上海高一下期末数学复习全总结_学生版

高一下期末复习资料 板块一 指对幂函数 【知识要求】 （1）指对幂运算：指数运算、对数运算、指对互换。 1.1 对数恒等式： 01loga 1logabalog 1.2 对数公式： MNaaalll NMaaalogllbnaaloglbmnalogcallbalog1l 1loglogacba （2）指对幂函数图像：基本初等函数图像、图像变换。 （3）指对幂函数性质：奇偶、单调、对称、周期。 【经典例题】 【例 1】 （1） 【2010 湖北文 03】已知函数 ，则0,2log3xf 91f 。 A4BC4D41 （2） 【2010 湖北文 05】函数 的定义域为 。3log5.0xy A1,43B,43C,1,1,43 （3） 【2010 重庆文 04】函数 的值域是 。xy46 ,0,0,0D,0 【例 2】 【2010 北京文 06】给定函数 ， ， ，2 1xy1log2x1xy ，其中在区间 上单调递减的函数的序号是 。1xy1,0 ABCD 【例 3】 【2010 全国文 10 理 08】设 ， ， ，则 。2log3alnb215c cbacb CD 板块二 三角比 【知识要求】 （1）角的定义与表示 1.1 任意角的定义：平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终 边）所形成的图形。 （动态的定义） 1.2 分类：正角、负角、零角；象限角、轴线角。 1.3 表示：与角 终边一致的角：Zk,360| 1.4 弧度制 1.4.1 为什么引进弧度制？:以实现角度与实数的一一对应，为三角函数“正名” 。 1.4.2 弧度制与角度制（六十进制）的互换：采用比例式互换 。018 把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做 。圆心角 ；扇形面积rad1rl 。21rlS ； 。08573.radr745. （2）三角比的定义 2.1 三角比的定义 用直角三角形边之比定义锐角三角比； ， ， ， ，casincbosatnbcot 正割： ，余割：es 用终边上点的坐标定义任意角的三角比； 在任意角 的终边上任取一点 。设 点的坐标为 ，则 。Pyx, 2yxrOP ， ，2sinyxr2cosrx 。ta 由以上定义可得任意角在各个象限中对应的三角比的正负： 一全正、二正弦（余割） 、三两切、四余弦（正割） 。 用单位圆上的有向线段定义任意角的三角比。 ， ，MPsinOMcos ATtan 2.2 特殊角的三角比 （ ）0（ ）603（ ）405（ ）306（ ）209sin2121co13210tan0313 不存在cot 不存在 30 速记口诀如下： 0 30 45 60 90 度，正余弦及正切值。 数字 0 1 2 3 4 ，除以 4 求算术根； 计算结果都存在，对应五角正弦值。 数字 4 3 2 1 0，除以 4 求算术根； 计算结果都存在，对应五角余弦值。 数字 0 1 2 3 4 ，数字 4 3 2 1 0， 对应相除若有商，算术根乃正切值。 （3）同角三角恒等式 1cossin22itaZk,sincotZk,1cottn,2siZk,1secoZk,222ectan1,222t, 【注】 、 、 、 、 、 以上表达式只需知ossibcsinicosinsico 其一，其余的必可求解！ （4）诱导公式 口诀：奇变偶不变，符号看象限。将所需化简的角化成 的形式，然后用口诀。k2 （5）两角和差展开公式 sincosinsi sicscos notan1ttantan1tta （6）二倍角公式 cosi2si222 sin1csico 2tan1ta 半角公式 2cos1sin22cos1cs2initaZk, （7）辅助角公式（提携公式） sicossin2bab ， ，22abtn * cossinco2baba ， ，2si2abtn 【经典例题】 【例 4】 （1）若 是第二象限角，那么 和 都不是 。 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角ABCD （2）扇形的中心角为 ，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为 。