2017年中考数学《函数及一次函数》专题练习含答案解析

函数及一次函数 一、选择题 1一次函数 y=2x 3 的图象不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2 正比例函数 y= x 图象上的两点，则下列判断正确的是（ ） A 当 ， 当 ， 一个水池接有甲，乙，丙三个水管，先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水后关闭甲，同时打开丙，直到水池中的水排空水池中的水量 v（ 时间 t（ h）之间的函数关系如 图，则关于三个水管每小时的水流量，下列判断正确的是（ ） A乙 甲 B丙 甲 C甲 乙 D丙 乙 4如图 1，在直角梯形 ，动点 P 从点 B 出发，沿 动至点 D 停止设点 P 运动的路程为 x， 面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则 ） A 3 B 4 C 5 D 6 5如图，点 G， D， C 在直线 a 上，点 E， F， A， B 在直线 b 上，若 a b， 如图所示的位置出发，沿直线 b 向右匀速运动，直到 合运动过程中 合部分的面积（ S）随时间（ t）变化的图象大致是（ ） A B C D 6已知整数 x 满足 5 x 5， y1=x+1， 2x+4，对任意一个 x， m 都取 的较小值，则 m 的最大值是（ ） A 1 B 2 C 24 D 9 二、填空题 7已知关于 x， y 的一次函数 y=（ m 1） x 2 的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么 m 的取值范围是 8如图，正方形 边长为 10，点 E 在 延长线上， 0，点 P 在边 运动（ C， D 两点除外）， 交于点 F，若 CP=x，四边形 面积为 y，则 x 的函数关系式是 9如图，已知一次函数 y=x+1 的图象与反比例函数 的图象在第一象限相交于点 A，与 x 轴相交于点 C， x 轴于点 B， 面积为 1，则 长为 （保留根号） 10正方形 按如图所示的方式放置，点 点 分别在直线 y=kx+b（ k 0）和 x 轴上，已知点 1， 1）， 3， 2），则 坐标是 三、解答题 11由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖，某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为 元 /台，并预付了 5 万元押金他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于 34 万元，但不高于 40 万元若一年内该产品的售价 y（万元 /台）与月次 x（ 1 x 12 且为整数）满足关系式： y= ，一年后发现实际每月的销售量 p（台）与月次 x 之间存在如图所示的变化趋势 （ 1）直接写出实际每月的销售量 p（台）与月次 x 之间的函数关系式； （ 2）求前三个月中每月的实际销售利润 w（万元）与月次 x 之间的函数关系式； （ 3）试判断全年哪一个月的售价最高，并指出最高售价； （ 4）请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量 12如图 是某公共汽车线路收支差额 y（票价总收人减去运营成本）与乘客量 x 的函数图象目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举 行提高票价的听证会 乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏 公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏 根据这两种意见，可以把图 分别改画成图 和图 ， （ 1）说明图 中点 A 和点 B 的实际意义； （ 2）你认为图 和图 两个图象中，反映乘客意见的是 ，反映公交公司意见的是 （ 3）如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图 中画出符合这种办法的 y 与 x 的大致函数关系图象 13（ 12 分）某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票经调查统计发现，每天开始售票时，约有 300 名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，新增购票人数 y（人）与售票时间 x（分）的函数关系如图 所示；每个售票窗口票数 y（人）与售票时间 x（分）的函数关系如图 所示某天售票厅排队等候购票的人数 y（人）与售票时间 x（分）的函数关系如图 所示，已知售票的前 a 分钟开放了两个售票窗口 （ 1）求 a 的值； （ 2）求售票到第 60 分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数； （ 3）该车站在学习实践科 学发展观的活动中，本着 “以人为本，方便旅客 ”的宗旨，决定增设售票窗口若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算，至少需同时开放几个售票窗口？ 