中国矿业大学(徐州)理学院,2010级2011,12月份大二上学期,数学分析(3)复习题( 简)2011

数学分析（3）复习题 一、 多元函数的极限、连续、微分学 1讨论二元函数 其 它 ,01),(2xyyxf 在点 的二重极限、二次极限、偏导数及沿任意方向的方向导数。)0,( （注：如果存在，把它求出来；如果不存在，要说明理由。 ）参见 P95 例 4 等 2证明: 0,0)(),( 223yxyxf 在点(0,0) 处连续且偏导数存在， 但不可微 。 3证明函数 0,0,1sin)(),( 222 yxyxyf 在点 连续且偏导数存在，但偏导数在 不连续，而 在 可微),0( ),(f),( 参见：P117 习题 7 4设 ，其中 为可微函数，求 (,)xyufzf,uxyz 参见：P123 习题 1 5设 可微，在极坐标变换 下，求(,)xycos,inrr 的表达式。参见：P120 例 2 22u 6设函数 在点 处可微，且(,)zfxy(1,)(1,)(1,)(,)23fffxy ，求 (),()f31()xd 7设 ，求 在点 的梯度及沿方向23,fxyzzf0,)P:(2,1)l 的方向导数 8利用二元函数的泰勒公式证明: 2 和 有, .0,xy11()xyy 进一步证明下面的 Yongs 不等式: 若 , 则对 有 .1(,0)pq0,ab1pqab 提示: 对函数 在 点展开为一阶泰勒公式,再利用雅可比矩阵的半负定性.1xy 最后取 即可.1,pqabp 9求函数 的极值点和极植.32(,)39fxyxy 提示: 见课件;类似于教材 P138 例 6; 利用极植的必要条件和充分条件. 10求二元函数 在直线 , 轴和 轴所围成的闭区域2(,)(4)zf6xyy 上的最大值和最小值.D 提示: 先求在区域 内的驻点 ,再求函数在直线 上的最值点,最后比较. 11在 平面上求一点,使它到三直线 , 及 的距离平方和最小.xy0xy2160xy 提示: 见教材 P141 习题 11. 二、隐函数定理及应用 1已知： ，求 和sin10xye0xdy20x 提示：利用隐式方程求导法。答案： ， 。13 2设 具有连续偏导数，已知 ，求 。(,)Fxy(,)yFzdz 提示：利用一阶全微分形式的不变性。答案： 。1212()Fxdyxy 3设函数 由方程组 所确定，求(,)uxy(,),(,)0,)ufxyztgthzt 和 。 （见教材 P158 习题 6） 3 4已知： ，求 和 。 （见教材 P158 习题 2（3） ）2(,)ufxvyguxv 5求球面 与锥面 所截出的曲线的点 处的切线和法250z22yz(,45) 平面方程。 （见教材 P161 例 2） 6. 求旋转抛物面 在点 处的切平面及法线方程。1yxz)4,(P 7教材 P163 习题 9 8求旋转抛物面 与平面 之间的最短距离。2z2xyz 提示：点到平面的距离公式 ，求在约束条件下 的极值。22CBADd2d 答案： ，)81,4(0P647min 9在过点 的所有平面中，求出与三个坐标平面围成立体体积最小的平面。3,2 提示：设平面方程 ，则体积 ，求 的极值可转化为求1czbyax6abcV 的极值cf lnl),( 答案： 3,36miV 三、含参量积分、重积分及其应用 1设 ，求 和 。xtsdef02)( )(xff 答案： ，解题过程中要说明依据。21x 2求 ，见教材 P178 例 410lndxIab)0(b 3计算 ， 是 所围闭区域。yxDsi xy,0 提示：考虑积分次序。答案：2 4计算二次积分 312dsinxy 4 提示：画出积分区域，转化为二重积分，交换积分次序。答案： )4cos1(2 5计算积分 。 （交换积分次序）1/214/2 yyxxdede 6 ，Dyx)( 0,:D 提示：用直线 将 分成两部分去绝对值。答案：x )12(3 7教材 P236 例 2 8计算 ，Dyxd)( 224:0xyxD 提示：用极坐标 ，,cos2r ?dcosdsin2/02/ xn 答案： 45 9计算 ，其中 。 （用极坐标计算）2xyDed22:Dxya 10计算积分 ，其中 是 所围1dVIV221,1,xzy 成。 提示：用直角坐标或柱坐标，先沿着 轴方向穿针。y 11计算 ， 是 与 所围闭区域。VzId2xz,1z 提示：用直角坐标，先二后一最简单。 37211 dzdxyIzD 也可用其它方法，如用柱坐标： 202102 rr 12计算 ， 由 ， 所围zyxzIVd)(2Vyx42zyx 提示：积分区域是球形区域的一部分，宜采用球坐标。答案： 16 13教材 P250 例 5。 14求球体 与 公共部分的体积。参见课件22xyzR22xyzR 15教材 P253 例 1 16设 是由曲线 绕 轴旋转一周形成的旋转体，质量均V30,)3(922zz 匀，求其重心。参见课件 17求半径为 的均匀半圆薄片对其径的转动惯量。参见课件R 5 四、曲线积分 1 ， 为 在第四象限部分LdsyxI2Lyx22 要求按三种方法做：答案：4 方法 1 直角坐标系， 0,:2 方法 2 参数方程， 2sin1,costtytxL 方法 3 极坐标， :2ir 2 ， 为点 到点 的直线段LdszyxI)(2 )2,(A)3,1(B 提示：写出直线 的参数方程 ，0(1,)rB 0(rtOAtr 然后代公式计算。答案： 69 3计算球面上 的边界曲线的形心坐标（ ） 。,0,22 zyxazyx 1 提示：由对称性 。答案：L ds43a 4 ， 是沿 和 所围封闭曲线正向。LdyxI32L23xy 提示：画草图如下， （可选 作参数）A23LOIdAy 或用 Green 公式（试一下答案是否一样） 答 案： 41 5力场 ，问质点从原点沿直线移到曲面 的第一卦限部),(xyzF 122czbyax 分上哪一点做的功最大，并求最大功。 提示：设 是椭球面上一点，从原点沿直线移到点 所作的功为0(,)xyz 0(,)xyz ， LLWFdsxdyz :()Lrt1O 6 求得 ，然后再根据约束条件用 Lagrange 乘数法求极值0Wxyz 答案： 000,33abc 6计算 ，LfdsnA 其中 ， 为椭圆 ， 为 的外法线向量2(,)fxyL21xynL 方法 1 记 ，外法线向量为 ，单位外法线向量（仍记为 ） ，1F(,)xyFn ， （用方向导数公式）22,4xyn 224fnxy 把 写成参数方程 ，Lcos,i,0tt 直接计算一型曲线积分得答案： 2 方法 2 设 ，切向量(cos,)n(cos,)txyyxffffLdsnA(cs) 2L LLxyxdsfdyxdA （注意，这里 应取为逆时针方向，想一想为什么？） 用 Green 公式 (当然也可直接计算这个二型曲线积分) 椭圆面积。2LDfdsxyn 7设 为球面 和平面 的交线，从 轴正向看去，2za0xyzx 是沿逆时针方向的。试计算二型曲线积分 Ldyz 提示：关键是写出 的参数方程。把 代入 得Lyzx22a ，把左边二次型化标准形（不唯一）比如22xza ，得,uv 221()()6uva 取 ，得曲线参数方程为cos,sin,0262av 7 cosin,2cos,cosin6662aaaxyz 答案： 。请你用另一种坐标变换化标准形再做一次。0 五、曲面积分 1求椭圆柱面 位于 xoy 平面上方及平面 下方部分柱面的面积。