012 【例 5】 （1） 【2010 山东明天中学】已知角 的终边过点 ，且03sin6,8mP ，则 的值为 。4cosm A2B23C21D2 （2） 【2009 重庆文 06】下列关系式中正确的是 。 A000168sinco1sinB0001cossin168si Ci Di 【例 6】 （1） 【2009 山东临沂】已知 ， ，则 的值5cosin2,tan 是 。 （2） 【2009 安徽合肥】已知 ，则 。xcos2sin1in2 A56B59C34D35 【例 7】 （1） 【2010 全国02】记 ，那么 。k08cs0ta k 2k212121k （2） 【2009 安徽皖北】若 ，则 。536sincos A53B53C4D54 【例 8】 （1）已知 ，则 。tan1t （2）已知 为锐角，且 ，则 。356coscos 【例 9】 （1）已知 ，则 。4inxx2sin （2）已知 ，则 。41cos3sixxxcos 【例 10】 （1） 【2008 四川非延考理 05】若 ， ，则 的取值20cos3sin 范围是 。 A2,3B,3C4,3D2, （2）若 ，且 ，则21cos1sinxx 0xxcosin 。 板块三 三角函数 【知识要求】 （1）定义：一般地，形如 ， ， 的函数称为三角函数。xysinxcosxytan （2）图像 由单位圆上的有向线段平移所得 五点法 （3）图像变换 同名函数之间进行变换； 所有变换必须针对 或 ；xy 左加右减， “上正下负” 。 （4）三角函数性质：奇偶、单调、周期、对称 【经典例题】 【例 11】 （1）作出函数 的图像。32sinxy （2） 【2010 江苏 10】定义在区间 上的函数 的图像与 的图像2,0xycos6xytan5 的交点为 ，过点 作 轴于点 ，直线 与 的图像交于点 ，则线Px11P1in2P 段 的长为 。21 【例 12】 （1） 【2010 天津文 08】右图是函数 在区间 上的图像，为了RxAysin65, 得到这个函数的图像，只要将 的图像上所有Rxysin 的点 。 (A)向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变3 12 (B) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变6 (D) 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 （2） 【2005 天津理 08】要得到 的图像，只需将函数 的图2cosyx2sin4yx 像上所有的点的 。 A、横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动 个单位长度128 B、横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 个单位长度4 C、横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动 个单位长度 D、横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 个单位长度8 【例 13】 （1） 【2010 重庆理 06】已知函数 的部分图像如图所示，sin(0,)2yx 则 。 A B 1616 C D 22 （2） 【2009 浙江理 08】已知 是实数，则函数 的图像不可能是aaxxfsin1 。 【例 14】 （1） 【2010 浙江理 11】函数 的最小正周期是2()sin2)sin4fxx _。 （2） 【2010 北京理 15 改编】函数 的最大值为_，f2cosicos 最小值为_。 （3） 【自编】函数 ， 的值域为_。xxysincsin65,12 【例 15】 （1） 【自编】已知函数 ，xxf2siniR （）求函数的值域； （）求函数的最小正周期； （）求函数的单调性； （）求函数的对称轴和对称中心； （2） 【自编】下列命题 函数 的最小正周期是 ；42sinxf 2 函数 在（ ， ）上是递增的；fcoi 函数 的图像关于点 中心对称；62tanxy 0,3 函数 是奇函数。