三角函数解题规律及总结

三角函数的解题技巧 3、关于“托底”方法的应用： 在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用 在需把含 tg （或 ctg ）与含 sin （或 cos ）的式子的互化中，本文 把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下： 例 5、已知：tg =3，求 的值。cosin23s 分析：由于 ，带有分母 cos ，因此，可把原式分子、分母coitg 各项除以 cos ， “造出”tg ，即托出底：cos ； 解：由于 tg =3 0cos2k 故，原式= 0132cosin23s tg 例 6、已知：ctg = -3，求 sin cos -cos2 =? 分析：由于 ，故必将式子化成含有 的形式sinctg sinco 解： 22222 csicos1osin 2sin,分 母 同 除 以分 子 221)sinc(1tgc 56)3(2 例 7、设 ，20,yx )6sin()3si(nsi yxyx且 求： 的值)3)(ctgt 分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要 用“托底法” ，由于 ，故 ，在等式两边20,yx 0sin,iyx 同除以 ，托出分母 为底，得：yxsinyxsin 解：由已知等式两边同除以 得： 1sini6co6isin3coi1sin)6()3si( yxyx 34)(3( 14 )3)(13(ici4ctgytxtgyctx “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子 的互化的计算。由于 ， ，即正切、余切与正弦、余cosintgsinot 弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底” ，通过保持式子数值不变的情 况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目 的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用 ，把1cossin22 作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时22cossin 除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。 4、关于形如： 的式子，在解决三角函数的极值问题时的xbasinco 应用： 可以从公式 中得到启示：式子)si(ssinxAA 与上述公式有点相似，如果把 a，b 部分变成含 sinA，cosAxbacos 的式子，则形如 的式子都可以变成含 的式子，由于xbasico)sin(x -1 1，)sin(xA 所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把 a 当成 sinA，b 当成 cosA，如式子： 中，不能设xsin4co3 sinA=3，cosA=4，考虑：-1sinA1，-1cosA1，可以如下处理式子： xbaxbaxba sincossinco 222 由于 。1)()(22 故可设： ，则 ，即：2sinbaAAsin1cos2cosb )sin()sincos(insin 22 xAbaxAxbaxa 无论 取何值，-1sin(Ax)1，A 2b)si(2A2ba 即： axbnco 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用： 例 1（98 年全国成人高考数学考试卷） 求：函数 的最大值为（ A ）xxycosincos32 A B C D112313 分析： ，再想办法把 变成含xxxsincosin2cosin x2cos 的式子：cso2 2co12 于是： xysi2s3 xin1co 23)si23( 由于这里： 1)2(3,21,32baba则 )sinco2(1xy 设： 21cos,231sin2 AbaA则 sincoi xxy 23)sin(A 无论 A-2x 取何值，都有-1sin(A-2x)1，故 231y231 的最大值为 ，即答案选 A。y231 三、三角函数知识点解题方法总结 1、见“给角求值”问题，运用“新兴”诱导公式 一步到位转换到区间（-90，90）的公式. sin(k+)=(-1) ksin(kZ)； cos(k+)=(-1) kcos(kZ)； tan(k+)=(-1) ktan(kZ)； cot(k+)=(-1) kcot(kZ). 2、见“知 1 求 5”问题，造 Rt，用勾股定理，熟记常用勾股数 （3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），仍然注意“符号看象限”。 3、见“切割”问题，转换成“弦”的问题。 4、“见齐思弦”=“化弦为一”：已知 tan,求 sin 与 cos 的齐 次式，有些整式情形还可以视其分母为 1，转化为 sin2+cos 2. 5、见“正弦值或角的平方差”形式，启用“平方差”公式： sin(+)sin(-)= sin 2-sin 2; cos(+)cos(-)= cos 2-sin 2. 6、见“sincos 与 sincos”问题，起用平方法则： (sincos) 2=12sincos=1sin2,故 若 sin+cos=t,(且 t22),则 2sincos=t 2-1=sin2; 若 sin-cos=t,(且 t22),则 2sincos=1-t 2=sin2. 7、见“tan+tan 与 tantan”问题，启用变形公式: tan+tan=tan(+)(1-tantan).思考：tan-tan=？ 8、见三角函数“对称”问题，启用图象特征代数关系：(A0) 函数 y=Asin(wx+)和函数 y=Acos(wx+)的图象，关于过最值点且平 行于 y 轴的直线分别成轴对称； 函数 y=Asin(wx+)和函数 y=Acos(wx+)的图象，关于其中间零点分 别成中心对称； 同样，利用图象也可以得到函数 y=Atan(wx+)和函数 y=Acot(wx+) 的对称性质。 9、见“求最值、值域”问题，启用有界性，或者辅助角公式： |sinx|1,|cosx|1;2.(asinx+bcosx) 2=(a2+b2)sin2(x+)(a 2+b2); asinx