专题一 排列与组合

专题一 排列与组合应用题 一、知识提要 1. 排列与组合应用题，是高考的常见题型，且与后面学习的古典概型问题联系密切。 高考中重点考查有附加条件的应用问题，解决的方法主要从以下三个方面考虑：(1)以 元素为主，特殊元素优先考虑 （2）以位置为主，特殊位置优先考虑 （3）间接 法：暂不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合条件的情况。 2. 排列组合综合问题一般思路：先组合后排列，即先选元素后排列，同时注意按性 质分类或按时间的发生过程分步。 3. 解决首先纸条的排列、组合问题的一般策略有： （1） 特殊元素优先考虑安排的策略； （2） 正难则反，等价转化的策略； （3） 相邻问题捆绑处理策略； （4） 不相邻问题插空处理策略； （5） 定序问题、平均分组问题除法策略； （6） “小集团”排列问题宪政体后局部策略； （7） 分排问题直排处理策略； （8） 构造模型的策略。 二、典型问题 （一） 排队问题 例 1. 4 男 3 女坐在一排，分别求下列各种排法的种数 （1） 某人必须在中间 （2） 某两人必须站在两端 （3） 某人不在中间和两端 （4） 甲不在最左端且乙不能在最左端 （5） 甲乙两人必须相邻 （6） 甲乙两人不能相邻 （7） 甲乙两人必须相隔 1 人 （8） 4 男必须相邻，3 女也必须相邻 （9） 3 女不能相邻 （10） 甲必须在乙的左边 （11） 4 男不等高，按高矮顺序排列 点评：排队问题中常分为“在和不在” 、 “邻与不邻” 、 “顺序固定”等问题。 变式练习： 1、四个人参加一次聚会，若任意两人不同是到场，则甲比乙先到的情况有种，若甲乙 丙三人中甲先到，其次是乙，丙最后到的情况有种。 2、三名男歌手，两名女歌手联合举行一场音乐会，演出的出场顺寻要求两名女歌手之间恰 有一名男歌手，不同的出场顺序有种。 3、有 6 名同学参加了演讲比赛，决出了第一至第六的名次，评委告诉甲，乙两位同学“你 们都没有拿到冠军，但甲不是最差”则这 6 名同学的排名顺序有种。 （二） 分组问题：1 弄清是否为平均分租，若是平均分组，则需用除法策略 分组后是否需分配，若分配则需要排列 （先分组在排列） 例六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ （） 分成三堆，一堆一本，一堆二本，一堆三本。 （） 平均分成三堆，每堆本。 （） 分给甲、乙、丙人，一人一本，一人二本，一人三本。 （） 平均分给甲乙丙三人，每人本。 （） 分给甲乙丙三人，每人至少本。 （三） 放球问题 例将四个编号为、的小球放入个编号为、的盒子中。 （） 有多少种放法？ （） 每盒至少一球，有多少种放法？ （） 恰好有一个空盒，有多少种放法？ （） 每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与合资的编号相同，有多少种 放法？ （） 把个不同的球改成个相同的球，恰有一个空盒，有多少种放法？ （） 把个不同的球改成个相同的球，要求每个盒内的球数不少于它的编号 数，有多少种放法？ 解析：（） 4 （）为全排列问题，共有 种方法4A （）先将个球分成三组，再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子 （）个球的编号与盒子编号相同的选法有 种，当个球与个盒子的编14C 号相同时，用局部列举法可知其余个球的投放方法有种，故共有 （种）142C （5） 先从四个盒子中选出 3 个盒子，再从 3 个盒子中选出一个盒子放入两个 球，余下的两个盒子各放一个，由于球是相同的即没有顺序，所以属于组 合问题，故共有 =12（种）放法。143C （6） （隔板法）先将编号 1、2、3、4 的 4 个盒子分别放入 0、1、2、3、个球， 再把剩下的 14 个球分成四组，即在 14 个球的中间 13 个空挡种放入三块 隔板，共有 =286 种。31 例 4 （1）一条长椅上有 9 个座位，3 个人坐，若相邻的 2 人之间至少有 2 个空位，共有几 种不同的坐法？ （2）一个长椅上共有 7 个座位，4 人坐，要求 3 个空位中恰有 2 个空位相邻，有多 少种不同的坐法？ 注意：空位是相同的元素，无顺序的。 解析：（1）先将 3 人（用 表示）与 4 张空椅子（用 表示）排列如图 ，这时AA 共占据了 7 张椅子，还有 2 张空椅子分为两类， （一）分开插入如图中箭头所示 ，从 4 个空挡中选出 2 个插入，有 种插法， （二）是 2 张绑在一起同时A 24C 插入，有 种插法。再考虑 3 人可交换有 种方法。 共有 =60（种）14C3134() （2） （插空法） 点评解决组合应用题的总体思路是： （1）整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏， 任意两类的交集等于空寂，以保证分步的不重复。 （2）局部分步，整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步步连续，以保证分 步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复。 （3）辩证地看待“元素”与“位置” 。元素和位置是解题者视具体情况而定的，比如有时 把人看做“位置” ，而作为看做“元素” ，问题更容易解决。 （4）注意要理解题设中的“有且仅有” 、 “至多” 、 “至少” 、 “全是” 、 “都不是” 、 “不都是” 等词语的确切含义，常用逆向思维、等价转化、 “间接法”等思想方法。 (四)抽样问题 例 5. 某班有 40 名学生，其中正、副班长各一名，现派 5 名学生完成一项工作。 （） 共有多少种不同的选法？ （） 正、副班长都必须参加，有多少种选法？ （） 正、副班长只有一人参加，有多少种选法？ （） 正、副班长最多有一人参加，有多少种选法？ （） 正、副班长至少有一人参加，有多少种选法？ （） 正、副班长不都参加，有多少种选法？ 若上题中选出五人分别完成不同的 5 项任务，结果如何？ （五） 涂色问题：先选色，在排列。 例 6（1）某城市中心广场建造一个花圃，花圃分 6 个部分，如图示，现在栽种四种不同 颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同色的花，不同的栽种方法有种。 （2）椭圆的长短轴把椭圆分成了 4 块，现用 5 种不同的颜色改 4 块涂色，要求共边 的两块颜色互异，每块只涂一色，共有多少种涂法？ （六）组数问题 例 7 用数字 0、1、2、3、4、5 组成一下数字，分别求可组成的数字的个数。 （） 四位数 （） 无重复数字的四位数 （） 无重复数字的四位偶数 （） 无重复数字且能被 5 整除的四位数 （） 无重复数字且能被 3 整除的四位数 （） 无重复数字且能被 6 整除的四位数 （） 将组成的无重复数字的四位数由小到大排列，问第 85 个数是多少 （） 比 3405 小的数有几个？ 