一般周期函数的判定方法

一般周期函数的判定方法 周期性是函数的一条特殊而有趣的性质，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式 中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论。本文在高中数学的基础上，对周期 函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，用初等的方法进行一些探讨。 1、周期函数的定义及性质 定义：设 f(x)是定义在数集 M 上的函数，如果存在非零常数 T 具有性质； （1）对 有（XT） ； （2）对 有 f（X+T）=f（X） 则称 f（X）是数集 M 上的周期函数，常数 T 称为 f（X）的一个周期。如果在所有正周期中 有一个最小的，则称它是函数 f（X）的最小正周期。 由定义可得：周期函数 f（X）的周期 T 是与 X 无关的非零常数，且周期函数不一定有最小 正周期。 例 1 常数值函数 f（X）=C（C 是常数）是实数集 R 上以任意非零实数为周期的周期函数。 狄利克莱函数 D（X）= 是实数集上任意非零有理数为周期的周期函数。 由于正实数和正有理数都没有最小的，因而它们都没有最小正周期。 2、性质： （1）若 T（0）是 f(X)的周期，则-T 也是 f(X)的周期。 （因 fx+(T-T)=fX+(-T)= f(X)） 。 因而周期函数必定有正周期。 （2）若 T（0）是 f(X)的周期，则 nT（n 为任意非零整数）也是 f(X)的周期。 证：当 n0 时，f(x+nT)=fx+(n-1)T+T=fx+(n-1)T= =f（x+T）= f(X)。 当 n0 时，-n0，由前证和性质 1 可得： nT=-（-nT）是 f(X)的周期。当 n 为任意非零整数时命题成立。 （3）若 T1 与 T2 都是 f(X)的周期，则 T1T2 也是 f(X)的周期。 （因 fx+（T1T2） =f（x+T1）= f(X)） 。 （4） 、如果 f(X)有最小正周期 T*，那么 f(X)的任何正周期 T 一定是 T*的正整数倍。否则 必存在 n1r Z+（Z+为正整数）使 T=n1T*+r（0rT*） ，则对 （f(X)的定义域）有 f(X) =f（x+T）=f（x+n1T*+r）=f（x+r） ，r 也是 f(X)的正周期，与 T*是 f(X)的最小正周 期矛盾。T 必是 T*的正整数倍。 （5）T*是 f(X)的最小正周期，且 T1、T2 分别是 f(X)的两个周期，则 （Q 是有理数集） 证：据条件和性质 4 知，存在 K1、K2 Z，使 T1=K1T*，T2=K2T*， 。 （6）若 T1、T2 是 f(X)的两个周期，且 是无理数，则 f(X)不存在最小正周期。 （用反证法 据性质 5 即可证得） 。 （7）周期函数 f(X)的定义域 M 必定是双方无界的集合。 证：若 T 是 f(X)的周期，则 nT（n ，n0）也是 f(X)的周期， 有 XnT M，M 双方 无界，但并非 M 必定（-、+） ，如 tgX 和 ctgX 的定义域分别为 XK+/2 和 XK（K ） 。 例 2：f(X)=sinX（ 10）不是周期函数。 3、周期函数的判定 定理 1 若 f(X)是在集 M 上以 T*为最小正周期的周期函数则 K f(X)+C（K0）和 1/ f(X) 分别是集 M 和集X/ f(X) 0，X 上的以 T*为最小正周期的周期函数。 证：T*是 f(X)的周期，对 有 XT* 且 f(X+T*)= f(X)，K f(X)+C=K f(X+T*) - 2 - +C，K f(X)+C 也是 M 上以 T*为周期的周期函数。 假设 T* 不是 Kf(X)+C 的最小正周期，则必存在 T（ 0TT*）是 K f(X)+C 的周期， 则对 ，有 K f(X+T)+C=K f(X) +C Kf(X+T)- f(X)=0，K0，f(X+T)- f(X) =0，f(X+T)= f(X)，T是 f(X)的周期，与 T*是 f(X)的最小正周期矛盾，T*也是 K f(X)+C 的最小正周期。 同理可证 1/ f(X)是集X/ f(X) 0，X 上的以 T*为最小正周期的周期函数。 定理 2：若 f(X)是集 M 上以 T*为最小正周期的周期函数，则 f(aX+n)是集X/aX+ b 上 的以 T*/ 为最小正周期的周期函数， （其中 a、b 为常数） 。 证：（先证 是 f(ax+b)的周期） ，T*是 f(X)的周期， ，有 XT*M，a（X ）+b=ax+bT*M，且 fa（X+ ）+b=f（ax+bT*） =f（ax+b）是 f（ax+b）的周期。 