14某公司装修需用 A 型板材 240 块、 B 型板材 180 块， A 型板材规格是 6030 型板材规格是 4030只能购得规格是 15030标准板材一张标准板材尽可能多地裁出 A 型、 B 型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示 意图） 裁法一 裁法二 裁法三 A 型板材块数 1 2 0 B 型板材块数 2 m n 设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁 x 张、按裁法二裁 y 张、按裁法三裁 z 张，且所裁出的 A、 B 两种型号的板材刚好够用 （ 1）上表中， m= ， n= ； （ 2）分别求出 y 与 x 和 z 与 x 的函数关系式； （ 3）若用 Q 表示所购标准板材的张数，求 Q 与 x 的函数关系式，并指出当 x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？ 15如图，已知直线 解析式为 y=3x+6，直线 x 轴， y 轴分别相交于 A， B 两点，直线 过 B， C 两点，点 C 的坐标为（ 8， 0），又已知点 P 在 x 轴上从点 A 向点 C 移动，点 Q 在直线 点 C 向点 B 移动点 P， Q 同时出发，且移动的速度都为每秒 1 个单位长度，设移动时间为 t 秒（ 1 t 10） （ 1）求直线 解析式； （ 2）设 面积为 S，请求出 S 关于 t 的函数关系式； （ 3）试探究：当 t 为何值时， 等腰三角形？ 函数及一次函数 参考答案与试题解析 一、选择题 1一次函数 y=2x 3 的图象不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】一次函数的图象 【分析】根据一次函数 y=ax+b（ a 0）的 a、 b 的符号判定该一次函数所经过的象限即可 【解答】解： 一次函数 y=2x 3 的 k=2 0， b= 3 0， 一次函数 y=2x 3 经过第一、三、四象限， 即一次函数 y=2x 3 不经过第二象限 故选： B 【点评】本题考查了一次函数的图象，即直线 y=kx+b 所在的位置与 k、 b 的符号有直接的关系 k 0 时，直线必经过一、三象限 k 0 时，直线必经过二、四象限 b 0 时，直线与 y 轴正半轴相交 b=0 时，直线过原点； b 0 时，直线与 y 轴负半轴相交 2 正比例函数 y= x 图象上的两点，则下列判断正确的是（ ） A 当 ， 当 ， 考点】正比例函数的性质 【分析】根据正比例函数图象的性质可知 【解答】解：根据 k 0，得 y 随 x 的增大而减小 当 ， 当 ， 故选： C 【点评】熟练掌握正比例函数图象的性质，正比例函数图象是经过原点的一条直线 当 k 0 时，图象经过一、三象限， y 随 x 的增大而增大； 当 k 0 时，图象经过二、四象限， y 随 x 的增大而减小 3一个水池接有甲，乙，丙三个水管，先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水后关闭甲，同时打开丙，直到水池中的水排空水池中的水量 v（ 时间 t（ h）之间的函数关系如图，则关于三个水管每小时的水流量，下列判断正确的是（ ） A乙 甲 B丙 甲 C甲 乙 D丙 乙 【考点】函数的图象 【专题】压轴题 【分析】依题意，如图可知，先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水后关闭甲，同时打开丙按此关系可知甲的水流量大于乙 【解答】解：由题意可得，甲是注水管，乙、丙是排水管，由 “先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水后关闭甲 ”，可得，甲 乙，否则是不会注满水的 故选 C 【点评】此题主要考查学生的读图获取信息的能力，要注意分析其中的 “关键点 ”，还要善于分析各图象的变化趋势 4如图 1，在直角梯形 ，动点 P 从点 B 出发，沿 动至点 D 停 止设点 P 运动的路程为 x， 面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则 ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考点】动点问题的函数图象 【专题】压轴题；动点型 【分析】正确理解函数图象横纵坐标表示的意义 【解答】解：动点 P 从直角梯形 直角顶点 B 出发，沿 顺序运动，则 积 y 在 随 x 的增大而增大； 在 ， 底边不变，高不变，因而面积 y 不变化由图 2 可以得到： ， 面积是 =3 故选 A 【点评】理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小 