4sin4si22x 其中正确命题的序号为 。 【例 16】 （1） 【2003 天津文 21】已知函数 是 上的)0,)(sin)( xf R 偶函数，其图像关于点 对称，且在区间 上是单调函数。求 的值。)0,43(M2,0和 （2） 【2008 辽宁理 16】已知 ，且 在区间()sin)(0,()363fxff()fx 有最小值，无最大值，则 _。(,)63 板块四 反函数 【知识要求】 1.1 定义：若函数 的定义域为 ，值域为 ，对于 中每一个元素 在 中有xfyAB0yA 唯一确定的元素 与之对应，则函数 存在反函数，即为 ，否则不存0 xfyxf1 在反函数。 1.2 存在反函数的前提条件：一一映射。 1.3 求反函数的步骤：求值域；反解；互换 1.4 互为反函数的两函数的性质： 奇偶性：原函数奇函数，反函数奇函数；原函数偶函数，反函数一般情况下不存在，但 若为单点函数可存在反函数。 单调性：原函数在某一区间上的增减性与反函数在对应区间上的增减性一致。 原函数与反函数关于直线 对称。xy 1.5 反三角： 反三角公式： ，arcsinarcsinxxarcosros ， tctxxtt 2arrcosarsi xxarcxx ottarctnn 当 时， 当 时，2,xsiarc,0s 当 时， 当 时，,xtnr ,xxarcot 反三角函数的图像和性质 名称 定 义 定义域 值 域 图 像 反正弦 函数 y=arcsinx (y=sinx, x- , 2 的反函数) -1,1 - , 2 反余弦 函数 y=arccosx (y=cosx, x0,的反 函数) -1,1 0, 反正切 函数 y=arctanx (y=tanx, x(- , )2 的反函数) (-,+) (- , )2 【经典例题】 【例 17】 （1）函数 的反函数为 。02xy xy 1O5-1 xyO5xy 1O5-1 2 （2） 【1992 全国理】函数 的反函数为 。2 xey 奇函数，且在 单调递减 偶函数，且在 单调递A,0B,0 奇函数，且在 单调递增 偶函数，且在 单调递增CD （3） 【2004 全国理 15】已知函数 是奇函数。当 时， ，设xfyx13xf 的反函数是 ，则 。xfxgy8 【例 18】 （1） 【2008 上海第三女子中学高一下期末试题 13】已知： ，31sinx ，则 等于 。23,xx A1arcsinB31arcsinC31arcsinD31arcsin2 （2） 【2008 上海南模中学高一下期末试题 05】若 ，则 的取值,xxori 范围是 。 板块五 解三角 【知识要求】 （1）解三角工具 1.1 解三角问题： 、 、 、 、 、 、 、 ，已知部分量，求解其它量的问题abcABClS 1.2 解三角工具 ，CBAl cpbaprhS 21sin2 为内切圆半径，rcbap 正弦定理： ， 为外接圆半径RCBAsinisin 变形： 1） c: 2） RCBAcbaba 2sinii2ii 适用情况：1）两角一边；2）两边一对角 余弦定理： ， ，bcAcosac2osabc2os 变形： ， ，Abcaos22 Bacos22 Cabcos22 适用情况：1）三边；2）两边一夹角 三角形内的诱导公式 ， ，CBAsinsi CBcscsCAtantan ， ， ，2o2iA2coB2tanBA 三角形内的不等关系： 1）大边对大角，大角对大边； 2）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3） ， ；A0B 4）锐角三角形 任一角的余弦值大于 ；钝角三角形 最大角的余弦值小于 ；00 ；220coscba ；2 ；22cscA 5） ；CBAbaCBsinisin. CBAcoscos 6）在 中，给定 、 的正弦或余弦值，则 有解的充要条件为 。 0 （2）解三角思想 2.1 、 、 、 、 、 、 、 ， 个量其中知三，必可求其余量（三角除外） ；abcAlS8 2.2 边 角，角 边 【经典例题】 【例 19】 （1） 【2010 山东文 15 理 15】在 中，角 、 、 对应的边分别为 、ABCCa 、 ，若 ， ， ，则角 的大小为 。