再证 是 f（ax+b）的最小正周期 假设存在 T（0T ）是 f（ax+b）的周期，则 f（a（x+T ）+b）=f（ax+b） ，即 f（ax+b+aT ）=f（ax+b） ，因当 X 取遍X/XM,ax+bM的各数时,ax+b 就取遍 M 所有 的各数，aT是 f(X)的周期，但 =T*这与 T*是 f(X)的最小正周期矛盾。 定理 3：设 f(u)是定义在集 M 上的函数 u=g（x）是集 M1 上的周期函数，且当 XM1 时， g(x)M，则复合函数 f(g(x)是 M1 上的周期函数。 证：设 T 是 u=g(x)的周期，则 1 有（xT）M1 且 g（x+T）=g(x) f(g(x+T)=f(g(x) =f(g(x)是 M1 上的周期函数。 例 3 设=f(u)=u2 是非周期函数，u= g(X)=cosx 是实数集 R 上的周期函数，则 f(g(x) =cos2x 是 R 上的周期函数。 同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)， （2）f(X)=Sin(tgx)， （3）f(X)=Sin2x， （4）f(n) =Log2Sinx(sinx0)也都是周期函数。 例 4，f(n)=Sinn 是周期函数，n=g(x)=ax+b(a0)是非周期函数，f(g(x)=Sin(ax+b)是周 期函数（中学数学中已证） 。 例 5，f(n)=cosn 是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而 f(g(x)=cos 是非周期函数。 证：假设 cos 是周期函数，则存在 T0 使 cos （kZ） 与定义中 T 是与 X 无关的常数矛盾，cos 不是周期函数。 由例 4、例 5 说明，若 f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期函数，这时 f(g(x)可能是， 也可能不是周期函数。 定理 4：设 f1(X)、f2(X)都是集合 M 上的周期函数，T1、T2 分别是它们的周期，若 T1/T2Q 则它们的和差与积也是 M 上的周期函数，T1 与 T2 的公倍 数为它们的周期。 证：设 （(pq)=1）设 T=T1q=T2p 则有： 有（xT）=（xT1q）=（xT2p）M， 且 f1(x+T) f2（x+T）= f1(x+T1q) f2（x+T2p）= f1(X)f2(X) f1(X) f2(X) 是以 T1 和 T2 的公倍数 T 为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X)是以 T 为周期的周 期函数。 推论：设 f1(X) 、f2(X)fn(X) 是集 M 上的有限个周期函数 T1、T2Tn 分别是 它们的周期，若， （或 T1，T2Tn 中任意两个之比）都是有理数，则此 n 个函数之 和、差、积也是 M 上的周期函数。 例 6 ，f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x 是以 2、/2 的最小公倍 数 2 为周期的周期函 数。 例 7，讨论 f(X)= 的周期性 解：2tg3 是以 T1= 为最小正周期的周期函数。 - 3 - 5tg 是以 T2 为最小正周期的周期函数。 tg2 是以 T3= 为最小正周期的周期函数。 又 都是有理数 f(X)是以 T1、T2、T3 最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。 同理可证：（1）f(X)=cos ; (2) f(x)= ； (3)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。 定理 5，设 f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则 f1(x)与 f2(x)之和、差、积是周期函数的 充要条件是 a1/a2Q。 证：先证充分性： 若 a1/a2Q，设 T1、T2 分别为 f1(x)与 f2(x)的最小正周期，则 T1= 、T2= ，又 Q 由定理 4 可得 f1(x)与 f2(x)之和、差、积是周期函数。 再证必要性（仅就 f1(x)与 f2(x)的差和积加以证明） 。 （1）设 sina1x-cosa2x 为周期函数，则必存在常数 T0，使 sina1(x+T)- sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。 