5如图，点 G， D， C 在直线 a 上，点 E， F， A， B 在直线 b 上，若 a b， 如图所示的位置出发，沿直线 b 向右匀速运动，直到 合运动过程中 合部分的面积（ S）随时间（ t）变化的图象大致是（ ） A B C D 【考点】动点问题的函数图象 【专题】压轴题；动点型；图表型 【分析】理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢 【解答】解：根据题意可得： F、 A 重合之前没有重叠面积， F、 A 重叠之后到 E 与 A 重叠前，设 AE=a， 重叠部分的长度为（ t a），则重叠部分面积为 S= （ t a） （ t a） （ t a） 2 是二次函数图象； 全进入且 F 与 B 重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变， F 与 B 重合之后，重叠部分的面积等于 S=S （ t a） 2合二次函数图象，直至最后重叠部分的面 积为 0 综上所述，只有 B 选项图形符合 故选： B 【点评】本题考查动点问题的函数图象，学会分段讨论是解题的关键，需要构建函数解决问题，属于中考常考题型 6已知整数 x 满足 5 x 5， y1=x+1， 2x+4，对任意一个 x， m 都取 的较小值，则 m 的最大值是（ ） A 1 B 2 C 24 D 9 【考点】一次函数与一元一次不等式 【专题】计算题；压轴题；数形结合 【分析】联立两个函数的解析式，可求得两函数的交点坐标为（ 1， 2），在 5 x 5的范围内；由于 m 总取 的较小值，且两个函数的图象一个 y 随 x 的增大而增大，另一个 y 随 x 的增大而减小；因此当 m 最大时， 值最接近，即当 x=1 时， m 的值最大，因此 m 的最大值为 m=2 【解答】解：联立两函数的解析式，得： ， 解得 ； 即两函数图象交点为（ 1， 2），在 5 x 5 的范围内； 由于 函数值随 x 的增大而增大， 函数值随 x 的增大而减小； 因此当 x=1 时， m 值最大，即 m=2 故选 B 【点评】本题考查 了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出 x 的值，是解答本题的关键 二、填空题 7已知关于 x， y 的一次函数 y=（ m 1） x 2 的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么 m 的取值范围是 m 1 【考点】一次函数图象与系数的关系 【专题】计算题 【分析】根据题意得 m 1 0，然后解不等即可得到 m 的取值范围 【解答】解： y=（ m 1） x 2 的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限， m 1 0， m 1 故填空答案： m 1 【点评】此题主要考查了一次 函数图象与系数的关系，要求学生能够根据 k， b 的符号正确判断直线所经过的象限 8如图，正方形 边长为 10，点 E 在 延长线上， 0，点 P 在边 运动（ C， D 两点除外）， 交于点 F，若 CP=x，四边形 面积为 y，则 x 的函数关系式是 y= （ 0 x 10） 【考点】三角形中位线定理；根据实际问题列一次函数关系式；梯形 【专题】压轴题；动点型 【分 析】 中位线，四边形 梯形，根据公式求解 【解答】解： 正方形 边长为 10， CP=x， 0 中位线， x 四边形 梯形， S 梯形 （ P） 10= 即 y= （ 0 x 10） 故答案为： y= （ 0 x 10） 【点评】本题很简单，只要熟知三角形的中位线定理及梯形的面积公式即可解答 9如图，已知一次函数 y=x+1 的图象与反比例函数 的图象在第一象限相交于点 A，与 x 轴相交于点 C， x 轴于点 B， 面积为 1，则 长为 （保留根号） 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数 k 的几何意义；勾股定理 【专题】压轴题 【分析】由于 面积为 1，根据反比例函数的比例系数 k 的几何意义可知 k=2，解由 y=x+1 与 联立起来的方程组，得出 A 点坐标，又易求点 C 的坐标，从而利用勾股定理求出 长 【解答】解： 点 A 在反 比例函数 的图象上， x 轴于点 B， 面积为 1， k=2 解方程组 ， 得 ， A（ 1， 2）； 在 y=x+1 中，令 y=0，得 x= 1 C（ 1， 0） ， ， =2 【点评】本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数 k 与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系，即 S=|k| 10正方形 按如图所示的方式放置，点 点 分别在直线 y=kx+b（ k 0）和 x 轴上，已知点 1， 1）， 3， 2），则 坐标是 （ 22014 1， 