bc2ab2cosin （2） 【2009 湖南文 14】在锐角 中， ， ，则 的值等于AB1ABcos ， 的取值范围为 。AC （3）在 中，下列结论：若 ，则此三角形为钝角三角形；若B22cba ，则此三角形为等腰三角形；若 ，则 ；ACsinco2sin BABsini ，其中正确的个数为 。0 个 个 个 个1C3D4 【例 20】 （1） 【2008 浙江文 14 理 13】在 中，角 、 、 对应的边分别为 、ABCCa 、 ，若 ，则 。bcaAcbos3cs （2） 【2010 江苏 13】在锐角 中，角 、 、 对应的边分别为 、 、 ，若ABCCabc ，则 的值是 。Cbacos6tant 【例 21】 【2010 陕西理 17】如图， ， 是海面上位于东西AB 方向相距 海里的两个观测点，现位于 点北偏东35 ， 点北偏西 的 点有一艘轮船发出求救信号，位于04B06D 点南偏西 且与 点相距 海里的 点的救援船立即32C 前往营救，其航行速度为 海里/小时，该救援船到达 点需D 要多长时间？ 板块六 方程 【知识要求】 （1） “8”字环思想 【经典例题】 【例 22】 【2009 闸北高一下期末考试】已知函数 。sin2cos1()xf （1）求方程 的所有解；0)(xf （2）若方程 在 范围内有两个不同的解，求实数 的取值范围。a3,a 【例 23】 （1） 【2010 浙江文 09】已知 是函数 的一个零点。若0xxxf12 ， ，则 。0,x,02x ， ，A1ffB01xf2f ， ，Cx2xDx （2） 【2010 上海文 17】若 是方程 的解，则 属于区间 。02lgx0 A1,0B5.1, C75.D7 板块七 数列通论 【知识要求】 1.1 定义 1）定义：按照一定次序排列起来的一列数。 【注】数列是一个定义域为正整数集 （或它的有限子集 ）的特殊函数。Nn,32,1 2）通项公式：数列的第 项 与 之间的关系。即 ， 。nafan*N 3）前 项和： 。前 项和也可写成关于 的函数，即 ， 。ninS1 nfS* 4）递推公式：已知数列的第 项（或前几项） ，且从第二项（或某一项）开始的任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，此公式即为递推公式。na1na 【注】通项公式、前 项和以及递推公式（包括第 项或前几项）都是给出数列的方式。1 1.2 表示 1）列举；2）解析（通项、前 项和、递推三种形式） ；3）图像（孤立的点（离散的点） ） ；n 1.3 分类 1）有穷数列、无穷数列； 2）递增数列、递减数列、摆动数列、常数列； 3）有界数列、无界数列。 1.4 等差数列 1） 定义：从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列。即 。2,*1nNdan 【注】证明等差数列的两种方法： ； 。2,*1nNdan 11nnaa2,*N 2） 通项公式： ， （累加）d1*N 3） 前 项和： ， （倒序相加）ndnaSn 221*n 4） 、 、 、 、 中知三求二。1andn 1.5 等比数列 1）定义：从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数的数列。即 qan1,0*nNq 【注】证明等比数列的两种方法： ； 。an1 2,*1na2,*N 2）通项公式： ， （累乘）1nqa*N 3）前 项和： ，当 时，也可写成 （错位相减）n,1Snn 1qqaSnn1 4） 、 、 、 、 中知三求二。1anqn 1.6 用函数观点来分析等差、等比 1）等差： （一次型函数） ，dan1 （没有常数项的二次型函数）dSn2 2）等比： （指数型函数） ，nnqa1 （分段函数，分别为一次型和指数型函数） 1,11qSnn 1.7 等差数列性质 1） 【拓展】dmnanmnad 2）等差中项： 12nna 【拓展】当 时，有 ；qpjiqpji a 【注】等差数列 ，若 ，则 不一定成立。