令 x= 得 2cos（a1x+ ） ，则 （KZ） 。(2)或 CZ（3） 又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0 由(4)由 sin （5） 由上述（2）与（3） ， （4）与（5）都分别至少有一个成立。 由（3） 、 （5 得 ） （6） 无论（2） 、 （4） 、 （6）中那一式成立都有 a1/a2 。 （2）设 sinaxcosa2x 为周期函数，则 是周期函数。 例 8 求证 f(X)=sin x+cos x 是非周期函数。 证：假设 f(X)是周期函数，则 是无理数矛盾。f(X)是非周期函数。 4、非周期函数的判定 （1）若 f(X)的定义域有界 例 9，f(X)=cosx（ 10）不是周期函数。 （2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数 T 在关系式 f(X+T)= f(X)中是与 X 无关的， 故讨论时可通过解关于 T 的方程 f(X+T)- f(X)=0，若能解出与 X 无关的非零常数 T 便可断 定函数 f(X)是周期函数，若这样的 T 不存在则 f(X)为非周期函数，如例，f(X)=cos 是非 周期函数（例 5） 。 （3）一般用反证法证明。 （若 f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出 f(X)是非周期函数） 。 例 10 证 f(X)=ax+b(a0)是非周期函数。 证：假设 f(X)=ax+b 是周期函数，则存在 T（0） ，使对 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT- ax=0 aT=0 又 a0，T=0 与 T0 矛盾，f(X)是非周期函数。 例 11 证 f(X)= 是非周期函数。 证：假设 f(X)是周期函数，则必存在 T（0）对 ，有(x+T)= f(X)，当 x=0 时，f(X)=0， 但 x+T0, f(x+T)=1，f(x+T) f(X)与 f(x+T)= f(X)矛盾，f(X)是非周期函数。 例 12 证 f(X)=sinx2 是非周期函数 证：若 f(X)= sinx2 是周期函数，则存在 T（0） ，使对 ，有 sin(x+T)2=sinx2，取 x=0 有 sinT2=sin0=0，T2=K（KZ） ，又取 X= T 有 sin( T+T)2=sin（ T） - 4 - 2=sin2k=0，( +1)2 T2=L(LZ+)， 与 3+2 是无理数矛盾，f(X)=sinx2 是非周期函数。 例 13 证 f(X)=cos(lgx)为非周期函数 证：若 f(X)=cos(lgx)是周期函数，则必存在 T（0）使对 0 有 coslg(x+T)=cos(lgx), 当 x=T 时，cos(lg2T)=cos(lgT)，当 x=2T 时，有 cos(lg3T)=cos(lg2T)=cos(lgT)， 当 x=9T 时有 cos(lg10T)=cos(lg9T)=cos(lg8T)=cos(lgT) cos(lgT)=cos(lg10T) =cos(1+lgT)=cos1cos(lgT)-sin1sin(lgT) 同理可得当 X=99T 时有 cos(lgT)= = 若 sin(lgT)0 时，有 cos1-cos21=sin21 cos1=1 显然不成立。 又若 sin(lgT)=0 则 lgT=K cos(lgT)=1 cos(lg10T)=cos(1+lgT)=cos1cos(lgT)-sin1sin(lgT)=cos1=1 同样不成立 cos(lgx)是 非周期函数。 证法 2： cos(lgx)的定义域为 x0，不是双方无界集合，由性质可知 cos(lgx)不是周 期函数。 类似的还可证 f(X)=cos(arc cosx)为非周期函数。 对 于 函 数 y=f（ x） ， 如 果 存 在 一 个 不 为 零 的 常 数 T， 使 得 当 x 取 定 义 域 内 的 每 一 个 值 时 ， f（ x+T） =f（ x） 都 成 立 ， 那 么 就 把 函 数 y=f（ x） 叫 做 周 期 函 数 ， 不 为 零 的 常 数 T 叫 做 这 个 函 数 的 周 期 。 周 期 函 数 性 质 ： （ 1） 若 T（ 0） 是 f(X)的 周 期 ， 则 -T 也 是 f(X)的 周 期 。 （ 2） 若 T（ 0） 是 f(X)的 周 期 ， 则 nT（ n 为 任 意 非 零 整 数 ） 也 是 f(X)的 周 期 。 （ 3） 若 T1 与 T2 都 是 f(X)的