跟踪练习： 1.（2010 全国卷 2 文数） （9）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封 中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A） 12 种 (B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种 2. （2010 全国卷 2 理数） （6）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信 封中若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种 3.（2010 重庆文数） （10）某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日（端午节假期） 值班，每天安排 2 人，每人值班 1 天 . 若 6 位员工中的甲不值 14 日，乙不值 16 日，则不 同的安排方法共有 （A）30 种 （B）36 种 （C）42 种 （D）48 种 4.（2010 重庆理数）(9)某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值 班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日， 则不同的安排方案共有 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种 5.（2010 北京理数） （4）8 名学生和 2 位第师站成一排合影，2 位老师不相邻的排法种数 为 （A） 829 （B） 829AC （C） 827A （D） 827AC 6.（2010 四川理数） （10）由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的 六位偶数的个数是 （A）72 （B）96 （C ） 108 （D）144 7.（2010 天津理数）(10) 如图，用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条 线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用 （A）288 种 （B）264 种 （C）240 种 （D）168 种 【答案】D 8.（2010 全国卷 1 理数）(6)某校开设 A 类选修课 3 门， B 类选择 课 4 门，一位同学从中共选 3 门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 9.（2010 四川文数） （9）由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的 五位数的个数是 （A）36 （B）32 （C ）28 （D）24 10.（2010 浙江理数） （17）有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、 “立定跳远”、 “肺活量”、 “握力 ”、 “台阶” 五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力” 项目，下午不测“ 台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的 安排方式共有_种（用数字作答）. 11.（2010 江西理数）14.将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个各 2 人，另两个组各 1 人，分 赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答） 。 12 （2010 全国卷 1 文数）(15)某学校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学 从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种. (用数字作答) 参考答案 1.【解析】B：本题考查了排列组 合的知识 先从 3 个信封中选一个放 1，2 有 3 种不同的选法，再从剩下的 4 个数中选两个放一个信封 有 246C ，余下放入最后一个信封，共有 2418C 2. 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力. 【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有 种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封 两个有 种方法，共有 种，故选 B. 3. 解析：法一：所有排法减去甲值 14 日或乙值 16 日，再加上甲值 14 日且乙值 16 日的排 法 即 212164543CC=42 法二：分两类 甲、乙同组，则只能排在 15 日，有 24=6 种排法 甲、乙不同组，有 1243()A=36 种排法，故共有 42 种方法 4. 解析：分两类：甲乙排 1、2 号或 6、7 号 共有 412A种方法 甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号，共有 )(3142种方法 故共有 1008 种不同的排法 5.答案： 6. 解析：先选一个偶数字排个位，有 3 种选法 若 5 在十位或十万位，则 1、3 有三个位置可排，3 23A24 个 若 5 排在百位、千位或万位，则 1、3 只有两个位置可排，共 3 212 个 算上个位偶数字的排法，共计 3(2412)108 个 答案：C 7. 【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。 （1） B,D,E,F 用四种颜色，则有 412A种涂色方法； （2） B,D,E,F 用三种颜色，则有 3344192种涂色方法； （3） B,D,E,F 用两种颜色，则有 28种涂色方法； 所以共有 24+192+48=264 种不同的涂色方法。 8. 9. 解析：如果 5 在两端，则 1、2 有三个位置可选，排法为 2 23A24 种 如果 5 不在两端，则 1、2 只有两个位置可选，3 212 种 共计 122436 种 答案：A 10. 解析：本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能 力的考察，属较难题 11. 【答案】 1080 【解析】考查概率、平均分组分配问题