nqpji ji 【注】nnaS12112nSba 3）衍生等差数列： 为等差数列，公差 ；Cnd 为等差数列，公差 ；ba21 （其中 为间距， 为起始项， ）为等差数列，即等距项为等差数列，pkmpaNk 公差 ；d ， ， ， ，为等差数列，公差 ；S2mS23m34dm2 为等差数列，公差 ；nd 其它： 1） 项数为奇数 的等差数列 ，有： ， ；12nanaS偶奇 1偶奇 项数为偶数 的等差数列 ，有： ， ；nnd偶奇 1n偶奇 2） 等差数列 中，若 ， ，则 ；nanmanman 等差数列 中，若 ， ，则 ；0 等差数列 中，若 ， ，则 ；nSnmSnm 等差数列 中，若 ，则 ， ；aaanan 等差数列 中，若 ，则 ， 。nnmdnm0m 1.8 等比数列性质 1） 【拓展】mnnqamnaq 2）等比中项： 12nna 【拓展】当 时，有 ；qpjiqpjia 【注】等比数列 ，若 ，则 不一定成立。naqpji j 12 12nni 3）衍生等比数列： 对任意非零实数 ， 为等比数列，公比为 ；naq 为等比数列，公比为 ； 为等比数列，公比为 ；nba21qnba21q ， ， ， ，依然成等比数列，公比为 。mSm2mS23m34m 【注】若 ， ，则 ， ， ，就不成等比数列。nna1*N22S46 【经典例题】 【例 24】 （1） 【2008 北京理 06】已知数列 对任意 、 满足 ，nap*Nqqpqa 且 ，那么 等于 。62a10a A5B3C30D21 （2）数列 满足： ，若 ，则数列的第 2010 项为na12,1nnna76 。 【例 25】 （1）已知 ，则在数列 中最大项为 。*2156Nnan （2）已知数列 中， ，且 是递增数列，则实数 的取值范nn2*na 围为 。 【例 26】 （1）已知等比数列 中， ， ，则 。na2314S1a （2）已知 ， ， 成等差数列， ， ， ， ， 成等比数列，则9191b2321ba 。 （3）已知数列 的通项为 ， ，数列 的每一项都有 ，nann21*Nnbnba 则数列 的前 项和 。nbS （4） 【2006 北京理 07】设 ，则 等于Nnnf 103107422 nf 。 A)18(72nB)8(721nC83nD18724n 【例 27】 （1） 【2009 全国文 14 理 14】设等差数列 的前 项和为 ，若 ，nanS29 则 。942a （2） 【2009 辽宁理 06】设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则nanS3669S 。 AB37C8D3 （3）等差数列 、 的前 项和分别为 、 ，且 ，则nabnnST321n8ba 。 （4） 【2010 广东四校联考】等比数列 的公比为 ，其前 项的积为 ，并且满足条naqnT 件 ， ， ，给出下列结论：1a019019 ；0q ；19a 的值是 中最大的；0Tn 使 成立的最大自然数 等于 。1nTn198 其中正确的结论是 。 板块八 通项、前 项和、递推公式之间的推导 【知识要求】 数列中的核心问题： 1.1 naS 通法： ni1 （1）公式求和： ：APdnanSn21211 ：G ,1qnn 2321 61nn 233321 （2）裂项相消 分式： pnpn1CAnBCAB12121nn 根式： npn1 对数： plgllg 指数： 11nnqaq 其它： ! !1!nrnrnC11 （3）错位相减 错位相减用于差比数列（ ）求和；nqBA （4）倒序相加 主要用在类似于 （与指数相关函数，其中 定值）以及组5xf xf1 合数问题上； （5）分组求和 通项由多成分构成，可单独求和再相加。 【注】在选用方法时，可按公式、错位相减、倒序相加、裂项的次序选择。 1.2 naS 通法： 2,1Snn 1.3 递推关系式 、a （1）递推关系式的形式 递推关系式的三种形式：只含 ；只含 ；同时含有 和nanSnaS 将第三种情况向第一种或第二种转化 转化的工具：采用 ，可以消 ，也可消 。但无论采用哪种都需2,1Snn nn 要分类讨论。 方法的选择取决于以下两点：谁比较好消；问题求什么。前者作为主导因素。 (2) 递推 、na 累加法 遇到 ； ； 用累加法。fn1 nfan1ngaf1 累乘法 遇到 （ ） ； ； 用累乘法。nfan1ngfa11naf1nnagf 构造熟悉数列 公式法 1） fbn1 当 时，用累加；当 时，采用待定系数法或两边同除以 求