）5、抛物线 （ ）上的动点 到焦点的距离的最小值为 ，则 2ypx0Q1p 【答案】 2 （2015 年上海理）9、已知点 和 的横坐标相同， 的纵坐标是 的纵坐标的 倍， 和 的轨迹分别为双QQ2Q 曲线 和 若 的渐近线方程为 ，则 的渐近线方程为 1C21 3yx2C 【答案】 3yx 【解析】由题意得： ： ，设 ，则 ，所以 ，即 的渐近线1 2,(0)y(,)Qxy(,2)Pxy234xy2C 方程为 32yx 【考点定位】双曲线渐近线 （2015 年上海理）21、 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分. 已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别于椭圆交于 、 和 、 ，记得到的平行四边形21xy1lACD 的面积为 .CDAS （1）设 ， ，用 、 的坐标表示点 到直线 的距离，并证明 ；1,2,xAC1l 121Sxy （2）设 与 的斜率之积为 ，求面积 的值.l21S 【答案】 （1）详见解析（2） 丛文龙 15由 ， ，1 221212 11221kxkSxyxxk 整理得 . 【考点定位】直线与椭圆位置关系 （2015 年四川理）5.过双曲线 213yx 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，B 两 点，则 AB（ ） (A) 43 (B) 2 (C)6 （D） 43 【答案】D 【考点定位】双曲线. 【名师点睛】双曲线 的渐近线方程为 ，将直线 代入这个渐近线方程，便可得交 21xyab20xyab2x 点 A、B 的纵坐标，从而快速得出 的值.|AB （2015 年四川理）9.设直线 l 与抛物线 24yx相交于 A，B 两点，与圆 2250xyr相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是（ ） （A） 13， （B） 14， （C） 3， （D） 4， 【答案】D 【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式. 【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于 5，那么必有两条直线（即与 x 轴垂 直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当 直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法” .在本题中利用点差法可得，中点必在直线 上，由此可确定中点的纵坐标 的范围，利用这个范围即可得3x0y 到 r 的取值范围. （2015 年四川理）20.如图，椭圆 E： 2+1(0)xyab 的离心率是 2，过点 P（0,1）的动直线 l与椭 圆相交于 A，B 两点，当直线 l平行与 轴时，直线 l被椭圆 E 截得的线段长为 . 丛文龙 17(1)求椭圆 E 的方程； （2）在平面直角坐标系 xOy中，是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得 APB恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 . 【答案】 （1） 214xy ；（2）存在，Q 点的坐标为 (0,2)Q. 【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理 论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想. 【名师点睛】高考中解几题一般都属于难题的范畴，考生应立足于拿稳第（1）题的分和第（2）小题的步骤分. 解决直线与圆锥曲线相交的问题，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，再根据根与系数的关系解答.本题 是一个探索性问题，对这类问题一般是根据特殊情况找出结果，然后再证明其普遍性.解决本题的关键是通过作 B 的对称点将问题转化. （2015 年天津理） （6）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦 210,xyab2,3 点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为247yx 丛文龙 19（A） （B ） （C ） （D ） 218xy218xy2134xy213xy 【答案】D 考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质. （2015 年天津理）19. （本小题满分 14 分）已知椭圆 的左焦点为 ,离心率为 2+=1(0)xyabF-c（ 0） ，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 截得的线段的长为 c， .3 42 43|M= (I)求直线 FM 的斜率； (II)求椭圆的方程； (III)设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于 ，求直线 OP（O 为原点）的斜率的取值范围.2 【答案】(I) ； (II) ；(III) .3 21xy323, 【解析】 试题分析：(I) 由椭圆知识先求出 的关系，设直线直线 的方程为 ，求出圆心到直线的距,abcFM()ykxc 离，由勾股定理可求斜率 的值； (II)由(I)设椭圆方程为 ，直线与椭圆方程联立，求出点 的坐k 213xcM 标，由 可求出 ，从而可求椭圆方程.