22013） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质 【专题】规律型 【分析】首先求得直线的解析式，分别求得 坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解 【解答】解： 坐标为（ 1， 1），点 坐标为（ 3， 2）， 正方形 长为 1，正方形 长为 2， 坐标是（ 0， 1）， 坐标是：（ 1， 2）， 代入 y=kx+b 得 ， 解得： 则直线的解析式是： y=x+1 点 坐标为（ 1， 1），点 坐标为（ 3， 2）， 点 坐标为（ 7， 4）， ， 横坐标是： 2n 1，纵坐标是： 2n 1 坐标是（ 2n 1， 2n 1） 坐标是（ 22014 1， 22013） 故答案为：（ 22014 1， 22013） 【点评】此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律，正 确得到点的坐标的规律是解题的关键 三、解答题 11由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖，某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为 元 /台，并预付了 5 万元押金他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于 34 万元，但不高于 40 万元若一年内该产品的售价 y（万元 /台）与月次 x（ 1 x 12 且为整数）满足关系式： y= ，一年后发现实际每月的销售量 p（台） 与月次 x 之间存在如图所示的变化趋势 （ 1）直接写出实际每月的销售量 p（台）与月次 x 之间的函数关系式； （ 2）求前三个月中每月的实际销售利润 w（万元）与月次 x 之间的函数关系式； （ 3）试判断全年哪一个月的售价最高，并指出最高售价； （ 4）请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量 【考点】二次函数的应用；一次函数的应用 【专题】压轴题 【分析】（ 1）要根据自变量的不同取值范围，运用待定系数法分段计算出 p 与 x 的函数关系式； （ 2）可根据实际 销售利润 =单件的利润 销售的数量，然后根据题目中给出的售价与月次的函数式以及（ 1）中销售量与月次的关系式，得出实际销售利润与月次的函数关系式； （ 3）要根据自变量的不同的取值范围分别进行讨论，然后找出最高售价； （ 4）可根据 “完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于 34 万元，但不高于 40 万元 ”作为判断依据来计算出它能否完成年初的销售计划 【解答】解：（ 1）由题意得： ； （ 2） w=（ 5x+40） = （ x 3）（ x 8） = 即 w 与 x 间的函数关系式 w= ； （ 3） 当 1 x 4 时， y= y 随 x 的增大而减小 x=1 时， y 最大 = 当 4 x 6 时， y=元，保持不变 当 6 x 12 时， y= y 随 x 的增大而增大 x=12 时， y 最大 =12+合得：全年 1 月份售 价最高，最高为 元 /台； （ 4）设全年计划销售量为 a 台，则： 34 40 解得： 290 a 350 全年的实际销售量为： 35+30+25+20+22+24+26+28+30+32+34+36=342（台） 290 台 这一年他完成了年初计划的销售量 【点评】本题是利用一次函数的有关知识解答实际应用题，由此看来一次函数是常用的解答实际问题的数学模型，是中考的常见题型借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键 12如图 是某公共汽车线路收支差额 y（票价总收人减去运营成本）与 乘客量 x 的函数图象目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会 乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏 公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏 根据这两种意见，可以把图 分别改画成图 和图 ， （ 1）说明图 中点 A 和点 B 的实际意义； （ 2）你认为图 和图 两个图象中，反映乘客意见的是 3 ，反映公交公司意见的是 2 （ 3）如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图 中画出符合这种办法的 y 与 x 的大致函数关系 图象 【考点】一次函数的应用 【专题】压轴题 【分析】（ 1）读题看图两结合，从中获取信息做出判断点 A 表示这条线路的运营成本为 1 万元；点 B 表示乘客数达 人时，这条线路的收支达到平衡； （ 2）结合点的意义可知反映乘客意见的是 ，反映公交公司意见的是 ； （ 3）将图 中的射线 点 