1952yx yzoyxzL 提示： 法一 计算曲面积分 时，先把曲面投影到 平面上，投影区域为：Sdxoz ，此时曲面方程应为： ，再化为 2:1,059xzDz2:315xSy 上的二重积分计算。xz 法二 计算曲面积分 时，把面积微元 用弧微分 表达，即SddSs ，其中曲线 为椭圆周 。SLdzsyL1952yx 再利用椭圆的参数方程把该曲线积分化为定积分计算。 法三 计算曲面积分 时，用曲面的参数方程：Sd:(,)5cos,3in),0,3sinSrtztztzt 面积 22259coSDDEGFdtz 8 2220 03sin59cos354costttdtd 再由 计算得答案：222lnxaxadxa5ln419 2求均匀球面（ ） 的重心和对 轴的转动惯量10,22zayxz 答案：重心 ， ，转动惯量：0z43zIa 3求 ，S dxydxdyI )()()( 为 的下侧。hzxz,2 要求（1）用二型计算（2）化一型计算（3）用 Gauss 公式计算。答案： 0 4 ，S dxyzydzI )( 是平面 在第一卦限部分的上侧。2x 提示： 的单位法向量 ，化一型计算较简单。1(,)3n ，2( (2)3S SxyzIdxyzxdS1(2)3Sxd ，z1xyz(2)DIxdy67 六、Green 公式与 Gauss 公式等 1 （1）计算 ，其中 分别是LyxdI2L （i） 是圆周： ，逆时针； （ii） 是不包含原点的光滑闭曲线，逆时针； （iii ） 是包含原点的光滑闭曲线，逆时针。L (2) 计算 ，其中 分别是Szyxdxyd2/32)( S 9 （i） ，外侧22:zyxS （ii） 为不包含原点的光滑闭曲面，外侧 （iii ） 为包含原点的光滑闭曲面，外侧 提示：（1）和（2）属同一类型 （1） （i）不能直接用 Green 公式， 221LLxdyIxdyA 此时用 Green 公式 21DI （ii）直接用 Green 公式， 0 （iii ）考虑挖去小圆 （ 充分小）取顺时针，圆周记为22yx 1L1()2LIA 2证明 Green 第一公式 （1） vdxyzuVdSnvuVdxyzvzuyxvu)( 其中 ，封闭曲面 取外侧，所围立体为 ，2 2zyx V 是 的外法线方向；nS （2） SLS dxyvuxdsnvuvdxy)( 其中 ，平面封闭曲线 取正向，所围的平面区域为 ，2 2yxLS 是 的外法线方向。nL 提示：（1）和（2）也是同一类型，但（2）要有法线与切线的转化问题，题中有 些条件没说（不言自明） ，只证（2）(coss)(coss)LL LvvvudsdudnxyyxAA()()L SGrendyx 3 ， 为 的上半圆周xx dymdme)cos()sin( L0,OaA 10 axy2 提示：添加辅助线，用 Green 公式。答案： 281am 4计算 ，其中 为以 为圆心， 为半径的顺时针圆周。24LxdyIAL(,0)A(1)R 提示：分 和 两种情况，第一种情况可直接用 Green 公式，而第二种情况可考1R 虑添加辅助线： （ 足够小）后在复连通域内用 Green 公式。22xy0 5设 为曲面 取上侧，计算S1,zzS yxzyxxI ddd)( 223 提示：增加辅助面用 Gauss 公式，答案 4 6设 是曲面 ，取上侧，计算 22()(1)10569zxyz 。223/()dxdIyz 提示：可考虑增加辅助面： （ 足够小）取下侧，具体见课件。0 7有密度为 1 的空间流体，流速 ，求在单位时间内流过曲面),(22zyxV 的流量（流向外侧） 。zyxS2:2 提示：用 Gauss 公式转化为三重积分。答案： 153 8证明：若 为封闭的简单曲面， 为 的外法线方向， 为任一固定方向，则nSl 见 P296 7，再