(III)设出直线 ： ，与椭圆方程联立，求得43FMc FP()ytx ，求出 的范围，即可求直线 的斜率的取值范围. 26(1)xtxO 试题解析：(I) 由已知有 ，又由 ，可得 ， ， 213ca22abc23ac2b 设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，由已知有FM(0)kFM()ykxc ，解得 . 221kcb 3k (II)由(I)得椭圆方程为 ，直线 的方程为 ，两个方程联立，消去 ，整理得 213xycF()ykxcy ，解得 或 ，因为点 在第一象限，可得 的坐标为 ，由22350xc5cxM23,c ，解得 ，所以椭圆方程为 22343()FM1c213xy (III)设点 的坐标为 ，直线 的斜率为 ，得 ，即 ,与椭圆方程联立P(,)xyFPtyx()t) ，消去 ，整理得 ，又由已知，得 ，解得2 13ytx223(1)6tx263(1)xt 或 ，1x0x 设直线 的斜率为 ，得 ，即 ，与椭圆方程联立，整理可得 .OPmyx(0)mx23mx 当 时，有 ，因此 ，于是 ，得3,12x(1)t23x, 当 时，有 ，因此 ，于是 ，得,0()0ytx223, 综上，直线 的斜率的取值范围是OP233, 考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式. （2015 年新课标 1 理） （5）已知 M（x 0， y0）是双曲线 C： 上的一点，F 1、F 2 是 C 上的两 21xy 个焦点，若 0，则 y0 的取值范围是1MF 2 （A） （- ， ） （B） （- ， ）336 （C ） （ ， ） （D） （ ， ）22 丛文龙 21【答案】A 考点：向量数量积；双曲线的标准方程 （2015 年新课标 1 理） （14）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 x 轴上，则该圆的标 2164xy 准方程为 。 【答案】 235()4xy 【解析】 试题分析：设圆心为（ ，0） ，则半径为 ，则 ，解得 ，故圆的方a4|a22(|)|a32a 程为 .235()4xy 考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 （2015 年新课标 1 理） （20） （本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y= 与直线 ( 0)交与 M,N 两点， 24xykxa （）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； （）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？说明理由。 【答案】 （） 或 （）存在0axy0axy 【解析】 试题分析：（）先求出 M,N 的坐标，再利用导数求出 M,N.（）先作出判定，再利用设而不求 思想即将 代入曲线 C 的方程整理成关于 的一元二次方程，设出 M,N 的坐标和 P 点坐标，ykxax 利用设而不求思想，将直线 PM，PN 的斜率之和用 表示出来，利用直线 PM，PN 的斜率为 0,即可a 求出 关系，从而找出适合条件的 P 点坐标.,ab 试题解析：（）由题设可得 ， ，或 ， .(2,)Ma(2,)N(2,)a(2,)Na ，故 在 = 处的到数值为 ，C 在 处的切线方程为12yx 24yxaa(2,)a ，即 .()aa0y 故 在 =- 处的到数值为- ，C 在 处的切线方程为 24xya(2,)a ，即 .()aa0xy 故所求切线方程为 或 . 5 分a0xya （）存在符合题意的点，证明如下： 设 P（0，b）为复合题意得点， ， ，直线 PM，PN 的斜率分别为 .1(,)M2(,)N12,k 将 代入 C 得方程整理得 .ykxa240xka .12124, = = .1212ybkx1212()kxbx()kba 当 时，有 =0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，a 故OPM=OPN，所以 符合题意. 12 分(0,)Pa 考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力 （2015 年浙江理）5.如图，设抛物线 24yx的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 ,ABC，其中 点 ,AB在抛物线上，点 C在 轴上，则 BC与 A的面积之比是（ ） A. 1BFA B. 21BFA C. 1BFA D. 21BFA 【答案】A. 【解析】 丛文龙 23试题分析： 1AFBxCSAFB，故选 A. 考点：抛物线的标准方程及其性质 （2015 年浙江理）9.双曲线 2y 的焦距是 ，渐近线方程是 【答案】 32， xy2. 【解析】 试题分析：由题意得： a， 1b， 3122bac，焦距为 32c， 渐近线方程为 xby2. 考点：双曲线的标准方程及其性质 （2015 年浙江理）19.（本题满分 15 分） 已知椭圆 21xy 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 12对称 （1 ）求实数 m 的取值范围； （2 ）求 AAOB 面积的最大值（O 为坐标原点） 【答案】 （1） 63m或 ；（2 ） . 试题分析：（1）可设直线 AB 的方程为 1yxbm，从而可知 21xybm 有两个不同 的解，再由 AB中点也在直线上，即可得到关于 的不等式，从而求解；（2）令 t，可 考点：1.直线