A 逆时针适当旋转且向上平移即可得到符合题意的直线 【解答】解：（ 1）点 A 表示这条线路的运营成本为 1 万元； 点 B 表示乘客数达 人时，这条线路的收支达到平衡； （ 2）反映乘客意见的是图 ； 反映公交公司意见的是图 ； （ 3）将图 中的射线 点 A 逆时针适当旋转且向上平移（平移距离和旋转角不可太大，点 A 平移到 x 轴或其上方，不给分） 【点评】本题有着浓厚的时代气息，题意与人们的日常出行密切相关，关键是能否正确理解题意，读取信息，作出正确解答 13某车站客流量大，旅客往往需长时间排队等候购票经调查统计发现，每天开始售票时，约有 300 名旅客排队等候购票，同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票 ，新增购票人数 y（人）与售票时间 x（分）的函数关系如图 所示；每个售票窗口票数 y（人）与售票时间 x（分）的函数关系如图 所示某天售票厅排队等候购票的人数 y（人）与售票时间 x（分）的函数关系如图 所示，已知售票的前 a 分钟开放了两个售票窗口 （ 1）求 a 的值； （ 2）求售票到第 60 分钟时，售票厅排队等候购票的旅客人数； （ 3）该车站在学习实践科学发展观的活动中，本着 “以人为本，方便旅客 ”的宗旨，决定增设售票窗口若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客能随到随购，请你帮助计算 ，至少需同时开放几个售票窗口？ 【考点】一次函数的应用 【专题】压轴题 【分析】这是个动态问题，比较复杂，需从新增人数和售出票数两个方面同时考虑 （ 1） a 分钟新增 4a 人，两个窗口售出 2 3a 张票，此时窗口有 240 人，据此得方程求解； （ 2）运用待定系数法求直线解析式，求 x=60 时的函数值； （ 3）根据题意列不等式求解 【解答】解： （ 1）由图 可知，每分钟新增购票人数 4 人，每个售票窗口每分钟售票 3 人，则： 300+4 a 3 2 a=240 解这个方程，得 a=30 （ 2）设第 30 78 分钟时，售票厅排队等候购票的人数 y 与售票时间 x 的函数关系式y=kx+b， 则 30k+b=240； 78k+b=0 解得 k= 5， b=390 y= 5x+390 当 x=60 时， y= 5 60+390=90 因此，售票到第 60 分钟时，售票厅排队等候购票的旅客有 90 人 （ 3）设至少同时开放 n 个售票窗口，依题意得： 300+30 4 30 3 n 解得 n 因此至少同时开放 5 个售票窗口 【点评】本 题是函数与实际问题的综合应用大题，要注意函数图象的运用及方程、不等式的联合运用 14某公司装修需用 A 型板材 240 块、 B 型板材 180 块， A 型板材规格是 6030 型板材规格是 4030只能购得规格是 15030标准板材一张标准板材尽可能多地裁出 A 型、 B 型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 A 型板材块数 1 2 0 B 型板材块数 2 m n 设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁 x 张、按裁法二裁 y 张、按裁法三裁 z 张，且所裁出的 A、 B 两种型号的板材刚好够用 （ 1）上表中， m= 0 ， n= 3 ； （ 2）分别求出 y 与 x 和 z 与 x 的函数关系式； （ 3）若用 Q 表示所购标准板材的张数，求 Q 与 x 的函数关系式，并指出当 x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？ 【考点】多元一次方程组 【专题】压轴题 【分析】（ 1）按裁法二裁剪时， 2 块 A 型板材块的长为 120150 120=30，所以无法裁出 B 型板，按裁法三裁剪时， 3 块 B 型板材块的长为 120120 150，而 4 块块B 型板材块的长为 160150 所以无法裁出 4 块 B 型板； （ 2）由题意得：共需用 A 型板材 240 块、 B 型板材 180 块，又因为满足 x+2y=240，2x+3z=180，然后整理即可求出解析式； （ 3）由题意，得 Q=x+y+z=x+120 x+60 x 和 ， 注：事实上， 0 x90 且 x 是 6 的整数倍 由一次函数的性质可知，当 x=90 时 ， Q 最小此时按三种裁法分别裁 90 张、 75 张、 0 张 【解答】解：（ 1）按裁法二裁剪时， 2 块 A 型板材块的长为 120150 120=30，所以无法裁出 B 型板， 按裁法三裁剪时， 3 块 B 型板材块的长为 120120 150， 而 4 块块 B 型板材块的长为 160150以无法裁出 4 块 B 型板； m=0， n=3； （ 2）由题意得：共需用 A 型板材 240 块、 B 型板材 180 块， 又 满足 x+2y=240， 2x+3z=180， 整理即可求出解析式为： y=120 x， z=60 x； （ 3）由题意，得 Q=x+y+z=x+